2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与面积综合常见题型练

2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与面积综合常见题型练 1．如图①，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，且，点为该二次函数图象上第二象限内一动点． (1)该二次函数的解析式为 ； (2)如图②，连接，，，，求四边形面积的最大值． 2．如图，抛物线 经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的一点，且的面积是 ，求点P的坐标． 3．如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)若M为的中点，求的面积； (3)若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 6．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，顶点为M． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点M作轴，垂足为N，作于点D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为，连接，如图②、设的面积为S． ①求出S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； ②当时，直接写出m的值； ③当S随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 7．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图2，过点A作的平行线交抛物线于点D，点E在延长线上，，求的长．（用含a的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的面积为，求a的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点．点P在此抛物线上，其横坐标为m；连接并延长至点Q，使．当点 P 不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点 M． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当 的边经过此抛物线的最低点时，求点Q 的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴于点H，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当的长度为最大值时，求点P的坐标； (3)在（2）问的条件下，连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接．当时，请直接写出点M的坐标． 12．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为中点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； (3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点． ①若点F与点C重合，，且，求证：D，E，F三点共线； ②若直线，交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B，连接， (1)求抛物线的解析式． (2)点P是直线上方抛物线上的点，连接，，当时，求点P的坐标． (3)点G是第一象限内抛物线上的一点，连接，若，则点G的横坐标为 ． (4)如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作，垂足为点E．动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点N以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点M到达点C时，点M，N都停止运动）．连接，过点D作直线的垂线，垂足为点F，连接，则的取值范围是 ． 14．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点是抛物线上一个动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当点为该抛物线的顶点时，求四边形的面积； (3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当抛物线在之间点的纵坐标的最大值和最小值之差为2时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数解析式的求解以及四边形面积的最值问题． （1）在二次函数中，令，可得，故，代入，求出的值即可解答； （2）先求出四边形各顶点坐标，进而得到相关线段长度，再通过分割四边形面积的方法，得到，结合二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：在二次函数中， 令，可得， ， ， ，即， 把代入， 可得， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）由题得，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， 直线的函数解析式为， 由（1）知，二次函数的解析式为， 令，则解得，， ， ， 如图，过点作轴的垂线，交线段于点， 点为抛物线上第二象限内一动点， 设， 则， ， ，， 当时，四边形的面积最大，最大值为． 2．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式，解一元二次方程． （1）已知抛物线经过，两点，可设抛物线的交点式为．再将点的坐标代入该式，即可求出a的值，从而确定抛物线的解析式； （2）已知，， 则线段的长度为两点横坐标之差的绝对值．设点P的坐标为，根据三角形面积公式 底高，的底为，高为点P的纵坐标的绝对值，根据题意的面积是，可以列出关于的等式，解出y的值．然后将y的值代入第一问求出的抛物线解析式，解出对应的x值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入， 得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 设点P的坐标为，根据三角形面积公式，得： ， ， ， 所以或， 当时，代入 得： 解得 ， 此时点P的坐标为或， 当时，代入 得∶ ， 整理得：， 判别式，此方程无实数解． 综上， 点P的坐标为或． 3．