2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题） 1．如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 2．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形． 3．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C，点M在抛物线上，横坐标为m，将抛物线M，C两点间（含M，C两点）的部分记为图象W． (1)求抛物线的解析式； (2)若图象W的最大值与最小值的差为4，求m的值； (3)若点M位于下方，过点A作交拋物线于点E，D为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，分别是轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点的坐标及的最小值； (3)在（）的条件下，当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点，点是新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 5．如图，抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)如图，连接，过点作的平行线交抛物线于点，为线段上一动点，连接交抛物线于点，连接交于点，连接，的面积是否有最大值，若有，求出最大值，若无，请说明理由． (3)如图，以为直角顶点，为直角边边向右作等腰直角，将沿射线线平移得到，连接、，的周长是否有最小值，若有，求的周长的最小值，若无，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）． (1)求抛物线的表达式 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴与点，交抛物线于点，求的最大值； (3)试探究当取最大值时，直线上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 8．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，P为上方抛物线上一动点，过P作交x轴于点E，连接是直线上的动点（点M在点N的上方），且，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）中面积取得最大值的条件下，将直线上方的抛物线沿翻折，点P的对应点为点Q，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后的抛物线恰好经过点D，点K为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，当的最大值时，在抛物线对称轴上有两动点Q，R（点Q在点R的上方），当时，求的最小值． (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种情况的过程． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交直线于点D，点P是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为Q，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点E．点F为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 14．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)当时，二次函数的最大值为4，最小值为 (3)面积的最大值为，此时点P坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的增减性求出当时，二次函数的最大值和最小值即可； （3）求出直线的解析式为，设点，则，求出，得出，求出二次函数的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取最大值， ∵， ∴当时，函数取最小值， ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，求二次函数的最值，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质． 2．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)以、为邻边的平行四边形不是菱形 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知， 从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值，最后再分别计算出的长，由此即可判断以为邻边的平行四边形是否为菱形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：． （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积， ， 面积的最大值为3，此时， ∴，， ∴， ∴以、为邻边的平行四边形不是菱形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关键． 3．(1)； (2)或； (3)18． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出点C坐标，分为时，时，时三种情况讨论即可． （3）根据，得到，求出直线BC的解析式，过点M作轴交于点P，设，则，可求得，利用二次函数性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解： 将点，代入，得， 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）根据， 可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为，点C的坐标为， ∴点C关于直线对称的点坐标为． ①当时，， ∵， ∴， ∴m的值不存在． ②当时，， ∵， ∴， 由，得，（舍）． ③当时，， ∵， ∴， 此时点M与点A重合， ∴， 综上所述，m的值为或． （3）连接AC， ∵， ∴， ∵，， 设直线的表达式，则， 解得 ∴直线的表达式为， 过点M作轴交于点P， 设，则， 则， ∴当时，的最大值为8． ∵四边形面积， ∴四边形面积的最大值为18． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键． 4．(1)； (2)，的最小值； (3)点的横坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得即可求解； （）先求出直线的表达式为，过点作轴交于点，则，则，所以当取得最大值时，取得最大值，设点，则点，则，即，当时，取得最大值，此时点，作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接交于点交轴于点，则的最小； （）由点的坐标得， 则，则直线的表达式为，然后联立上式和新抛物线的表达式得或，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的表达与轴交于点和点， ∴； （2）解：由抛物线的表达式知，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得： ∴直线的表达式为， 过点作轴交于点，则，则， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设点，则点， 则， ∴， 当时，取得最大值，此时点， 作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接交于点交轴于点，则的最小， 理由：根据点的对称性，， 则为最小； （3）解：由（）得，，， 将抛物线沿射线方向平移，向左平移个单位，则向上平移了个单位，则新抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得：（舍去）或， 则新抛物线的表达式为， 由点的坐标得，，， ∵， ∴，如图， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ，解得， ∴直线的表达式为， 如图，同理，直线的表达式为， 联立上式和新抛物线的表达式得， 解得：或（舍去）， ， 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为或． 5．(1)，对称轴为 (2)有， (3)有， 【分析】由且，得，抛物线的表达式为：，将代入可解得，从而可得抛物线的解析式及其对称轴； 过P作轴，交于点，先由已知求出坐标，再根据与同底等高求出，设，用含的代数式表示的面积，即可求出的面积有最大值是； 连接，过作交轴于，沿射线线平移得到，由四边形是平行四边形，可得CT=EF=OC=3，CE=TF，，且等腰直角，，，有CE=BE=TF，要使最小，只需最小，此时、、三点共线，而，，即可求出的周长的最小值为． 【详解】（1）∵OB=OC，C(0,3)， ∴点B(3,0)，即抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点， ∴抛物线的表达式为：； ∵C(0,3)， ∴，解得a=-1； ∴ 抛物线的表达式为：，且函数的对称轴为：x=1； （2）过P作轴，交AH于点Q，如图： ∵C(0,3)，B(3,0)， ∴直线BC解析式为y=−x+3， ∵， ∴设直线AH解析式为， 再将A(−1,0)代入得：0=1+m，解得m=−1， 直线AH解析式为； 由得，， ∴H(4,-5)， ∵， ∴与同底等高， ∴与面积相等， 则有：， 设，根据轴，则有：， 则有：， ∴， ∴代入相应的数值，化简得：， 则有：, 配方得：， 可知当时，有最大值，且最大值为， （3）连接CE，过F作交y轴于T，如图： ∵沿射线线OD平移得到， ∴，即轴， ∴四边形是平行四边形， ∴CT=EF=OC=3，CE=TF， ∴， ∵等腰直角，，， ∴OC=OB，∠DOC=∠DOB=45°， 又∵OE=OE， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使l最小，则有最小， 当T、F、B三点共线时，最小值即是的长度， 而，， ∴，即最小值是， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数解析式、对称轴、三角形面积的最大值、周长最小值等，解题的关键是熟练应用二次函数的相关性质，用含未知数的代数式表示相关线段的长度． 6．(1)； (2)①；②；③或． 【分析】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值； ②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； ③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ：， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴ ②由①得：，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； ③解：由①得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 7．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段的最大值，轴对称的性质． （1）先根据一次函数的解析式，求得的坐标，再根据待定系数法求二次函数解析式，即可求解； （2）先根据二次函数的解析式，求得点的坐标，待定系数法求得直线的解析式为，设，则，表示出，根据二次函数的性质，即可求解； （3）由（2）可得当时，取最大值，如图所示，作点关于直线对称的点，连接交于点，则点即为所求，再求得的解析式，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 抛物线的解析式是： （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设，则 ∴ ∴当时，的最大值为 （3）解：由（2）可得当时，取最大值， 如图所示，作点关于直线对称的点，连接交于点， ∴ ∴， 即有最小值为的长，点即为所求， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴． 8．(1) (2)，存在最大值 (3)的周长有最小值 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据点是抛物线上任意一点，设，，求得，作直线，过点作于点，进而得出，根据，当在上时，即当重合时，取得最小值，的周长有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； （3）解：的周长有最小值， ∵点是抛物线上任意一点，设， ∵， ∴， ， 如图，作直线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值． 的周长有最小值，． 9．(1) (2)； (3)点K的坐标为或 【分析】（1）设顶点式，将点C坐标代入即可求解； （2）先求得直线解析式，易证，过P作轴，交于点Q，设，则，表示出，得到关于t的二次函数表达式，进而得到最大值时点P的坐标；将点D沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，作点P关于直线对称点，易得，结合勾股定理即可求得答案； （3）先根据题意求得，，直线的解析式，然后分成当点K在右侧和当点K在左侧两种情况，先求得直线的解析式，再和抛物线解析式联立，求得交点． 【详解】（1）解：令，得， ∴， ∵抛物线的顶点为点， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， ∴； （2）解：对于，令，得或3， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 代入点和点得， ，解得， ∴直线解析式为， 如图，连接，过P作轴，交于点Q， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， 当时，此时面积最大，最大为， 此时， ∴此时点； ∵，， ∴， ∴， ∴将点沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，如图所示， 则，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点P关于直线对称点，过点作轴，交于点T，连接，， 则，，， ∴，即， ∴轴， ∴点T的横坐标为， ∴点T的纵坐标为， ∴点的纵坐标为，， ∴点的横坐标为， ∴， 由对称可知，， ∴， 当且仅当、N、三点共线时取得等号，此时取得最小值， ∵， ∴的最小值为； （3）解：由（2）可知点， ∵，， ∴抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位得到抛物线， ∴， ∵， ∴， 如下图，连接，并延长交x轴于点R， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 、得， ，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ①当点K在右侧时，如图，设直线与x轴交于点H， ∵， ∴， ∴， 如图，过M作于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， 代入点和点得， ，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（负值舍去）， ∴； ②当点K在左侧时，如图， 由（2）可知，，由①可知，， ∴点H与点A关于y轴对称， ∴， ∴此时点K在直线上， 同理可得， 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、二次函数点的坐标、二次函数与直线交点问题、最短路径问题、求一次函数解析式，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 10．(1) (2) (3)点N的坐标为或，过程见解析 【分析】（1）把代入，得，根据对称轴公式得出，然后联立方程组求解即可;; （2）延长PE交x轴于G，过P作轴于H，求出，运用待定系数法求出直线解析式为，设，，得，，可得，由二次函数的性质得取得最大值，最大值为；此时；当、R、三点共线时，最小，为的长度，由勾股定理求出的长度即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为，，分两种情况：当N在y轴的左侧时，过N作轴于K，证明，可得，证明；当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作过M的垂线于T，同理可得，再进一步 结合三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C， 抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ； （2）解：如图，延长交x轴于G，过P作轴，交于H， ∵当时，解得，， ， 当时，， ， ∴， ∴， 轴， ∴， ∴， ∴， ，， 设的解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，取得最大值，最大值为；此时； 将沿对称轴向下平移2个单位，得， 作关于对称轴的对称点，得， 此时， 当、R、三点共线时，最小，为的长度， ， 的最小值为． （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当N在y轴的左侧时，过N作轴于K， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：或（舍去） ； 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作过M的垂线于T， 同理可得：， 设则， 同理可得：， 或（舍去）， ， 综上，点N的坐标为或． 11．(1)抛物线的表达式为 (2)线段长度取得最大值时，求的最小值为 (3)点F的坐标为或 【分析】（1）首先由题意将点代入，再利用对称轴为直线得到系数间的关系即可求解； （2）首先将线段表述出并求出其最大值时的值，此时发现的值为定值，即将的最小值转化为取最小值，进而将与放入一条直线中，所以构造点C向右平移个单位得到点，连接，即可求解的最小值； （3）首先写出平移后新的抛物线的表达式，再分点F在上方与下方两种情况进行讨论，在上方时，利用直线求出直线的表达式，再与抛物线的表达式联立即可求解点；在下方时，利用直线与直线关于直线对称，找到此时点关于直线的对称点M，再求解直线的表达式，最后与抛物线的表达式联立即可求解点． 【详解】（1）解：（1）由题意得：， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点、、， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值，此时点， ∴， ∵为定值， ∴取最小值时，即为取最小值即可， ∴如图，将点C向右平移个单位得到点，连接交于点P，作垂直直线交于点Q，连接，则此时的值最小， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，则设抛物线向右向上平移了个单位，则新抛物线的表达式为：， ∴将点D的坐标代入得：，解得：（负值已舍去）， ∴新抛物线的表达式为：， 当点在上方时， ∵， ∴直线， ∵、， ∴直线的斜率k为， ∴直线的表达式为， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； 当点在下方时， ∵， ∴直线与直线关于直线对称， ∴设点关于直线：对称点为点， 则直线的表达式为：， ∴联立，解得，， ∴点与点的中点坐标为， ∴点， 设直线的表达式为：， ∴将点代入直线的表达式中，解得， ∴直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的表达式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 12．(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的函数解析式，设点，，表示出后，求出最大值时，，从而得到点的坐标．根据象限的角平分线的性质求出点的坐标，再将点向右平移构造平行四边形，则．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可； （3）根据题意，平移路径为，即向右个单位，向上个单位，从而求出抛物线的解析式．分两类讨论，当点在轴下方时，作直线交轴于点，容易证明，从而得到点．用待定系数法求出的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标；当点在轴上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入中，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在的平分线上， ∴， 设点，代入，解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，将点向右平移1个单位，得到，连接． 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． （3）解：由（2）可得，点的坐标为， 根据题意可知，平移路径为从点到点，即向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线， ①当点在轴下方时，如图，作直线交轴于点， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，作直线交轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，角平分线的性质定理，线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，函数的平移问题，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 13．(1) (2)， (3)①②或 【分析】（1）写出交点式，求出函数解析式即可； （2）根据题意，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）①分和两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 由题意，，，则：， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为； （3）解：①∵， ∴时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在对称轴右侧且 ∴当时， ， 则； 当时，， 则； 综上：； ②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧）， ∴， 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 综上：或． 14．(1) (2) (3)或 (4)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解方程即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，用的代数式表示出点和点的坐标，进而表示出．利用割补法将的面积分为竖直的两个小三角形，得到关于的关系式，结合二次函数的性质求出最大值即可； （3）分为区间在对称轴左侧、右侧和经过对称轴三类情况，由二次函数的增减性判断最大值和最小值，构造方程并求解．对于区间经过对称轴的情况，还需细分为处取最大值和处取最大值，解方程可知这两种情况下无解； （4）由点的横纵坐标关系，消去参数后，发现点在直线上，此时符合“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，即，使用勾股定理计算出，点的坐标可通过联立直线和直线求得． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查三角形面积最值问题，二次函数区间上的最值问题，线段和最值问题，解第二问的关键是将面积最值转化为线段最值，第三问需要根据对称轴和区间相对位置分类讨论，第四问则使用“将军饮马”模型来解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $