专题08：立体几何的动点问题【7个题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题08：立体几何的动点问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：动点的轨迹问题】 知识讲解 知识梳理 1轨迹定义：动点在运动过程中满足特定几何条件形成的路径或区域 2常见轨迹：直线线段圆圆弧平面球面等 3核心依据：线面平行线面垂直距离相等角度固定等几何条件 4载体：棱柱棱锥正方体长方体中的动点 解题方法 1几何法： 分析动点满足的几何条件转化为平面或空间中的基本轨迹 利用线面平行/垂直距离相等角度固定等条件确定轨迹形状 2截面法： 过动点作固定平面的截面利用截面与几何体的交线确定轨迹 3特殊点法： 取动点的特殊位置（端点中点垂足）连线确定轨迹形状 4验证： 验证轨迹上的点是否都满足条件条件对应的点是否都在轨迹上 例题精选 【例题1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 【例题2】（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若 平面，则点的轨迹长度为__________. 【答案】 【分析】分别取棱的中点，连接 ，证明平面平面，则点必在线段上，即可得出答案. 【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接 ， ∵ 分别为所在棱的中点，则 ∴，又不在平面， 平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又不在平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 所以点的轨迹长度为， 故答案为：. 【相似题2】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，已知长方体， 分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，画出图形利用平行性质以及线、面的位置关系分析即可. 【详解】根据题意取的中点，连接， 如图所示： 因为分别为的中点， 所以在中，可得， 平面，平面，因此平面， 又，所以，且 所以四边形为平行四边形， 所以 ， 平面，平面，因此平面， 又，， 所以平面平面， 所以当点在线段上运动时，直线与平面无公共点， 因此线段就是点的轨迹，且 即点的轨迹长度为， 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一下·甘肃张掖·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，连接，GH，，，HP， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，又平面，平面，可得平面， 且，平面，故平面平面． 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为． 故答案为：． 【题型2：与动点有关的线面角问题】 知识讲解 知识梳理 1线面角定义：斜线与它在平面内的射影所成的锐角范围为[0°,90°] 2核心：过动点作平面的垂线找到射影构造直角三角形 3关键：线面角的大小与动点位置的关系存在最值或定值 解题方法 1定义法： 过动点作平面的垂线垂足为射影点 连接斜足与射影点得到斜线的射影 在直角三角形中利用三角函数计算线面角 2动态分析： 分析动点移动时斜线射影和垂线的变化确定线面角的变化趋势 找到线面角的最值位置（端点垂足特殊点） 3特殊点验证： 取动点的特殊位置计算线面角验证变化规律 例题精选 【例题1】（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 【例题2】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在矩形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·福建福州·月考）（多选）在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于AB：根据平行关系可证平面平面，平面平面，进而可得线面平行；对于C：根据线面平行可知点到平面的距离为定值，进而分析体积即可；对于D：利用等体积法可得点到平面的距离，进而可得线面角. 【详解】对于选项A：在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 同理可证， 因为平面，平面，则平面， 因为平面，平面，则平面， 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A错误； 对于选项B：由选项A可知：， 且平面，平面，则平面， 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面，则平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：因为平面，且点在线段上运动， 可知点到平面的距离为定值， 且的面积为定值，所以三棱锥的体积不变，故C正确； 对于选项D：不妨设正方体的边长为2， 因为是边长为的等边三角形，则， 设点到平面的距离为， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点与点重合时，取最小值，此时取最大值； 当点与点重合时，取最大值，此时取最小值； 且正弦值具有连续性，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【相似题2】（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明 平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又 且， 且， 四边形ADEF为平行四边形， . 又 平面，平面， 平面；    证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是的中点，DF为中位线， ， 又 平面，平面， 平面. 在三棱柱中， 且， 四边形为平行四边形， ， 又 平面，平面， 平面. ，平面DEF，平面平面， 又 平面DEF， 平面；    （2）如下图所示，连接， 是直三棱柱， 平面， 平面， . ，,平面， 平面， 就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ， （当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为.    【相似题3】（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. 【题型3：与动点有关的二面角问题】 知识讲解 知识梳理 1二面角定义：从棱出发的两个半平面所成的角范围为[0°,180°] 2核心：找到二面角的平面角分析其随动点的变化 3关键：利用三垂线法定义法作平面角分析动点位置对平面角的影响 解题方法 1三垂线法： 过动点在一个半平面内作棱的垂线再作另一个半平面的垂线得到二面角的平面角 分析动点移动时垂线和射影的变化确定二面角的变化趋势 2定义法： 在棱上取一点在两个半平面内分别作棱的垂线得到平面角 分析动点移动时两条垂线的位置变化确定平面角的变化 3最值分析： 找到二面角的最值位置（端点垂足特殊点）计算对应的二面角大小 例题精选 【例题1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 【例题2】（2025高三·专题练习）设为正方体棱AB上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为______． 【答案】 【分析】延长和交于点，在平面内作于点，连接，可得为二面角的平面角，设正方体棱长为，利用面积法可得，可得，利用二次函数的最值求得最小值即可. 【详解】延长和交于点，则为平面与平面的公共点， 从而为平面与平面的交线； 在平面内作于点，连接， 由正方体性质易知平面，平面，则， 又平面，故平面，又平面， 故，故为二面角的平面角， 设正方体棱长为，易知，故， 即，则， 由的面积得： 故， 当点为中点时等号成立， 故二面角正切值最小值为， 则平面与平面夹角的正切值的最小值为． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ， ．    【相似题2】（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 【答案】. 【分析】取的中点，由题可得点在平面上的射影在上，可得直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，即平面与平面所成角，易得，结合可得，得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 由点在线段上，结合正四面体性质可得点在平面上的射影在上， 连接， 则直线与平面所成角为，即，且， 同理，直线与平面所成角为，即，且， 易知，则，所以，即， 由，得，又， 所以即平面与平面所成角，则， 又，，而， 故，即，又， . 故答案为：.    【相似题3】（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形边长性质以及三角形相似可得，再由面面垂直性质证明可证明平面，结合线面角定义即可求得结果； （2）根据线面垂直判定定理可证明平面，结合性质定理可得平面，作出线面角的平面角并得出正切值的表达式，再结合三角函数值域求得，可得结论. （3）根据二面角定义利用线面垂直性质作出二面角的平面角，结合三角函数最值求出正切值的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）连接交于点，如下图所示：    则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示：    因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示：    由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 【题型4：动点的位置关系】 知识讲解 知识梳理 1问题形式：判断动点与直线平面的位置关系（平行垂直相交） 2核心依据：线面平行线面垂直的判定定理与性质定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 解题方法 1假设法： 假设动点在某个位置满足平行或垂直利用判定定理验证 2几何构造法： 构造平行线或垂线确定满足条件的动点位置 利用中位线平行四边形等腰三角形等几何特征找动点 3排除法： 排除不满足条件的位置确定动点的位置范围 例题精选 【例题1】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，所以在中，再由正方体的棱长为2，代入数据即可求解. 【详解】如图所示，因为平面，平面，平面平面, 所以，所以在中，, 因为正方体的棱长为2，所以，， 因为，所以，所以. 故答案为： 【例题2】（24-25高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由 平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则 FO . 又平面，平面，故 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又 平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又 DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·辽宁·期末）（多选）已知正方体，点满足，下列说法正确的是（    ）    A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形 B．存在唯一一点，使得 平面 C．存在无穷多个点，使得 D．存在唯一一点，使得平面 【答案】ACD 【分析】对于A：取线段的中点，过点作正方体的截面，然后证明点在线段上时可满足条件；对于B：通过证明面 面，当点在线段上时，有 平面；对于C：通过证明面，当点在线段上时，有；对于D：通过证明面，当点在点位置时，有平面. 【详解】点满足， 即点在正方形内（包括正方形的四条边）上运动， 对于A：取线段的中点，过点作正方体的截面， 因为面 面，面 面，根据面面平行的性质定理知如果一个平面与两个平行平面相交，则交线平行， 所以有，即四边形为平行四边形， 又为线段的中点，则有，所以四边形为菱形， 所以当点在线段上时，过的平面与正方体的截面是菱形， 故有无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形，A正确；    对于B：在正方体中，因为，且， 所以四边形为平行四边行， 所以，又面，面， 所以 面，同理可得 面， 又，面 所以面面，当点在线段上时，有 平面， 故有无穷多个点，使得 平面，B错误；    对于C：连接， 根据正方体可得， 又面， 所以面，又面， 所以，同理，又面， 所以面，当点在线段上时，有， 故有无穷多个点，使得，C正确；    对于D：由选项证明面同理可证明面， 过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 当且仅当点在点位置时，有平面， 所以存在唯一一点，使得平面，D正确.    故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何中，针对找某点满足某种位置关系的问题，可以将问题进行转化，如找点满足线面平行，可以转化为找面，使面面平行，找点满足线线垂直，可以转化为找面，使线面垂直. 【相似题2】（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    【相似题3】（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【题型5：与平行有关的动点的长度问题】 知识讲解 知识梳理 1问题形式：动点移动时线段长度的变化最值或定值 2核心依据：线面平行的性质平行线间的距离相等 3关键：利用线面平行找到与动点相关的定长线段或平行线段 解题方法 1转化法： 利用线面平行的性质将动点的线段转化为定长线段或平行线间的距离 2几何构造法： 构造平行四边形中位线等将动点的线段与定长线段关联 3最值分析： 分析动点移动时线段长度的变化趋势找到最值位置（端点垂足特殊点） 4特殊点计算： 取动点的特殊位置计算线段长度验证变化规律 例题精选 【例题1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【详解】（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 【例题2】（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且 平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 【例题3】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【相似题2】（23-24高一下·福建厦门·月考）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 【题型6：与垂直有关的动点的长度问题】 知识讲解 知识梳理 1问题形式：动点移动时与垂直相关的线段长度的变化最值或定值 2核心依据：线面垂直面面垂直的性质垂线段最短 3关键：利用线面垂直找到动点到直线或平面的垂线段 解题方法 1垂线段法： 过动点作直线或平面的垂线垂线段的长度即为所求 利用垂线段最短的性质找到长度的最小值 2直角三角形法： 构造包含动点线段的直角三角形利用勾股定理计算长度 3最值分析： 分析动点移动时垂线段长度的变化趋势找到最值位置（垂足投影点） 4特殊点计算： 取动点的特殊位置计算线段长度验证变化规律 例题精选 【例题1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）（多选）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】求三棱锥的体积判断A的真假；根据线线角的概念确定与所成角的取值范围，判断B的真假；确定点轨迹，求长度的最小值，判断C的真假；判断点轨迹，求P的轨迹长度判断D的真假. 【详解】对A：当P在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故A正确； 对B：如图： 取中点，连接，则. 当P在线段AC上运动时，因为，且， 所以为异面直线与所成角. 当与重合时，异面直线与所成角为. 当与不重合时，因为,，所以，所以，所以异面直线与所成角的范围为，故B正确； 对C：如图： 根据正方体的结构特点，平面，为中点， 因为，所以点轨迹是过点且平行于平面的平面，即为平面，其中分别为所在棱上的中点. 故当P在底面ABCD上运动，且满足时，P点的运动轨迹为线段. 其中分别为，中点.易知六边形为正六边形， 所以当与重合时，， 此时为点到直线的垂线段，取得最小值，为，故C错误； 对D：如图： 当直线与平面ABCD所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）. 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 【例题2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】根据四棱柱的性质可得点的轨迹是以为轴的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线，分析点在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果. 【详解】∵，直线与所成的角为， ∴直线与所成的角为， ∴点的轨迹是以为轴（其中为顶点），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线． 如图，在线段和上分别取点，使得，连接， ∵在四棱柱中，底面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴，故， ∴点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且. 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点在四边形上运动的轨迹长度为， 综上得，点的轨迹长度为． 故答案为：. 【例题3】（2026·河北邯郸·模拟预测）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（    ）    A．点的轨迹长度大小为 B．三棱锥的体积随着的位置变化而变化 C．当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为 D．为直线上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用两直线垂直的坐标表示求得动点轨迹，进而求得长度；根据三棱锥的体积计算判断；根据异面直线所成角的余弦值计算判断；利用公垂线计算得到线段的最小值； 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A，设，， 因为，所以，即， 因此点的轨迹为正方形内满足的线段，即线段， 长度大小为，A正确； 对于B，因为平面，平面， 所以平面，且到平面的距离固定，设为， 由上分析可知点在线段上运动时，到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为，为定值，B错误； 对于C，设，，， 设异面直线与所成角的余弦值为 ， 令， ， 所以在上单调递减，最大值，最小值， 当，异面直线与所成角的余弦值最大，异面直线与所成角最小， 则，即当点位于点时，， 异面直线与所成角最小为，C正确； 对于D，为直线上一点， 则的最小值为线段上的点到直线的距离的最小值， 即异面直线与之间的距离， ， 设公垂向量为，则， 解得，则， 计算异面直线距离，则的最小值为，D正确. 故选：ACD.    相似练习 【相似题1】（2025·江西新余·一模）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（   ） A．四面体的外接球的表面积为 B．存在点，使、、、四点共面 C．过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D．点是四边形内的动点，且直线与直线夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】利用补形法可判断A选项；作出辅助线，得到，即、、、四点共面，当与重合时满足要求，但不能与重合，可判断B选项；作出辅助线，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，面积最大，此时面积为，当与点无限接近时，面积接近于，可判断C选项；作出辅助线，得到点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧，可求出点的轨迹长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将四棱锥补成长方体， 所以，四面体的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即四面体的外接球的直径为， 所以，四面体的外接球的表面积为，A对； 对于B选项，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别是、中点，则，所以， 即、、、四点共面， 当与重合时满足、、、四点共面， 但是线段上的动点（不包含端点），B错； 对于C选项，如图，在平面上作⊥，垂足为点， 过点作在平面内⊥交或者于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以⊥， 因为，、平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，面积最大，此时，，面积为， 当与点无限接近时，面积接近于， 过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C对； 对于D选项，取的中点，连接，则， 则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆， 交、于、， 则点的轨迹为以为圆心，为半径的部分圆弧， 此时满足直线与直线夹角为， 如图，，故， 所以点的轨迹长度为，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 【相似题2】（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 【题型7：动点的综合问题】 例题精选 【例题1】（2026·四川遂宁·二模）（多选）如图所示，矩形中，，将沿翻折至，使得，则（    ） A．不存在的值使 B．存在的值使平面平面 C．三棱锥体积的最大值为 D．当点在平面上的射影落在上时，直线与平面所成角为 【答案】BCD 【分析】直接利用勾股定理即可判断A；当时，可证平面，进而得到平面平面即可判断B；过作交于，则当平面时，三棱锥体积最大，接着求出判断存在性，再得到体积即可判断C；当点在平面上的射影落在上时，可推出平面平面，则，再利用等体积法求出三棱锥的高，进而得到直接与平面所成角即可判断D． 【详解】解：根据题意，， 若，则，即， 解得，符合题意，故A错误； 当时，，又平面， 平面，又平面， 平面平面，故B正确； 过作交于， 由题易知，， ，解得， 又， 所以当平面时，三棱锥体积最大， 此时，， ，又， ， ，符合题意， 三棱锥体积最大值为，故C正确； 当点在平面上的射影落在上时，平面平面， 又，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故， 又，所以， ， ， 设三棱锥的高为，直线与平面所成角为， ，解得， ，又，所以， 直线与平面所成角为，故D正确． 【例题2】（2026·山东聊城·二模）（多选）已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，且，则的最小值为 B．若，且，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面平面，推导出为点的轨迹，可求出的最小值，可判断A选项；推导出平面，则点的轨迹为线段，可求出长的最小值，可判断B选项；过点作分别交、于点、，连接、、，推导出平面，可知点的轨迹为线段，当时，的长取最小值，可判断C选项；延长交线段于点，推导出平面平面，可知点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，结合“将军饮马”思想求出长的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点作交于点，过点作交于点，连接， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 当时，平面，则平面，故点的轨迹为线段， 因为，所以，则，同理可得， 又因为，，则是边长为的等边三角形， 当点为的中点时，，此时的长取最小值， 此时，A对； 对于B选项，如下图所示，连接、， 易知、都是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以，， 又因为、平面，，所以平面， 当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 由勾股定理可得，同理可得， 故当为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对； 对于C选项，过点作分别交、于点、，连接、、， 因为为正的中心，则，因为，则， 因为三棱锥为正四面体，则平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当时，则平面，所以，故点的轨迹为线段， 延长交于点，则为的中点，因为为正的中心，则， 因为，所以，故， 由余弦定理可得， 故，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 当时，的长取最小值，此时， 故长的最小值为，C错； 对于D选项，如下图所示： 延长交线段于点，则点为线段的中点， 因为、均为等边三角形，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内， 因为平面，平面，所以， 易知， ， 设点关于直线、的对称点分别为、， 由对称性可知，，， 所以 ， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由余弦定理可得， 故， 由对称性知，， 所以， 当且仅当、为线段分别与线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为，D对. 相似练习 【相似题1】（2026·广西南宁·三模）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于选项A：因为三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，所以先确定正方体外接球的直径，再用球的表面积公式求解; 对于选项B：因为三棱锥的体积可通过等体积法转换，所以将其转化为以易求底面积和高的三棱锥，再用三棱锥体积公式计算; 对于选项C：因为平面，所以先构造过且与平面平行的平面，利用面面平行的性质确定F的轨迹; 对于选项D：因为要作过，，的正方体截面，所以先确定截面的形状，再找到到截面的距离，结合到截面顶点的距离，确定的取值范围. 【详解】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确； 对于B选项， 故B错误； 对于C选项,取中点，那么,所以，平面， 分别取的中点，则 平面,平面 所以，平面, 由于四边形是矩形，, 所以，四边形是平行四边形， 所以，平面,平面 所以，平面, 又平面, 所以，平面平面 因为为侧面内一动点，且满足//平面， 所以，平面平面 又平面平面 , 所以，动点F的轨迹是线段,故C正确； 对于D选项，若过 三点作正方体截面， 分别取中点,则四边形为平行四边形，那么 ,所以，四边形为平行四边形 所以， 所以，截面为四边形. 设点到平面距离为,则 ,即， 由于, 所以，即，故D选项正确. 【相似题2】（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出点P到平面的距离d不变，得到为定值即可判断A；求证平面，取中点N，求出平面即平面即可求解点P轨迹长度判断B；求出与AD成角为且即可分析求解判断C；分析出球心为外心，球半径R为外接圆半径，再由正弦定理即可分析求解判断D. 【详解】对于A，，由于，且由正方体性质可知， 所以由平面、平面，所以平面， 所以点P到平面的距离d即直线到平面的距离，其距离值为定值， 所以，为定值，故A正确； 对于B，线段在平面的射影为，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 故平面，又平面，所以， 而在平面内的射影为， 取BC中点M，连AM，则由正方形性质易知， 而平面，平面，则， 又，平面，故平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 取中点N，连接，易得， 所以可唯一确定一个平面，则平面即平面， 所以点P轨迹为四边形， 其长度为，故B错误； 对于C，过P作于H，连接，易知且平面， 因为平面，所以， 则与AD成角为，且， 随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大， 因此当点P位于点A时，成角最小为，故C正确. 对于D，取AC中点O，过O作平面的垂线，则球心在该直线上， 又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S， 球的半径R为外接圆半径，由正弦定理， 因为且， 又， 所以，故，即，故D正确. 【相似题3】（2026·河北保定·一模）（多选）如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面截该正方体所得截面的面积为 B．点Q的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为2 【答案】BCD 【分析】对于A，延长即可得到截面，再求面积即可；对于B，根据面面平行，作出平面即可；对于C，易知点到平面的距离为定值，利用等体积法求出距离，再确定的最小值即可；对于D，结合点的轨迹，得到点到平面的最大值，再根据锥体体积公式计算即可． 【详解】对于A，如图，延长，与交于点，连接， 所以平面截该正方体所得截面为， 易知为等边三角形，其面积为，故A错误； 对于B，分别取的中点，连接， 则六边形为正六边形，因为分别为棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，因为，所以平面平面， 则点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，由平面平面可知，点到平面的距离为定值， 不妨取点在点的位置，设点到平面的距离为， 连接，由， 得，即，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点运动到线段的中点时，取得最小值，取得最大值， 此时易得，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C正确； 对于D，因为，所以， 又平面平面，所以平面， 要使三棱锥的体积取得最大值，则点到平面的距离最大， 易知当点在上运动时，点到平面的距离最大， 不妨取点与点重合，设，连接，显然， 由于，易得，则， 所以，又平面，所以平面， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题08：立体几何的动点问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：动点的轨迹问题】 知识讲解 知识梳理 1轨迹定义：动点在运动过程中满足特定几何条件形成的路径或区域 2常见轨迹：直线线段圆圆弧平面球面等 3核心依据：线面平行线面垂直距离相等角度固定等几何条件 4载体：棱柱棱锥正方体长方体中的动点 解题方法 1几何法： 分析动点满足的几何条件转化为平面或空间中的基本轨迹 利用线面平行/垂直距离相等角度固定等条件确定轨迹形状 2截面法： 过动点作固定平面的截面利用截面与几何体的交线确定轨迹 3特殊点法： 取动点的特殊位置（端点中点垂足）连线确定轨迹形状 4验证： 验证轨迹上的点是否都满足条件条件对应的点是否都在轨迹上 例题精选 【例题1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【例题2】（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若 平面，则点的轨迹长度为__________. 【相似题2】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，已知长方体， 分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为______. 【相似题3】（24-25高一下·甘肃张掖·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 【题型2：与动点有关的线面角问题】 知识讲解 知识梳理 1线面角定义：斜线与它在平面内的射影所成的锐角范围为[0°,90°] 2核心：过动点作平面的垂线找到射影构造直角三角形 3关键：线面角的大小与动点位置的关系存在最值或定值 解题方法 1定义法： 过动点作平面的垂线垂足为射影点 连接斜足与射影点得到斜线的射影 在直角三角形中利用三角函数计算线面角 2动态分析： 分析动点移动时斜线射影和垂线的变化确定线面角的变化趋势 找到线面角的最值位置（端点垂足特殊点） 3特殊点验证： 取动点的特殊位置计算线面角验证变化规律 例题精选 【例题1】（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【例题2】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·福建福州·月考）（多选）在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【相似题2】（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【相似题3】（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【题型3：与动点有关的二面角问题】 知识讲解 知识梳理 1二面角定义：从棱出发的两个半平面所成的角范围为[0°,180°] 2核心：找到二面角的平面角分析其随动点的变化 3关键：利用三垂线法定义法作平面角分析动点位置对平面角的影响 解题方法 1三垂线法： 过动点在一个半平面内作棱的垂线再作另一个半平面的垂线得到二面角的平面角 分析动点移动时垂线和射影的变化确定二面角的变化趋势 2定义法： 在棱上取一点在两个半平面内分别作棱的垂线得到平面角 分析动点移动时两条垂线的位置变化确定平面角的变化 3最值分析： 找到二面角的最值位置（端点垂足特殊点）计算对应的二面角大小 例题精选 【例题1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【例题2】（2025高三·专题练习）设为正方体棱AB上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为______． 相似练习 【相似题1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【相似题2】（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 【相似题3】（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【题型4：动点的位置关系】 知识讲解 知识梳理 1问题形式：判断动点与直线平面的位置关系（平行垂直相交） 2核心依据：线面平行线面垂直的判定定理与性质定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 解题方法 1假设法： 假设动点在某个位置满足平行或垂直利用判定定理验证 2几何构造法： 构造平行线或垂线确定满足条件的动点位置 利用中位线平行四边形等腰三角形等几何特征找动点 3排除法： 排除不满足条件的位置确定动点的位置范围 例题精选 【例题1】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【例题2】（24-25高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·辽宁·期末）（多选）已知正方体，点满足，下列说法正确的是（    ）    A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形 B．存在唯一一点，使得 平面 C．存在无穷多个点，使得 D．存在唯一一点，使得平面 【相似题2】（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【相似题3】（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【题型5：与平行有关的动点的长度问题】 知识讲解 知识梳理 1问题形式：动点移动时线段长度的变化最值或定值 2核心依据：线面平行的性质平行线间的距离相等 3关键：利用线面平行找到与动点相关的定长线段或平行线段 解题方法 1转化法： 利用线面平行的性质将动点的线段转化为定长线段或平行线间的距离 2几何构造法： 构造平行四边形中位线等将动点的线段与定长线段关联 3最值分析： 分析动点移动时线段长度的变化趋势找到最值位置（端点垂足特殊点） 4特殊点计算： 取动点的特殊位置计算线段长度验证变化规律 例题精选 【例题1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【例题2】（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且 平面，则=（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【相似题2】（23-24高一下·福建厦门·月考）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【题型6：与垂直有关的动点的长度问题】 知识讲解 知识梳理 1问题形式：动点移动时与垂直相关的线段长度的变化最值或定值 2核心依据：线面垂直面面垂直的性质垂线段最短 3关键：利用线面垂直找到动点到直线或平面的垂线段 解题方法 1垂线段法： 过动点作直线或平面的垂线垂线段的长度即为所求 利用垂线段最短的性质找到长度的最小值 2直角三角形法： 构造包含动点线段的直角三角形利用勾股定理计算长度 3最值分析： 分析动点移动时垂线段长度的变化趋势找到最值位置（垂足投影点） 4特殊点计算： 取动点的特殊位置计算线段长度验证变化规律 例题精选 【例题1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）（多选）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 【例题2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【例题3】（2026·河北邯郸·模拟预测）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（    ）    A．点的轨迹长度大小为 B．三棱锥的体积随着的位置变化而变化 C．当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为 D．为直线上一点，则的最小值为 相似练习 【相似题1】（2025·江西新余·一模）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（   ） A．四面体的外接球的表面积为 B．存在点，使、、、四点共面 C．过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D．点是四边形内的动点，且直线与直线夹角为，则点的轨迹长度为 【相似题2】（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【题型7：动点的综合问题】 例题精选 【例题1】（2026·四川遂宁·二模）（多选）如图所示，矩形中，，将沿翻折至，使得，则（    ） A．不存在的值使 B．存在的值使平面平面 C．三棱锥体积的最大值为 D．当点在平面上的射影落在上时，直线与平面所成角为 【例题2】（2026·山东聊城·二模）（多选）已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，且，则的最小值为 B．若，且，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 相似练习 【相似题1】（2026·广西南宁·三模）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 【相似题2】（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 【相似题3】（2026·河北保定·一模）（多选）如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面截该正方体所得截面的面积为 B．点Q的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $