第9章 中心对称图形——平行四边形 讲义 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

专题3 中心对称图形单元梳理 【知识点一】图形的旋转 1.旋转的概念及性质： （1）旋转：将图形绕一个定点旋转一定的角度的图形运动． 旋转中心：定点称为旋转中心． 对应点：如果图形上的点A经过旋转到点A1，那么这两个点叫做对应点． 旋转角：旋转过程中，绕旋转中心转动的角度称为旋转角． （2）旋转三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 （3）旋转的性质 图形的旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； 一个图形和它经过旋转后所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 【知识点二】中心对称及作图 1.中心对称 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形形成中心对称，这个点叫做对称中心. 注意： 成中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系； 中心对称与旋转的关系：中心对称是一种特殊的旋转——旋转角为180°； 由于旋转角度数等于180°，因此，可以不考虑旋转方向，即顺时针或逆时针都可以. 2.中心对称的性质 一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 成中心对称的两个图形中对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3.旋转作图的步骤 （1）明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分析所作图形：找出构成图形的关键点； （3）作旋转关键点：沿一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点； （4）作出新图形：顺次链接作出的各点； （5）写出结论：说明作出的图形. 注：作中心对称图形时，旋转后关键点的找法：连接各点与对称中心并延长，通过截取线段的方法，依次得到各个关键点的对称点. 4.中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 注意：中心对称与中心对称图形 【典型例题】 例题1、如图，中，，将绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠DAE的度数为　 　． 例题2、下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是　　 A． B． C． D． 例题3、如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图 （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得△，画出△； （2）作出关于坐标原点成中心对称的△． 参考答案： 【解答】解：绕点按顺时针方向旋转，对应得到， ． 故答案为． 【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误． 故选：． 【解答】解：（1）△ 如图所示； （2）△ 如图所示． 【巩固练习】 1．用四张全等的直角三角形纸片拼成了如图所示的图形，该图形　　 A．既是轴对称图形也是中心对称图形 B．是轴对称图形但并不是中心对称图形 C．是中心对称图形但并不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2．如图所示的数字图形中不是中心对称图形的有　　 ( 第1题图 )A． B． C． D． 3．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 4．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为　　 A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为　　 A． B． C． D． 6．如图，将在平面内绕点逆时针旋转，得到△，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的图形名称　 　． 8．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到△，与相交于点，连接，则的度数是　 　 9．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则点与点之间的距离是　 　． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 10． 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，则　　． 11． 如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角　 　． 12．按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，点绕某点旋转后，的对应点为，求作点； （2）如图②，点绕某点顺时针旋转后，的对应点为，求作点． 13．如图，在平面直角坐标系中，、、 （1）以点为旋转中心，画绕点顺时针旋转的△，并写出坐标　　 ； （2）画关于点对称的△，并写出以，，，四点为顶点的四边形的面积　　． 参考答案： 1.【解答】解：由图形得的组成可得：该图形是中心对称图形不是轴对称图形． 故选：． 2.【解答】解：、是中心对称图形，不符合题意； 、是中心对称图形，不符合题意； 、是中心对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，符合题意； 故选：． 3.【解答】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：． 4.【解答】解：设，由旋转的性质，可得 ， ， 又， ， 又中，， ， ， 即， 故选：． 5.【解答】解：绕点逆时针旋转，得到 ， 由三角形内角和 故选：． 6.【解答】解：将在平面内绕点逆时针旋转，得到△， ，， ， ， ， ， 故选：． 7.【解答】解：既是轴对称又是中心对称的图形如矩形，菱形等． 8.【解答】解：根据旋转的性质可知，， ． 因为， ． 故答案为20． 9.【解答】解：连接，即线段的长是点与点之间的距离， 在中，由勾股定理得：， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 10.【解答】解：，， ， 将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处， ， 故答案为： 11.【解答】解：绕顶点顺时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为36． 12.【解答】解：（1）如图所①示，点即为所求； （2）如图②所示．点即为所求； 13.【解答】解：（1）如图，△为所作，点坐标为； （2）如图，△为所作，以，，，四点为顶点的四边形的面积． 故答案为；26 【知识点三】平行四边形 1.平行四边形的概念： （1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 （2）平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. （3）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。 （4）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。平行线间距离处处相等。 2.平行四边形的性质： 平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形： （1）性质1（边）：对边平行且相等； 数学语言：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC （2）性质2（角）：对角相等， 数学语言：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）性质3（对角线）：对角线相互平分， 数学语言：AO=OC，BO=OD 注： ❶平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）； ❷平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角） （4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 注： ❶平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. ❷由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. ❸利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 3.平行四边形的判定： 平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即 （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即 （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即或 （4）判定方法4（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即 注： ❶平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ❷判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。 4.平行四边形判定的选择 （1）已知一组对边平行，可选择①另一组对边平行（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ②这组对边相等（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （2）已知一组对边相等，可选择①另一组对边相等（两组对边相等的四边形是平行四边形） ②这组对边平行（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （3）已知对角线互相平分，可直接选择对角线互相平分的四边形是平行四边形. 5.性质与判定之间的联系 由某一四边形为平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到某一四边形为平行四边形，这是平行线的判定. 6.平行线之间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 7.反证法： (1)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法. 反证法主要适合的证明类型有: ①命题的结论是否定型的. ②命题的结论是无限型的. ③命题的结论是“至多”或“至少”型的. (2)反证法的一般步骤是: ①假设命题的结论不成立; ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾; ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 【典型例题】 例题1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC． 【答案与解析】 证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB． 又∵ AF是∠DAB的平分线， ∴ ∠DAF＝∠FAB， ∴ ∠DAF＝∠DFA， ∴ AD＝DF． 同理可得EC＝BC． ∵ 在ABCD中，AD＝BC， ∴ DF＝EC． 【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件． 例题2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形． 【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形． 【答案与解析】 证明：∵ 四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE． ∵ 四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF． ∴ 四边形EGFH为平行四边形． 【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 例题3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及ABCD的面积． 【思路点拨】在四边形AECF中，由已知条件∠EAF＝60°，可求出∠C＝120°，进而求出∠B＝60°．由于BE＝2，在Rt△ABE中，可求出AB．同理，在Rt△AFD中求出AD．要求ABCD的面积，需求出AE或AF的长． 【答案与解析】 解：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°． 在ABCD中，∵ AB∥CD， ∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°， ∴ ∠B＝∠D＝60°． 在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2， ∴ AB＝4，CD＝AB＝4．(平行四边形的对边相等) 同理，在Rt△ADF中，AD＝6， ∴ BC＝AD＝6， ∴ ()． ∴ CD·AF＝＝()． 【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质． 【巩固练习—平行四边形的性质】 1.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1题图 第3题图 第5题图 2.已知四边形ABCD是平行四边形,则有AB=　　　　,AD∥　　　　.  3.如图,在▱ABCD中,若BC=4,周长为14,则AB的长为　　　　.  4.在▱ABCD中,(1)若它的周长是44 cm,AB比BC短2 cm,则AB=CD=　　　　cm,BC=　　　　cm;  (2)若它的周长是30 cm,AB∶BC=2∶3,则AD=　　　　cm,CD=　　　　cm.  5.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,AD=6,BE=2,则CD的长是　　　　.  6.如图,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,若CD=6,求BF的长. 7.如图,AC是▱ABCD的对角线,以点C为圆心,CD长为半径作圆弧,交AC于点E,连接DE并延长交AB于点F.求证:AE=AF. 8.在▱ABCD中,∠B=64°,则∠D的度数为 (　　) A.26° B.32° C.64° D.116° 9.如图,平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中∠α的度数是　　　　°.  第9题图 第10题图 10.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=56°,则∠BAD=　　　　°.  11.如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点.求证:BE=DF. 12.如图,在▱ABCD中,全等三角形共有 (　　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为　　　　.  14.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=,且AC∶BD=2∶3,那么AC的长为 (　　) A. B.3 C.4 D.6 15.如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为　　　　.  16.如图,EF过▱ABCD的对角线交点O,交AD于点E,交BC于点F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,求四边形EFCD的周长. 17. 如图,在▱ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE. (1)求证:△ABC≌△EAD; (2)若∠B=65°,∠EAC=25°,求∠AED的度数. 18.如图,分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,得到△ABE,△CDG,△ADF. (1)如图①,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的位置关系和数量关系(只写结论,不需证明). (2)如图②,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时,连接GF,EF,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 参考答案： 1.C 2.CD　BC 3.3　 [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC=4. ∵▱ABCD的周长为14, ∴AB+BC=7, ∴AB=3. 4.(1)10　12　(2)9　6 [解析] 平行四边形的对边相等. 5.4　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADE=∠CED. ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE, ∴∠CED=∠CDE, ∴CE=CD. 又∵BC=AD=6,BE=2, ∴CE=CD=4. 6.解:∵E是▱ABCD的边AD的中点, ∴AE=DE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD=6,AB∥CD, ∴∠F=∠DCE. 在△AEF和△DEC中, ∴△AEF≌△DEC, ∴AF=CD=6, ∴BF=AB+AF=12. 7.证明:由题意可得CD=CE, ∴∠CDE=∠CED. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠AFD=∠CDE, ∴∠AFD=∠CED. 又∵∠AEF=∠CED, ∴∠AFD=∠AEF, ∴AE=AF. 8.C　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠D=∠B. ∵∠B=64°, ∴∠D=64°. 9.30　[解析] ∵图形M与图形N可以拼成平行四边形ABCD, ∴∠D+∠C=180°, ∴∠α=180°-(540°-70°-140°-180°)=30°. 10.124　[解析] ∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ∴∠AEC=∠AFC=90°. ∵∠EAF=56°, ∴∠C=360°-90°-90°-56°=124°. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAD=∠C=124°. 11.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C. ∵E,F分别是▱ABCD边AD,BC的中点, ∴AE=AD,FC=BC, ∴AE=FC, ∴△ABE≌△CDF, ∴BE=DF. 12.C　[解析] 平行四边形的性质:对边平行且相等,对角线互相平分.这样不难得出:AD=BC,AB=CD,AO=CO,DO=BO,再 利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形:△ACD≌△CAB(SSS),△ABD≌△CDB(SSS),△AOD≌△COB(SAS), △AOB≌△COD(SAS). 13.14 14.C　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵AC∶BD=2∶3, ∴OA∶OB=2∶3. 设OA=2m,BO=3m(m>0). ∵AC⊥AB, ∴∠BAO=90°, ∴OB2=AB2+OA2, ∴9m2=5+4m2, ∴m=±1. ∵m>0, ∴m=1, ∴AC=2OA=4. 15.30°　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠D=100°,AB∥CD, ∴∠BAD=180°-∠D=80°. ∵AE平分∠DAB, ∴∠BAE=80°÷2=40°. ∵AE=AB, ∴∠ABE=(180°-40°)÷2=70°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°. 故答案为30°. 16.解:∵四边形ABCD是平行四边形,周长为18, ∴AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC, ∴CD+AD=9,∠OAE=∠OCF. 在△AEO和△CFO中, ∴△AEO≌△CFO(ASA), ∴OE=OF=1.5,AE=CF, 则四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12. 17.解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,BC=AD, ∴∠EAD=∠AEB. ∵AB=AE, ∴∠B=∠AEB, ∴∠B=∠EAD. 在△ABC和△EAD中, ∴△ABC≌△EAD(SAS). (2)∵∠B=65°,∠B=∠AEB, ∴∠BAE=50°, ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+25°=75°. ∵△ABC≌△EAD, ∴∠AED=∠BAC=75°. 18.解:(1)GF⊥EF,GF=EF. (2)(1)中的结论仍成立. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠DAB+∠ADC=180°. ∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形, ∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°, ∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°, ∴∠EAF+∠FDC=45°. ∵∠CDF+∠GDF=45°, ∴∠EAF=∠GDF, ∴△EAF≌△GDF(SAS), ∴EF=GF,∠EFA=∠GFD, ∴∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA, ∴∠GFE=∠DFA=90°, ∴GF⊥EF. 【平行四边形的判定】 1.在四边形ABCD中,AD=BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还应满足 (　　) A.AB∥CD B.BC∥AD C.AB⊥CD D.BC⊥AD 2.在四边形ABCD中,已知AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形,还需要条件 (　　) A.AB=DC B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.AD=BC 3.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4,当CD=　　　　时,这个四边形是平行四边形.  4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E在BC的延长线上,且∠D=∠DCE.求证:四边形ABCD是平行四边形. 5.已知:如图,在▱ABCD的边BC,AD上分别取一个点E,F,使得BE=BC,FD=AD,连接AE,CF.求证:四边形AECF是平行四边形. 6.如图,E是▱ABCD的边CD的中点,AE,BC的延长线相交于点F,连接DF.求证:四边形ACFD是平行四边形. 7.如图,已知AB=CD,则下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　) A.AD∥BC B.∠B=∠D C.AD=BC D.∠A=∠C 8.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 　　　　　　　　　　.  9.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0,则这个四边形的形状是　　　　　　.  10.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是平行四边形. 11.如图,已知∠DBC=90°,四边形ABCD是平行四边形吗?为什么? 12.小津不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块,为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃,他带了其中两块碎玻璃去商店,其编号应该是(　　) A.①② B.②④ C.③④ D.①③ 13.如图,在等边三角形ABC中,BC=6 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.如果点E,F同时出发,设运动时间为t s,则当t=　　　　时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.  14.如图,分别以钝角三角形ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形:△ABE,△BCD,△ACF,连接DE,DF. 求证:四边形DEAF是平行四边形. 15.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F. 求证:(1)△ABE≌△CFE; (2)四边形ABFD是平行四边形. 16.如图,在▱ABCD中,E为AB边上一点,请你用无刻度的直尺在CD边上画出点F,使四边形AECF为平行四边形,并说明理由. 参考答案： 1.B　[解析] 根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知还应满足BC∥AD. 故选B. 2.D　 3.4　[解析] ∵当AB∥CD且AB=CD时,四边形ABCD是平行四边形, ∴当CD=4时,这个四边形是平行四边形. 4.证明:∵点E在BC的延长线上,∠D=∠DCE, ∴AD∥BC. 又∵AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. 又∵BE=BC,FD=AD, ∴BE=FD, ∴BC-BE=AD-FD,即CE=AF, ∴四边形AECF是平行四边形. 6.证明:∵在▱ABCD中,AD∥BF, ∴∠ADC=∠FCD. ∵E为CD的中点, ∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中, ∴△ADE≌△FCE(ASA), ∴AD=FC. 又∵AD∥FC, ∴四边形ACFD是平行四边形. 7.C 8.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 [解析] 根据尺规作图的过程可得AB=DC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 9.平行四边形　[解析] ∵a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0, ∴(a-c)2+(b-d)2=0, ∴a=c,b=d, ∴这个四边形一定是平行四边形. 10. 证明:在△ABC和△CDA中, ∴△ABC≌△CDA, ∴AB=CD,BC=DA, ∴四边形ABCD是平行四边形. 11.解:四边形ABCD是平行四边形.理由如下: ∵∠DBC=90°, ∴在Rt△BCD中,有(x-3)2=42+(x-5)2, 解得x=8, ∴BC=3,CD=5,AD=3, ∴AD=BC,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 12.D　[解析] 只有①③两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点, ∴带①③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小. 故选D. 13.2或6　[解析] ①当点F在点C的左侧时,根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm,则CF=BC-BF=(6-2t)cm. ∵AG∥BC, ∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形, 即t=6-2t,解得t=2; ②当点F在点C的右侧时,根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm,则CF=BF-BC=(2t-6)cm. ∵AG∥BC, ∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形, 即t=2t-6,解得t=6. 综上可知,当t=2或6时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形. 14.证明:∵△ABE,△BCD都是等边三角形, ∴BE=AB,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°, ∴∠DBE=60°-∠DBA,∠ABC=60°-∠DBA, ∴∠DBE=∠ABC. 在△DBE和△CBA中, ∴△DBE≌△CBA(SAS), ∴DE=CA. ∵△ACF是等边三角形, ∴AC=AF, ∴DE=AF. 同理可得△ABC≌△FDC, ∴AB=FD. ∵△ABE是等边三角形, ∴AB=AE, ∴AE=FD. 又∵DE=AF, ∴四边形DEAF为平行四边形. 15.证明:(1)∵△ACD是等边三角形, ∴∠DCA=60°. ∵∠BAC=60°, ∴∠DCA=∠BAC. ∵E是AC的中点, ∴AE=CE. 在△ABE和△CFE中, ∴△ABE≌△CFE. (2)由(1)知∠DCA=∠BAC, ∴AB∥CD. ∵E是Rt△ABC的斜边AC的中点, ∴BE=EA. 又∵∠BAE=60°, ∴△ABE是等边三角形. 由(1)知△ABE≌△CFE, ∴△CFE是等边三角形, ∴∠CFE=60°. ∵△ACD是等边三角形, ∴∠CDA=60°, ∴∠CFE=∠CDA,∴BF∥AD, 又∵AB∥CD, ∴四边形ABFD是平行四边形. 16.解:如图,连接AC,BD,交点为O,连接EO并延长交CD于点F,连接AF,CE,则四边形AECF为平行四边形. 理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,OA=OC, ∴∠EAO=∠FCO. 在△AEO和△CFO中, ∴△AEO≌△CFO(ASA), ∴AE=CF. 又∵AE∥CF, ∴四边形AECF是平行四边形. 【平行四边形的判定】 1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO,则下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是 (　　) A.AB=DC B.AD=BC C.BO=DO D.DC=BC 2.若AC=10,BD=8,AC与BD相交于点O,则当AO=　　　　,DO=　　　　时,四边形ABCD是平行四边形.  3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BO=DO,点E,F分别在AO,CO上,且BE∥DF,AE=CF. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 4.如图,在▱ABCD中,E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形. 5.如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC,设AC和BD交于点O. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 6.用反证法证明“a<b”时第一步应假设 (　　) A.a>b B.a≤b C.a≥b D.a≠b 7.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时,应首先假设　 .  8.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”. 9.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(1,-2),B(3,1),若以A,B,C,O为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标为　　　　　　　　　.  10.如图,在四边形ABCD中,EF交AC于点O,交CD,AB于点E,F.若OE=OF,OA=OC,且DE=FB.猜想AD与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由. 11.如图,在▱ABCD中,两条对角线相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BG⊥AC,DH⊥AC,垂足分别为G,H.判断四边形GEHF的形状,并说明理由. 12.如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)连接BD交EF于点O,当BE⊥EF时,BE=8,BF=10,求BD的长. 13.如图①,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O分别与AD,BC交于点E,F,GH过点O分别与AB,CD交于点G,H,连接EG,GF,FH,HE. (1)求证:四边形EGFH是平行四边形; (2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形. 参考答案： 1.C　[解析] 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,即可判断. 2.5　4　[解析] AO=AC=5,DO=BD=4,此时,AO=OC,DO=OB,四边形ABCD是平行四边形. 3.证明:∵BE∥DF, ∴∠BEO=∠DFO. 在△BEO与△DFO中, ∴△BEO≌△DFO(AAS), ∴EO=FO. ∵AE=CF, ∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO. 又∵BO=DO, ∴四边形ABCD为平行四边形. 4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠FAE=∠CDE. ∵E是AD的中点, ∴AE=DE. 在△FAE和△CDE中, ∴△FAE≌△CDE(ASA), ∴EF=CE. 又∵AE=DE, ∴四边形ACDF是平行四边形. 5.证明:由题意可得ED∥BH,FD∥BG, ∴四边形BHDG是平行四边形, ∴OB=OD,OG=OH. 又∵G,H是AC的三等分点, ∴AG=HC, ∴AG+OG=HC+OH,即OA=OC. 又∵OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 6.C 7.四边形的四个内角都是锐角 8.解:已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角. 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角不小于60°. 证明:假设∠A,∠B,∠C都小于60°,则∠A+∠B+∠C<3×60°,即∠A+∠B+∠C<180°,这与三角形的内角和定理矛盾. 故∠A,∠B,∠C都小于60°不成立, 所以三角形中至少有一个角不小于60°. 9.(2,3)或(-2,-3)或(4,-1)　 [解析] 如图,满足条件的点C的坐标为(2,3)或(-2,-3)或(4,-1). 10.解:AD∥BC,AD=BC. 理由如下:如图,连接AE,CF. ∵OE=OF,OA=OC, ∴四边形AFCE是平行四边形, ∴EC∥AF,EC=AF. 又∵DE=FB, ∴DC=AB. 又∵DC∥AB, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC且AD=BC. 11.解:四边形GEHF是平行四边形. 理由:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO. ∵AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, ∴∠AEO=∠CFO=90°. 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF, ∴OE=OF. 同理可得OG=OH, ∴四边形GEHF是平行四边形. 12.解:(1)证明:如图,连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵AE=CF, ∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 又∵OB=OD, ∴四边形BEDF是平行四边形. (2)∵BE⊥AC,∴∠BEF=90°. 在Rt△BEF中,∵BE=8,BF=10, ∴EF==6, ∴OE=OF=3. 在Rt△BEO中,∵BE=8,OE=3, ∴OB= ∴BD=OB+OD=2OB=2. 13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,OA=OC, ∴∠EAO=∠FCO. 在△OAE和△OCF中, ∴△OAE≌△OCF, ∴OE=OF,同理可得OG=OH, ∴四边形EGFH是平行四边形. (2)与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH. 【知识点四】矩形 1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形 注： ❶矩形是特殊的平行四边形； ❷矩形定义的两个要素：平行四边形+有一个角是直角，即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件； ❸有1个角是直角，根据平行四边形的性质，剩下的3个角也是直角。 2.矩形的性质： 矩形的性质，依然从边、角、对角线、对称性进行讨论。在矩形的性质分析中，可衍生出一个重要的推论。如下图，四边形ABCD为矩形： （1）边（无特殊性质）：①对边平行；②对边相等（与平行四边形相同），即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC （2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° （3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO （4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 注： ❶矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. ❷矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. ❸矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. （5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如下图，如∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，则CD=（或DA=DB=DC） 注： ❶直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. ❷学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. ❸性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 3.特殊矩形（对角线夹角为60°），如下图 （1）等边三角形：△AOB，△COD； （2）含120°角的等腰三角形：△AOD，△COB； （3）含30°角的直角三角形：△ABC，△BCD，△CAD，△ABD． 4.矩形的判定： 矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路为：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下： （1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°，即 （2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90° （3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，即 注： ❶判定方法2也是按照平行四边形+矩形特殊性质的思路进行的，其中3个角为直角，首先可以推导出四边形为平行四边形，又有角是90°，所以是矩形。判定方法2是判定方法1的拓展。 ❷判定方法3还可以拓展为：对角线相等且相互平分的四边形为矩形。 【典型例题】 例题1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ． 【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ． 【答案与解析】 证明：(1)∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°， ∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°． ∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30° (2)∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB． ∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC． ∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ． 【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可． 例题2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE． 【答案与解析】 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD． ∴ AO＝BO． ∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°． ∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE． ∴ BE＝AB． ∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°． ∴ △ABO是等边三角形． ∴ BO＝AB，∠ABO＝60°． ∴ BE＝BO，∠OBE＝30°． ∴ ∠BOE＝． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决． 例题3、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：四边形BCDE是矩形． 　 【思路点拨】（1）利用SAS证得两个三角形全等即可；（2）要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等． 【答案与解析】 　（1）证明：∵∠BAD=∠CAE， 　　∴∠EAB=∠DAC， 　　在△ABE和△ACD中 　　∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD 　　∴△ABE≌△ACD（SAS）； 　（2）∵△ABE≌△ACD， 　　∴BE=CD， 　　又DE=BC， 　　∴四边形BCDE为平行四边形． 　　∵AB=AC， 　　∴∠ABC=∠ACB 　　∵△ABE≌△ACD， 　　∴∠ABE=∠ACD， 　　∴∠EBC=∠DCB 　　∵四边形BCDE为平行四边形， 　　∴EB∥DC， 　　∴∠EBC+∠DCB=180°， 　　∴∠EBC=∠DCB=90°， 　　四边形BCDE是矩形． 【总结升华】本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 例题4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点． 求证：FG⊥DE． 【答案与解析】 证明：连接EG、DG，∵ CE是高， ∴ CE⊥AB． ∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点， ∴ EG＝BC，同理DG＝BC． ∴ EG＝DG． 又∵ F是ED的中点， ∴ FG⊥DE． 【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 【巩固练习】 1.下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（　 ） A.3　　　　　　B. 4　　　　　　C. 12　　　　D. 4或12　　 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( ) A.85° B.90° C.95° D.100° 5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( ) A.2 B.3 C. D. 6. 矩形的面积为120，周长为46，则它的对角线长为（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°. 8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______． 9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________． 10.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______. 11.矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为　 　． 12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长 为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________. 13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？ 　　 14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由． 15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED． 求证：AE平分∠BAD． 16.如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处． (1)求证：； (2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明． 17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？ 18.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？ 参考答案： 1.【答案】D； 2.【答案】D； 【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3. 3.【答案】B； 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC， 又∵AD=DE，∴BE∥BC，且BE=BC，∴四边形BCED为平行四边形， A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误； B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确； C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误； D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误． 故选B． 4.【答案】B； 【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°. 5．【答案】C； 【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝，. 6.【答案】C； 【解析】设边长为，则解得，所以对角线为. 7．【答案】60°； 【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°. 8.【答案】； 【解析】设AE＝CE＝，DE＝，，. 9.【答案】8； 【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴ AC＝2AO＝2AB＝8． 10.【答案】6； 【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得. 11.【答案】30或10； 【解析】∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC， ∴∠DEA=∠BEA， ∴∠EAB=∠BEA， ∴AB=BE， ①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x， ∵矩形ABCD的面积为36， ∴x•4x=36， 解得：x=3（舍负）， 即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3， ∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30； ②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x， ∵矩形ABCD的面积为36， ∴3x•4x=36， 解得：x=（舍负）， 即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=， ∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10； 故答案为：30或10． 12.【答案】12； 【解析】设BE＝EF＝，CE＝，CF＝，DF＝，则，解得，矩形ABCD的周长＝. 13.【解析】 解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF； 　　　 　　②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF； 　　③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP； 　　④错误，PD=PF=CE； ⑤正确，PB2+PD2=2PA2． 　　　所以正确的有4个：①②③⑤. 14.【解析】 （1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， ∵点O是EF的中点， ∴OE＝OF， 又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（ASA）； （2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下： ∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OA＝BD，OA＝AC， ∴BD＝AC， ∴ABCD是矩形． 15.【解析】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°． ∵EF⊥ED， ∴∠BEF＋∠CED＝90°． ∴∠BFE＝∠CED． 又∵EF＝ED， ∴△EBF≌△DCE． ∴BE＝CD． ∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°． ∴∠EAD＝45°． ∴∠BAE＝∠EAD． ∴AE平分∠BAD． 16.【解析】 证明：(1)由折叠可得． ∵ AD∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ． (2)猜想．理由： 由题意，得，． 由(1)知． 在中，∵ ，，，， ∴ ． 17.【解析】 （1）证明：∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2， ∴∠FDC=36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO=90°﹣36°=54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴∠ODC=54° ∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°． 18.【解析】 解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE＋DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC＝1， ∴OE＝AE＝AB＝1， DE＝， ∴OD的最大值为：. 【知识点五】菱形 1.菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形。 注： ❶菱形为特殊平行四边形 ❷两要素：平行四边形+邻边相等 2.菱形的性质 依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。在菱形的性质分析中，可推导出一个面积公式。如下图，四边形ABCD为菱形形： （1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD （2）角（无特殊性质）：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分，即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD （4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 （5）菱形的面积 底高 菱形面积为对角线乘积一半，即S= （6）推论：任意一个对角线相互垂直的四边形面积都等于两条对角线乘积的一半。 注： ❶菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. ❷菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. ❸菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 3.特殊菱形 如图，含60°角的菱形 （1）等边三角形：，； （2）含120°角的等腰三角形：，； （3）含30°角的直角三角形：，，，． 4.菱形的判定 菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路为：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下： （1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等，即 （2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA （3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，即 注： ❶判定方法2也是按照平行四边形+菱形特殊性质的思路进行的，其中四条边相等，即对边相等，首先可以推导出四边形为平行四边形，又有邻边相等，所以是菱形。判定方法2是判定方法1的拓展。 ❷判定方法3还可以拓展为：对角线相互垂直且平分的四边形为菱形。 【典型例题】 例题1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°． 【答案与解析】 解：连接AC． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵ ∠B＝60°， ∴ △ABC是等边三角形． ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴ ∠ACF＝∠B＝60°． 又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60° ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF． ∴ AE＝AF． ∴ △AEF为等边三角形． ∴ ∠AEF＝60°． 又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴ ∠CEF＝18°． 【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系． 例题2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可． 【答案】C． 【解析】 解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选：C． 【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． 例题3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形． 【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证； （2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可． 【答案与解析】 （1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC， ∵D为AC的中点， ∴AD=CD， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）； （2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6， 则此时的时间t=6÷1=6（s）． 故答案为：6s． 【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键. 例题4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F． (1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值． (2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论． 【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化． 【答案与解析】 解：(1)连接AC． 在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD． ∵ ∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°． ∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B． ∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°， ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF(ASA)， ∴ BE＝CF． ∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4． (2)CE－CF＝4．连接AC如图所示． ∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴ ∠EAB＝∠FAC． ∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°， ∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°． ∵ AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACF(ASA)， ∴ BE＝CF． ∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4． 【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系． 【巩固练习】 1.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ） A.30°和150° B.45°和135° C.60°和120° D.80°和100° 3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ） A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，32 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　） A.108° B.72° C.90° D.100° 5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 6. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B.2 C.3 D. 7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为 ． 8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____. 9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______. 10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 ． 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ． 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________. 13. 如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM． 求证：（1）四边形AMCF是菱形； （2）△ACB≌△MCE． 14. 如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2． (1)求证：△BDE≌△BCF； (2)判断△BEF的形状，并说明理由； (3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长． 17．已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. ⑴求四边形AQMP的周长； ⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由. 参考答案： 1.【答案】B； 2.【答案】A； 【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C； 【解析】设两条对角线的长为.所以有，∴，所以两条对角线的长为12 ，16. 4.【答案】B； 【解析】连接PA，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC， ∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P， ∴PA=PD， ∴PD=PC， ∴∠PCD=∠CDP=36°， ∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B． 5.【答案】A. 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD， ∵AC=8，DB=6， ∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°， 由勾股定理得：AB==5， ∵S菱形ABCD=， ∴， ∴DH=， 故选A． 6.【答案】A； 【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝. 7.【答案】． ； 【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO， 由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°， 在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=. 8.【答案】5； 【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】； 【解析】由题意∠A＝60°，DE＝. 10.【答案】5；；； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为. 11.【答案】； 【解析】. 12.【答案】； 【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案． 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC， ∴AF∥BC， ∵AM∥FC， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°， ∴△AMC是等边三角形， ∴AM=MC， ∴四边形AMCF是菱形； （2）∵△BCE是等边三角形， ∴BC=EC， 在△ABC和△MEC中 ∵， ∴△ABC≌△MEC（SAS）． 14.【解析】 （1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD， ∴BC=AD，∠ABC=∠CDA． 又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD， ∴BE=DF． ∴△ABE≌△CDF． （2）解：∵四边形AECF为菱形时， ∴AE=EC． 又∵点E是边BC的中点， ∴BE=EC，即BE=AE． 又BC=2AB=4， ∴AB=BC=BE， ∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形， ▱ABCD的BC边上的高可由勾股定理算得为， ∴菱形AECF的面积为2． 15．【解析】 解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF ∴AE＝DF，DE＝CF， ∵AB＝BD ∴∠A＝∠ADB＝60° 在△BDE与△BCF中 ∴△BDE≌△BCF （2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF ∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60° ∴△BEF是等边三角形 (3)∵≤△BEF的边长＜2 ∴ ∴ 16．【解析】 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，即O为BD的中点， 又∵E是AB的中点， ∴EO是△ABD的中位线， ∴AD=2EO=2×2=4， ∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16． 17．【解析】 解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ， ∴四边形AQMP是平行四边形 ∴QM＝AP 又∵AB＝AC，MP∥AQ， ∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC ∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝ ∴四边形AQMP的周长为2 （2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形. ∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等, ∴QM＝PM, ∴四边形AQMP为菱形 【知识点六】 正方形 1.正方形的概念 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 注：❶正方形是特殊平行四边形，特殊矩形，特殊菱形。三者性质正方形都满足； ❷正方形：平行四边形+邻边相等（菱形特征）+一个直角（矩形特征） 2.正方形的性质 正方形的性质，依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，故平行四边形、矩形、菱形的性质正方形都满足。如下图，四边形ABCD为正方形： （1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC （2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° （3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO （4）对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 3.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，常见的判定思路为： ①平行四边形+矩形的一个特殊性质+菱形的一个特殊性质； ②矩形+菱形的一个特殊性质； ③菱形+矩形的一个特殊性质。 如下，仅列举几种方法： （1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等， 即 （2）判定方法2（从菱形出发）：菱形+1个90°角，即 （3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，即 4.几种图形的比较 （1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如下图： （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质列表： （矩形、菱形、正方形都是平行四边形，下表仅列出与平行四边形不同的性质） （3）四边形的证明思路图： 【典型例题】 例题1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长． 【思路点拨】 （1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得 出结论； （2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析． 【答案与解析】 解：（1）∵正方形ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90° ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等． 例题2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF． （2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形． 【答案与解析】 证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点， ∴DE⊥AC． 即得DE是线段AC的垂直平分线． ∴AF=CF． ∴∠FAC=∠ACB． 在Rt△ABC中，由∠BAC=90°， 得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°． ∴∠B=∠BAF． ∴AF=BF． （2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE． 又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE． 在△AEG和△CEF中， ， ∴△AEG≌△CEF（AAS）． ∴AG=CF． 又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形． ∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形． 在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF． 即得点F是边BC的中点． 又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°． ∴四边形AFCG是正方形． 【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质． 例题3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°． (1)求证：AE＋CF＝EF． (2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明． 【答案与解析】 证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE， ∴ Rt△BAE≌Rt△BCH， ∴ ∠1＝∠2，BE＝BH． 又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°， ∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°， 在△EBF和△HBF中， ∴ △EBF≌△HBF， ∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF． (2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE． 证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH． ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中， ∴ Rt△EAB≌Rt△HCB， ∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC． ∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°． 又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°， 即∠EBF＝∠HBF． 在△EBF和△HBF中 ∴ △EBF≌△HBF， ∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE． 【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线. 例题4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO． 【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法． 【答案与解析】 证法一：(间接折半法)如图①所示． ∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6． 而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°． ∴ ∠3＝∠5，BE＝BF． 取AE的中点G，连接OG， ∵ AO＝OC，∴ OGEC． 由∠7＝∠5，∠8＝∠3， ∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO． ∴ EC＝2OG＝2FO． 证法二：(直接折半法)如图②所示． 由证法一得BE＝BF． 取EC的中点H，连接OH． ∵ AO＝OC，∴ OH∥AE． ∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO． ∴ BO＝BH，∴ FO＝EH． ∴ EC＝2EH＝2FO． 证法三：(直接加倍法)如图③所示． 由证法一得BE＝BF． 在OD上截取OM＝OF，连接MC． 易证Rt△AOF≌Rt△COM． ∴ ∠OAF＝∠OCM， ∴ AE∥MC． 由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM， ∴ FM＝EC． ∴ EC＝FM＝2FO． 【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题． 【巩固练习】 1. 在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个 2.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则 ( ) A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关 4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 6. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．8 7．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4，则△ACE的面积等于______． 8． 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______． 9．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______． 10.如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥于点E、BF⊥于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____. 11.如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　 　cm． 12.如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　． 13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 14.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AFB的度数． 15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q． (1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； (3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形． 16．如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG． (1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG． (2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 17．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF． （1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG=6，求△FCG的面积． 18．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG． (1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想． (2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明． 参考答案： 1.【答案】D； 【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形． 2.【答案】B； 【解析】解：如图甲， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形， 连接BD，则AB2+AD2=BD2， ∴AB=AD=1， 如图乙，∠B=60°，连接BD， ∴△ABD为等腰三角形， ∴AB=AD=1， ∴BD= 故选B． 3. 【答案】A； 【解析】设正方形EFGB的边长是，则S＝ 　　　　＝×（＋2）×＋ ×2×2－×（＋2）×＝2. 4.【答案】B 【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm， ∵BE：EC=2：1， ∴CE=BC=3cm ∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2， 即（9﹣x）2=32+x2， 解得：x=4，即CH=4cm． 5.【答案】B； 【解析】设正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝，，∴AC＝2CD，CD＝.EC＝，，∵的边长为3，的面积为3×3＝9，∴＝8＋9＝17． 6.【答案】C； 【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，＝＝16，DE＝4． 7．【答案】112.5°，8； 【解析】∠AEC＝∠CEA＝°，∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°，面积等于. 8．【答案】5； 【解析】AC＝BD＝，EF＋EG＝BD＝5. 9．【答案】2； 【解析】OD＝OE＝OF，可知四边形ODCE是正方形，设CD＝CE＝，BD＝BF＝，AE＝AF＝，所以，，，解得，即O点到三边的距离. 10.【答案】7； 【解析】因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥、BF⊥，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长＝7． 11.【答案】13. 【解析】因为正方形AECF的面积为50cm2， 所以AC=cm， 因为菱形ABCD的面积为120cm2， 所以BD=cm， 所以菱形的边长=cm． 故答案为：13． 12.【答案】128； 【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128． 故答案为128． 13.【解析】 解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示： 则∠ADO=∠OEC=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵点A的坐标为（1，）， ∴OD=1，AD=， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC=90°，OC=AO， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， 在△OCE和△AOD中， ， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∴点C的坐标为（﹣，1）. 14.【解析】 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC． ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE． ∴∠ADE＝∠BCE＝30°． ∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE， ∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠ABE． ∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE， ∴∠DAE＝∠AFB． ∵AD＝CD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA． ∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°， ∴∠AFB＝75°． 15．【解析】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ ∴△ADQ≌△ABQ（SAS）； (2)以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥轴于点E，QF⊥轴于点F． AD×QE＝＝ ∴QE＝ ∵点Q在正方形对角线AC上 ∴Q点的坐标为 ∴过点D(0，4)，两点的函数关系式为：，当＝0时，＝2，即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； (3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD ①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形； ②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形； ③如图，设点P在BC边上运动到CP＝时，有AD＝AQ ∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ． 又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD， ∴∠CQP＝∠CPQ． ∴CQ＝CP＝． ∵AC＝，AQ＝AD＝4． ∴＝CQ＝AC－AQ＝－4． 即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形． 16．【解析】 证明：(1)∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°． 又∵ CE＝AG， ∴ △DCE≌△DAG， ∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG． 又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°， ∴ DE⊥DG． (2)四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE相交于M点， ∵ 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG； ∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD． ∴ 四边形CKGD为平行四边形． ∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF ∴ 四边形CEFK为平行四边形． 17．【解析】 （1）证明：∵四边形EFGH为菱形， ∴HG=EH， ∵AH=2，DG=2， ∴DG=AH， 在Rt△DHG和△AEH中， ， ∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH， ∵∠AEH+∠AHG=90°， ∴∠DHG+∠AHG=90°， ∴∠GHE=90°， ∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH为正方形； （2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE， ∵四边形EFGH为菱形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠QGF， 在△AEH和△QGF中 ， ∴△AEH≌△QGF， ∴AH=QF=2， ∵DG=6，CD=8， ∴CG=2， ∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2． 18．【解析】 解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG． (2)EG＝CG，且EG⊥CG． 证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③， ∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， ∴ 四边形BEMC是矩形． ∴ BE＝CM，∠EMC＝90°， 又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM． ∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG， ∴ MG＝FD＝FG． ∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD． ∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴ ∠F＝45°． 又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°， ∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC， ∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC， ∵ MG⊥DF， ∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°， ∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°， ∴ EG⊥CG． 【知识点七】中位线 1.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注： ❶三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. ❷三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. ❸三角形的中位线不同于三角形的中线. 【典型例题】 例题1、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明． （2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题． 【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，MN=AD， 在RT△ABC中，∵M是AC中点， ∴BM=AC， ∵AC=AD， ∴MN=BM． （2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°， 由（1）可知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， ∵MN∥AD， ∴∠NMC=∠DAC=30°， ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， ∴BN2=BM2+MN2， 由（1）可知MN=BM=AC=1， ∴BN= 【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 例题2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高． （1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为　 　． （2）求证：∠DHF=∠DEF． 【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积． （2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF． 【答案解析】 （1）解：∵BC=10，AH=8， ∴S△ABC=×8×10=40， ∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， ∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的， ∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20， 故答案为：20； （2）证明： ∵D、E、F分别是△ABC各边中点， ∴DE∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠DAF， ∵AH是△ABC的高 ∴△ABH、△ACH是直角三角形， ∵点D、点F是斜边AB、AC中点， ∴DH=DA，HF=AF， ∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA， 即∠DAF=∠DHF， ∴∠DEF=∠DHF． 【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF与∠DAF=∠DEF． 例题3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长． 【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度． 【答案与解析】 解：延长BD交AC于点N． ∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN， ∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°， 在△ABD和△AND中， ∴ △ABD≌△AND(ASA) ∴ AN＝AB＝12，BD＝DN． ∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6， ∵ D、M分别为BN、BC的中点， ∴ DM＝CN＝＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 例题4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形； （2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）运用中位线的性质，找出对应相等的角； （2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形． 【答案与解析】 解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF ∵点E为BC中点 ∴EH为△ABC的中位线 ∴EH∥AB，且EH=AB 同理FH∥DC，且FH=DC ∵AB=AC，DC=AC ∴AB=DC，EH=FH ∴∠1=∠2 ∵EH∥AB，FH∥DC ∴∠2=∠4，∠1=∠3 ∴∠4=∠3 ∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180° ∴∠AGE=∠GEC ∴四边形AGEC是邻角四边形 （2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC． 【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题． 【巩固练习】 1. 某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H测量得对角线AC＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　 ） A. 40米 B. 30米 C.20米 D.10米 2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A．7 B．9 C．10 D．11 5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5，BC＝8，DE＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 6.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 7. 顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________. 8. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 . 9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______. 10.如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________. 11.如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　 　． 12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①∠BOC＝90°＋∠A； ②设OD＝，AE＋AF＝，则； ③EF不能成为△ABC的中位线． 其中正确的结论是_______. 13.如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：AE=AF； （2）求证：BE=（AB+AC）． 14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N． （1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）； （2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 15. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 参考答案： 1.【答案】C； 【解析】四边形EFGH是边长为5米的菱形. 2.【答案】C； 【解析】根据中位线定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长． 3.【答案】D． 【解析】∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=6． 又∵DE垂直平分AC交AB于点E， ∴DE是△ACB的中位线， ∴DE=BC=3． 故选：D． 4.【答案】D； 【解析】EF＝HG＝BC，EH＝FG＝AD，所以四边形EFGH是平行四边形，由勾股定理BC＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11. 5.【答案】B； 【解析】连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，∴BF＝CF＝BC＝×8＝4，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，∴NM＝BC＝DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴＝4×0.75÷2＝1.5． 6.【答案】B； 【解析】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN是△PAB的中位线， ∴MN=AB， 即线段MN的长度不变，故①错误； PA、PB的长度随点P的移动而变化， 所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确； ∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半， ∴△PMN的面积不变，故③错误； 直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误； ∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B． 7.【答案】菱形； 8.【答案】PQ∥AB，PQ＝AB； 【解析】P，Q分别是AF，BF的中点. 9.【答案】16； 【解析】根据三角形中位线的性质得出HGAC，EFAC，HEDB，GFBD，进而得出HE＝GF＝BD，HG＝FE＝AC，即可得出答案． 10.【答案】10； 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝4，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝3，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10． 11.【答案】8； 【解析】∵点D是AB的中点，BF∥DE， ∴DE是△ABF的中位线． ∵BF=10， ∴DE=BF=5． ∵CE=CD， ∴CD=5，解得CD=4． ∵△ABC是直角三角形， ∴AB=2CD=8． 12.【答案】①，③； 【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线． 13.【解析】 证明：（1）∵DA平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD∥EM， ∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF． （2）作CG∥EM，交BA的延长线于G． ∵EF∥CG， ∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE， ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠G=∠ACG， ∴AG=AC， ∵BM=CM．EM∥CG， ∴BE=EG， ∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）． 14.【解析】 解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°． 证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF． ∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF＝AD， ∴∠AMF＝∠HFE， 同理，HE∥CB，HE＝CB， ∴∠ENB＝∠HEF． ∵AD＝BC， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠ENB＝∠AMF． 如图3：取AC的中点H，连接HE、HF． ∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF＝AD， ∴∠AMF＋∠HFE＝180°， 同理，HE∥CB，HE＝CB， ∴∠ENB＝∠HEF． ∵AD＝BC， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠AMF＋∠ENB＝180°． 15.【解析】 解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC． 证明如下：延长DF交AB于点G， 由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF， ∴DG∥CB， ∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且DC＝AC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴DG＝BC． ∵AC＝BC， ∴DC＝DG， ∴DC－DE＝DG－DF， 即EC＝FG． ∵∠EDF＝90°，FH⊥FC， ∴∠1＋∠CFD＝90°，∠2＋∠CFD＝90°， ∴∠1＝∠2． ∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠DGA＝45°， ∴∠CEF＝∠FGH＝135°， ∴△CEF≌△FGH， ∴CF＝FH． （2）FH与FC仍然相等． 【知识点八】中点四边形 1.概念 顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 例题1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积． 【思路点拨】 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断． （2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出＝，也即得出了正方形EHGF的面积． 【答案与解析】 证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点， 故可得：EF＝AC，同理FG＝BD，GH＝AC，HE＝BD， 在梯形ABCD中，AB＝DC， 故AC＝BD， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形． 设AC与EH交于点M， 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点， 则EH∥BD， 同理GH∥AC， 又∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG， ∴四边形EFGH是正方形． （2）连接EG． 在梯形ABCD中， ∵E、G分别是AB、DC的中点， ∴EG＝（AD＋BC）＝3． 在Rt△EHG中， ∵，EH＝GH， ∴＝，即四边形EFGH的面积为． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH＝HG＝GF＝FE，这是本题的突破口． 例题2、如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由； （2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形． 【答案】 解：（1）四边形EFGH是平行四边形． 理由：连接AC， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF∥AC，且EF＝AC， 同理，HG∥AC，且HG＝AC， ∴EF∥HG，且EF＝HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形． 理由：连接AC，BD， ∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，EH∥BD，GH∥AC， ∵BD＝AC，BD⊥AC， ∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH， ∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． 【巩固练习】 1．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．求证：四边形EFGH是菱形． 2．如图，ABCD为任意四边形，E、F、G、H依次为各边中点．证明：四边形EFGH为平行四边形． 3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案： ①当AC=BD时，四边形EFGH为 ； ②当AC BD时，四边形EFGH为矩形； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为 ． 4.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 参考答案： 1.证明：∵E，F分别是BD，BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴EF=CD， 同理可得，GH=CD，FG=AB，EH=AB， 又∵AB=CD， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形 2.证明：连接BD， ∵E、H为中点， ∴EH∥BD，且EH=BD． 又F、G为中点， ∴FG∥BD，且FG=BD． ∴EH∥FG，且EH=FG． ∴四边形EFGH为平行四边形． 3.解：（1）连接AC、BD， ∵H、G，分别为AD、DC的中点， ∴HG∥AC， 同理EF∥AC， ∴HG∥EF； 同理可知HE∥GF． 于是四边形EFGH是平行四边形． （2）由于对角线相等， ∵H，G，分别为AD、DC的中点， ∴HG=AC， 同理EF=AC， ∴HG=EF； 同理可知HE=BD，GF=BD． 又∵AC=BD ∴HE=EF=FG=GH． 又∵是四边形EFGH是平行四边形． ∴四边形EFGH为菱形． （3）由于四边形EFGH是平行四边形．当AC⊥BD时，HE⊥EF，故四边形EFGH为矩形； （4）由于四边形EFGH是平行四边形．当AC⊥BD时，HE⊥EF，故四边形EFGH为矩形；AC=BD时，四边形EFGH为正方形． 4.（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∴△APC≌△BPD， ∴AC=BD ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． ( 第 1 页 共 42 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 中心对称图形单元梳理 【知识点一】图形的旋转 1.旋转的概念及性质： （1）旋转：将图形绕一个定点旋转一定的角度的图形运动． 旋转中心：定点称为旋转中心． 对应点：如果图形上的点A经过旋转到点A1，那么这两个点叫做对应点． 旋转角：旋转过程中，绕旋转中心转动的角度称为旋转角． （2）旋转三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 （3）旋转的性质 图形的旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； 一个图形和它经过旋转后所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 【知识点二】中心对称及作图 1.中心对称 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形形成中心对称，这个点叫做对称中心. 注意： 成中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系； 中心对称与旋转的关系：中心对称是一种特殊的旋转——旋转角为180°； 由于旋转角度数等于180°，因此，可以不考虑旋转方向，即顺时针或逆时针都可以. 2.中心对称的性质 一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 成中心对称的两个图形中对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3.旋转作图的步骤 （1）明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分析所作图形：找出构成图形的关键点； （3）作旋转关键点：沿一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点； （4）作出新图形：顺次链接作出的各点； （5）写出结论：说明作出的图形. 注：作中心对称图形时，旋转后关键点的找法：连接各点与对称中心并延长，通过截取线段的方法，依次得到各个关键点的对称点. 4.中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 注意：中心对称与中心对称图形 【典型例题】 例题1、如图，中，，将绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠DAE的度数为　 　． 例题2、下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是　　 A． B． C． D． 例题3、如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图 （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得△，画出△； （2）作出关于坐标原点成中心对称的△． 【巩固练习】 1．用四张全等的直角三角形纸片拼成了如图所示的图形，该图形　　 A．既是轴对称图形也是中心对称图形 B．是轴对称图形但并不是中心对称图形 ( 第1题图 )C．是中心对称图形但并不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2．如图所示的数字图形中不是中心对称图形的有　　 A． B． C． D． 3．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 4．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为　　 A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为　　 A． B． C． D． 6．如图，将在平面内绕点逆时针旋转，得到△，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的图形名称　 　． 8．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到△，与相交于点，连接，则的度数是　 　 9．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则点与点之间的距离是　 　． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 10． 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，则　　． 11． 如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角　 　． 12．按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，点绕某点旋转后，的对应点为，求作点； （2）如图②，点绕某点顺时针旋转后，的对应点为，求作点． 13．如图，在平面直角坐标系中，、、 （1）以点为旋转中心，画绕点顺时针旋转的△，并写出坐标　　 ； （2）画关于点对称的△，并写出以，，，四点为顶点的四边形的面积　　． 【知识点三】平行四边形 1.平行四边形的概念： （1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 （2）平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. （3）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。 （4）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。平行线间距离处处相等。 2.平行四边形的性质： 平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形： （1）性质1（边）：对边平行且相等； 数学语言：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC （2）性质2（角）：对角相等， 数学语言：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）性质3（对角线）：对角线相互平分， 数学语言：AO=OC，BO=OD 注： ❶平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）； ❷平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角） （4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 注： ❶平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. ❷由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. ❸利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 3.平行四边形的判定： 平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即 （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即 （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即或 （4）判定方法4（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即 注： ❶平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ❷判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。 4.平行四边形判定的选择 （1）已知一组对边平行，可选择①另一组对边平行（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ②这组对边相等（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （2）已知一组对边相等，可选择①另一组对边相等（两组对边相等的四边形是平行四边形） ②这组对边平行（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （3）已知对角线互相平分，可直接选择对角线互相平分的四边形是平行四边形. 5.性质与判定之间的联系 由某一四边形为平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到某一四边形为平行四边形，这是平行线的判定. 6.平行线之间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 7.反证法： (1)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法. 反证法主要适合的证明类型有: ①命题的结论是否定型的. ②命题的结论是无限型的. ③命题的结论是“至多”或“至少”型的. (2)反证法的一般步骤是: ①假设命题的结论不成立; ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾; ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 【典型例题】 例题1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC． 例题2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形． 例题3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及ABCD的面积． 【巩固练习—平行四边形的性质】 1.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1题图 第3题图 第5题图 2.已知四边形ABCD是平行四边形,则有AB=　　　　,AD∥　　　　.  3.如图,在▱ABCD中,若BC=4,周长为14,则AB的长为　　　　.  4.在▱ABCD中,(1)若它的周长是44 cm,AB比BC短2 cm,则AB=CD=　　　　cm,BC=　　　　cm;  (2)若它的周长是30 cm,AB∶BC=2∶3,则AD=　　　　cm,CD=　　　　cm.  5.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,AD=6,BE=2,则CD的长是　　　　.  6.如图,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,若CD=6,求BF的长. 7.如图,AC是▱ABCD的对角线,以点C为圆心,CD长为半径作圆弧,交AC于点E,连接DE并延长交AB于点F.求证:AE=AF. 8.在▱ABCD中,∠B=64°,则∠D的度数为 (　　) A.26° B.32° C.64° D.116° 9.如图,平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中∠α的度数是　　　　°.  第9题图 第10题图 10.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=56°,则∠BAD=　　　　°.  11.如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点.求证:BE=DF. 12.如图,在▱ABCD中,全等三角形共有 (　　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为　　　　.  14.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=,且AC∶BD=2∶3,那么AC的长为 (　　) A. B.3 C.4 D.6 15.如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为　　　　.  16.如图,EF过▱ABCD的对角线交点O,交AD于点E,交BC于点F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,求四边形EFCD的周长. 17. 如图,在▱ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE. (1)求证:△ABC≌△EAD; (2)若∠B=65°,∠EAC=25°,求∠AED的度数. 18.如图,分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,得到△ABE,△CDG,△ADF. (1)如图①,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的位置关系和数量关系(只写结论,不需证明). (2)如图②,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时,连接GF,EF,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 【平行四边形的判定】 1.在四边形ABCD中,AD=BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还应满足 (　　) A.AB∥CD B.BC∥AD C.AB⊥CD D.BC⊥AD 2.在四边形ABCD中,已知AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形,还需要条件 (　　) A.AB=DC B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.AD=BC 3.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4,当CD=　　　　时,这个四边形是平行四边形.  4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E在BC的延长线上,且∠D=∠DCE.求证:四边形ABCD是平行四边形. 5.已知:如图,在▱ABCD的边BC,AD上分别取一个点E,F,使得BE=BC,FD=AD,连接AE,CF.求证:四边形AECF是平行四边形. 6.如图,E是▱ABCD的边CD的中点,AE,BC的延长线相交于点F,连接DF.求证:四边形ACFD是平行四边形. 7.如图,已知AB=CD,则下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　) A.AD∥BC B.∠B=∠D C.AD=BC D.∠A=∠C 8.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 　　　　　　　　　　.  9.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0,则这个四边形的形状是　　　　　　.  10.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是平行四边形. 11.如图,已知∠DBC=90°,四边形ABCD是平行四边形吗?为什么? 12.小津不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块,为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃,他带了其中两块碎玻璃去商店,其编号应该是(　　) A.①② B.②④ C.③④ D.①③ 13.如图,在等边三角形ABC中,BC=6 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.如果点E,F同时出发,设运动时间为t s,则当t=　　　　时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.  14.如图,分别以钝角三角形ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形:△ABE,△BCD,△ACF,连接DE,DF. 求证:四边形DEAF是平行四边形. 15.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F. 求证:(1)△ABE≌△CFE; (2)四边形ABFD是平行四边形. 16.如图,在▱ABCD中,E为AB边上一点,请你用无刻度的直尺在CD边上画出点F,使四边形AECF为平行四边形,并说明理由. 【平行四边形的判定】 1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO,则下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是 (　　) A.AB=DC B.AD=BC C.BO=DO D.DC=BC 2.若AC=10,BD=8,AC与BD相交于点O,则当AO=　　　　,DO=　　　　时,四边形ABCD是平行四边形.  3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BO=DO,点E,F分别在AO,CO上,且BE∥DF,AE=CF. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 4.如图,在▱ABCD中,E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形. 5.如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC,设AC和BD交于点O. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 6.用反证法证明“a<b”时第一步应假设 (　　) A.a>b B.a≤b C.a≥b D.a≠b 7.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时,应首先假设　 .  8.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”. 9.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(1,-2),B(3,1),若以A,B,C,O为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标为　　　　　　　　　.  10.如图,在四边形ABCD中,EF交AC于点O,交CD,AB于点E,F.若OE=OF,OA=OC,且DE=FB.猜想AD与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由. 11.如图,在▱ABCD中,两条对角线相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BG⊥AC,DH⊥AC,垂足分别为G,H.判断四边形GEHF的形状,并说明理由. 12.如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)连接BD交EF于点O,当BE⊥EF时,BE=8,BF=10,求BD的长. 13.如图①,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O分别与AD,BC交于点E,F,GH过点O分别与AB,CD交于点G,H,连接EG,GF,FH,HE. (1)求证:四边形EGFH是平行四边形; (2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形. 【知识点二】矩形 1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形 注： ❶矩形是特殊的平行四边形； ❷矩形定义的两个要素：平行四边形+有一个角是直角，即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件； ❸有1个角是直角，根据平行四边形的性质，剩下的3个角也是直角。 2.矩形的性质： 矩形的性质，依然从边、角、对角线、对称性进行讨论。在矩形的性质分析中，可衍生出一个重要的推论。如下图，四边形ABCD为矩形： （1）边（无特殊性质）：①对边平行；②对边相等（与平行四边形相同），即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC （2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° （3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO （4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 注： ❶矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. ❷矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. ❸矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. （5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如下图，如∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，则CD=（或DA=DB=DC） 注： ❶直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. ❷学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. ❸性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 3.特殊矩形（对角线夹角为60°），如下图 （1）等边三角形：△AOB，△COD； （2）含120°角的等腰三角形：△AOD，△COB； （3）含30°角的直角三角形：△ABC，△BCD，△CAD，△ABD． 4.矩形的判定： 矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路为：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下： （1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°，即 （2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90° （3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，即 注： ❶判定方法2也是按照平行四边形+矩形特殊性质的思路进行的，其中3个角为直角，首先可以推导出四边形为平行四边形，又有角是90°，所以是矩形。判定方法2是判定方法1的拓展。 ❷判定方法3还可以拓展为：对角线相等且相互平分的四边形为矩形。 【典型例题】 例题1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ． 例题2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 例题3、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：四边形BCDE是矩形． 　 例题4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点． 求证：FG⊥DE． 【巩固练习】 1.下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（　 ） A.3　　　　　　B. 4　　　　　　C. 12　　　　D. 4或12　　 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( ) A.85° B.90° C.95° D.100° 5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( ) A.2 B.3 C. D. 6. 矩形的面积为120，周长为46，则它的对角线长为（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°. 8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______． 9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________． 10.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______. 11.矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为　 　． 12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3， 则矩形ABCD的周长为___________. 13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？ 　　 14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由． 15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED． 求证：AE平分∠BAD． 16.如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处． (1)求证：； (2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明． 17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？ 18.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？ 【知识点三】菱形 1.菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形。 注： ❶菱形为特殊平行四边形 ❷两要素：平行四边形+邻边相等 2.菱形的性质 依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。在菱形的性质分析中，可推导出一个面积公式。如下图，四边形ABCD为菱形形： （1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD （2）角（无特殊性质）：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分，即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD （4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 （5）菱形的面积 底高 菱形面积为对角线乘积一半，即S= （6）推论：任意一个对角线相互垂直的四边形面积都等于两条对角线乘积的一半。 注： ❶菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. ❷菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. ❸菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 3.特殊菱形 如图，含60°角的菱形 （1）等边三角形：，； （2）含120°角的等腰三角形：，； （3）含30°角的直角三角形：，，，． 4.菱形的判定 菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路为：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下： （1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等，即 （2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA （3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，即 注： ❶判定方法2也是按照平行四边形+菱形特殊性质的思路进行的，其中四条边相等，即对边相等，首先可以推导出四边形为平行四边形，又有邻边相等，所以是菱形。判定方法2是判定方法1的拓展。 ❷判定方法3还可以拓展为：对角线相互垂直且平分的四边形为菱形。 【典型例题】 例题1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数． 例题2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例题3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形． 例题4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F． (1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值． (2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论． 【巩固练习】 1.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ） A.30°和150° B.45°和135° C.60°和120° D.80°和100° 3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ） A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，32 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　） A.108° B.72° C.90° D.100° 5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 6. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B.2 C.3 D. 7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为 ． 8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____. 9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______. 10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 ． 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ． 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________. 13. 如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM． 求证：（1）四边形AMCF是菱形； （2）△ACB≌△MCE． 14. 如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2． (1)求证：△BDE≌△BCF； (2)判断△BEF的形状，并说明理由； (3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长． 17．已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. ⑴求四边形AQMP的周长； ⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由. 【知识点四】 正方形 1.正方形的概念 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 注：❶正方形是特殊平行四边形，特殊矩形，特殊菱形。三者性质正方形都满足； ❷正方形：平行四边形+邻边相等（菱形特征）+一个直角（矩形特征） 2.正方形的性质 正方形的性质，依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，故平行四边形、矩形、菱形的性质正方形都满足。如下图，四边形ABCD为正方形： （1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC （2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° （3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO （4）对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 3.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，常见的判定思路为： ①平行四边形+矩形的一个特殊性质+菱形的一个特殊性质； ②矩形+菱形的一个特殊性质； ③菱形+矩形的一个特殊性质。 如下，仅列举几种方法： （1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等， 即 （2）判定方法2（从菱形出发）：菱形+1个90°角，即 （3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，即 4.几种图形的比较 （1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如下图： （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质列表： （矩形、菱形、正方形都是平行四边形，下表仅列出与平行四边形不同的性质） （3）四边形的证明思路图： 【典型例题】 例题1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长． 例题2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形． 例题3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°． (1)求证：AE＋CF＝EF． (2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明． 例题4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO． 【巩固练习】 1. 在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个 2.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则 ( ) A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关 4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 6. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．8 7．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4，则△ACE的面积等于______． 8． 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______． 9．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______． 10.如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥于点E、BF⊥于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____. 11.如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　 　cm． 12.如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　． 13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 14.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AFB的度数． 15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q． (1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； (3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形． 16．如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG． (1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG． (2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 17．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF． （1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG=6，求△FCG的面积． 18．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG． (1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想． (2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明． 【知识点五】中位线 1.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注： ❶三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. ❷三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. ❸三角形的中位线不同于三角形的中线. 【典型例题】 例题1、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 例题2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高． （1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为　 　． （2）求证：∠DHF=∠DEF． 例题3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长． 例题4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形； （2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1. 某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H测量得对角线AC＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　 ） A. 40米 B. 30米 C.20米 D.10米 2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A．7 B．9 C．10 D．11 5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5，BC＝8，DE＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 6.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 7. 顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________. 8. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 . 9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______. 10.如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________. 11.如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　 　． 12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①∠BOC＝90°＋∠A； ②设OD＝，AE＋AF＝，则； ③EF不能成为△ABC的中位线． 其中正确的结论是_______. 13.如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：AE=AF； （2）求证：BE=（AB+AC）． 14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N． （1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）； （2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 15. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 【知识点六】中点四边形 1.概念 顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 例题1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积． 例题2、如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由； （2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形． 【巩固练习】 1．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．求证：四边形EFGH是菱形． 2．如图，ABCD为任意四边形，E、F、G、H依次为各边中点．证明：四边形EFGH为平行四边形． 3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案： ①当AC=BD时，四边形EFGH为 ； ②当AC BD时，四边形EFGH为矩形； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为 ． 4.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$