第5章 分式与分式方程 单元复习（5大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过表格化梳理分式与分式方程核心知识点，构建“概念-性质-运算-应用”完整知识链，涵盖分式意义、基本性质、运算规则、方程解法及实际应用等重难点，清晰呈现知识内在逻辑与易错警示。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导创新，基础题型巩固分式有意义判断等运算能力，提升题型通过含参分式方程解的范围问题培养推理意识，培优题型结合行程、工程情境化应用题发展模型意识。同步练习含易错警示与解题通用步骤，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第5章 分式与分式方程 知识点1：分式的概念与意义 项目 核心内容 易错警示 分式定义 形如（、为整式，含字母，） 分母必须含字母，分数不是分式 有意义 分母≠0 多项式分母需因式分解，所有因式≠0 值为0 分子=0且分母≠0 双条件缺一不可 值正负 分子分母同号为正，异号为负 先保证分式有意义 知识点2：分式的基本性质 1.基本性质：（） 2.符号法则：（变两处，值不变） 3.约分：约去公因式，化为最简分式（先分解再约分） 4.通分：找最简公分母，化异分母为同分母 知识点3：分式的运算 1.乘除：； 2.加减：同分母；异分母先通分再加减 3.混合运算：先乘方→再乘除→后加减，有括号先算括号内 知识点4：分式方程 1.定义：分母中含未知数的方程 2.解法：去分母→解整式方程→检验（必写步骤） 3.增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的根 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解都是增根 知识点5：分式方程的实际应用 1.常见模型：工程、行程、销售、平均量问题 2.步骤：审题→设元→列方程→求解→双检验（方程+实际）→作答 【易错题型】 【题型1】分式无解与增根混淆 1.易错点总结 分式方程：解后不检验，把增根当作有效解。 含参方程：将增根与无解等同，分类讨论不全。 2.纠错技巧 分式方程：解完必代入最简公分母检验。 含参问题：先找增根，再代入整式方程求参。 【例题1】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程的增根会使原分式方程的分母为0，原方程分母为和， ∴增根满足， ∴增根为， 原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 将增根代入方程，得， 解得． 【变式题1-2】.（2026七年级下·山西太原·专题练习）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 【基础题型】 【题型2】分式有/无意义及值的符号判断 1.核心考点 分式定义、有意义条件、值为0双条件、值的正负。 2.解题技巧 有意义：分母≠0；值为0：分子=0且分母≠0。 分母为多项式先因式分解，逐一判断≠0。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）式子有意义的的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， ∵， ∴恒成立， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【题型3】分式的基本性质与系数化整 1.核心考点 分式性质、符号变形、分子分母系数化整数、最简分式。 2.解题技巧 同乘除非零整式，负号同步变。 小数/分数系数：乘最小公倍数化整，先分解再化简。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 【变式题3-1】.（25-26八年级上·四川南充·期末）无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型4】分式的四则混合运算 1.核心考点 分式乘除、加减、乘方及运算顺序。 2.解题技巧 先因式分解，能约分先约分；除法变乘法。 严格按乘方→乘除→加减顺序计算。 【例题4】.（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题关键． （1）先算括号内的分式加法，再分解因式，最后进行分式乘法运算并约分； （2）先算括号内的分式加法，再分解因式，将除法转化为乘法，最后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·四川宜宾·月考）化简，． 【答案】 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解：原式 【变式题4-3】.（2026·陕西西安·模拟预测）化简：． 【答案】 【详解】解： ． 【提升题型】 【题型5】分式化简求值（整体代入） 1.核心考点 分式化简、因式分解、整体代换求值。 2.解题技巧 先化最简分式，再代入数值。 条件复杂时用整体法，避免硬算。 【例题5】.（2026·安徽·二模）若，则__________． 【答案】3 【分析】先对分子分母进行因式分解，将除法改成乘法后，约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式题5-1】.（2026·北京丰台·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：原式． ∵， ∴． ∴原式 ． 【变式题5-2】.（2026·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】由题意可得，再将所求式子进行约分，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式题5-3】.（2026·北京朝阳·一模）已知，求代数式且的值． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，由，可得：，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心考点 去分母、解整式方程、验根。 2.解题技巧 找最简公分母去分母，注意符号与常数项。 解后必检验，增根直接舍去。 【例题6】.（2026·青海·模拟预测）解分式方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式题6-1】.（2026·辽宁朝阳·一模）分式方程的解为______ ． 【答案】 【分析】把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏连云港·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时， 因此是原分式方程的解 （2）解： 整理方程得 方程两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时，，原分式无意义 因此原分式方程无解 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 整理得， 经检验，是原方程的解． 【题型7】含参分式方程的解的范围问题 1.核心考点 用参数表示解、解为正数/负数/整数、排除增根。 2.解题技巧 解方程得含参式→列不等式→排除使分母为0的参数。 整数解：解为整数且分母≠0。 【例题7】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 【答案】5 【分析】先解方程得到，根据方程的解为正整数且方程不能有增根得到为正整数，且；求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集情况求出a的取值范围，再结合为正整数求出a的值即可． 【详解】解：解方程 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的分式方程的解为正整数，且要满足，即， ∴为正整数，且，即 解不等式， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式得， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴或 ∴或（舍去）． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据“只有 3个偶数解”确定参数的取值范围；解分式方程，结合“有整数解”且“分母不为 0”的条件，筛选符合要求的整数a；对筛选出的整数求和，需同时满足不等式组和分式方程的双重限制． 【详解】解：不等式组的解集为， 不等式组有且只有三个偶数解， 不等式组的偶数解为0，2，4， ， ， 为整数， 的取值为，，，，，， 解分式方程得， 由题意可知， ，即， ， 分式方程有整数解 ，y为整数， 是3的倍数， 在上述取值中只能取，， 经检验，时，；时，， 符合条件的整数解为，， 符合条件的所有整数的和为． 【点睛】在解决含有参数的不等式组的参数问题时，一定要根据已知条件确定边界的取值，可数形结合借助数轴解决，在解含参数的分式方程时要注意分母不为０． 【变式题7-3】.（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 【题型8】分式方程的增根与无解综合 1.核心考点 增根产生原因、无解两种情况、求参数值。 2.解题技巧 增根：最简公分母=0→代入整式方程求参。 无解：分整式方程无解与解均为增根两类讨论。 【例题8】.（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【答案】 【分析】先将原分式方程化为整式方程，再根据增根求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， ∵原分式方程无解 ∴， 解得， ∴， 解得：． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式及分式方程无解的情况是解题关键． （1）代入k的值，解分式方程并检验即可； （2）通过解分式方程的方法，用含k的式子表示x，利用方程无解的情况确定x的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：当时，关于的方程为， 化为整式方程，得，     去括号，得， 移项，合并同类项，得． 经检验：当时，， 因此该方程的解为； （2）解：等号两边同时乘以，得：， ∴， 若该方程无解，有两种情况： ①该整式方程无解，则，解得； ②分式方程增根导致无解，则，即，解得； 综上可知，的值为或． 【培优题型】 【题型9】情境化分式方程应用题（行程/工程/生活） 1.核心考点 实际问题数学建模、列分式方程、双检验、最优方案。 2.解题技巧 抓公式：路程=速度×时间；工作量=效率×时间。 牢记双检验：方程根合理+实际意义成立。 【例题9】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 【变式题9-3】.（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1)原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析 (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 【题型10】分式值为整数与最值综合 1.核心考点 分离常数法、分式值为整数、范围分析。 2.解题技巧 分离常数：化为整式+真分式，分析分母整除性。 结合不等式求取值范围，锁定整数解。 【例题10】.（25-26九年级下·四川自贡·月考）当且时，因为，所以，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． (1)已知函数，当 时，y取得最小值为 ； (2)已知函数，则当x为何值时，y取得最小值，并求出该最小值． (3)已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少？ 【答案】(1)3，6 (2)当时，y取得最小值，最小值为3 (3)当x为千米时，运输成本最低，最低是元 【分析】（1）根据题干的结论求解即可； （2）函数变形为，根据题干的结论求解即可； （3）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可得出，然后根据题干的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 当时，取得最小值为6； （2）解：， 则，即时，取得最小值，最小值为； （3）解：设该汽车平均每千米的运输成本为y元， 则 ， 故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为（元）． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的最大值是5 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识． （1）根据材料提供方法变形即可求解； （2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出； （3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数， ∴为整数， ∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或， ∴； （3）解：， ∴当取最小值时，分式有最大值． ∵， ∴， ∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】(1)①③④ (2)①；② 【分析】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【详解】（1）解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． （2）解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 分式值为0：漏分母≠0；运算：符号错误、不先分解因式。 分式方程：不验根、把增根当有效解。 含参问题：增根与无解混淆、未排除分母为0的参数。 应用题：只验方程不验实际合理性。 2.本章重难点 重点：分式性质、分式运算、分式方程解法与检验。 重点：分式方程实际应用、双检验。 难点：含参数分式方程（增根、无解、解的范围）。 难点：分式化简求值（整体代入、变形技巧）。 3.解题通用步骤 分式运算：因式分解→约分→定符号→按序运算→化最简。 分式方程：去分母→解整式→验根→作答。 含参问题：用参表示解→列不等关系→排除增根→定范围。 应用题：建模→列方程→解方程→双检验→作答。 4.高分必备技巧 分式计算：先分解，再约分，后计算。 分式方程：解完必检验，增根果断舍去。 含参问题：先找增根，再定范围，分类不重不漏。 化简求值：能整体代入不硬算，简化计算。 应用题：抓关键词，套公式，验合理性。 5.素养提升关键 强化转化思想：分式化整式、陌生化熟悉。 落实运算素养：严谨、规范、每步有据。 树立模型观念：用分式/分式方程解决实际问题。 培养分类讨论：含参问题全面考虑，不丢情况。 注重严谨性：分母不为0、验根、实际限制全落实。 【同步练习】 一、单选题 1．下列代数式，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义进行判断即可，需注意是常数，不是字母. 【详解】解：根据分式的定义，可知，，，，中，只有是分式，其余的三个均为整式. 2．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 3．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由甲的单件制作时间表示出乙的单件制作时间，再根据甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相等，进而列出方程． 【详解】解：若甲制作一件手工艺品需要小时，则乙制作一件手工艺品需要小时，则． 4．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 二、填空题 5．若，则的值______． 【答案】 【分析】由条件可知，将代入所求分式计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，要使原式有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是， 则x的取值范围是． 7．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 三、解答题 8．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【分析】（1）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可； （2）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解； （2）解：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先由分式混合运算化简分式，再将代入化简后的分式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【答案】“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【详解】解：设“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元． 11．江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． (1)求A型、B型训练球每个各多少元？ (2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)60元，80元 (2)三种方案，购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低；最低为1380元 【分析】（1）设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意中的等量关系“用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同”建立分式方程即可解决问题； （2）设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意中的不等关系：“A型训练球不多于11个，且总费用不超过1430元”建立一元一次不等式组解决问题． 【详解】（1）解：设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意，得： ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴元， 答：A型训练球每个60元，B型训练球每个80元； （2）解：设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可取：9，10，11， ∴共有三种方案： ①A型训练球9个，则购买B型训练球11个，费用：， ②A型训练球10个，则购买B型训练球10个，费用：， ③A型训练球11个，则购买B型训练球9个，费用：， ∴购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低，最低为1380元． 12．知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________； (2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4)的最小值为 【分析】（1）将变形为，再将代入求解即可； （2）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （3）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②令，则，，原式变为再根据材料2的方法求解即可； （4）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：令， ∴原式 ； （3）解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ②令，则，， ∴， ∴， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式与分式方程 知识点1：分式的概念与意义 项目 核心内容 易错警示 分式定义 形如（、为整式，含字母，） 分母必须含字母，分数不是分式 有意义 分母≠0 多项式分母需因式分解，所有因式≠0 值为0 分子=0且分母≠0 双条件缺一不可 值正负 分子分母同号为正，异号为负 先保证分式有意义 知识点2：分式的基本性质 1.基本性质：（） 2.符号法则：（变两处，值不变） 3.约分：约去公因式，化为最简分式（先分解再约分） 4.通分：找最简公分母，化异分母为同分母 知识点3：分式的运算 1.乘除：； 2.加减：同分母；异分母先通分再加减 3.混合运算：先乘方→再乘除→后加减，有括号先算括号内 知识点4：分式方程 1.定义：分母中含未知数的方程 2.解法：去分母→解整式方程→检验（必写步骤） 3.增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的根 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解都是增根 知识点5：分式方程的实际应用 1.常见模型：工程、行程、销售、平均量问题 2.步骤：审题→设元→列方程→求解→双检验（方程+实际）→作答 【易错题型】 【题型1】分式无解与增根混淆 1.易错点总结 分式方程：解后不检验，把增根当作有效解。 含参方程：将增根与无解等同，分类讨论不全。 2.纠错技巧 分式方程：解完必代入最简公分母检验。 含参问题：先找增根，再代入整式方程求参。 【例题1】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026七年级下·山西太原·专题练习）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【基础题型】 【题型2】分式有/无意义及值的符号判断 1.核心考点 分式定义、有意义条件、值为0双条件、值的正负。 2.解题技巧 有意义：分母≠0；值为0：分子=0且分母≠0。 分母为多项式先因式分解，逐一判断≠0。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）式子有意义的的取值范围是______． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【题型3】分式的基本性质与系数化整 1.核心考点 分式性质、符号变形、分子分母系数化整数、最简分式。 2.解题技巧 同乘除非零整式，负号同步变。 小数/分数系数：乘最小公倍数化整，先分解再化简。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·四川南充·期末）无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【题型4】分式的四则混合运算 1.核心考点 分式乘除、加减、乘方及运算顺序。 2.解题技巧 先因式分解，能约分先约分；除法变乘法。 严格按乘方→乘除→加减顺序计算。 【例题4】.（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·四川宜宾·月考）化简，． 【变式题4-3】.（2026·陕西西安·模拟预测）化简：． 【提升题型】 【题型5】分式化简求值（整体代入） 1.核心考点 分式化简、因式分解、整体代换求值。 2.解题技巧 先化最简分式，再代入数值。 条件复杂时用整体法，避免硬算。 【例题5】.（2026·安徽·二模）若，则__________． 【变式题5-1】.（2026·北京丰台·一模）已知，求代数式的值． 【变式题5-2】.（2026·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【变式题5-3】.（2026·北京朝阳·一模）已知，求代数式且的值． 【题型6】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心考点 去分母、解整式方程、验根。 2.解题技巧 找最简公分母去分母，注意符号与常数项。 解后必检验，增根直接舍去。 【例题6】.（2026·青海·模拟预测）解分式方程： 【变式题6-1】.（2026·辽宁朝阳·一模）分式方程的解为______ ． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏连云港·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 【题型7】含参分式方程的解的范围问题 1.核心考点 用参数表示解、解为正数/负数/整数、排除增根。 2.解题技巧 解方程得含参式→列不等式→排除使分母为0的参数。 整数解：解为整数且分母≠0。 【例题7】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【变式题7-3】.（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【题型8】分式方程的增根与无解综合 1.核心考点 增根产生原因、无解两种情况、求参数值。 2.解题技巧 增根：最简公分母=0→代入整式方程求参。 无解：分整式方程无解与解均为增根两类讨论。 【例题8】.（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【培优题型】 【题型9】情境化分式方程应用题（行程/工程/生活） 1.核心考点 实际问题数学建模、列分式方程、双检验、最优方案。 2.解题技巧 抓公式：路程=速度×时间；工作量=效率×时间。 牢记双检验：方程根合理+实际意义成立。 【例题9】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【变式题9-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【变式题9-3】.（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【题型10】分式值为整数与最值综合 1.核心考点 分离常数法、分式值为整数、范围分析。 2.解题技巧 分离常数：化为整式+真分式，分析分母整除性。 结合不等式求取值范围，锁定整数解。 【例题10】.（25-26九年级下·四川自贡·月考）当且时，因为，所以，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． (1)已知函数，当 时，y取得最小值为 ； (2)已知函数，则当x为何值时，y取得最小值，并求出该最小值． (3)已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少？ 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 分式值为0：漏分母≠0；运算：符号错误、不先分解因式。 分式方程：不验根、把增根当有效解。 含参问题：增根与无解混淆、未排除分母为0的参数。 应用题：只验方程不验实际合理性。 2.本章重难点 重点：分式性质、分式运算、分式方程解法与检验。 重点：分式方程实际应用、双检验。 难点：含参数分式方程（增根、无解、解的范围）。 难点：分式化简求值（整体代入、变形技巧）。 3.解题通用步骤 分式运算：因式分解→约分→定符号→按序运算→化最简。 分式方程：去分母→解整式→验根→作答。 含参问题：用参表示解→列不等关系→排除增根→定范围。 应用题：建模→列方程→解方程→双检验→作答。 4.高分必备技巧 分式计算：先分解，再约分，后计算。 分式方程：解完必检验，增根果断舍去。 含参问题：先找增根，再定范围，分类不重不漏。 化简求值：能整体代入不硬算，简化计算。 应用题：抓关键词，套公式，验合理性。 5.素养提升关键 强化转化思想：分式化整式、陌生化熟悉。 落实运算素养：严谨、规范、每步有据。 树立模型观念：用分式/分式方程解决实际问题。 培养分类讨论：含参问题全面考虑，不丢情况。 注重严谨性：分母不为0、验根、实际限制全落实。 【同步练习】 一、单选题 1．下列代数式，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 二、填空题 5．若，则的值______． 6．有意义，则x的取值范围是______． 7．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 三、解答题 8．解方程： (1)； (2)． 9．先化简，再求值：，其中． 10．2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 11．江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． (1)求A型、B型训练球每个各多少元？ (2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 12．知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________； (2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $