2026年中考数学压轴题专题13 二次函数与胡不归型最值问题

**基本信息** 以胡不归模型为核心，系统整合二次函数与动态几何最值问题，通过构造转化实现代数与几何的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |胡不归与二次函数综合|4道例题+20道练习题|构造直角三角形转化系数、垂线段最短原理、相似三角形辅助|胡不归模型定义→二次函数图像性质→动态几何最值综合应用|

专题13二次函数与胡不归型最值问题 胡不归问题： 如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k． 过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长． 证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D． 由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB． 所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证． 【例1】（2025•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式和t，k的值； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值． 【例2】（2025•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； （3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值． 【例3】（2025•东西湖区模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值． （3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标． 【例4】（2025•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标； （3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值． 1．（2025•河北区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值； （Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQ+NQ的最小值． 2．（2025•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C． （1）求k、b、c的值； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值． 3．（2025•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式； （2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标； （3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此时点P的坐标． 4．（2025•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD． （1）求m的值和直线AC的解析式． （2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值． （3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值． 5．（2025•射阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+CE的最小值． 6．（2025•深圳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标； （3）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M． ①求△APC的面积最大时点P的坐标； ②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+CN的最小值． 7．（2025•深圳模拟）已知：如图，点A（1，0），B（3，0），D（2，﹣1），C是y轴上的点，且OC＝3． （1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形； （2）若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标； （3）设Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2025•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长． 9．（2025•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标． （3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． ①求线段PM长度的最大值． ②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值． 10．（2025•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时： ①求PD+PC的最小值； ②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值． 11．（2025•中山市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标． 12．（2025•南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1． （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 13．（2025•津南区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），其对称轴交x轴于点C． （Ⅰ）求该抛物线的顶点D的坐标； （Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）． ①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值； ②连接PB，求PD+PB的最小值． 14．（2025•防城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标； （3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 15．（2025秋•沈北新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当＝时，求点P的坐标； （3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时， ①求满足条件的所有点H的坐标； ②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM＝1，直接写出AM+CM的最小值． 16．（2025•香洲区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）． （1）求A，B两点的坐标； （2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标； （3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标． 17．（2025•涪城区校级模拟）已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标； （3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值． 18．（2025•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值． （3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围． 19．（2025•罗湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值； （Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值． 20．（2025•东胜区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，），C（1，0），其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标； （3）若M为y轴上的一个动点，连接ME，求MB+ME的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 【例1】．（2025•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式和t，k的值； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可求解； （2）作PM⊥x轴交于M，可求PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，通过证明△COA∽△AMP，利用＝，求m的值即可求P点坐标； （3）作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，通过证明△PQN∽△BOC，求出QN＝PN，PQ＝PN，再由△CNE∽△CBO，求出CN＝EN＝m，则CQ+PQ＝CN+PN＝﹣（x﹣）2+，即可求解． 【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6， ∴64a+22﹣6＝0， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2+x﹣6， 当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0， 解得t＝3或t＝8（舍）， ∴t＝3， ∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上， ∴8k﹣6＝0， 解得k＝， ∴y＝x﹣6； （2）作PM⊥x轴交于M， ∵P点横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+m﹣6）， ∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3， 在Rt△COA和Rt△AMP中， ∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°， ∴∠OAC＝∠APM， ∴△COA∽△AMP， ∴＝，即OA•MA＝CO•PM， 3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6）， 解得m＝3（舍）或m＝10， ∴P（10，﹣）； （3）作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E， ∴PN＝﹣m2+m﹣6﹣（m﹣6）＝﹣m2+2m， 由△PQN∽△BOC， ∴＝＝， ∵OB＝8，OC＝6，BC＝10， ∴QN＝PN，PQ＝PN， 由△CNE∽△CBO， ∴CN＝EN＝m， ∴CQ+PQ＝CN+NQ+PQ＝CN+PN， ∴CQ+PQ＝m﹣m2+2m＝﹣m2+m＝﹣（x﹣）2+， 当m＝时，CQ+PQ的最大值是． 【例2】．（2025•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； （3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可； （2）过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE（AAS），推出OA＝FG＝3，设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），可得FG＝|m﹣1|＝3，推出m＝﹣2或m＝4，即可解决问题； （3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，证明PN＝PM，由PF2＝PF1，推出PF+PM＝PF2+PN＝FN1为最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），C（0，3）代入，得， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过点F作FG⊥DE于点G， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形， ∴AC＝EF，AC∥EF， ∵OA∥FG， ∴∠OAC＝∠GFE， ∴△OAC≌△GFE（AAS）， ∴OA＝FG＝3， 设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3）， ∴FG＝|m﹣1|＝3， ∴m＝﹣2或m＝4， 当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5， ∴F1（﹣2，﹣5）， 当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5， ∴F2（4，﹣5） 综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）； （3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5， 在Rt△MHF2中，sin∠HMF2＝＝＝，则在Rt△MPN中，sin∠PMN＝＝， ∴PN＝PM， ∵PF1＝PF2， ∴PF+PM＝PF2+PN＝F1N为最小值， ∵＝×6×4＝×5×F1N， ∴F1N＝， ∴PF+PM的最小值为． 【例3】（2025•东西湖区模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值． （3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标． 【分析】（1）先求出A（﹣m，0），B（2，0），C（0，﹣2m），再由三角形面积×（2+m）×（2m）＝8，可求m的值； （2）过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，证明△CED∽△TFC，可得＝＝＝，进而求出D（﹣t2，t﹣4），再求出直线AT的解析式为y＝（t﹣2）x+2t﹣4，将D点坐标代入直线解析式即可求（t﹣1）2＝； （3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，可得CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，可求CP+AP的最小值为8，再由tan∠ACO＝＝，求出P（0，﹣1）． 【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m）， 令y＝0，则x＝2或x＝﹣m， ∵m＞0， ∴﹣m＜0， ∴A（﹣m，0），B（2，0）， ∴AB＝2+m， 令x＝0，则y＝﹣2m， ∴C（0，﹣2m）， ∵△ABC的面积为8， ∴×（2+m）×（2m）＝8， 解得m＝2或m＝﹣4（舍）； （2）当m＝2时，y＝x2﹣4， ∵的横坐标为t， ∴T（t，t2﹣4）， 过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点， ∵∠DCT＝90°， ∴∠DCE+∠TCF＝90°， ∵∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠TCF＝∠CDE， ∴△CED∽△TFC， ∴＝＝， ∵∠ATC＝60°， ∴＝， ∵C（0，﹣4）， ∴CF＝t，TF＝t2， ∴DE＝t，CE＝t2， ∴D（﹣t2，t﹣4）， 设直线AT的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4， ∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4， ∴（t﹣1）2＝； （3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P， ∵A、B关于y轴对称， ∴AP＝BP， ∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠ABG＝∠ACO， ∵AO＝2，CO＝4， ∴AC＝2， ∴sin∠ACO＝， ∴＝， ∴CP＝GP， ∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG， ∵cos∠ACO＝＝＝， ∴BG＝， ∴CP+AP的最小值为8， ∵tan∠ACO＝＝＝， ∴OP＝1， ∴P（0，﹣1）． 【例4】（2025•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标； （3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情形，分别构建方程组求解即可； （3）以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，先根据二次函数求出A、B、C、D的坐标，再证明△EOM∽△MOC，从而有EM＝MC，故2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED，再求出ED即可． 【解答】解：（1）∵抛物线经过B（2，0），C（4，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4）， 把A（0，2）代入，可得a＝， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x+2； （2）如图，当点P在直线AC的下方时，过点B作BP0∥AC交抛物线于点P0， 由题意直线AC的解析式为y＝﹣x+2， ∴kAC＝﹣， ∴K＝﹣， ∴直线BP0的解析式为y＝﹣x+1， 由， 解得， 则P0与B重合，不符合题意． 当点P在直线AC的上方时，作直线BP0关于直线AC的的对称直线P1P2，交抛物线于P1，P2． ∵直线AC的解析式为y＝﹣x+2， ∴可得直线P1P2的解析式为y＝﹣x+3， 由， 解得或， ∴P1（2+2，2﹣），P2（2﹣2，2+）； （3）解：如图，以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED， ∵A（0，2），B（2，0），C（4，0）， ∴OA＝OB，即B在⊙O上， ∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣3）2﹣， ∴顶点D（3，﹣）， ∵∠AMB＝45°， ∴∠AMB＝∠BOA， ∴M在在⊙O上，即OM＝2， 取OB的中点E（1，0）， ∵＝，＝，＝， ∴＝， 又∠EOM＝∠MOC， ∴△EOM∽△MOC， ∴＝， ∴EM＝MC， ∴2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED， ∵ED＝＝， ∴2MD+MC的最小值为． 1．（2025•河北区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值； （Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQ+NQ的最小值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的解析式即可求解； （Ⅱ）由题意可求P（0，2）或（0，﹣2），将A点代入抛物线解析式可得c＝﹣b，在求出B（2b﹣1，0），C（0，﹣b），由PB＝PC，（2b﹣1）2+4＝|﹣b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|﹣b+2|2，再由2b﹣1＞1，求出b即可； （Ⅲ）先求出抛物线的解析式y＝﹣x2+x﹣2，设Q（，t）过点N作AD的垂线交于点M，交对称轴于点Q，利用直角三角形可得MQ＝DQ，当M、Q、N三点共线时，DQ+NQ有最小值MN，在Rt△AMN中，AN＝2，求出MN＝，可求DQ+NQ的最小值为． 【解答】解：（Ⅰ）当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c， 将点A（1，0）代入y＝﹣x2+2x+c， ∴c＝﹣， ∴y＝﹣x2+2x﹣＝﹣（x﹣2）2+， ∴抛物线的顶点为（2，）； （Ⅱ）∵点P是y轴上一点，OP＝2， ∴P（0，2）或（0，﹣2）， 将A代入y＝﹣x2+bx+c， ∴﹣+b+c＝0， ∴c＝﹣b， ∵﹣x2+bx+﹣b＝0， ∴1+x1＝2b， ∴x1＝2b﹣1， ∴B（2b﹣1，0）， 令x＝0，则y＝2b﹣1， ∴C（0，﹣b）， ∵PB＝PC， ∴（2b﹣1）2+4＝|﹣b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|﹣b+2|2， 解得b＝或b＝或b＝﹣或b＝， ∵A点在B点左侧， ∴2b﹣1＞1， ∴b＞1， ∴b＝； （Ⅲ）将点A、B代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， ， ∴y＝﹣x2+x﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴E（，0）， ∵y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣）2+， ∴顶点D（，）， ∵A（1，0），B（4，0）， ∴AB＝3， ∵AN＝2BN， ∴AN＝2，BN＝1， ∴N（3，0）， 设Q（，t）， 过点N作AD的垂线交于点M，交对称轴于点Q， ∵AE＝，DE＝， ∴tan∠DAE＝， ∴∠EQN＝∠DAE， ∴∠DAN＝∠MQD， ∴tan∠MQD＝， ∴sin∠MQD＝， ∴MQ＝DQ， ∵DQ+NQ＝（DQ+NQ）＝（MQ+NQ）， ∴当M、Q、N三点共线时，DQ+NQ有最小值MN， 在Rt△AMN中，AN＝2， ∴sin∠MAN＝， ∴MN＝×2＝， ∴DQ+NQ＝×MN＝， ∴DQ+NQ的最小值为． 2．（2025•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C． （1）求k、b、c的值； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当∠PAC为直角时，由∠PAH＝∠ACO得到tan∠PAH＝tan∠ACO，即，即可求解；当∠CAP为直角或∠ACP为直角时，同理可解； （3）过点A作直线AN使∠NAC＝30°，过点O作ON⊥AN交AE于点M，则点M为所求点，进而求解． 【解答】解：（1）由AO＝2BO＝4知，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+x﹣2， 则点C（0，﹣2）， 将点A、C的坐标代入y＝kx+c并解得：y＝﹣x﹣2， 即k＝﹣， 故k＝﹣，b＝，c＝﹣2； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则设点P的坐标为（﹣1，m）， ①当∠PAC为直角时，如图1， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则AH＝﹣1﹣（﹣4）＝3，PH＝m，AO＝4，OC＝2， ∵∠PAH+∠CAO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠PAH＝∠ACO， ∴tan∠PAH＝tan∠ACO，即， ∴，解得m＝3； 故点P的坐标为（﹣1，3）； ②当∠APC为直角时，如图2， 故点P作x轴的平行线交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M， 则AM＝|m|，PM＝3，CN＝|m+2|，PN＝1， 同理可得∠MPA＝∠PCN， ∴tan∠MPA＝tan∠PCN，即， 解得：m＝﹣±， 故点P的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣）； ③当∠ACP为直角时，如图3， 同理可得，点P的坐标为（﹣1，﹣3）； 综上，点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣3）； （3）过点A作直线AN使∠NAC＝30°，过点O作ON⊥AN交AE于点M，则点M为所求点， 理由：∠MAN＝30°，则MN＝AM，则AM+OM＝MN+OM＝ON为最小， 过点O作OE⊥AC于点E，则∠MOE＝90°﹣∠OME＝90°﹣∠AMN＝∠MAN＝30°， 由点A、C的坐标得，AC＝2， 则sin∠ACO＝＝，则cos∠ACO＝， 在Rt△COE中，OE＝OCsin∠ACO＝2×＝， 同理可得，CE＝， 在Rt△OME中，ME＝OEtan∠MOE＝×tan30°＝，OM＝2ME＝， 则AM＝AC﹣ME﹣EC＝2﹣﹣＝＝2MN， 则MN＝， 则AM+OM的最小值＝OM+MN＝． 3．（2025•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式； （2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标； （3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此时点P的坐标． 【分析】（1）根据点A，B的坐标设出抛物线的交点式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论； （2）过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，则＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，进而得出＝或2，进而建立方程求解，即可得出结论； （3）先判断出△PCD∽△OBQ，进而得出PC＝OQ，再判断出点A，P，C在同一直线上时，BP+BQ的最小，再求出直线AC的解析式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， ∵点C（0，3）在抛物线上， ∴﹣3a＝3， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， 设点M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0）， ∴S△BCM＝CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝AG[（1+3）﹣（m+3）]＝AG（1﹣m）， ∴＝＝， ∵ON∥AG， ∴＝， 设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t， ∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时， ∴＝或2， ∴， ∴， ∴t＝1或， ∴N（0，1）或N（0，）， 当N（0，1）时， ∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1①， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）②， 联立①②解得，或， ∴M（﹣2，3）； 当N（0，）时， ∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+③， 联立②③解得，或， ∴M（﹣，）； 即M（﹣2，3）或（）； （3）如图2， 连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4， ∴D（﹣1，4）， ∵C（0，3）， ∴CD＝，DH＝1，CH＝1， ∴DH＝CH， ∴∠CDP＝45°， ∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点， ∴∠BOQ＝45°＝∠CDP， ∵DP＝OQ， ∴＝， ∵＝， ∴＝＝， ∴△PCD∽△OBQ， ∴， ∴PC＝OQ， ∴BP+OQ＝BP+PC， 连接AP， ∵点P是抛物线的对称轴上的点， ∴PC＝PA， ∴BP+OQ＝BP+PC＝BP+PA， ∴当点A，P，C在同一条直线上时，BP+OQ最小，最小值为AC＝＝， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，y＝2， ∴点P（﹣1，2）． 4．（2025•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD． （1）求m的值和直线AC的解析式． （2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值． （3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法将A（﹣4，0）代入y＝mx2+x﹣4m，求出m的值，即可抛物线解析式，令x＝0，求出点C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A，C的坐标代入即可求出答案； （2）在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，当C、D、K在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，应用三角函数定义即可求得答案； （3）根据△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，可得出DN＝3DM，建立方程求出n的值，在y轴上 取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD，构造相似三角形，可以证明AR就是AE+CE的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）， ∴m•（﹣4）2+×（﹣4）﹣4m＝0， 解得：m＝， ∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3， 令x＝0，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣4，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3. （2）∵A（﹣4，0），D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0， ∴AD＝n﹣（﹣4）＝n+4， 在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K， ∴∠AKD＝90°， ∴DK＝AD，∠ADK＝60°， 当C、D、K在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°， ∵OD＝﹣n，∠COD＝90°， ∴＝tan∠CDO＝tan60°，即＝， ∴n＝﹣． （3）∵DM⊥x轴，NP⊥AC， ∴∠ADM＝∠NPM＝90°， ∵∠AMD＝∠NMP， ∴△AMD∽△NMP， ∵△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6， ∴＝， ∵＝sin∠DAM＝＝， ∴＝， ∴DN＝3DM， ∵DM＝n+3，DN＝﹣n2﹣n+3， ∴﹣n2﹣n+3＝3（n+3）， 解得：n1＝﹣2，n2＝﹣4（舍去）， ∴D（﹣2，0）， ∴OD＝2， 如图2中，在y轴上 取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD＝2． ∵OE＝2，OR•OC＝×3＝4， ∴OE2＝OR•OC， ∴＝， ∵∠COE＝∠ROE， ∴△ROE∽△EOC， ∴＝＝， ∴RE＝CE， ∴当A、R、E共线时，AE+CE＝AE+ER＝AR，此时AE+CE最小， ∴AE+CE的最小值＝AR＝＝＝． 5．（2025•射阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+CE的最小值． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c中即可求解析式； （2）两个三角形相似有两种情况①△AOC∽△ONG；②△AOC∽△GNO，在利用相似三角形的边对应成比例即可求解； （3）由于△QMB与△PMB共底MB，利用平行线的性质，只要两个三角形等高即可；分两种情况找平行线，①过P点作PH∥BC交y轴于点H，直线PH的解析式为y＝﹣x+5，直线PH与抛物线的交点即为Q；②由H点关于C点对称的点为（0，1），过点（0，1）与直线BC平行的直线解析式为y＝﹣x+1，该直线与抛物线的交点即为Q； （4）连接CF，在OA上截取OF使得OF＝CF，过点M作MT⊥CF交CF于点T，过点M作MK⊥y轴交CF于点K，在Rt△CTE中，ET＝CE，CE+ME＝TE+ME，当T、E、M三点共线，并且TM⊥AF时，CE+ME＝MT值最小．在Rt△AFO中，求出F（﹣，0），进而求出直线AF的解析式y＝x+3，再求出MK＝1+，由于∠TMK＝∠FCO，在Rt△TKM中，MT＝KM•cos∠FCO，可求MT＝（1+）•＝，则MT即为所求的最小值． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c中， 得到，解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）函数对称轴为直线x＝1， 设G（1，m）， 由已知可得OA＝1，OC＝3， ∵NG⊥x轴，CO⊥x轴， ∴NG∥OC， ∵N（1，0）， ∴ON＝1， 当以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似时， ①△AOC∽△ONG时， NG＝OC＝3， ∴G（1，3）或G（1，﹣3）； ②当△AOC∽△GNO时， ，即GN＝， ∴G（1，）或G（1，﹣）； 综上所述：以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似时，满足条件的G点坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，）或（1，﹣）； （3）当x＝1时，y＝4， ∴P（1，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（3，0）、C（0，3）代入，可得， 解得， ∴y＝﹣x+3， 过P点作PH∥BC交y轴于点H， ∴直线PH的解析式为y＝﹣x+5， 联立，解得x＝1或x＝2， ∴Q（2，3）或Q（1，4）（舍）； 当x＝0时，y＝5， ∴H（0，5）， ∵H点关于C点对称的点为（0，1）， ∴过点（0，1）与直线BC平行的直线解析式为y＝﹣x+1， 联立， 解得x＝或x＝， ∴Q（，）或Q（，）； 综上所述：△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为（2，3）或（，）或（，）； （4）连接CF，在OA上截取OF使得OF＝CF，过点M作MT⊥CF交CF于点T，过点M作MK⊥y轴交CF于点K， 在Rt△CTE中，ET＝CE， ∴CE+ME＝TE+ME＝TM，此时CE+ME的值最小； ∵OF＝CF，CO＝3， ∴OF＝，CF＝， ∴F（﹣，0）， 设直线CF的解析式为y＝t'x+n， 将点C（0，3），F（﹣，0）代入，可得， ，解得， ∴y＝x+3， ∵M（1，2）， ∴K（﹣，2）， ∴MK＝1+， ∵MT⊥CF， ∴∠FCO+∠CKM＝∠CKM+∠TMK＝90°， ∴∠TMK＝∠FCO， 在Rt△TKM中，MT＝KM•cos∠FCO， ∴MT＝（1+）•＝， ∴CE+ME的最小值为． 6．（2025•深圳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标； （3）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M． ①求△APC的面积最大时点P的坐标； ②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+CN的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①当点E在点A的左侧时，在Rt△CHN中，NH＝CN＝CH＝，在Rt△AHN中，tan∠HAN＝tan∠DAC＝＝，即tan∠ECA＝tan∠CAD＝，在Rt△CEK中，tan∠ECA＝，进而求解；②当点E（E′）的点A的右侧时，∠ECA＝∠CAD，则直线CE′∥AD，则直线CE′的表达式为y＝2x+3，进而求解； （3）过点H作HR⊥CG于点R，交CO于点N，则点N为所求点，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）①当点E在点A的左侧时，如图1， 由抛物线的表达式知，点D的坐标为（﹣1，4）， 延长AD交y轴于点H，过点H作HN交AC的延长线于点N， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为y＝2（x+3）， 故点H的坐标为（0，6）， 则CH＝6﹣3＝3， 由点A、C的坐标知，∠ACO＝45°＝∠HCN，AC＝3， 在Rt△CHN中，NH＝CN＝CH＝， 在Rt△AHN中，tan∠HAN＝tan∠DAC＝＝＝， ∴tan∠ECA＝tan∠CAD＝， 过点E作EK⊥CA交CA的延长线于点K， 在Rt△AEK中，∠EAK＝∠CAO＝45°， 故设AK＝EK＝x，则AE＝x， 在Rt△CEK中，tan∠ECA＝＝， 解得x＝，故AE＝x＝3， 则点E的坐标为（﹣6，0）； ②当点E（E′）的点A的右侧时， ∵∠ECA＝∠CAD， 则直线CE′∥AD， 则直线CE′的表达式为y＝2x+r， 而直线CE′过点C，故r＝3， 故直线CE′的表达式为y＝2x+3， 令y＝0，则x＝﹣， 故点E′的坐标为（﹣，0）； 综上，点E的坐标为（﹣6，0）或（﹣，0）； （3）设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝x+3， 则点M（x，x+3）， 则△APC的面积＝×OA×PM＝×3×（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）＝（﹣x2﹣3x）， ∵﹣＜0，故△APC的面积有最大值， 当x＝﹣时，点P的坐标为（﹣，），则点H（﹣，0）， 在x轴上取点G（3，0），则OG＝OC，连接CG， 则∠GCO＝45°， 过点H作HR⊥CG于点R，交CO于点N，则点N为所求点， 理由：HN+CN＝HN+CNsin∠GCO＝HN+NR＝HR为最小值， ∵∠CGO＝45°，故△HRG为等腰直角三角形， 则HR＝HG＝（3+）＝， 即HN+CN的最小值为． 7．（2025•深圳模拟）已知：如图，点A（1，0），B（3，0），D（2，﹣1），C是y轴上的点，且OC＝3． （1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形； （2）若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标； （3）设Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明四边形ADBM为矩形，而AD＝BD，故四边形ADBM为正方形； （2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接CA交对称轴于点P，则点P为所求点，进而求解； （3）在x轴取点A′（﹣1，0），连接A′C，过点A作AH⊥A′C于点H，交y轴于点Q，则点Q是所求点，进而求解． 【解答】解：（1）由点A、D的坐标得，AD＝＝， 同理可得，BD＝， 而AB＝3﹣1＝2， 故AB2＝AD2+BD2， 故△ABD为等腰直角三角形， 由B、C的坐标知，OB＝OC， 则∠CBO＝45°， 则∠DBM＝∠CBO+∠ABD＝90°＝∠ADB＝∠AMB， 故四边形ADBM为矩形， 而AD＝BD， ∴四边形ADBM为正方形； （2）∵OC＝3，故点C（0，3）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； 点B关于抛物线对称轴的对称点为点A．连接CA交对称轴于点P，则点P为所求点， 理由：PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC为最大值， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣3x+3， 而抛物线的对称轴为直线x＝（1+3）＝2， 当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3， 故点P的坐标为（2，﹣3）； （3）存在，理由： 在x轴取点A′（﹣1，0），连接A′C，过点A作AH⊥A′C于点H，交y轴于点Q，则点Q是所求点， 理由：由点A′、C的坐标得，OA′＝1，OC＝3，则CA′＝， 则sin∠HCQ＝＝， 则AQ+CQ×＝AH＝AQ+CQsin∠HCQ＝AH为最小， ∵tanCA′O＝＝3，则tan∠HAA′＝， 而直线AH过点A（1，0），故其表达式为y＝﹣（x﹣1）， 令x＝0，则y＝，故点Q的坐标为（0，），则CQ＝3﹣＝ 由点A、Q的坐标得，AQ＝＝， ∴AQ+QC的最小值＝+×＝＝． 8．（2025•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长． 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决． （2）如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T，过点P作PQ∥OC交AC于Q．设P（m，﹣m2+2m+3），求出BT，PQ，利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可． （3）如图2中，连接AD，过点N作NJ⊥AD于J，过点C作CT⊥AD于T．证明AD′⊥x轴，由OD′＝＝3，推出sin∠OD′A＝＝，推出NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N，可得D'N+CN＝CN+NJ，根据CN+NJ≥CT，可得结论． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣1，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T，过点P作PQ∥OC交AC于Q． 设P（m，﹣m2+2m+3）， 对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x＝3或﹣1， ∴A（3，0）， ∵C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∵B（﹣1，0）， ∴T（﹣1，4）， ∴BT＝4， ∵PQ∥OC， ∴Q（m，﹣m+3）， ∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵PQ∥BT， ∴＝＝， ∴﹣m2+3m＝2， 解得m＝1或2， ∴P（1，4）或（2，3）． （3）如图2中，连接AD′，过点N作NJ⊥AD′于J，过点C作CT⊥AD′于T． ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D（1，4）， ∵C（0，3）， ∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝， ∵DD′＝2CD， ∵DD′＝2，CD′＝3， ∴D′（3，6）， ∵A（3，0）， ∴AD′⊥x轴， ∴OD′＝＝＝3， ∴sin∠OD′A＝＝， ∵CT⊥AD′， ∴CT＝3， ∵NJ⊥AD′， ∴NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N， ∴D'N+CN＝CN+NJ， ∵CN+NJ≥CT， ∴D'N+CN≥3， ∴D'N+CN的最小值为3， 此时N为OD'与CT的交点， ∴N（1.5，3）， ∵平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6，MN平行y轴，将x＝1.5代入抛物线解析式， ∴M（1.5，3.75）， ∴MN＝0.75 9．（2025•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标． （3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． ①求线段PM长度的最大值． ②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值． 【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）根据待定系数法，可得BD的解析式，根据平行线的判定和两平行直线的函数解析式的关系，根据待定系数法，可得CE的解析式，进一步可得答案； （3）①根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得：当x＝时，PM的最大值； ②当PM的最大值时，P（，﹣），确定F的位置：在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，当N、F、H三点共线时，如图2，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，根据45度的直角三角形的性质可得结论． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4 ∴顶点D（1，﹣4）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x＝3或﹣1， ∴B（3，0）； 如图1，连接BD， 设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D点坐标代入函数解析式，得﹣2k＝﹣4， 解得k＝2， 故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6， ∵∠ECB＝∠CBD， ∴CE∥BD， 设CE所在直线的解析式为：y＝2x+b，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3， 故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3， 当y＝0时，x＝． 当点E在点B的右侧时，直线CE经过BD的中点（2，2）， 此时CE的解析式为y＝x﹣3， ∴点E的坐标是（6，0）． ∴综上所述，点E的坐标是（，0）或（6，0）； （3）①如图2， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， 设BC的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， BC的解析式为：y＝x﹣3， 设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3）， ∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+， 当x＝时，PM有最大值为； ②当PM有最大值，P（，﹣）， 在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N， ∴FN＝CF， 当N、F、H三点共线时，PH+NH最小，即PH+HF+CF的值最小， Rt△OCK中，OC＝3， ∴OK＝3， ∵OH＝， ∴KH＝+3＝， Rt△KNH中，∠KHN＝45°， ∴KN＝KH＝， ∴NH＝KN＝， ∴PH+HF+CF的最小值是PH+NH＝． 10．（2025•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时： ①求PD+PC的最小值； ②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值． 【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，即可求解； （2）①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，即可求解； ②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，则DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， 即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3）， 则tan∠MAC＝＝2， 则设直线AM的表达式为：y＝2x+b， 将点A的坐标代入上式并解得：b＝6， 故直线AM的表达式为：y＝2x+6， ∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH， ∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝， 设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6）， 则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3）， ∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）； ①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点， PD+PC＝PD+PB＝DB为最小， 则BD＝＝； ②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点， DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值， 则直线OK的表达式为：y＝x， ∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b， 将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣， 而直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣， 故点Q（0，2﹣）， 由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝， 则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣）， 则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝． 11．（2025•中山市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标． 【分析】（1）由x＝1得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求； （2）求出直线BE的解析式，用m表示点P、H的坐标，进而表示线段PH，根据S△BDP＝×PH×3，用含m的代数式表示△BDP的面积，利用二次函数的性质，求出S关于m的二次函数的顶点横坐标，即可得出结论： （3）过点M作MS∥y轴，过点E作ES∥x轴，过A作AT⊥ES于点T，构造出直角三角形，利用三角函数找到与ME相等的线段，根据“垂线段最短”得AM+ME的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0）， ∴B（3，0）， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵B（3，0），， ∴OD＝4，即D（0，4）． ∴直线BE的解析式为：y＝﹣x+4． 如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于点H， 设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，﹣m+4）， ∴PH＝﹣m+4﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+7， ∴S△BDP＝×PH×3 ＝﹣m2+m+ ＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当m＝时，即P（，﹣）时△BDP的面积最大． （3）如图，过点M作MS∥y轴，过点E作ES∥x轴，过A作AT⊥ES于点T， ∵ES∥x轴， ∴∠SEM＝∠EBA， ∵tan∠EBA＝， ∴tan∠MES＝， ∴sin∠MES＝＝， ∴SM＝EM， ∴AM+EM＝AM+SM≥SA≥AT， ∴AM+EM的最小值为AT． 令x2﹣2x﹣3＝﹣x+4， 解得x＝3（舍）或x＝﹣， ∴E（﹣，）， ∴AM+EM的最小值，此时M（﹣1，）． 12．（2025•南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1． （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由C（0，﹣2），tan∠CAO＝1，可得A（﹣2，0），用待定系数法即得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，由AM∥BC，得∠QAB＝∠ABC，即知Q是满足题意的点，根据B（3，0），C（0，﹣2），得直线BC解析式是y＝x﹣2，设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入可得直线AM解析式为y＝x+，M（0，），解即得Q（5，），根据M、M'关于x轴对称，知Q'是满足题意的点，用待定系数法可得直线AQ'为y＝﹣x﹣，解即得Q（1，﹣2）； （3）过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，由y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，可得D（，0），因OA＝OC＝2，故△AOC是等腰直角三角形，可得△PCH是等腰直角三角形，PH＝PC，即知PC+PD最小即是PH+PD最小，故当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'，由AD＝，即得DH'＝，即PC+PD的最小值是． 【解答】解：（1）∵C（0，﹣2）， ∴OC＝2， ∵tan∠CAO＝1， ∴＝1， ∴OA＝2，A（﹣2，0）， 将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得： ，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下： 过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图： ∵AM∥BC， ∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点， ∵B（3，0），C（0，﹣2）， ∴直线BC解析式是y＝x﹣2， 设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0， ∴m＝， ∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，）， 解得（与A重合，舍去）或， ∴Q（5，）， ∵M、M'关于x轴对称， ∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣）， ∴Q'是满足题意的点， 设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0， ∴k＝﹣， ∴直线AQ'为y＝﹣x﹣， 解得（舍去）或， ∴Q（1，﹣2）； 综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）； （3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD值最小，理由如下： 过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图： ∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣， ∴抛物线对称轴是直线x＝， ∴D（，0）， ∵OA＝OC＝2， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠OCA＝45°＝∠OAC， ∴△PCH是等腰直角三角形， ∴PH＝PC， ∴PC+PD最小即是PH+PD最小， ∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'， ∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC， ∴△ADH'是等腰直角三角形， ∴DH'＝AD， ∵A（﹣2，0），D（，0）， ∴AD＝， ∴DH'＝，即PC+PD的最小值是． 13．（2025•津南区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），其对称轴交x轴于点C． （Ⅰ）求该抛物线的顶点D的坐标； （Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）． ①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值； ②连接PB，求PD+PB的最小值． 【分析】（Ⅰ）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，即可得抛物线的顶点D的坐标是（1，﹣4）； （Ⅱ）①过Q作QE∥y轴交BP于E，由B（3，0），D（1，﹣4）可得直线BD解析式为y＝2x﹣6，设Q（m，m2﹣2m﹣3），其中1＜m＜3，则E（m，2m﹣6），EQ＝﹣m2+4m﹣3，可得S△QBD＝EQ•|xB﹣xD|＝﹣（m﹣2）2+1，根据二次函数性质即得△QBD面积的最大值是1； ②连接AD，过A作AH⊥BD于H，过P作PF⊥BD于F，连接AP，由P在抛物线对称轴上，得PA＝PB，在Rt△DBC中可得sin∠BDC＝＝＝，在Rt△DPF中，PF＝PD•sin∠PDF＝PD，即知PD+PB＝（PD+PB）＝（PF+PA）≥AH，由2S△ABD＝AB•CD＝BD•AH得AH＝＝，即可得PD+PB的最小值是8． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，0）， ∴9﹣6+c＝0， 解得c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点D的坐标是（1，﹣4）； （Ⅱ）①过Q作QE∥y轴交BD于E，如图： 设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（3，0），D（1，﹣4）代入得： ，解得， ∴直线BD解析式为y＝2x﹣6， 根据题意知Q在线段BD下方，设Q（m，m2﹣2m﹣3），其中1＜m＜3，则E（m，2m﹣6）， ∴EQ＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3， ∴S△QBD＝EQ•|xB﹣xD|＝（﹣m2+4m﹣3）×（3﹣1）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1， ∵﹣1＜0，1＜m＜3， ∴m＝2时，S△QBD最大值为1， 答：△QBD面积的最大值是1； ②连接AD，过A作AH⊥BD于H，过P作PF⊥BD于F，连接AP，如图： ∵P在抛物线对称轴上， ∴PA＝PB， 在Rt△DBC中，BD＝＝＝2， ∴sin∠BDC＝＝＝， 在Rt△DPF中，PF＝PD•sin∠PDF＝PD， ∴PD+PB＝（PD+PB）＝（PF+PA）≥AH， 由2S△ABD＝AB•CD＝BD•AH得： AH＝＝＝， ∴PD+PB≥×＝8， 即PD+PB的最小值是8． 14．（2025•防城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标； （3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）线求出点D的坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式即可求解出a，进而得出解析式； （2）由S△BCD＝S△ABP，则CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|，可得（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，再结合题意求出yP＝，即可求出P点坐标为或； （3）过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值． 【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+， 解得y＝3， ∴D（﹣5，3）， 把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a， 解得a＝， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线BD与y轴交于点E， ∴E（0，）， 由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，）， 由S△BCD＝S△ABP， ∴CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|， ∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|， ∴|yP|＝， ∴yP＝±， ∵抛物线的顶点为（1，﹣）， ∴yP＝， ∴P点坐标为或； （3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下： 过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H， ∴sin30°＝＝， ∴HF＝DF， ∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH， 当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值， ∵A（﹣2，0）， ∴F（﹣2，2）， ∵D（﹣5，3）， ∴AH＝3， ∴2AF+DF的最小值为6． 15．（2025秋•沈北新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当＝时，求点P的坐标； （3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时， ①求满足条件的所有点H的坐标； ②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM＝1，直接写出AM+CM的最小值． 【分析】（1）先把点A（1，0），点B（﹣3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2x+c中列方程组，解方程组可得a和c的值，从而得抛物线的表达式； （2）先根据待定系数法求BC的解析式为：y＝x+3，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得，证明△OEH∽△OPG，得＝，可设E（3m，3m+3），则P（5m，﹣25m2﹣10m+3），代入比例式可得方程，解出即可得结论； （3）①由对称得：N（﹣2，3），有两种情况：如图2，i）当BN∥CH1时，∠H1CB＝∠NBC，根据平移的性质可得点H1的坐标；ii）当∠H2CB＝∠NBC，设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，确定BN和CH2的解析式，利用方程组的解可得M的坐标（﹣，），根据两点的距离公式利用BM＝CM，列方程可得结论； ②通过证明△MHN∽△AHM，可得MN＝AM，当点M，点N，点C共线时，MN+MC最小值为CN的长，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）把点A（1，0），点B（﹣3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2x+c中， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，过P作PG⊥y轴于G，过E作EH⊥y轴于H， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设BC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得， ∴BC的解析式为：y＝x+3， ∵△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，且＝， ∴， ∵EH∥PG， ∴△OEH∽△OPG， ∴＝， ∴设E（3m，3m+3），则P（5m，﹣25m2﹣10m+3）， ∴＝， ∴25m2+15m+2＝0， （5m+2）（5m+1）＝0， m1＝﹣，m2＝﹣， 当m＝﹣时，5m＝﹣2，则P（﹣2，3）， 当m＝﹣时，5m＝﹣1，则P（﹣1，4）， 综上，点P的坐标是（﹣2，3）或（﹣1，4）； （3）①由对称得：N（﹣2，3）， ∵∠HCB＝∠NBC， 如图2，连接CN，有两种情况： i）当BN∥CH1时，∠H1CB＝∠NBC， ∵CN∥AB， ∴四边形CNBH1是平行四边形， ∴H1（﹣1，0）； ii）当∠H2CB＝∠NBC， 设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M， ∴BM＝CM， ∵B（﹣3，0），N（﹣2，3）， ∴同理可得BN的解析式为：y＝3x+9， 设CH2的解析式为：y＝k1x+b1， 则，解得：， ∴设CH2的解析式为：y＝﹣+3， ∴M（﹣，）， ∵BM＝CM， ∴（﹣+3）2+（）2＝（﹣）2+（3﹣）2， 解得：n＝﹣9或﹣1（舍）， ∴H2（﹣9，0）， 综上，点H的坐标是（﹣1，0）或（﹣9，0）； ②∵点H在线段AB上， ∴点H（﹣1，0）， ∴HO＝1，AH＝2， 如图3，取HO的中点N（﹣，0）， ∴HO＝， ∴＝＝， 又∵∠MHN＝∠AHM， ∴△MHN∽△AHM， ∴， ∴MN＝AM， ∴AM+MC＝MN+MC， ∴当点M，点N，点C共线时，MN+MC最小值为CN的长， ∴CN＝＝＝， ∴AM+MC的最小值为． 16．（2025•香洲区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）． （1）求A，B两点的坐标； （2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标； （3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0，解得x＝﹣7或x＝1，即得A（﹣7，0），B（1，0）； （2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，在y＝﹣x2﹣6x+7中，得C（0，7），可得sin∠CAB＝＝＝，在Rt△AMN中，MN＝AM，故PM+AM最小，即是PM+MN最小，PM+AM的最小值即为PN的长，根据点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，即得PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7，由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7，可求出M（﹣6，）； （3）过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，△AOM与△ABC相似，分两种情况：①当△ABC∽AMO时，＝，可得AM＝，由△AMH∽△ACO，即得M（﹣，），②当△ABC∽△AOM'时，＝，得AM'＝，同理可得M'（﹣，）． 【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得： ﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1， ∴A（﹣7，0），B（1，0）； （2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图： 抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3， 在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7， ∴C（0，7）， ∴AC＝＝7， ∴sin∠CAB＝＝＝， 在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CAB＝AM， ∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长， ∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称， ∴PN与OC关于抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7）， ∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7， 由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7， 在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝， ∴M（﹣6，）； （3）过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图： ∵A（﹣7，0），B（1，0），C（0，7）， ∴AB＝8，AC＝7， ∵∠MAO＝∠BAC， ∴△AOM与△ABC相似，分两种情况： ①当△ABC∽AMO时，＝， ∴＝， ∴AM＝， ∵MH⊥x轴， ∴MH∥OC， ∴△AMH∽△ACO， ∴＝＝，即＝＝， ∴AH＝，MH＝， ∴OH＝OA﹣AH＝， ∴M（﹣，）， ②当△ABC∽△AOM'时， ∴＝，即＝， ∴AM'＝， 同理可得＝＝， ∴＝＝， ∴AG＝，M'G＝， ∴OG＝OA﹣AG＝， ∴M'（﹣，）， 综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为（﹣，）或（﹣，）． 17．（2025•涪城区校级模拟）已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标； （3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值． 【分析】（1）点A、B的横坐标分别为x1，x2，利用tan∠CAB•tan∠CBA＝1和一元二次方程根与系数之间的关系求解； （2）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，得到x轴是角平分线，作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），直线AC'的解析式，联立抛物线求交点坐标； （3）此题为胡不归模型，构建模型求解． 【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2， 令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0， ∴x1•x2＝﹣2c， ∵tan∠CAB•tan∠CBA＝1，即＝1， ∴OC2＝OA•OB＝（﹣x1）•x2＝2C， 即c2＝2c， 解得c1＝0（舍去），c2＝2， ∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2， 令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1， 故点A（﹣4，0），点B（1，0）； （2）△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线， 作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2）， 设直线AC'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入， 得， 解得， ∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2， 联立抛物线与直线得， 解得，， 故点P坐标（2，﹣3）； （3）过点A作直线AD，使sin∠OAD＝，过点M作ME⊥AD于点E，如图， 在Rt△MAE中，sin∠OAD＝， ∴ME＝AM， ∴MC+AM＝MC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE， ∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM， ∴∠EAM＝∠OCM， 在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2， ∴tan∠OCM＝＝＝，cos∠OAD＝＝， ∴OM＝1，CM＝， ∴AM＝4﹣1＝3， 在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3， ∴EM＝3•sin∠OAD＝， ∴MC+ME＝+＝． 故MC+AM的最小值． 18．（2025•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值． （3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围． 【分析】（1）令y＝0可得A坐标，由OC＝OA得OC，即可得C的坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣12a求出a，即可得抛物线解析式； （2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，Rt△BOC中，可得sin∠CBO＝＝，Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，可得FQ＝BF，要求EF+BF的最小即是求EF+BF的最小值，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，求出E点坐标即可得到答案； （3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，分别求出Q移动到Q1、Q2处时的t值，即可得到答案． 【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴OA＝2， ∵OC＝OA， ∴OC＝3，即C（0，3）， 将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3； （2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图： ∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2， ∴P横坐标为2，即ON＝2， ∴AN＝2﹣（﹣2）＝4， ∵AP＝2PE， ∴AN＝2NH， ∴NH＝2， ∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3， ∴E（4，3）， 由（1）可知：OC＝3，OB＝6， Rt△BOC中，BC＝＝3， ∴sin∠CBO＝＝＝， ∵EH⊥x轴， ∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝， ∴FQ＝BF， 而EF+BF＝（EF+BF）， ∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值， ∵EH＝|yE|＝3， ∴EF+BF的最小值为3， ∴EF+BF的最小值为； （3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图： ∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4）， 又C（0，3）， ∴CM的解析式为y＝x+3， 由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b， ∴b＝8， ∴MQ解析式为y＝﹣2x+8， 在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4， ∴Q（4，0）， 而C（0，3）， ∴CQ解析式为y＝﹣x+3， 将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t）， 代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3， 将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t， 由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）•（﹣t）＝0， 解得t＝， ∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜． 19．（2025•罗湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值； （Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值． 【分析】（1）由顶点C的坐标为（2，4）列方程即可得答案； （2）设P横坐标为m，用m的代数式表示△PAC面积即可得出答案； （3）将QC+QA化为（QC+QA），属“胡不归”问题，作sin∠ECD＝，把所求问题转化为求垂线段即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx顶点C的坐标为（2，4）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x， （2）过P作PQ交AC于Q，如答图1： ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x， ∴令y＝0得x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）， 设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（4，0）、C（2，4）代入得： ，解得， ∴直线AC解析式为y＝﹣2x+8， 设P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣2m+8）， ∴PQ＝（﹣m2+4m）﹣（﹣2m+8）＝﹣m2+6m﹣8， ∴S△PAC＝S△PAQ+S△PCQ＝PQ•（xA﹣xC）＝（﹣m2+6m﹣8）×（4﹣2）＝﹣m2+6m﹣8， 当m＝＝3时，S△PAC最大为1， ∴△PAC面积的最大值是1； （3）∵QC+QA＝（QC+QA）， ∴要使QC+QA最小，即是QC+QA最小， 设抛物线对称轴交x轴于D，以C为顶点，CD为一边，在对称轴左侧作∠ECD，使sin∠ECD＝，过A作AB⊥CB于B，交CD于Q′，过Q作QF⊥CE于F，如答图2： ∵sin∠ECD＝，QF⊥CE， ∴QF＝QC， ∴QC+QA最小即是QF+QA最小， 此时F与B重合，Q与Q′重合，QC+QA的最小值即是AB的长度， ∵∠BQ′C＝∠AQ′D，∠Q/BC＝∠Q′DA＝90°， ∴∠ECD＝∠Q′AD， ∵sin∠ECD＝， ∴sin∠Q′AD＝，可得tan∠Q′AD＝，cos∠Q′AD＝， 而A（4，0）、C（2，4）知DA＝2， ∴Q′A＝，Q′D＝1， ∴Q′C＝3， ∵sin∠ECD＝， ∴Q′B＝， ∴AB＝Q′A+Q′B＝， ∴QC+QA最小为， ∴QC+QA最小为（QC+QA）＝8． 20．（2025•东胜区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，），C（1，0），其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标； （3）若M为y轴上的一个动点，连接ME，求MB+ME的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）分CP＝BC、BP＝BC、CP＝BP三种情况，利用菱形的性质和中垂线的性质，分别求解即可； （3）如图，连接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此时BM+ME最小，进而求解． 【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+； （2）由函数的表达式知，函数的对称轴为x＝﹣，故设点P的坐标为（，m）． ∵C（1，0），B（0，）， ∴BC2＝1+3＝4，直线BC的表达式为y＝﹣x+， ①以C为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时CP＝BC， 则（+1）2+m2＝4，解得m＝±， 即此时点P的坐标为P1（﹣，）或P2（﹣，﹣）（舍去）； ②以B为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BP＝BC， 则（）2+（m﹣）2＝4，解得m1＝+或m2＝﹣， 即此时点P的坐标为P3（﹣，+）或P4（﹣，﹣）（舍去）； ③线段BC的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时CP＝BP， 则（+1）2+m2＝（）2+（﹣m）2，解得m＝， 即此时点P的坐标为P5（﹣，）； 故点P的坐标为（﹣，）或（﹣，+）或（﹣，）； 当点P的坐标为P（﹣，）时， ∵BC∥PQ， 故直线PQ的表达式为y＝﹣x+t， 将点P的坐标代入上式得：＝﹣×（﹣）+t， 解得t＝， 故直线PQ的表达式为y＝﹣x+， 则设点Q的坐标为（x，y），其中y＝﹣x+， 由菱形的性质知，BP的中点即为CQ的中点， 由中点公式得：（x﹣）＝（0+1），解得x＝﹣， 当x＝﹣时，y＝﹣x+＝， 故点Q的坐标为（﹣，）， 同理可得，点P（﹣，+）或（﹣，）时，对应的点Q的坐标分别为（，）或（，）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣，）或（，）或（，）； （3）如图，连接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此时BM+ME最小． 理由：∵OC＝1，OB＝， ∴tan∠CBO＝＝， ∴∠CBO＝30°， ∴MH＝BM， ∴BM+ME＝MH+EM＝EH， ∴此时BM+ME最短， 在Rt△CEH中，∵∠CHE＝90°，CE＝，∠HCE＝60°， ∴sin60°＝， ∴EH＝， ∴BM+ME的最小值为． $