第九章 因式分解【期末复习讲义】（基础版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 因式分解【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+13个题型讲练+真题实战练 共49题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平方差公式 平方差公式： 知识点二 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化 xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化 xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点三 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差) 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点四 拓展、补充公式 ；； ；. 知识点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点六 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点七 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点八 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点九 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【思路引导】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【规范解答】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【规范解答】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【规范解答】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【考点剖析】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【思路引导】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【规范解答】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 题型讲练三 公因式 【例3】单项式与的公因式是________ 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【规范解答】解：与的公因式是：； 故答案为：． 【变式1】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【规范解答】， 则余下的部分是x． 故选：C． 【变式2】多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【规范解答】解：， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先凑成公因式，然后提取公因式即可解答； （2）先展开，然后再加括号，最后再提取公因式即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【思路引导】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【规范解答】解：∵，， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)目前我们已经学习了《整式的乘法》和《因式分解》，根据所学知识请你从下列试题中选择一个试题来解答． 计算： ；        计算：； 因式分解：； 因式分解：． 【答案】(1)； (2) ； ； ； （任选一个即可）． 【思路引导】本题考查了实数的运算，整式的运算，因式分解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值法则分别化简，然后合并即可； （）直接利用多项式除以单项式法则进行计算即可；先计算同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法，然后合并同类项即可；提取公因式即可；直接利用完全平方公式进行分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； ； ； ； ． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【例5】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【规范解答】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【思路引导】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【规范解答】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【规范解答】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 题型讲练六 平方差公式分解因式 【例6】（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【思路引导】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【规范解答】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题干计算得出，再结合题干所给式子计算即可得出结果； （3）设，则，表示出四边形面积，从而即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴； （3）解：设，则， ∴四边形面积， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，再代入，即可求解． 【规范解答】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， ∴长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到： ，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【思路引导】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【例8】（25-26八年级下·江苏常州·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【答案】(1)16 (2) 【思路引导】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可； （2）利用配方法分解因式即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴横线上添加一个常数为； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 【答案】(1)，， (2)12 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，解题的关键是对式子正确配方． （1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【规范解答】（1）解： ； ∵ ∴ ∴当时，多项式的最小值是； （2）解： ， ， ， ∴，，， ∴，，， 该三角形的周长为：． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型讲练十 因式分解在有理数简算中的应用 【例10】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【规范解答】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，用公式因式分解简化计算是解题的关键． 观察式子结构，发现其符合完全平方和公式的形式，用公式因式分解后简化计算． 【规范解答】解：原式 ． 题型讲练十一 十字相乘法 【例11】（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【思路引导】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【规范解答】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【思路引导】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）选择材料1的方法求解即可； （2）①结合材料2的方法求解即可； ②结合材料1和材料2的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 题型讲练十二 分组分解法 【例12】（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)为等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：① ． ② ． （2）解：为等腰三角形．理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【思路引导】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ． （2） ，， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 题型讲练十三 因式分解的应用 【例13】（25-26八年级下·广东深圳·期中）课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)是等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）对方程左侧因式分解，再根据零乘积性质求解； （2）先将代入已知等式化简，再将等式左侧因式分解，然后根据零乘积性质求解； （3）先将已知等式左侧因式分解得到，根据是的三边长，得，则，即可求解． 【规范解答】（1）解：对方程左侧因式分解得 ， ∴或， 解得或； （2）解：代入得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得 或； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ， ∴ 对等式左侧因式分解得， 提取公因式得 ， ∵ 是的三边长， ∴ ，即， ∴可得，即， ∴ 是等腰三角形． 【变式1】如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【答案】图见解析， 【思路引导】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【规范解答】解：由题意得， 画出图形如图： 多项式的因式分解为：． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 【思路引导】（1）先对方程左边因式分解，再将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先对不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解后得到原不等式的解集． 【规范解答】（1）解：因式分解得， ∵如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0， ∴或， 解得或． （2）解：， 因式分解得， 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得或， 解不等式组，得， 解不等式组，得， 因此不等式的解集为或． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不是乘积形式，该项不符合题意． B．将多项式化为三个整式的乘积，符合因式分解的定义，该项符合题意． C． 的结果是和的形式，不是整式乘积，该项不符合题意． D． 中，是分式，不是整式，不符合要求，该项不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】根据题意可得或或或，分别解不等式组即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴或或或， 解不等式组得， 解不等式组得， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组，可知不等式组无解； 综上所述，或． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【规范解答】解： ， ， ，解得， ． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 【答案】 【思路引导】先对已知条件变形整理得到关于的二次等式，再对所求多项式提取公因式因式分解，代入二次等式计算即可得到结果． 【规范解答】解：已知， 移项得 ， 两边平方得 ， 展开整理得 ， 对所求多项式因式分解： ． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是 ，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】根据，再把代入计算，即可得到答案． 【规范解答】解：依题意， ∵， ∴， ∴对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是（答案不唯一） 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【思路引导】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【规范解答】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 7．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级下·四川达州·期中）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【规范解答】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中通过矩形面积的分割与重组，从几何角度说明了平方差关系． (1)如图，在边长为的正方形的一角割去边长为的正方形，则图中阴影部分的面积可表示为___________，再将这阴影部分拼成如图的大长方形，图中大长方形的面积可以表示为___________，由阴影部分的面积相同，可以得到等式___________； (2)如图，在棱长为的正方体的一个角上挖去棱长为的正方体（），然后将其分成三个长方体，请按照以上思路利用体积关系分解因式． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（）根据题意解答即可求解； （）根据体积关系解答即可求解； 本题考查了因式分解的应用，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，阴影部分的面积可表示为，图中大长方形的面积可以表示为，由阴影部分的面积相同，可以得到等式， 故答案为：，，； （2）解：由体积关系得： ， ∴． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________； (2)【应用公式】因式分解：； (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________； ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)；， 【思路引导】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）根据立方差公式求解即可； （3）由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； 根据立方差公式和提公因式法进行因式分解，再由已知的面积得到，的值，然后根据完全平方公式进行变形得到，的值，然后代入代数式中计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：观察图形可知，，， ， ， ， ； 原式 ， ，，， ，即， ， ，，，， ， ， 四边形是正方形， ，即， ，， 原式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 因式分解【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+13个题型讲练+真题实战练 共49题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平方差公式 平方差公式： 知识点二 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化 xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化 xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点三 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差) 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点四 拓展、补充公式 ；； ；. 知识点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点六 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点七 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点八 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点九 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 题型讲练三 公因式 【例3】单项式与的公因式是________ 【变式1】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【变式2】多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)目前我们已经学习了《整式的乘法》和《因式分解》，根据所学知识请你从下列试题中选择一个试题来解答． 计算： ；        计算：； 因式分解：； 因式分解：． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【例5】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型讲练六 平方差公式分解因式 【例6】（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3) ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到： ，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【例8】（25-26八年级下·江苏常州·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1) ； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型讲练十 因式分解在有理数简算中的应用 【例10】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：． 题型讲练十一 十字相乘法 【例11】（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型讲练十二 分组分解法 【例12】（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 题型讲练十三 因式分解的应用 【例13】（25-26八年级下·广东深圳·期中）课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是 ，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 7．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解 (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·四川达州·期中）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中通过矩形面积的分割与重组，从几何角度说明了平方差关系． (1)如图，在边长为的正方形的一角割去边长为的正方形，则图中阴影部分的面积可表示为___________，再将这阴影部分拼成如图的大长方形，图中大长方形的面积可以表示为___________，由阴影部分的面积相同，可以得到等式___________； (2)如图，在棱长为的正方体的一个角上挖去棱长为的正方体（），然后将其分成三个长方体，请按照以上思路利用体积关系分解因式． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________； (2)【应用公式】因式分解：； (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________； ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $