江苏镇江市第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024级高二下学期4月期中考试 (数学) 2026.4 一、单选题 1、有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为() A.81B.64C.27D.24 2.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（) 温度/℃ 30 28 26 24 22 012345678910日期 A.从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势 B.这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 C.这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大 D.这10天白天的平均气温的极差大于6℃ 3.若1,2,3,4，m(me)这五个数的平均数等于其中位数，则m= A.0或5 B.0或号 C.5或好 D.0或5球好 4.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性 平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为() A.120分，75B.120分，20C.115分，65D.115分，140 5.记(2x+1）mi=a,+ax+a2x2++awx25,若f()=aos+a0nx++ax25,则f(（2)=（、 A.1 B.22025 C.42s D.52s 6.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为( A子 B月 c号 D 7在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1,2,3每次从口袋中随机 抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球没有 能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是() c 试卷第1页，共4页 8、类比排列数=Mn-ln-2)…(n-r+),定义函数=x-1(x-2)(x-n+)(共中neN,xeR）， 将右边展开并用符号心，月表示≤k≤keN)的系数，得F?=∫m,)x+fmn-)x++f(,0x, 以下说法正确的是：（) A.f(n+1.r)=f(n,r-l)-f(,r) B.f(n+I,r)=f(n,r-l)+nf(n,r) Cfn+l,r）=f(mr）-WrN-l) D.f(n+1,r)=f(n,r)+nf(n,r-1) 二、多选题 9、一组数据x,为，为，…，0满足为一为=2(2≤1≤10)，若去掉x,x0后组成一组新数据.则新数据与原数据相 比 A,极差变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小 10.下列各式正确的是) A.已知C2=C5,则x的取值为6或7 B.C+C号+Cg+…+C3ns=C2o%-1 C.将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D.(2-x)1-x)‘的展开式中x的系数为-14 11.下列说法正确的有 A.掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互 独立 B.掷一枚质地均匀的般子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N互斥 C.甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概 率为0.98 D,柜子里有三双不间的鞋，如果从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是； 三、填空题 12.1+2+3+…+2026!的个位数为 13.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数 字的最小值为2的概率是 14.4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次 传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为 四、解答题 试卷第2页，共4页 5.已则3x+在 的二项展开式有7项， (I)求n,并求出所有二项式系数之和： (②)求展开式中含x?项的系数： (3)求展开式中的有理项. 16.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)[90， 100后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： (1)求第四小组的频率a: (2)估计这次考试的中位数（精确到0.01）： (3)从成绩是40~50分及90~100分的学生中选两人，记他们的成绩分别为，y,求满足“x-≤10”的概 率 频率/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 0◆40506008090100分数 17.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品至少有一件是正品的取法有多少种； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概 率 试卷第3页，共4页 18.近年来，全球数字化进程持纱加速，人工智能(Artificial Intelligence,简称AI)已然成为科技变革的核 心驱动力，有媒体称DeepScck开启了我国AI新纪元.某地区随机训查了经常使用某AI工具的360名用户， 统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 人数 30 150 90 60 30 (I)利用统计表中的数据试估计该A【工具用户的平均年龄： (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽 到第一组的人数为m,第二组的人数为m,求m<n的概率； (3)已知该I工具对某20个问题能准确答对其中的1(3≤1≤12，且1∈N)个.其余20（个问题均无法答对. 若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，记事件A为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”， 若对于不同的1，要使A概率最大，求此时t的值. 19.如图所示数阵，第m(m2)行共有m+1个数，第m行的第1个数为C0,第2个数为Cn,第(n23)个 数为C2-C2规定：C8=l. Co c! Co Cc C2 C -c c-c C9 C4 C-CgCg-cgc-c号 C9 C3 C--cgC吗-C吲cg-cgcg-cg C Co C-C9 C-CC-C Cio-Cio Cf-Ci (1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论： (2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数： (3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{an},设数列{an)的前n项和为S,是否存在正整数k,使 得对任意正整数，⑧，≤4”-1恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页 2024级高二下学期4月期中考试答案 (数学) 2026.4 一、单选题 1.A2.B3.D 4.D 5.c 6.A 7.A.8.A 二、多选题 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题 12.3 13. 6 35 14.60 四、解答题 15.解(1)因 3x+ 的二项展开式有7项，所以n=6, 】分 所以所有二项式系数之和为2的=64：………3分 2)由知n=6,所(3x+ 的二项展开式的通项为 a=cc学， 今12-3火=7，解得k=2,……………5分 2 所以展开式中含x项的系数为C%3=1215:…….7分 8)因为x+) 的二项展开式的通项为C3X-警， 因为0≤k≤6，且kEN,所以能使12-头为整数的k=0,246,……9分 所以展开式中的有理项分别为 T=C836.x2=729x2,T=C%3x’=1215x', T,=Cg32x2=l35x2,万=Cg30.x3=x3l3分 16.解(1)由频率分布直方图，得第4小组的频率为： =1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3. .3分 (2)第一、二、三组的频率之和为0.1+0.150.15=0.4 试卷第1页，共5页 所以中位数=70+05-0.4 0.03 73.337分 (3)由频率分布直方图可得，成绩是40~50分的有40×0.1=4人，记为1,2,3,4,90~ 100分的学生有40×0.05=2人，记为a,b..............9分 记水-≤10”为事件A,…10分 基本事件有(1,2)(1,3)(1,4)(1，a)(1,b)(2,3)(2,4)(2,a)(2,b)(3,4)(3,a)(3,b)(4,a)(4,b)(a,b)共计 15个，事件A中包含的基本事件数为1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)(a,b)共7个. 所以P名 14分 答：（1)第四小组的频率a=0.3: (2)估计这次考试的中位数73.33： (3)满足k-510“的概率为5 15分 17.解(1)这2个产品都是正品的取法C?=10,这2个产品一件正品一件次品的取法 CC=15,这2个产品至少有一件是正品的取法有10+15=25种5 分 (2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B,为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事 件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则 事件B,、事件B2、事件B3彼此互斥.... .7分 Pa-是-是Pa)-答-尝Pa)-是-云 P4B)=9,P(4B,)=P(aB)- ..10分 所以P(A)=P(B)P(AIB)+P(B2)P(A川B2)+P(B)P(AIB) -音+号+0号-品 ..14分 答：(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品至少有一件是正品的取法有25种： (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，取出的这个产 品是正品的概率为 1 ..15分 试卷第2页，共5页 18.解(1)估计平均年龄360×(30x15+150x25+90x35+60×45+30x5)=325.3分 (2)由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有2×30=1（人）， 360 年龄在第二组内的有2X150=5（人)，…5分 360 设“m<n”为事件A 所以P(A)-CC+CCC+Ccg+cc8+CCg+C_7 Ci 8分 (3)从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为 P(4)=CiC .10分 设f()=CC0,由3s1s12,且1eN得f(0)>0, （1+)！(19-1 所以+.c品 310-2)712-1)1（1+1)13-1）-12+121+13 !（20-101(（1-2)(20-）-2+221-40 31-3)！7(13-1)1 显然-12+121+13>0，-12+221-40>0， 令m=（-+121+13)-（-+221-40)=53-101, 当3≤1≤5时，有m>0, f+--子+121+13>1，即f+)>f0, ∫0-2+221-40 此时f(3)<f(4)<f(5)<f(6): 当6≤1≤12时，有m<0, +-f+12+13<1,即f化+<f0, f(0-12+221-40 此时f(6)>f(7)>…>f(12）),即f(0)mx=f(6),......14分 所以1=6. .l6分 答：(1)该A1工具用户的平均年龄32.5 2m<n的概率为 7 (3)1=617分 试卷第3页，共5页 19.解(1)第1行最后两数C8=C=1,第2行的最后两数C,=C-C=2. 第m（m=3)行的第m个数为Cm2-Cm32,第m+1个数为Cm1-C2, 猜测：C2m2-C2m2=Cm1-C221, …2分 即证：Cgm1-C2m2=C2m2-Cm22, 法-：因为Cgm2+Cm2-C22=C2m2+Cm32-C232, 只要证明Cm-2=Cm,该式显然成立， 所以C2m1-Cm2=C2m-C2m2, 所以每行最后两个数相等……。 4分 法二： 因为cg-Ca=2m-l1-2m-1y m(m-1)！(m-2)(m+1)月 (2m-1)L[m(m+1)-m(m-1)] m(m+1) _2m(2m-l=_(2m1 m(m+)！m(m+1)! 又因为C-Cm= (2m-2)！(2m-2)川 (m-1)(m-1)！(m-3)(m+1)1 (2m-2)川 (m-)(m+1)川 m+10m-(m-l0m-2】 =4m-22m-21 (m-1)(m+1)1 2(2m-1)！ (2m)1 (m-1)(m+1)！m(m+1)1 即：Cm2-Cm22=Cn1-Cm2 所以每一行的最后两个数相等…..… .4分 (2)第1行所有数之和为C+C=2,第2行的最后一个数为C-C9=3-1=2, 此时结论成立， 因为C+C%=C, 第m（m=2)行的m+1个数之和为： Ca1+Cn+(C21-C0i)+(C22-Cm2)+…+(Cgm-1-Cm) 试卷第4页，共5页 =(C9n1+Cn+C21+…+Cn）-(C21+Cm2+…+Cwm2) =(C9+Cn+C2+…+Cm)-(C2+Cm2+…+Cmm2) =(Cn1+C21+…+Cm)-(Cm3+C23+…+Cm2) =..=Cam-C22 而第m+1行倒数第二个数为Cm-Cm2, 由（1)得每行最后两个相等，所以结论得证.…....…9分 (3)当n=1,k=3时，S,=a=C=1,3S=4-1,当k≥4时，此时显然不成立 猜测：存在正整数k,使得kSn≤4”-1恒成立，k的最大值为3.…...11分 下证：当n≥2时，3Sn<4”-1恒成立 由(1)知，a,=2m1 n(n+),则a1 (2n+2)1 (n+1)(n+2)1' 因为烈= (2n+2)1_nl(n+1)1_(2n+2)2n+1) a,(n+1)(n+2)1(2n)！- (n+2)(n+1) _22m+D=4n+2)-6=4-6 n+2 n+2 *2c4. 又an>0，当n22时，an<4an-1<42am2<…<4"-q=4- 当n22时，3，=a+a+…+a,<1+4+4++4-=4,所以3S,<40-1 综上：存在正整数k,k的最大值为3，使得kSn≤4”-1恒成立….….17分 试卷第5页，共5页