(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点B的坐标，从而得到点C的坐标，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）点，求出直线的解析式为，再由，可设直线的解析式为， 把点代入，可求出直线的解析式为，然后联立，可求出点F的横坐标为，从而得到点M的横坐标为，即可求解； （3）连接，设点，由（2）得：点，求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，可求出点P的坐标为，再根据，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即点， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：， ∴点F的横坐标为， ∵M为的中点， ∴点M的横坐标为， ∴的面积为； （3）解：如图，连接， 设点， 由（2）得：点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用数形结合思想是解题的关键． 5．(1)， (2)，M的坐标为 (3)1或2 【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题． 代入A、C求抛物线解析式，求与x轴交点得B，再求直线解析式； 设P点横坐标得M、N坐标，表出并配方求最值，进而得M坐标与最大面积； 分、、三种情况列方程，求解并舍去不合题意值． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 解得， 故点， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， 直线解析式为； （2）解：由题意，点， 则，，其中， ， 配方得， 当时，最大值为， ， 当最大时，最大，最大值为， 将代入，得， 故M的坐标为； （3）解：由（2）知，点，点，点， ， ， 当时，， 解得舍； 当时，， 解得不合题意舍， 当，， 解得舍去， 综上或 6．(1) (2)①②③或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的面积综合，二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）①理解题意，得，，，，结合点P为该抛物线上一点，其横坐标为，故，根据代入数值化简，再进行分类讨论，即可作答． ②先理解题意，其结合以及，分别列式计算求出m的值； ③结合且运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点， ∴把代入 得，解得， ∴， （2）解：①∵抛物线与y轴相交于点C，顶点为M． ∴令时，则， ∴， 对称轴为直线， 把代入，得出， 即， ∵过点M作轴，垂足为N，作于点D， ∴，， ∵点P为该抛物线上一点，其横坐标为， ∴ ∴的面积 ， 令时，则， 当时，则或， ∵ ∴ 故当时，； 当时，； ∴ ②由①得 依题意，当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得，（故舍去）； 依题意，当时，则， ∴， ∴， 即， 此方程无实数根， 综上：； ③由①得 则的开口向上，对称轴为直线， 即在对称轴的右侧，S随m的增大而增大 ∴当S随m的增大而增大时，则； 则的开口向下，对称轴为直线， 即在对称轴的左侧，S随m的增大而增大 ∴当S随m的增大而增大时， 综上：当S随m的增大而增大时， 或 7．(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：． (2)关系式为：，当时，的最大值为； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线：， 把代入函数解析式得到， 故顶点的坐标为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得； 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 8．(1) (2)四边形的最大面积为，此时 (3)存在，F点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 9．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，四点共圆，全等三角形的判定及性质，解一元二次方程，综合运用相关知识是解题的关键． （1）令，则，解方程即可解答； （2）由A，B坐标得到，由，得到点A，B，E，D四点共圆，则，进而得到，从而证得，根据全等三角形的性质即可解答； （3）令，求得，运用待定系数法求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线和直线的解析式，求得．求出可得到轴，从而，根据两点间距离公式得到，因此，又，即有，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得，， ∵点A位于点B的左侧， ∴，． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A，B，E，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（2）有， ∴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． 10．(1) (2)不变， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴此抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：面积比保持不变，为；设交y轴于点 D，根据题意可得， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：如图1，经过最低点，即经过顶点，该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为 ，该抛物线的顶点坐标为， ， ，且相似比为 ， 根据顶点纵坐标可得，， 则 ∵横坐标为， ∴纵坐标为， ∴， 即 解得 ， 当 时，如图1所示，此时 ， 点Q 在第四象限，故 ， 当 时，如图2所示，此时点 P 在第一象限，点Q 在第三象限，此时 ，故 ； 综上， 或 . 11．(1)抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求出直线的解析式，设点，由轴于点H，可设点Q的坐标，从而得到的长度是关于p的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）根据题目条件作图，连接，过点M作轴交于点F，利用待定系数法可求出直线的解析式得到点D的坐标，从而得到的长度；设点，由轴可设点F的坐标，从而得到的长度；由得，代入计算即可求出m的值从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， 抛物线的解析式为； （2）把代入， 得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 设点， ∵轴于点H， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 把代入， 得； （3）连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接，，过点M作轴交于点F，如图． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 把代入， 得， ∴， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 把代入， 得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，面积问题，将转化为是解题的关键． 12．(1) (2) (3)见解析；②的面积为定值，面积为16 【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数的表达式； (2)根据函数表达式求出点的坐标，可知是等腰直角三角形，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，设的坐标是，则点的坐标是，可得方程，解方程求出的值即可得到点的坐标； (3)①利用待定系数法求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标，即可知点，，三点共线； ②设点的坐标是，点的坐标是，设直线的解析式是，可得：，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可以求出点到轴的距离是，从而可知②的面积为定值，面积为16. 【详解】（1）解：将，的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：对于，令， 可得：， 解得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ； ， ． 如下图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设的坐标是，则点的坐标是， ，， ， 解得：（舍去）或， ； （3）①证明：点与点重合，则点的坐标为， 点为中点，，， 点的坐标是， 设直线的表达式为，代入，， 可得：， 解得：， ， 联立， 解得：或， ， 点在直线上，即，，三点共线； ②解：设点的坐标是，点的坐标是， 点、、三点共线，点的坐标是， 设直线的解析式是， 解方程组：， 整理得：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 解方程组， 解得：， 点的坐标是， ，， ，， ， 点在直线上运动， 点到轴的距离为定值， 直线、交于点， ，点、、三点共线， 点到的距离为定值， 的面积为定值， ． 的面积为定值，面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．(1) (2)点P的坐标为或 (3) (4) 【分析】（1）将点和点的坐标代入函数表达式，并计算出 与的值即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，设点坐标为，使用“割补法”将分成两部分，分别表示出两个小三角形的面积，相加后得到关于的方程，解方程即可； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，通过旋转的性质可以得到点的坐标，以及证明是等腰直角三角形，因此直线与抛物线在第一象限的交点即为点．使用待定系数法求出直线的函数表达式，与抛物线联立，求出点的横坐标； （4）连接交于点，作于点，连接，取的中点，连接，由平行线判定相似，可以证出 和．根据相似的性质可以计算出点的坐标为是一个定点，进一步算出点到的中点的距离是一个定值，则点的运动轨迹是一段圆弧．当点在线段上时，最小；当点与点重合时，最大，使用勾股定理计算出最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，设点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∵，， ∴点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵，， ∴，， 由旋转的性质可知，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴直线与抛物线在第一象限的交点即为点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或（舍去）， ∴点的横坐标为； （4）解：如图，连接交于点，作于点，连接，取的中点，连接，设运动时间为，则，， ∵点与点关于轴对称， ∴点坐标为，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 点坐标为， 在直角中，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ①当点落在线段上时（即点处），取到最小值， ∵点坐标为，点坐标为， ∴点坐标为， 由勾股定理，得， ∵， ∴的最小值为； ②如图，当点与点重合时，最大，作，垂足为， 此时， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在直角中，， 同理，， ∴， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合题，考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的图象与解析式，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，圆的定义，“割补法”计算三角形面积以及勾股定理，熟练掌握相关知识并添加恰当的辅助线是解题关键． 14．(1) (2)9 (3)存在，的坐标为或． (4)的值为或 【分析】（1）把，代入中求解，得出抛物线的函数表达式即可； （2）连接、、、，过点作于点，利用点的坐标得出出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）当为矩形的边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出点的坐标；当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，证明，得出，设，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，则或，求解并取舍，求出、，即可得出点的坐标． （4）分、，、四种情况讨论纵坐标的最值，再分别列式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作于点， 点的坐标为，, 令，解得或， ， ， ∴， ∴ ， 故四边形的面积为9； （3）解：存在， 如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点， 连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵，，动点在直线上方， ∴，，或， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， ， 分解因式得：， ∴或， 解得：（舍去），（舍去），， ∴，， ∴此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或； （4）解：抛物线，对称轴为，， 令时，解得或， 当，在，之间，随的增大而减小， 最大值为，最小值为， 则，即， 解得或（舍去）； 当时，在，之间，随的增大而减小， 最大值为，最小值为， 则，即，， ，无解； 当时，在，之间，先减小后增大， 最小值为，最大值为， 则，不符合题意； 当时，在，之间，先减小后增大， 最小值为，最大值为， 则，即， 解得或（舍去）； 若，即，解得， 因为，所以； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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