4.3 图形的旋转 强化训练 2025-2026学年 浙教版八年级下册数学

**基本信息** 以题型为框架，典例引领+分层训练，覆盖旋转核心知识点，从概念辨析到综合应用，梯度递进培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|旋转三要素、中心对称性质、对称点坐标|以选择填空为主，如旋转角辨析、对称中心判断，夯实概念理解| |技能应用|旋转规律探究、性质计算|结合网格、坐标系情境，如循环旋转规律、旋转后线段长度计算，培养几何直观| |综合拓展|旋转证明、最值问题|设计手拉手模型证明、动态旋转最值探究，如利用旋转构造全等求线段关系，发展推理能力与创新意识|

4.3 图形的旋转 强化训练 【题型1】旋转三要素及旋转中不变的辨析 【典例】如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（    ）． A. B. C. D. 【强化训练1】如图4×4的正方形网格中,其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度,得到三角形②,则其旋转中心是() A.点A      B.点B C.点C      D.点D 【强化训练2】下列图形中,△ABC经过旋转之后不能得到△A'B'C'的是() A. B. C. D. 【强化训练3】如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点逆时针旋转            度可得到． 【强化训练4】阅读理解，并完成任务： 小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下： 如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？ 他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理： ①连接A、作线段的垂直平分线； ②连接，作线段的垂直平分线，与交于点. 则点为所求作的旋转中心. 推理过程如下： ∵是绕点旋转而成的, ∴（依据1）, ∴点在线段的垂直平分线上（依据2）, 同理可得，点在线段的垂直平分线上, ∴点为与的交点. 任务： （1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ “依据1”：______________________________________________________. “依据2”：______________________________________________________. 【题型2】旋转中的规律性问题 【典例】如图，矩形ABCD中AB是3 cm，BC是2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（   ） A. B. C. D. 【强化训练1】在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2026次变换后得点P′，则点P′的坐标为（      ） A.（ a, b） B.（-a,-b） C.（b,-a） D.（-b,a） 【强化训练2】如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2026次旋转后的图形是     ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可) 【强化训练3】如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2026OB2026，则点B2026的坐标          ． 【题型3】利用旋转的性质计算 【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,点C的对应点E恰好落在边AB上,连结BD,则BD 的长为() A.2 B.5 C. D. 【强化训练1】如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为      ．    【强化训练3】如图，正方形的边长为4，为中点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长为    ． 【强化训练4】如图,将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,连结CE,CD,B,C,D三点恰好在同一条直线上。 (1)判断△ACE的形状。 (2)若CE⊥BD,求∠BAC的度数。 【题型4】利用旋转的性质证明 【典例】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（    ）    A. B. C. D. 【强化训练1】如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，在中，，把绕点C顺时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D.直线与直线互相垂直 【强化训练3】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接， （1）的形状为          ； （2）、、三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来：          ． 【强化训练4】已知：在钝角中，，把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，，． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； (2)如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，求的长； (3)如图③，在四边形中，，，请求出线段的长． 【强化训练5】央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)[模型探究]如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． (2)[模型指引]如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)[拓展延伸]如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【题型5】利用旋转的性质求最值 【典例】在中，，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为（    ） A.2 B. C. D.1 【强化训练1】如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（    ） A.1 B.0.5 C.2 D.1.5 【强化训练2】如图，PB=4，点A为动点，PA=，将△ABP绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，则PD的最大值是          ． 【强化训练3】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是      ． 【题型6】根据中心对称的性质求解 【典例】如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论： ①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点； ②直线BD必经过点O； ③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等； ④△AOE与△COF成中心对称． 其中正确的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【强化训练1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A.4 B. C. D. 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（　　） A.（3，﹣1） B.（0，0） C.（2，﹣1） D.（﹣1，3） 【强化训练3】如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　． 【强化训练4】如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，且EF＝AB.G，H是边BC上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则的值是____. 【强化训练5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称． （1）直接写出图中所有相等的线段． （2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围． 【强化训练6】如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，求AE的长． 【题型7】已知两点关于原点对称求字母的值 【典例】已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（　　） A.x＝﹣1，y＝2 B.x＝﹣1，y＝8 C.x＝﹣1，y＝﹣2 D.x＝1，y＝8 【强化训练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（　　） A. B. C. D. 【强化训练2】在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（） A.33 B.－33 C.－7 D.7 【强化训练3】已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=     ． 【强化训练4】已知点A（2m+n，2），B（1，n﹣m）． （1）m、n为何值时，点A、B关于y轴对称？ （2）m、n为何值时，点A、B关于原点中心对称？ 【题型8】判断中心对称图形的对称中心 【典例】如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点A，B，C是三角形的顶点，D是边AC的中点，则该图形的对称中心是（　　） A.点A B.点B C.点C D.点D 【强化训练1】如图，已知由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，则对称中心是（　　） A.点C B.线段BC的中点E C.点D D.线段FC的中点 【强化训练2】如图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（　　） A.P点 B.M点 C.N点 D.Q点 【强化训练3】如图所示，正方形ABCD旋转后可以与正方形CDEF成中心对称，那么图形所在平面内，可以作为对称中心的点是 　    　． 【强化训练4】如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A的坐标为(4,0),B的坐标为(6,2). (1)▱OABC的对称中心点P的坐标为　　. (2)求出直线PA的函数表达式. (3)求证:不论k取何值,▱OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分. 4.3 图形的旋转 强化训练（参考答案） 【题型1】旋转三要素及旋转中不变的辨析 【典例】如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】、旋转后的对应边为，不可以作为旋转角，符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 故选：． 【强化训练1】如图4×4的正方形网格中,其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度,得到三角形②,则其旋转中心是() A.点A      B.点B C.点C      D.点D 【答案】B 【解析】 设三角形①的三个顶点分别为E,F,G,三角形②的三个顶点与之相应为E',F',G'。 方法一:作出点A与两个三角形各顶点之间的连线,可以看出∠EAE'≠∠FAF',所以点A 不是旋转中心,用这种方法可以推断出点B是旋转中心,点C,D不是旋转中心。 方法二:作对应顶点连线的垂直平分线,如作EE'和FF'的垂直平分线,由AE=AE',AF=AF',易证两条垂直平分线的交点即为旋转中心。 【强化训练2】下列图形中,△ABC经过旋转之后不能得到△A'B'C'的是() A. B. C. D. 【答案】D 【强化训练3】如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点逆时针旋转            度可得到． 【答案】60 【解析】∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴E绕点逆时针方向旋转度可得到． 故答案为． 【强化训练4】阅读理解，并完成任务： 小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下： 如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？ 他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理： ①连接A、作线段的垂直平分线； ②连接，作线段的垂直平分线，与交于点. 则点为所求作的旋转中心. 推理过程如下： ∵是绕点旋转而成的, ∴（依据1）, ∴点在线段的垂直平分线上（依据2）, 同理可得，点在线段的垂直平分线上, ∴点为与的交点. 任务： （1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ “依据1”：______________________________________________________. “依据2”：______________________________________________________. 【答案】解：（1）如图所示： （2）对应点到旋转中心的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【题型2】旋转中的规律性问题 【典例】如图，矩形ABCD中AB是3 cm，BC是2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3 cm和2 cm，小正方形的边长为1 cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下． 故选：C． 【强化训练1】在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2026次变换后得点P′，则点P′的坐标为（      ） A.（ a, b） B.（-a,-b） C.（b,-a） D.（-b,a） 【答案】C 【解析】通过观察，可以发现规律：P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）, P10（b,-a）….故每8次是一个循环，20268=253……2,故与P2坐标一样,为（b,-a）. 【强化训练2】如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2026次旋转后的图形是     ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可) 【答案】(3) 【解析】观察图形，将图形（1）以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°， 第1次旋转的得到的图形为： 第2次旋转的得到的图形为： 第3次旋转的得到的图形为： 第4次旋转的得到的图形为： 第5次旋转的得到的图形为： ······ 由此可得，每4次一个循环， ∵2026=506×4+2， 所以第2026次旋转后的图形与（3）一样． 故答案为（3）． 【强化训练3】如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2026OB2026，则点B2026的坐标          ． 【答案】（-22026，-22026） 【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1， ∴AB=OA=1， ∴B（1，1）， 将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO， 再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律， ∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16）， ∵2026÷4=506…2， ∴点B2026与B2同在一个象限内， ∵-4=-22，8=23，16=24， ∴点B2026（-22026，-22026）． 故答案为（-22026，-22026）． 【题型3】利用旋转的性质计算 【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,点C的对应点E恰好落在边AB上,连结BD,则BD 的长为() A.2 B.5 C. D. 【答案】C 【解析】 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3, ∴AB===5。 ∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, ∴∠AED=∠C=90°,AE=AC=4,DE=BC=3, ∴BE=AB-AE=5-4=1, ∴在Rt△DBE中,BD===。 【强化训练1】如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D. 【强化训练2】如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为      ．    【答案】 【解析】连接，    ∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【强化训练3】如图，正方形的边长为4，为中点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长为    ． 【答案】 【解析】作延长线于， 由正方形的边长为4，为中点，线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【强化训练4】如图,将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,连结CE,CD,B,C,D三点恰好在同一条直线上。 (1)判断△ACE的形状。 (2)若CE⊥BD,求∠BAC的度数。 【答案】 解:(1)∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE, ∴AC=AE,∠CAE=140°, ∴△ACE是顶角为140°的等腰三角形。 (2)∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE, ∴∠BAD=∠CAE=140°,AB=AD,AC=AE, ∴∠ABC=∠ADB=(180°-∠BAD)=×(180°-140°)=20°。 同理可得∠ACE=∠AEC=20°。 ∵CE⊥BD,∴∠ECB=90°, ∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=90°-20°=70°。 在△ABC中,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-20°-70°=90°, 即∠BAC的度数为90°。 【题型4】利用旋转的性质证明 【典例】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由旋转可知，， ， ，即， 故A选项不符合题意； 由旋转可知，， 显然与不一定相等，即与不一定相等， 故B选项不符合题意， 由旋转可知，， ， ， 故C选项不符合题意； ， 是等边三角形， ， 则旋转的角度为， ， ， ， 由旋转可知，， ， ， 故D选项符合题意， 故选：D． 【强化训练1】如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵将以点为中心顺时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【强化训练2】如图，在中，，把绕点C顺时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D.直线与直线互相垂直 【答案】C 【解析】绕点C顺时针旋转得到，且点B，C，D恰好在一条直线上， ，， ， ， ， 故选项C符合题意； ， ，故选项A不符合题意； ，， 直线与直线的夹角为，不垂直，故选项D不符合题意； ， ， ，又不为等边三角形， ，故选项B不符合题意； 故选：C． 【强化训练3】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接， （1）的形状为          ； （2）、、三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来：          ． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】在中，， ， 由旋转的性质得：， ， 的形状为直角三角形； 由旋转得：，，， ，， ， 又，， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 故答案为：直角三角形，． 【强化训练4】已知：在钝角中，，把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，，． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； (2)如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，求的长； (3)如图③，在四边形中，，，请求出线段的长． 【答案】解：（1）∵把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段， ，，， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： ∵把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段， ，，， ， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ； （3）如图，过点A作，交的延长线于点H，    ∵， ，， ，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∴ ∴． 【强化训练5】央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)[模型探究]如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． (2)[模型指引]如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)[拓展延伸]如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【答案】解：（1）∵， ∴（等量代换）, 即， 在和中, ∴． （2）∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）；理由如下： 如图，在的延长线上找一点E，使， 设， ∵AB=AC, ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型5】利用旋转的性质求最值 【典例】在中，，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为（    ） A.2 B. C. D.1 【答案】D 【解析】在上取，使得，连接，如图所示， ，，， ，， 线段绕点A顺时针旋转得到线段， ，， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值． ， ， ， 当时，， 线段长度的最小值为1． 故选：D． 【强化训练1】如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（    ） A.1 B.0.5 C.2 D.1.5 【答案】D 【解析】∵，，， ∴，， 由旋转得，，，， ∵点P是的中点，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点E、C、P三点共线时，最大，最大值为， ∵点E是的中点，， ∴， ∴最大值为． 故选：D． 【强化训练2】如图，PB=4，点A为动点，PA=，将△ABP绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，则PD的最大值是          ． 【答案】6 【解析】连接PQ， ∵PA=，PB=4，△ADQ是△ABP绕点A逆时针方向旋转90°得到的， ∴AQ=PA=，DQ= PB=4，∠PAQ=90°， ∴PQ=PA=2， ∵PQ+DQPD， ∴当P、Q、D三点共线时，PD取得最大值，最大值为2+4=6． 故答案为：6． 【强化训练3】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是      ． 【答案】 【解析】当D，E，F共线时，AF最小，如图所示， ∵AB=AC，AB=DF， ∴AC=DF， 又∵∠FDC=∠ACD=45°， ∴DO=OC， ∴OA=OF， ∵∠AOF=90°， ∴AF=AO， 当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线， ∵CD=2， ∴CO=， ∵AO=, ∴AF=, 故答案为：． 【题型6】根据中心对称的性质求解 【典例】如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论： ①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点； ②直线BD必经过点O； ③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等； ④△AOE与△COF成中心对称． 其中正确的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB＝CD、AD＝BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断． △ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC， 所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是▱ABCD的对称中心，则有： （1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确； （2）直线BD必经过点O，正确； （3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确； （5）△AOE与△COF成中心对称，正确； 其中正确的个数为4个， 故选：D． 【强化训练1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A.4 B. C. D. 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO＝CO＝AC＝1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ＝CO＝1，∠Q＝90°，PQ＝BO＝＝，再根据勾股定理可得AP的长． ∵BO是等腰三角形ABC的底边中线， ∴AO＝CO＝1，BO⊥AC， ∵△PQC与△BOC关于点C中心对称， ∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝， ∴AQ＝AO+CO+CQ＝3， ∴AP＝＝＝2． 故选：D． 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（　　） A.（3，﹣1） B.（0，0） C.（2，﹣1） D.（﹣1，3） 【答案】A 【解析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标． 连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点． 观察图形知，E（3，﹣1）． 故选：A． 【强化训练3】如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　． 【答案】6． 【解析】根据中心对称的性质求得AE＝BC，在直角△ABC中，利用勾股定理求得BC的长度即可解决问题了． 在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则由勾股定理知：BC＝＝＝6． ∵D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称， ∴△ADE与△CDB关于点D成中心对称， ∴AE＝BC＝6． 故答案为：6． 【强化训练4】如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，且EF＝AB.G，H是边BC上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则的值是____. 【答案】 【解析】如答图，连结OA,OB,OC，设平行四边形ABCD的面积为4s. 答图 ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD＝s. ∵EF＝AB，GH＝BC， ∴S1＝s，S2＝s， ∴＝＝. 【强化训练5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称． （1）直接写出图中所有相等的线段． （2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围． 【答案】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称 ∴△A′BD≌△ACD， ∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B． （2）∵AD＝A'D， ∴AA'＝2AD， ∵AC＝A'B，AC＝3， ∴A'B＝3， 在△AA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3． ∴1＜AD＜4． 【强化训练6】如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，求AE的长． 【答案】根据△ABC与△DEC关于C点成中心对称，可得△ABC≌△DEC，即可得∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，进而有AD＝2，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解． ∵△ABC与△DEC关于C点成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE，AC＝DC，∠CAB＝∠CDE， ∵AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°， ∴∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1， ∴AD＝2， ∴在Rt△ADE中，有：． 即． 【题型7】已知两点关于原点对称求字母的值 【典例】已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（　　） A.x＝﹣1，y＝2 B.x＝﹣1，y＝8 C.x＝﹣1，y＝﹣2 D.x＝1，y＝8 【答案】A 【解析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案． ∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称， ∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3， 解得：x＝﹣1，y＝2， 故选：A． 【强化训练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出、的值，然后代入求解即可． ∵点，关于原点对称， ∴ ∴， 故选：C． 【强化训练2】在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（） A.33 B.－33 C.－7 D.7 【答案】D 【强化训练3】已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=     ． 【答案】﹣4 【解析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案． ∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称， ∴a=﹣5，b=﹣1， ∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4 故答案为：． 【强化训练4】已知点A（2m+n，2），B（1，n﹣m）． （1）m、n为何值时，点A、B关于y轴对称？ （2）m、n为何值时，点A、B关于原点中心对称？ 【答案】解：（1）∵点A（2m+n，2），B（1，n-m），A、B关于y轴对称， ∴， 解得：； （2）∵点A（2m+n，2），B（1，n-m），A、B关于原点中心对称， ∴， 解得：． 【题型8】判断中心对称图形的对称中心 【典例】如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点A，B，C是三角形的顶点，D是边AC的中点，则该图形的对称中心是（　　） A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】D 【解析】根据中心对称图形的概念分析判断后即可得解． 此图绕D点旋转180度后与原图重合，所以对称中心是D点． 故选：D． 【强化训练1】如图，已知由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，则对称中心是（　　） A.点C B.线段BC的中点E C.点D D.线段FC的中点 【答案】D 【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此可得结论． 由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，则对称中心是对称点连线的中点， ∴对称中心为CF（或BE）的中点． 故选：D． 【强化训练2】如图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（　　） A.P点 B.M点 C.N点 D.Q点 【答案】A 【解析】根据中心对称图形的概念分析判断后即可得解． 此图绕点P旋转180度后与原图重合，所以对称中心是P点． 故选：A． 【强化训练3】如图所示，正方形ABCD旋转后可以与正方形CDEF成中心对称，那么图形所在平面内，可以作为对称中心的点是 　    　． 【答案】CD的中点． 【解析】根据中心对称的概念得出结论即可． 由题意知，该图形的对称中心在CD的中点， 故答案为：CD的中点． 【强化训练4】如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A的坐标为(4,0),B的坐标为(6,2). (1)▱OABC的对称中心点P的坐标为　　. (2)求出直线PA的函数表达式. (3)求证:不论k取何值,▱OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分. 【答案】(1)(3,1) 解:(2)设直线PA的函数表达式为y＝kx＋b, 则有解得 ∴直线PA的函数表达式为y＝－x＋4. (3)对于直线y＝kx＋1－3k, 当x＝3时,y＝3k＋1－3k＝1, ∴直线y＝kx＋1－3k经过点P(3,1), ∴不论取何值,▱OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分. 、 1 学科网（北京）股份有限公司 $