第十章 二元一次方程组 单元同步质量检测卷 2025-2026学年 人教版七年级下册数学

**基本信息** 本卷为初中数学二元一次方程组单元同步检测卷，通过10道单选、6道填空、9道综合题，融合古算文化与实际应用，覆盖方程组概念、解法及应用，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|列方程组、解方程组、含参数分析|第1、8题引用《孙子算经》古算题，体现文化传承；第4题结合参数讨论解的性质，培养推理意识| |填空题|6|代数式表示、解的性质、古算一般化|第13题将《九章算术》盈不足术抽象为字母表达式，发展抽象能力；第16题以天平平衡考实际应用，强化模型意识| |综合题|9|应用题、含参数与整数解|第23题结合建党100周年纪念币购买，融入社会热点；第25题论证正整数解条件，提升逻辑推理与创新意识|

第十章 二元一次方程组 单元同步质量检测卷 一、单选题 1．“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？(选自《孙子算经》)”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况．如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．如图，长方形中放有6个形状、大小相同的小长方形（空白区域），则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 3．在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余米，问木头长多少米？若设木头长为x米，绳子长为y米，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①﹣3＜a≤1； ②当时，x=y； ③当a=﹣2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解； ④若x≤1，则y≥2． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 5．下列二元一次方程组中，以 为解的是（　　） A． B． C． D． 6．已知是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，则 a的值为 （　　） A．3 B．2 C．2 D．3 7．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱去购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 10．方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知方程3x－4y＝7，用含x的代数式表示y为 　 　. 12．已知关于x，y 的 二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是　 　． 13．数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题： 题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 答：七人，物价五十三． 术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱． 则人数和物品价格分别为多少？ 答案：共有七个人，物品价格是53钱． 解法： 将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足．根据以上算法，人数为 　 　，物价为　 　．（用含的式子表示） 14．若，，则　 　． 15．某班为了奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲，乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则根据题意可列方程组为　 　 ． 16．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量为　 　g． 三、综合题 17．在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，两种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入700元，出售2件产品和3件产品共收入1200元．求产品和产品的单价． 18．某建设工程队计划每小时挖掘土石方 方，现决定租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，已知一台甲型挖掘机与一台乙型挖掘机每小时共挖土 方， 台甲型挖掘机与 台乙型挖掘机恰好能完成每小时的挖掘量. （1）求甲、乙两种型号的挖掘机每小时各挖土多少方？ （2）若租用一台甲型挖掘机每小时 元，租用一台乙型挖掘机每小时 元，且每小时支付的总租金不超过 元，又恰好完成每小时的挖掘量，请设计该工程队的租用方案. 19．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为 ；乙看错了方程组中的b而得到解为 ． （1）求正确的a、b值； （2）求原方程组的解． 20．已知二元一次方程3x＋2y＝18． （1）用关于x的代数式表示y． （2）写出此方程的非负整数解． 21．在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元. （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ （2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 22．已知二元一次方程 （1）把方程写成用含的代数式表示的形式，即　 　； （2）填表，使、的值是方程的解； 0 1 2 3 4 　 　 　 　 　 （3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解． 23．为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元． （1）求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 24．光明中学准备购买一批笔袋奖励优秀同学．现文具店有A、B两种笔袋供选择，已知2个A笔袋和3个B笔袋的价格相同；而购买1个A笔袋和2个B笔袋共需35元． （1）求A．B两种笔袋的单价； （2）根据需要，学校共需购买40个笔袋，该文具店为了支持学校工作，给出了如下两种大幅优惠方案：方案一：A种笔袋六折、B种笔袋四折；方案二：A、B两种笔袋都五折．设购买A种笔袋个数为a（a≥0）个，购买这40个笔袋所需费用为w元． ①分别表示出两种优惠方案的情况下w与a之间的函数关系式； ②求出购买A种笔袋多少个时，两种方案所需费用一样多． 25．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1. （1）当 时，求c的值. （2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解. （3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解. 答案 一、单选题 1．“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？(选自《孙子算经》)”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况．如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，长方形中放有6个形状、大小相同的小长方形（空白区域），则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3．在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余米，问木头长多少米？若设木头长为x米，绳子长为y米，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得， 故选：A. 【分析】设木头长为x米，绳子长为y米，根据“用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余1.2米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.3米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，即可求解． 4．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①﹣3＜a≤1； ②当时，x=y； ③当a=﹣2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解； ④若x≤1，则y≥2． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解析】【解答】解： ①+②得，x=3+a， ①﹣②得，y=﹣2a﹣2， ①由题意得，3+a＞0，a＞﹣3， ﹣2a﹣2≥0，a≤﹣1， ∴﹣3＜a≤﹣1，①不正确； ②3+a=﹣2a﹣2，a=，②正确； ③a=﹣2时，x+y=1﹣a=3，5+a=3，③正确； ④当x≤1时，可得-3＜a≤-2，因此2≤y＜4，满足结论④“y≥2”，结论④正确，正确的结论为②③④． 故选：D． 【分析】用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可． 5．下列二元一次方程组中，以 为解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：将代入各个方程组，B，C，D均不符合， 只有A选项的方程组刚好满足方程组的解是. 故答案为：A. 【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一个方程．将代入，满足此解的方程组即为答案. 6．已知是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，则 a的值为 （　　） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解， ∴ ∴ 故答案为：B. 【分析】根据题意将代入方程得到即可求出a的值. 7．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解： ， ②-①得3x=9， 解得x=3， 将x=3代入①得y=-2， ∴原方程组的解为. 故答案为：A. 【分析】利用加减消元法，用②-①消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可得出方程组的解. 8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故答案为：B． 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 9．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱去购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【解析】【解答】解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得 7x+5y≤50， ∵x≥3，y≥3， ∴当x=3，y=3时， 7×3+5×3=36＜50， 当x=3，y=4时， 7×3+5×4=41＜50， 当x=3，y=5时， 7×3+5×5=46＜50， 当x=3，y=6时， 7×3+5×6=51＞50舍去， 当x=4，y=3时， 7×4+5×3=43＜50， 当x=4，y=4时， 7×4+5×4=48＜50， 当x=4，y=5时， 7×4+5×5=53＞50舍去， 当x=5，y=3时， 7×5+5×3=50=50， 综上所述，共有6种购买方案． 故选：D． 【分析】设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，就可以得出7x+5y≤50，x≥3，y≥3，根据解不定方程的方法求出其解即可． 10．方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：∵，，而是整数，是整数，且， ∴或或， （1）当时，有①，②， 其中方程组①有整数解，②没有整数解； (2)当时，有①，②，③，④， 其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解； (3)当时，有①，②， 其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解； 综上所述，原方程组的整数有3个， 故选：C． 【分析】根据题意得出或或，据此，分为三种情况，分别判断出三种情况下，二元一次方程组的整数解的情况，即可得出答案. 二、填空题 11．已知方程3x－4y＝7，用含x的代数式表示y为 　 　. 【答案】（也对） 【解析】【解答】解：移项，得： 系数化为1，得： 故答案为：. 【分析】移项，将常数项及含x的项移到方程的一边，再将y的系数化为1即可. 12．已知关于x，y 的 二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是　 　． 【答案】-1 【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解互为相反数， ∴x=-y， ∴-y+2y=-1， ∴y=-1， ∴x=1， ∴2×1+3×（-1）=k， ∴解得：k=-1. 故答案为：-1. 【分析】根据二元一次方程组的解互为相反数，得x=-y，代入方程中可得-y+2y=-1，解之求出y和x的值，再代入方程2x+3y=k中，解k即可. 13．数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题： 题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 答：七人，物价五十三． 术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱． 则人数和物品价格分别为多少？ 答案：共有七个人，物品价格是53钱． 解法： 将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足．根据以上算法，人数为 　 　，物价为　 　．（用含的式子表示） 【答案】； 14．若，，则　 　． 【答案】8 15．某班为了奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲，乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则根据题意可列方程组为　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则根据题意可列方程组， 故答案为：． 【分析】根据关键语句“甲，乙两种奖品共30件，”可得方程x+y=30，“花了400元钱购买甲，乙两种奖品，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，”可得方程16x+12y=400，把两个方程联立即可． 16．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量为　 　g． 【答案】20 【解析】【解答】解：设每块巧克力的质量是 g，每个果冻的质量是 g，则 ，解得 ． 故答案为：20. 【分析】设每块巧克力的质量是 x g，每个果冻的质量是 y g，根据图可知3个巧克力和两个果冻的重量相等，1个巧克力和1个果冻的重量和等于50g，可列出方程组并求解. 三、综合题 17．在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，两种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入700元，出售2件产品和3件产品共收入1200元．求产品和产品的单价． 【答案】产品的单价为300元，产品的单价为200元 18．某建设工程队计划每小时挖掘土石方 方，现决定租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，已知一台甲型挖掘机与一台乙型挖掘机每小时共挖土 方， 台甲型挖掘机与 台乙型挖掘机恰好能完成每小时的挖掘量. （1）求甲、乙两种型号的挖掘机每小时各挖土多少方？ （2）若租用一台甲型挖掘机每小时 元，租用一台乙型挖掘机每小时 元，且每小时支付的总租金不超过 元，又恰好完成每小时的挖掘量，请设计该工程队的租用方案. 【答案】（1）解：设甲型号的挖掘机每小时挖土 方，乙型号的挖掘机每小时挖土 方， 根据题意得: ， 解得: ， 答:甲型号的挖掘机每小时挖土 方，乙型号的挖掘机每小时挖土 方 （2）解：设租用 台甲型挖掘机、 台乙型挖掘机， 根据题意得: ，化简得: ， ， 均为正整数， 或 ， 当 时，支付租金: （元）， ， 此租车方案不符合题意； 当 时，支付租金: （元）， ， 此租车方案符合题意. 答:该工程队的租用方案为租 台甲型挖掘机和 台乙型挖掘机. 【解析】【分析】( 1 )设甲型号的挖掘机每小时挖土x方，乙型号的挖掘机每小时挖土y方，根据一台甲型挖掘机与一台乙型挖掘机每小时共挖土140方，5台甲型挖掘机与3台乙型挖掘机每小时共挖土540方，列出出关于x、y的二元一次方程组求解即可； (2 )设租用m台甲型挖掘机、n台乙型挖掘机，根据每小时共挖土540方，即可得出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，讨论得出租车的可能方案，结合每小时支付的总租金不超过850元，即可确定租车方案. 19．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为 ；乙看错了方程组中的b而得到解为 ． （1）求正确的a、b值； （2）求原方程组的解． 【答案】（1）解：根据题意得： 解得： （2）解：原方程组是： 解得： ． 【解析】【分析】（1）把 代入方程组的第二个方程，把 代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解；（2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可． 20．已知二元一次方程3x＋2y＝18． （1）用关于x的代数式表示y． （2）写出此方程的非负整数解． 【答案】（1）解：∵3x＋2y＝18， ∴2y＝18−3x， ∴y＝ （2）解：当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0 ∴非负整数解为 ， ， 【解析】【分析】(1)利用等式的性质先移项，将含x的项移到右式，然后两边同除以2将y项系数化为1，即可得出结果； (2) 根据方程的解为非负整数，分别取x=0，2，4，6，求出y值，即可求解. 21．在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元. （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ （2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 【答案】（1）解：设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得： ， 解得： ， 答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个 （2）解：设该店的商品按原价的x折销售，可得：（100×16+100×4）× =1800， 解得：x=9， 答：该店的商品按原价的9折销售 【解析】【分析】（1） 设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个 ，根据 购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元 列出方程组，求解即可； （2） 设该店的商品按原价的x折销售 ，根据购买100根跳绳和100个毽子 的原价乘以折扣率=1800即可列出方程，求解即可。 22．已知二元一次方程 （1）把方程写成用含的代数式表示的形式，即　 　； （2）填表，使、的值是方程的解； 0 1 2 3 4 　 　 　 　 　 （3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解． 【答案】（1） （2）解：将x的值0，1，2，3，4分别代入y=中得到y的值分别为：6， ，，1， ； ∴填表如下： 0 1 2 3 4 6 1 故答案分别填：6， ，，1， ； （3）解：由上表可知：方程的非负整数解为：； 【解析】【解答】解：（1）5x+3y=18， 得3y=18-5x， 所以 y=， 故答案为：； 【分析】（1）将不含y的项移至右边，然后将y的系数化为1即可； （2）分别令x=0、1、2、3、4，求出y的值，然后填写表格； （3）根据表格即可得到方程的非负整数解. 23．为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元． （1）求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 【答案】（1）解：设每枚A、B两种型号的纪念币面值各x元，y元， 依题意，得： ， 解得： ， ∴每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元； （2）解：设A型纪念币采购a枚， 依题意，得：5a+20（50-a）≥850， 解得：a≤10， ∴A型纪念币最多能采购10枚； （3）解：∵至少要购买A型纪念币8枚， ∴8≤a≤10， ∴a可以取8，9，10， ∴方案一：购买A型纪念币8枚，购买B型纪念币42枚，需要8×5+42×20=880元， 方案二：购买A型纪念币9枚，购买B型纪念币41枚，需要9×5+41×20=865元， 方案三：购买A型纪念币10枚，购买B型纪念币40枚，需要10×5+40×20=850元， ∴方案三最划算． 【解析】【分析】（1）设每枚A、B两种型号的纪念币面值各x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设A型纪念币采购a枚，根据题意列出不等式5a+20（50-a）≥850，求解即可； （3）根据题意可得 8≤a≤10， 再将a=8，a=9，a=10分别代入计算比较即可。 24．光明中学准备购买一批笔袋奖励优秀同学．现文具店有A、B两种笔袋供选择，已知2个A笔袋和3个B笔袋的价格相同；而购买1个A笔袋和2个B笔袋共需35元． （1）求A．B两种笔袋的单价； （2）根据需要，学校共需购买40个笔袋，该文具店为了支持学校工作，给出了如下两种大幅优惠方案：方案一：A种笔袋六折、B种笔袋四折；方案二：A、B两种笔袋都五折．设购买A种笔袋个数为a（a≥0）个，购买这40个笔袋所需费用为w元． ①分别表示出两种优惠方案的情况下w与a之间的函数关系式； ②求出购买A种笔袋多少个时，两种方案所需费用一样多． 【答案】（1）解：根据题意，设A种笔袋的单价为x元，B种笔袋的单价为y元，则 ， 解得： ， ∴A种笔袋的单价为15元，B种笔袋的单价为10元 （2）解：①设购买A种笔袋个数为a（a≥0）个，则B种笔袋个数为（40-a）个，则 方案一： ， ∴ ； 方案二： ， ∴ ； ②当两种方案所需费用一样多时，有; ， 解得： ， ∴当购买A种笔袋16个时，两种方案所需费用一样多． 【解析】【分析】（1） 设A种笔袋的单价为x元，B种笔袋的单价为y元， 根据题意列出方程组求解即可； （2）①根据题意可直接写出两种优惠方案的情况下w与a之间的函数关系式；②根据①的结论列出方程解答即可。 25．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1. （1）当 时，求c的值. （2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解. （3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解. 【答案】（1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2， 由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ ， ∴c＝a+2＝ ； （2）当a＝ 时， x+ y= ， 化简得，x+3y＝5， ∴符合题意的整数解是： ， ， ； （3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2， 整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①， ∵x、y均为正整数， ∴x+y﹣1是正整数， ∵a是正整数， ∴2﹣y是正整数， ∴y＝1， 把y＝1代入①得，ax＝1， ∴a＝1， 此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 . 【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ； （2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得； （3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 . www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $