第八章 四边形【期末复习讲义】（基础版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+22个题型讲练+真题实战练 共54题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型二 平行四边形性质和判定的应用 题型三 矩形与折叠问题 题型四 根据矩形的性质与判定求角度 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 题型六 根据矩形的性质与判定求面积 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 题型十 正方形折叠问题 题型十一 求正方形重叠部分面积 题型十二 根据正方形的性质与判定证明 题型十三 根据正方形的性质与判定求角度 题型十四 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十五 根据正方形的性质与判定求面积 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十八 四边形中的线段最值问题 题型十九 四边形其他综合问题 题型二十 三角形的中位线 题型二十一 等腰梯形的性质定理 题型二十二 等腰梯形的判定定理 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图．在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画出与关于点成中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形即为所求． 【变式】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)①；② 【思路引导】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）由等边对等角可得，由旋转的性质可知，，进而推出，则，即可证明； （3）①根据旋转和等边对等角的性质，得出，进而推出，则，再根据平行四边形对角相等求解即可； ②连接交于点，根据同底等高三角形面积相等，推出，由旋转的性质可知，得到，再利用面积的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：，点为中点， ， 由旋转的性质可知，， ； （2）证明：， ， 由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：①由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； ②如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 设，， ，， ． 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 【例2】（25-26八年级·上海·寒假作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【思路引导】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【规范解答】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式】（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【规范解答】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 题型讲练三 矩形与折叠问题 【例3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【答案】 【思路引导】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【规范解答】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式】（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 【答案】10 【思路引导】由长方形的性质得，，则，由折叠得，推导出，则，因为，，所以，由勾股定理得，求得，据此即可求得答案． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵将沿折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． ∵， ∴． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 【例4】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【思路引导】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【变式】（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 【答案】(1)1；1 (2)①证明见解析；② 【思路引导】（1）用平方和绝对值的非负性求出a、b； （2）①先求出，再由即可证得； ②过O分别作于M点，作于N点，由证得，则，推出平分，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， ，解得． 故答案为：1，1． （2）①证明：， ． ，，， ． ，，， ，． ． 在和中 ． ②解：过O分别作于M点，作于N点， ． ， 四边形是矩形． ． ， ． ， 在和中， ． ． ， ， 平分． ， ． ． ，， ． ． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 【例5】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由题意得，四边形是矩形，，则可求出的长，进而求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可； （2）当时， ，，利用勾股定理求出此时的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，四边形是矩形，， ∴， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：秋千的长度为； （2）解：当时， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：需要将秋千往前推送． 【变式】（25-26八年级下·河南周口·期中）周口一中春季运动会将设立一个新的接力项目一一定点往返跑．规则如下：如图所示，计时开始，持棒队员从出发标志线某处标志线某处，完成一次往返，交棒给下一名队员继续，每班5名队员，以用时少者获胜．聪明的你一定想到了让本班获胜的方法即找到标志线上到距离和最小的点，然后都按跑即可． (1)请你在图上作出点的位置，保留作图痕迹，不写作法． (2)根据图中数据计算一名队员完成一次往返跑的最短距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）延长至点，使得，连接，与交点即为点．由，则点为点关于直线的对称点，那么，则，由两点间线段最短即可说理； （2）过点作交延长线于点，则四边形是矩形，那么，然后在运用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：过点作交延长线于点， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴一名队员完成一次往返跑的最短距离为 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 【例6】（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴，     ∴， ∴． 【变式】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【思路引导】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【规范解答】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 菱形 的对角线， 相交于点O， 分别延长， 到点E， F， 使， 依次连接点B， F， D， E．    (1)求证： ； (2)①若，则当 °时，四边形 是正方形，请说明理由； ②若四边形是正方形，且正方形 的面积为32，，则的长为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①25；②1.5 【思路引导】（1）由菱形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，由SAS证明即可． （2）①由菱形的性质得出，，，，证出，得出四边形是菱形，证明是等腰直角三角形，得出，，证出四边形是矩形，即可得出结论．②由四边形是正方形的性质得出，再根据四边形是菱形，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴． （2）解：①若，则当时，四边形 是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ②∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【考点剖析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 题型讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在矩形纸片中，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）连接，，证明四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据折叠的性质，得到，设，则，在和中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：连接，， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴ ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形， 设，则， 在中，， ∴； 故； （2）解：连接， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵矩形， ∴， 设，则， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴，解得， ∴． 【变式】（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了菱形的判定与性质，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据“路程速度时间”可表示出和，从而可得； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求面积 【例9】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点E为上一点，连接，将沿方向平移至，连接． (1)请用无刻度直尺和圆规作出（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，则线段，即为所要求作；    （2）连接交于点O．由作图得四边形是菱形，求出，则，再根据菱形面积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段即为所要求作；    （2）解：连接交于点O． 由平移得到， ， 四边形是平行四边形，      ， 又， ， 是菱形．        ，    则， 四边形的面积． 【变式】（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的中垂线，分别与，相交于点D和点O，连接；以点C为圆心，长为半径作弧与相交于点E（E，D两点不重合），连接，（作图用虚线，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的情况下． ①求证四边形为菱形； ②若，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②186 【思路引导】（1）根据题干中的作图方法逐步作图即可； （2）①由作图得，垂直平分，，得到，，，证明出，得到，然后结合即可证明； ②设，则，勾股定理求出，，然后利用四边形的面积代数求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：①由作图得，垂直平分，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ②设， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积． 【考点剖析】此题考查了尺规作垂直平分线，菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型讲练十 正方形折叠问题 【例10】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路引导】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 【变式】（25-26八年级下·山东日照·期中）【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【答案】(1)，2 (2)不变，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）在（2）的基础上，求出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，． ∴，， ∴点A到的距离． （2）解：结论：不变，仍然等于2． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A到的距离为的长，等于2， ∴点A到的距离等于2； （3）解：∵点Q是边的三等分点， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 题型讲练十一 求正方形重叠部分面积 【例11】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【思路引导】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【规范解答】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 【变式】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【思路引导】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【规范解答】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定证明 【例12】（2025·四川资阳·二模）如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【思路引导】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【规范解答】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 【变式】（25-26八年级下·全国·期中）如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． （1）由正方形的性质得出，平分，由角平分线的性质定理得，根据正方形的判定定理即可证明； （2）作于点F．先证是等腰直角三角形，进而证明四边形为矩形，得出，．再证，由全等三角形的性质得出，再由正方形的性质得出，代入即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线， ∴，平分． 又∵， ∴，． ∴四边形是正方形． （2）解：如图，作于点F． ∵四边形是边长为1的正方形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ． ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 由（1）知四边形是正方形， ∴ ∴， 即 整理得， 其中自变量x的取值范围为． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定求角度 【例13】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E为直线上一个动点． （1）的大小为 _______°． （2）在直线上存在一个点E，使得点E满足，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出，并简要说明你是怎么找到点E的_____． 【答案】 90 把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点． 【思路引导】本题考查了勾股定理的定理，正方形的判定与性质，平移作图，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，利用网格求出，然后利用，判断的形状，并求得； （2）连接、，利用网格，先判断为等腰直角三角形，，那么，把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点，然后证明四边形为正方形，接着得到，即为所作． 【规范解答】解：（1）连接，如图，     ∵，，， ， ， 为直角三角形，； 故答案为：90； （2）连接、， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形，， ， 把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点， ， ∴点E在直线上， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形， ∴， ∴为所作． 故答案为：把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点． 【变式】（24-25八年级下·海南·期末）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【规范解答】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求线段长 【例14】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【思路引导】根据正方形的性质结合勾股定理求出木条的长度，再根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，四边形的四条边长相等， ∴四边形是菱形， 如图①，连接， ∵在图①中，， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， 如图②，连接， ∵在图②中，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式】25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米．    方案实施： (1)在图2中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，请在图2中画出平面直角坐标系，并求、两点的坐标及直线的函数表达式． (2)为了加固车棚，如图3，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 【答案】(1)图见解析；，； (2)①；②支撑杆的长度为米 【思路引导】（1）根据题意建立平面直角坐标系，由矩形的性质写出点的坐标，再使用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）①由可得，点与点关于轴对称，则点与点的横坐标互为相反数； ②由（1）中的直线表达式写出点的坐标，进而表示出和，由正方形的性质可得，列方程解出的值，然后求出的长． 【规范解答】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，    ∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，， ∵， ∴． ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可知，垂直平分， ∴垂直平分，即点与点关于轴对称， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为； ②∵点在上， ∴点的坐标为， ∴， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 解得， ∴米． 答：支撑杆的长度为米．    【考点剖析】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，解一元一次方程，点关于坐标轴对称问题，熟练掌握相关知识是关键． 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求面积 【例15】如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【规范解答】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，，，连接交于点M，连接交于点N，给出以下三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质，三角形的三边关系，旋转的性质，三角形的面积，正方形的面积，对3个结论逐一说明，再作出判断即可． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在中，， ∴，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 故②正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴绕点逆时针旋转得到， 绕点逆时针旋转得到， ∴与为对应边， ∴与成角， 即， 故③正确， 综上所述，①②③都正确， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形的三边关系，三角形的面积，正方形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能运用求解． 题型讲练十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例16】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【答案】(1)B (2)24 (3)详见解析 【思路引导】（1）根据“和谐四边形”的定义进行判断即可； （2）由于对角线互相垂直，所以四边形的面积可化为的和，再求解即可； （3）先证明，再证得，求得，由等腰三角形三线合一性质可得，从而证得结论． 【规范解答】（1）解：菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线互相平分，符合“和谐四边形”的定义， 故选：B； （2）解：设与相交于点， ， 的面积为：， 的面积为：， 四边形的面积：， ， ， ， 故答案为：24； （3）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （三线合一性质）， 四边形是“和谐四边形”． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握对“和谐四边形”的理解． 【变式】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【思路引导】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【规范解答】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【考点剖析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型讲练十七 （特殊）平行四边形的动点问题 【例17】．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【规范解答】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 【变式】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【规范解答】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 题型讲练十八 四边形中的线段最值问题 【例18】（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【思路引导】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【规范解答】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 【变式】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【思路引导】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【规范解答】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 题型讲练十九 四边形其他综合问题 【例19】．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 【变式】（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2)平分；见解析 (3) 【思路引导】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【考点剖析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型讲练二十 三角形的中位线 【例20】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【规范解答】（1）证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明 为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写“已知”和“求证”，请完成过程． 已知：在中，__________． 求证：是菱形． 证明： (2)知识应用 如图2，在中，对角线交于点，． ①求证：是菱形． ②延长至点，使得，求证：． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【思路引导】（1）根据题意即可填空，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）①由勾股定理逆定理证明即可；②取中点，连接，通过三角形的中位线定理证明即可． 【规范解答】（1）已知：在中，． 求证：是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②证明：取中点，连接 ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 题型讲练二十一 等腰梯形的性质定理 【例20】1如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，根据等腰梯形的性质可得，再利用三角形中位线定理求出四边形各边的长度，进而求得周长． 【规范解答】解：连接 ， 四边形是等腰梯形 分别是的中点 在中，是中位线，则 同理可得，， 篱笆的总长度为． 【变式】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【思路引导】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【规范解答】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 题型讲练二十二 等腰梯形的判定定理 【例22】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【规范解答】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【变式】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 【答案】A 【思路引导】根据菱形的面积公式求出的长，利用菱形对角线互相平分得出为中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【规范解答】解：四边形是菱形， ，， 菱形的面积，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据矩形的对角线相等且互相平分得，， 再根据得，则是等边三角形，由此得，即可得解． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【思路引导】根据勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，最后根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为1，以O为圆心，的长为半径作弧与数轴交于点P，则点P表示的实数是________． 【答案】 【思路引导】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作弧与x轴交于点P，则也为弧的半径，并且等于对角线的长度． 【规范解答】解：由勾股定理，得：， 由作图痕迹可知， 则点P表示的实数是． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【思路引导】连接交于点O，延长交于点N，连接，根据菱形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到为的中位线，进而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点N与点O重合，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点N与点O重合， 即的最小值为15， ∴的最小为． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线 ， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)在图2中，在边上确定一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用平移思想，确定格点即可； （2）找到的中点即可． 【规范解答】（1）解： （2）如图2，点即为所求； 8．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求，两点的坐标． 【答案】， 【思路引导】根据翻折的性质以及长方形的性质可求解的长度，结合勾股定理可求解的长度，由此可得的长度，即得点E的坐标，再利用勾股定理即可求解的长度，由此可得点D的坐标． 【规范解答】解：根据题意：经过翻折得到， ，， 四边形是长方形， ，， 在中，， ，则； ， 在中，， 即有：， 整理得，， 解得，则． 综上，，． 9．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求，的长； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)， (2)能，当时，四边形是菱形 (3)当或时，为直角三角形 【思路引导】（1）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，利用勾股定理可以求出、的长度； （2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知且，可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知当时，四边形是菱形，解方程求出值即可； （3）四边形是平行四边形，所以，当为直角三角形时，只有或，分情况求出值即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ，， ， ， ； （2）解：当秒时，四边形是菱形； 理由如下： ， ， 又， ， ， 当运动秒时，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 可得：， 解得：， 当时，四边形是菱形； （3）解：在中，，， ， 由（2）可知四边形是平行四边形， ； 当，如下图所示， 又， 四边形为矩形， ，， ， ， 则有，， ， ， 解得：； 当秒时，为直角三角形． 当时，如下图所示， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，当或时，为直角三角形． 10．（25-26八年级下·重庆合川·期中）在正方形中： (1)如图1，E为对角线上一点，连接，若，，求的面积； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，已知，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值（用含a的式子表示）． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) 【思路引导】（）根据正方形的性质，先算出，即可算出，再根据等面积法算出对角线上的高，最后用面积公式求解即可． （）先证出，再证出，得到是等腰直角三角形，可证，即可求证． （）根据三角形三边关系知，当、、三点共线时最小，运用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：过作于，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∴在中，, ∵， ∴ ， ∵, ∴, ∴; （2）解：延长 至 ，使得 ，连接 ，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵E、G分别为、的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴在中， ， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接BD， 由翻折性质可得， ∵点N为的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系知， ∴当、、三点共线时最小，此时都在线段上， 由正方形的性质可知，， ∴， ∵ ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+22个题型讲练+真题实战练 共54题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型二 平行四边形性质和判定的应用 题型三 矩形与折叠问题 题型四 根据矩形的性质与判定求角度 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 题型六 根据矩形的性质与判定求面积 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 题型十 正方形折叠问题 题型十一 求正方形重叠部分面积 题型十二 根据正方形的性质与判定证明 题型十三 根据正方形的性质与判定求角度 题型十四 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十五 根据正方形的性质与判定求面积 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十八 四边形中的线段最值问题 题型十九 四边形其他综合问题 题型二十 三角形的中位线 题型二十一 等腰梯形的性质定理 题型二十二 等腰梯形的判定定理 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图．在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画出与关于点成中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． 【变式】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 【例2】（25-26八年级·上海·寒假作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【变式】（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 题型讲练三 矩形与折叠问题 【例3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【变式】（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 【例4】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【变式】（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 【例5】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？ 【变式】（25-26八年级下·河南周口·期中）周口一中春季运动会将设立一个新的接力项目一一定点往返跑．规则如下：如图所示，计时开始，持棒队员从出发标志线某处标志线某处，完成一次往返，交棒给下一名队员继续，每班5名队员，以用时少者获胜．聪明的你一定想到了让本班获胜的方法即找到标志线上到距离和最小的点，然后都按跑即可． (1)请你在图上作出点的位置，保留作图痕迹，不写作法． (2)根据图中数据计算一名队员完成一次往返跑的最短距离． 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 【例6】（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【变式】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 菱形 的对角线， 相交于点O， 分别延长， 到点E， F， 使， 依次连接点B， F， D， E．    (1)求证： ； (2)①若，则当 °时，四边形 是正方形，请说明理由； ②若四边形是正方形，且正方形 的面积为32，，则的长为 ． 题型讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在矩形纸片中，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 【变式】（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求面积 【例9】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点E为上一点，连接，将沿方向平移至，连接． (1)请用无刻度直尺和圆规作出（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求四边形的面积． 【变式】（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的中垂线，分别与，相交于点D和点O，连接；以点C为圆心，长为半径作弧与相交于点E（E，D两点不重合），连接，（作图用虚线，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的情况下． ①求证四边形为菱形； ②若，直接写出四边形的面积． 题型讲练十 正方形折叠问题 【例10】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【变式】（25-26八年级下·山东日照·期中）【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 题型讲练十一 求正方形重叠部分面积 【例11】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【变式】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定证明 【例12】（2025·四川资阳·二模）如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【变式】（25-26八年级下·全国·期中）如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定求角度 【例13】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E为直线上一个动点． （1）的大小为 _______°． （2）在直线上存在一个点E，使得点E满足，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出，并简要说明你是怎么找到点E的_____． 【变式】（24-25八年级下·海南·期末）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求线段长 【例14】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【变式】25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米．    方案实施： (1)在图2中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，请在图2中画出平面直角坐标系，并求、两点的坐标及直线的函数表达式． (2)为了加固车棚，如图3，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求面积 【例15】如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【变式】（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，，，连接交于点M，连接交于点N，给出以下三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型讲练十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例16】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【变式】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型讲练十七 （特殊）平行四边形的动点问题 【例17】．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【变式】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型讲练十八 四边形中的线段最值问题 【例18】（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 【变式】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 题型讲练十九 四边形其他综合问题 【例19】．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【变式】（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 题型讲练二十 三角形的中位线 【例20】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【变式】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明 为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写“已知”和“求证”，请完成过程． 已知：在中，__________． 求证：是菱形． 证明： (2)知识应用 如图2，在中，对角线交于点，． ①求证：是菱形． ②延长至点，使得，求证：． 题型讲练二十一 等腰梯形的性质定理 【例20】1如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 题型讲练二十二 等腰梯形的判定定理 【例22】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【变式】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为1，以O为圆心，的长为半径作弧与数轴交于点P，则点P表示的实数是________． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)在图2中，在边上确定一点，使得． 8．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求，两点的坐标． 9．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求，的长； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． (3)若为直角三角形，求的值． 10．（25-26八年级下·重庆合川·期中）在正方形中： (1)如图1，E为对角线上一点，连接，若，，求的面积； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，已知，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值（用含a的式子表示）． 1 / 3 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