第2章 不等式与不等式组 单元复习（6大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理不等式与不等式组的核心知识点、常考考点及高频易错点，以“基础题型-提升题型-培优题型”分层呈现知识脉络，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“错题警示+分层练习”设计，如通过“性质口诀记忆”“关键词对应表”培养数学思维，结合新能源汽车充电方案等实际情境题发展模型意识，分层题型满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

第2章 不等式与不等式组 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.不等式的概念与性质 1.不等式的定义及不等号的识别； 2.不等式的基本性质（加减、乘除正数/负数）的应用； 3.利用性质比较大小、变形不等式 1.不等式两边乘除负数时，忘记改变不等号方向； 2.混淆不等式性质与等式性质，误将“同向不等式相加”等同于“同向不等式相乘”； 3.对“非负数”“不大于”等关键词理解错误，转化不等式时出错 2.一元一次不等式的解法 1.一元一次不等式的定义判断； 2.解一元一次不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； 3.不等式的解与解集的区别与表示 1.去分母时，漏乘不含分母的项； 2.移项时忘记变号； 3.系数化为1时，未判断系数的正负性，导致不等号方向错误； 4.混淆“解”与“解集”，解集表示时遗漏“等号”或方向错误 3.一元一次不等式组的解法 1.一元一次不等式组的定义； 2.解一元一次不等式组（分别解不等式，求公共解集）； 3.不等式组解集的数轴表示 1.求公共解集时，混淆“同大取大、同小取小”等法则； 2.数轴表示解集时，实心点与空心圈使用错误； 3.漏解不等式组中某个不等式，导致解集错误 4.不等式（组）的整数解 1.求一元一次不等式的整数解； 2.求一元一次不等式组的整数解； 3.结合整数解求参数的取值范围 1.确定整数解时，遗漏边界值或多算无关整数； 2.由整数解求参数时，未考虑等号是否成立，导致参数范围出错； 3.未结合数轴分析，整数解计数错误 5.不等式（组）的实际应用 1.结合实际场景（购物、行程、生产等）列不等式（组）； 2.解决最优方案、最值等实际问题； 3.跨学科情境（物理、经济等）中的不等式应用 1.列不等式时，混淆“至少”“至多”等关键词对应的不等号； 2.未考虑实际问题中的隐含条件（如人数、物品数量为正整数）； 3.求解后未验证解的实际意义，导致不合理解保留 6.含参数的不等式（组） 1.根据不等式（组）的解集求参数取值范围； 2.根据整数解的个数求参数； 3.参数对不等式（组）解集的影响分析 1.忽略参数的正负性对不等式变形的影响； 2.求参数范围时，遗漏边界值的验证； 3.未借助数轴分析参数与解集的关系，逻辑混乱 【易错题型】 【题型1】不等式变形与性质应用中的易错点辨析 1.易错点总结 -性质应用：不等式两边乘除负数时，未改变不等号方向；同向不等式相加后，误将结果与“相乘”混淆； -关键词转化：将“不小于”“非正数”等关键词错误转化为不等号（如“不小于”误写为“<”）； -变形步骤：去分母漏乘不含分母的项、移项未变号、系数化为1时未判断系数正负； -参数问题：含参数不等式中，未考虑参数为0或负数的情况，导致解集分析不全面。 2.纠错技巧 -性质口诀记忆：“加减不变向，乘除看正负；负号一出现，不等号反转”，变形后及时验证； -关键词对应表：整理“至少（≥）、至多（≤）、非负数（≥0）、不大于（≤）”等关键词与不等号的对应关系，避免转化错误； -步骤规范：解不等式时按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”逐步推进，每步标注依据（如“移项变号”“乘负数变向”）； -参数分类讨论：含参数不等式先判断参数是否为0，再分参数为正数、负数讨论，结合数轴确定解集。 【例题1】.（2026年广西南宁部分学校初中学业水平模拟考试冲刺卷数学（二））如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东揭阳·月考）若，则下列式子正确的是（　　）． A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 【变式题1-3】.（2026·江苏南通·模拟预测）不等式，仅对一切均成立，则实数a，b应满足的条件是______． 【基础题型】 【题型2】不等式的性质应用与比较大小 1.考点总结 -核心：不等式的3条基本性质（加减、乘除正数/负数），利用性质变形不等式、比较大小； -常考：根据性质判断不等式变形是否成立、比较两个代数式的大小、求字母的取值范围； -关键：准确判断变形过程中“不等号方向是否改变”。 2.解题技巧 -性质应用：①加减变形：两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变；②乘除变形：乘（除）同一个正数，方向不变；乘（除）同一个负数，方向改变； -比较大小：作差法（若，则）结合不等式性质，或代入特殊值验证（注意特殊值需符合条件）； -验证方法：变形后反向推导，或代入具体数值检验不等式是否成立。 【例题2】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（一）数学试题）下列推理正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【变式题2-1】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）已知实数满足：，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）若，且，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【题型3】一元一次不等式的解法 1.考点总结 -核心：一元一次不等式的定义（只含一个未知数、未知数次数为1、不等号两边为整式），规范求解步骤； -常考：解一元一次不等式、将解集表示在数轴上、判断不等式的解是否符合条件； -关键：每一步变形的规范性，尤其是“去分母”和“系数化为1”。 2.解题技巧 -步骤口诀：“去分母（各项同乘最简公分母，不漏乘）→去括号（括号前是负号，括号内各项变号）→移项（移项要变号，不移不变）→合并同类项→系数化为1（系数正负定方向）”； -数轴表示：解集含等号用实心点，不含等号用空心圈，大于向右画，小于向左画； -检验方法：取解集中的一个数代入原不等式，验证是否成立。 【例题3】.（25-26九年级下·安徽安庆·月考）解不等式：． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）解不等式，并在数轴上表示出解集． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）解不等式： (1) (2) 【变式题3-3】.（2026·安徽淮南·一模）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【题型4】一元一次不等式组的解法与解集表示 1.考点总结 -核心：一元一次不等式组的定义，分别解每个不等式后求公共解集； -常考：解不等式组、用数轴表示解集、判断解集的正误； -关键：掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集法则。 2.解题技巧 -求解步骤：①分别解组内每个一元一次不等式，得到各自解集；②将解集在同一数轴上表示，找出公共部分；③根据数轴写出不等式组的解集； -法则应用：①同大取大（如，解集为）；②同小取小（如，解集为）；③大小小大中间找（如，解集为）；④大大小小找不到（如，无解）； -易错提醒：数轴表示时，两个解集的公共部分要标注清晰，避免漏看“等号”。 【例题4】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解不等式组在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·江苏苏州·月考）解不等式组：；并写出所有的正整数解． 【变式题4-3】.（2026八年级下·山东青岛·专题练习）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【提升题型】 【题型5】含参数的一元一次不等式（组）的解集分析 1.考点总结 -核心：根据不等式（组）的解集求参数的取值范围，或根据整数解的个数确定参数； -常考：已知解集求参数、已知整数解的个数求参数、判断参数对解集的影响； -关键：借助数轴建立参数与解集的关系，验证边界值。 2.解题技巧 -单不等式含参：若的解集为，则；若解集为，则；结合解集反向求参数； -不等式组含参：先解每个不等式，用参数表示解集，再根据“公共解集”的情况（如无解、有解、解集为等）列不等式，求解参数范围； -边界验证：参数范围的边界值需代入原不等式组，验证解集是否符合要求（如是否包含该边界值）。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是______． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）已知关于的一元一次方程． (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【变式题5-2】.（2026·河南周口·模拟预测）若的解集如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D．4 【变式题5-3】.（2026·重庆·模拟预测）解不等式组：，并求它的所有整数解． 解：不等式①，得________； 不等式②，得________； 所以原不等式组的解集为________： 因此满足原不等式组所有整数解为________． 【题型6】不等式的实际应用——基础情境问题 1.考点总结 -核心：结合购物、行程、分配等基础情境，列一元一次不等式解决实际问题； -常考：根据“至少”“至多”“不超过”等关键词列不等式，求符合实际的解（如人数、物品数量）； -关键：准确提取情境中的不等关系，转化为数学不等式，兼顾解的实际意义。 2.解题技巧 -步骤：①设未知数（明确未知数的实际意义，如“设购买x件商品”）；②找出不等关系（如“总费用不超过预算”“数量不少于要求”）；③列不等式；④解不等式；⑤检验解的实际意义（如为正整数），确定最终答案； -关键词转化：“至少”→≥、“至多”→≤、“不超过”→≤、“剩余”→>0，避免不等号方向错误； -隐含条件：注意人数、物品件数等为正整数，解集中的非整数需舍去。 【例题6】.（2026·陕西榆林·一模）新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案：第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元；第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元．设这辆新能源汽车的充电总量为x（度），第一种方案所需充电总费用（包含安装家用充电桩所需费用）为元，第二种方案所需充电总费用为元． (1)请分别写出、与x之间的函数关系式； (2)请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 【变式题6-1】.（25-26八年级上·浙江丽水·期末）请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【变式题6-3】.（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【题型7】不等式与方程的综合应用 1.考点总结 -核心：结合一元一次方程的解，列不等式求字母的取值范围；或通过方程表示一个量，代入不等式求解； -常考：已知方程的解满足不等式、用方程表示参数后求不等式的解； -关键：建立方程与不等式的桥梁，通过“解方程”转化为“解不等式”。 2.解题技巧 -思路1：先解方程求出未知数（或参数）的表达式，再代入不等式，解不等式得到结果； -思路2：已知方程的解满足不等式，将解直接代入不等式，列关于参数的不等式，求解参数范围； -示例：若方程的解为正数，求k的范围——先解方程得，再列不等式，解得。 【例题7】.（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【变式题7-1】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料： 张力为了给新买的房子装修，需要购置三合板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张三合板的尺寸（单位：）都是，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是；乙型尺寸是． 为了充分利用好原料（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张三合板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张三合板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张三合板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． 请完成下列填空： (1)按照方法一的裁剪方法，请在图1中画出示意图，剩下的余料面积是________； (2)按照方法二的裁剪方法，请在图2中画出示意图，剩下的余料面积是________； (3)按照方法三的裁剪方法，剩下的余料面积是________； (4)经过核算，张力需要甲型材料11个，乙型材料18个．按照张力的需求，可以采用两种或三种裁剪方法并用，请你设计一种购买三合板的省钱方案，此时________张按方案一裁剪，________张按方案二裁剪，________张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是________元． 【培优题型】 【题型8】含绝对值的一元一次不等式 1.考点总结 -核心：绝对值的几何意义（表示数轴上点到原点的距离），解含绝对值的一元一次不等式； -常考：形如（）或（）的不等式求解； -关键：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，转化为普通一元一次不等式（组）。 2.解题技巧 -绝对值性质：①若（），则；②若（），则或； -求解步骤：①去掉绝对值符号，转化为不等式（组）；②解不等式（组），得到解集；③数轴表示解集，验证合理性； -示例：解→转化为→移项得→系数化为1得。 【例题8】.（25-26九年级上·广东惠州·期末）不等式的解为_____． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西太原·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海闵行·月考）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【题型9】一次函数背景下的不等式应用 1.考点总结 -核心：结合一次函数的图象与性质，解决与不等式相关的问题（如比较函数值大小、求自变量取值范围）； -常考：根据函数图象列不等式、由不等式求函数图象对应的区间、结合实际情境分析函数与不等式的关系； -关键：建立一次函数与不等式的联系，利用“函数值大小对应图象高低”的规律解题。 2.解题技巧 -图象法：①对于一次函数（），对应图象在x轴上方的x取值，对应图象在x轴下方的x取值；②比较两个一次函数与的大小，即找（或）时x的范围，对应图象中在上方（或下方）的区间； -转化法：将函数不等式转化为一元一次不等式求解（如，解关于x的不等式）； -易错提醒：注意的正负性对函数增减性的影响，进而影响不等式的解集方向。 【例题9】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【变式题9-1】.（22-23八年级下·河南许昌·月考）如图，直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)求直线：与直线及轴围成的图形的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式题9-2】.（2026九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，若当时，对每一个的值，都有整数，使得成立，直接写出的取值范围． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【题型10】探究式不等式问题 1.考点总结 -核心：通过观察、猜想、验证，探究不等式的规律或取值范围； -常考：给定一系列不等式，总结规律；或结合代数式的取值，探究不等式成立的条件； -关键：从特殊到一般，通过举例验证规律，逻辑推导结论。 2.解题技巧 -规律探究：观察已知不等式的结构（如，），猜想一般规律（，），再用数学方法验证； -条件探究：根据不等式成立的要求，反向推导字母的取值范围，结合代数式的性质（如非负性）缩小范围，验证结论； -思维方法：采用“特殊值验证→猜想规律→逻辑证明→总结结论”的探究流程，确保规律的准确性。 【例题10】.（24-25七年级下·吉林长春·期末）【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果那么一定成立．请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例，说明不一定大于． 【结论应用】 （3）应用1：已知求的取值范围． （4）应用2：已知直接写出的取值范围． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·福建厦门·月考）探究活动：探究函数的图象与性质．下面是小左的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表是与的几组对应值． 直接写出的值是_________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象； (4)若关于的不等式的解集是，则的值为____． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 同步练习 一、单选题 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的负整数解是有限的 二、填空题 5．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 6．关于x的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是____． 7．已知是关于x的一元一次不等式，则______． 8．若，则______． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 10．下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得  第一步 去括号，得  第二步 移项，合并同类项，得  第三步 两边都除以，得  第四步 所以，原不等式的解集为． (1)任务一：上述求解过程中，从第______步发生错误，具体错误是______； (2)任务二：解不等式． 11．解不等式组： 12．2025年我国新能源汽车产业持续升温，某汽车厂商针对一款新型电动汽车进行续航测试，测试团队从不同路况下的行驶数据中，抽取了100次有效测试结果，整理得到续航里程x（单位：）的频数分布表： 续航里程 频数 10 25 40 18 7 请根据以上信息解答下列问题： (1)直接指出中位数所在的分组； (2)若续航里程不低于为“优秀续航”，从这100次测试结果中随机选取1次，求恰好是“优秀续航”的概率； (3)该厂商计划推出“续航保障服务”，承诺：若该款车在正常驾驶情况下，续航里程低于的概率超过，则该款车视为不达标，需更换电池；为优化测试样本，厂商计划补充n次（n为正整数）续航里程在区间的测试数据，设补充的次数为n（n为正整数），若要使补充后，该款车仍达标，求n的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 不等式与不等式组 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.不等式的概念与性质 1.不等式的定义及不等号的识别； 2.不等式的基本性质（加减、乘除正数/负数）的应用； 3.利用性质比较大小、变形不等式 1.不等式两边乘除负数时，忘记改变不等号方向； 2.混淆不等式性质与等式性质，误将“同向不等式相加”等同于“同向不等式相乘”； 3.对“非负数”“不大于”等关键词理解错误，转化不等式时出错 2.一元一次不等式的解法 1.一元一次不等式的定义判断； 2.解一元一次不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； 3.不等式的解与解集的区别与表示 1.去分母时，漏乘不含分母的项； 2.移项时忘记变号； 3.系数化为1时，未判断系数的正负性，导致不等号方向错误； 4.混淆“解”与“解集”，解集表示时遗漏“等号”或方向错误 3.一元一次不等式组的解法 1.一元一次不等式组的定义； 2.解一元一次不等式组（分别解不等式，求公共解集）； 3.不等式组解集的数轴表示 1.求公共解集时，混淆“同大取大、同小取小”等法则； 2.数轴表示解集时，实心点与空心圈使用错误； 3.漏解不等式组中某个不等式，导致解集错误 4.不等式（组）的整数解 1.求一元一次不等式的整数解； 2.求一元一次不等式组的整数解； 3.结合整数解求参数的取值范围 1.确定整数解时，遗漏边界值或多算无关整数； 2.由整数解求参数时，未考虑等号是否成立，导致参数范围出错； 3.未结合数轴分析，整数解计数错误 5.不等式（组）的实际应用 1.结合实际场景（购物、行程、生产等）列不等式（组）； 2.解决最优方案、最值等实际问题； 3.跨学科情境（物理、经济等）中的不等式应用 1.列不等式时，混淆“至少”“至多”等关键词对应的不等号； 2.未考虑实际问题中的隐含条件（如人数、物品数量为正整数）； 3.求解后未验证解的实际意义，导致不合理解保留 6.含参数的不等式（组） 1.根据不等式（组）的解集求参数取值范围； 2.根据整数解的个数求参数； 3.参数对不等式（组）解集的影响分析 1.忽略参数的正负性对不等式变形的影响； 2.求参数范围时，遗漏边界值的验证； 3.未借助数轴分析参数与解集的关系，逻辑混乱 【易错题型】 【题型1】不等式变形与性质应用中的易错点辨析 1.易错点总结 -性质应用：不等式两边乘除负数时，未改变不等号方向；同向不等式相加后，误将结果与“相乘”混淆； -关键词转化：将“不小于”“非正数”等关键词错误转化为不等号（如“不小于”误写为“<”）； -变形步骤：去分母漏乘不含分母的项、移项未变号、系数化为1时未判断系数正负； -参数问题：含参数不等式中，未考虑参数为0或负数的情况，导致解集分析不全面。 2.纠错技巧 -性质口诀记忆：“加减不变向，乘除看正负；负号一出现，不等号反转”，变形后及时验证； -关键词对应表：整理“至少（≥）、至多（≤）、非负数（≥0）、不大于（≤）”等关键词与不等号的对应关系，避免转化错误； -步骤规范：解不等式时按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”逐步推进，每步标注依据（如“移项变号”“乘负数变向”）； -参数分类讨论：含参数不等式先判断参数是否为0，再分参数为正数、负数讨论，结合数轴确定解集。 【例题1】.（2026年广西南宁部分学校初中学业水平模拟考试冲刺卷数学（二））如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则且，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A、∵， ∴， ∴，， ∴， ∴A正确；     B、由A知， 当时，， ∴B不正确；     C、由A知， 当时，， ∴， ∴C不正确； D、由A知， 当时，， ∴D不正确． 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东揭阳·月考）若，则下列式子正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A：不等式两边同乘以一个负数，不等号会改变，因此，故A错误； 对于B：不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，因此，故B错误； 对于C：由两边同乘以得，再同加上，得，故C错误； 对于D：不等式两边同减去一个数，不等号不变，因此，故D正确． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 【答案】 【分析】的5倍与3的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，用符号“”表示，从而可得出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为． 【变式题1-3】.（2026·江苏南通·模拟预测）不等式，仅对一切均成立，则实数a，b应满足的条件是______． 【答案】， 【分析】先将不等式变形为标准形式，再根据解集为确定系数和常数项的条件，据此计算即可． 【详解】解：解不等式， 移项、合并同类项得， 不等式，仅对一切均成立， ， 解得， 不等式的解集为， ， 即， 解得， 实数a，b应满足的条件是，． 【基础题型】 【题型2】不等式的性质应用与比较大小 1.考点总结 -核心：不等式的3条基本性质（加减、乘除正数/负数），利用性质变形不等式、比较大小； -常考：根据性质判断不等式变形是否成立、比较两个代数式的大小、求字母的取值范围； -关键：准确判断变形过程中“不等号方向是否改变”。 2.解题技巧 -性质应用：①加减变形：两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变；②乘除变形：乘（除）同一个正数，方向不变；乘（除）同一个负数，方向改变； -比较大小：作差法（若，则）结合不等式性质，或代入特殊值验证（注意特殊值需符合条件）； -验证方法：变形后反向推导，或代入具体数值检验不等式是否成立。 【例题2】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（一）数学试题）下列推理正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘（除）一个正数不等号不变，同时乘（除）一个负数不等号改变．根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A． 若，则不等式两边同时加1，则，但不一定大于，选项错误； B． 若，则不等式两边同时乘且加1，不等号改变，则，选项错误； C． 若，则不等式两边同时乘2，不等号不变，则，选项正确； D． 若，则不等式两边同时乘，不等号不变，则，选项错误； 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）已知实数满足：，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解即可； 【详解】解： 根据等式的基本性质1，将的两边同时减，得， 根据不等式的基本性质2，将的两边同时乘3，得， 将代入，得，即， 根据不等式的基本性质3，将的两边同时乘，得， 将代入，得， 所以，即， 综上，．故选：B． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）若，且，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． 选项 A、C、D均非负数，只有选项 B为负数，故B符合题意． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 【题型3】一元一次不等式的解法 1.考点总结 -核心：一元一次不等式的定义（只含一个未知数、未知数次数为1、不等号两边为整式），规范求解步骤； -常考：解一元一次不等式、将解集表示在数轴上、判断不等式的解是否符合条件； -关键：每一步变形的规范性，尤其是“去分母”和“系数化为1”。 2.解题技巧 -步骤口诀：“去分母（各项同乘最简公分母，不漏乘）→去括号（括号前是负号，括号内各项变号）→移项（移项要变号，不移不变）→合并同类项→系数化为1（系数正负定方向）”； -数轴表示：解集含等号用实心点，不含等号用空心圈，大于向右画，小于向左画； -检验方法：取解集中的一个数代入原不等式，验证是否成立。 【例题3】.（25-26九年级下·安徽安庆·月考）解不等式：． 【答案】 【分析】按去括号、移项、合并同类项、系数化为进行计算即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）解不等式，并在数轴上表示出解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，再数形结合用数轴表示不等式解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如下． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式题3-3】.（2026·安徽淮南·一模）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为，得． 在数轴上表示如图所示： 【题型4】一元一次不等式组的解法与解集表示 1.考点总结 -核心：一元一次不等式组的定义，分别解每个不等式后求公共解集； -常考：解不等式组、用数轴表示解集、判断解集的正误； -关键：掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集法则。 2.解题技巧 -求解步骤：①分别解组内每个一元一次不等式，得到各自解集；②将解集在同一数轴上表示，找出公共部分；③根据数轴写出不等式组的解集； -法则应用：①同大取大（如，解集为）；②同小取小（如，解集为）；③大小小大中间找（如，解集为）；④大大小小找不到（如，无解）； -易错提醒：数轴表示时，两个解集的公共部分要标注清晰，避免漏看“等号”。 【例题4】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式题4-1】.（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解不等式组在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解． 【答案】数轴表示见解析，整数解为0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在数轴上表示的方法是解题的关键． 先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： ， ∴该不等式组的整数解为：0，1，2． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·江苏苏州·月考）解不等式组：；并写出所有的正整数解． 【答案】，所有的正整数解有2，3，4 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴所有的正整数解有2，3，4． 【变式题4-3】.（2026八年级下·山东青岛·专题练习）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】，见解析， 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 解得， 解集为：， 不等式组的所有整数解为． 【提升题型】 【题型5】含参数的一元一次不等式（组）的解集分析 1.考点总结 -核心：根据不等式（组）的解集求参数的取值范围，或根据整数解的个数确定参数； -常考：已知解集求参数、已知整数解的个数求参数、判断参数对解集的影响； -关键：借助数轴建立参数与解集的关系，验证边界值。 2.解题技巧 -单不等式含参：若的解集为，则；若解集为，则；结合解集反向求参数； -不等式组含参：先解每个不等式，用参数表示解集，再根据“公共解集”的情况（如无解、有解、解集为等）列不等式，求解参数范围； -边界验证：参数范围的边界值需代入原不等式组，验证解集是否符合要求（如是否包含该边界值）。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 【详解】解∵ 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴， 解得． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽六安·月考）已知关于的一元一次方程． (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程得到，再根据题意得到，解不等式即可得到答案； （2）先按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，进而求出不等式的最小整数解，再将其代入中求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∵该方程的解满足， ∴ 解得； （2）解：由题意得， ， 解得， ∴最小的整数解是3． 把代入中， 得 解得． 【变式题5-2】.（2026·河南周口·模拟预测）若的解集如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据数轴得出不等式组的解集，列出关于a的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 根据数轴可知，不等式组的解集为， ∴， 解得． 【变式题5-3】.（2026·重庆·模拟预测）解不等式组：，并求它的所有整数解． 解：不等式①，得________； 不等式②，得________； 所以原不等式组的解集为________： 因此满足原不等式组所有整数解为________． 【答案】；；；，，，，． 【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行不等式求解，取公共部分得不等式组的解集，再得出其所有整数解． 【详解】解：解不等式①：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式②： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； ∴原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组所有整数解为，，，，． 故答案为：；；；，，，，． 【题型6】不等式的实际应用——基础情境问题 1.考点总结 -核心：结合购物、行程、分配等基础情境，列一元一次不等式解决实际问题； -常考：根据“至少”“至多”“不超过”等关键词列不等式，求符合实际的解（如人数、物品数量）； -关键：准确提取情境中的不等关系，转化为数学不等式，兼顾解的实际意义。 2.解题技巧 -步骤：①设未知数（明确未知数的实际意义，如“设购买x件商品”）；②找出不等关系（如“总费用不超过预算”“数量不少于要求”）；③列不等式；④解不等式；⑤检验解的实际意义（如为正整数），确定最终答案； -关键词转化：“至少”→≥、“至多”→≤、“不超过”→≤、“剩余”→>0，避免不等号方向错误； -隐含条件：注意人数、物品件数等为正整数，解集中的非整数需舍去。 【例题6】.（2026·陕西榆林·一模）新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案：第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元；第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元．设这辆新能源汽车的充电总量为x（度），第一种方案所需充电总费用（包含安装家用充电桩所需费用）为元，第二种方案所需充电总费用为元． (1)请分别写出、与x之间的函数关系式； (2)请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 【答案】(1)， (2)该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少 【分析】（1）根据两种方案的计费方法表示即可； （2）根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：与x之间的函数关系式为； 与x之间的函数关系式为 （2）解：当时，则 解得， ∴该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·浙江丽水·期末）请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 【答案】笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元 【分析】设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据“笔记本的标价小于8元，笔记本和橡皮的标价之和大于8元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x是正整数，即可求出结论． 【详解】解：设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据题意得 ， 解得：， 又∵x是正整数， ∴， 则． 答：笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)共有种采购方案 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得 解得 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数， 根据题意可得 解得， 因为为正整数，所以的取值为 的可取值个数为 答：小王共有种采购方案． 【变式题6-3】.（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； (2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； (3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【题型7】不等式与方程的综合应用 1.考点总结 -核心：结合一元一次方程的解，列不等式求字母的取值范围；或通过方程表示一个量，代入不等式求解； -常考：已知方程的解满足不等式、用方程表示参数后求不等式的解； -关键：建立方程与不等式的桥梁，通过“解方程”转化为“解不等式”。 2.解题技巧 -思路1：先解方程求出未知数（或参数）的表达式，再代入不等式，解不等式得到结果； -思路2：已知方程的解满足不等式，将解直接代入不等式，列关于参数的不等式，求解参数范围； -示例：若方程的解为正数，求k的范围——先解方程得，再列不等式，解得。 【例题7】.（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【变式题7-1】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【详解】（1）解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：将得：， ∵， ∴， 解得； （3）额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料： 张力为了给新买的房子装修，需要购置三合板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张三合板的尺寸（单位：）都是，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是；乙型尺寸是． 为了充分利用好原料（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张三合板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张三合板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张三合板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． 请完成下列填空： (1)按照方法一的裁剪方法，请在图1中画出示意图，剩下的余料面积是________； (2)按照方法二的裁剪方法，请在图2中画出示意图，剩下的余料面积是________； (3)按照方法三的裁剪方法，剩下的余料面积是________； (4)经过核算，张力需要甲型材料11个，乙型材料18个．按照张力的需求，可以采用两种或三种裁剪方法并用，请你设计一种购买三合板的省钱方案，此时________张按方案一裁剪，________张按方案二裁剪，________张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是________元． 【答案】(1)42 (2)52 (3)35 (4)1，4，0，1000或2，2，1，1000或3，0，2，1000 【分析】（1）根据长方形的面积减去3个正方形和3个长方形的面积，即可求解； （2）根据长方形的面积减去2个正方形和4个长方形的面积，即可求解； （3）根据长方形的面积减去1个正方形和7个长方形的面积，即可求解； （4）设张按方案一裁剪，张按方案二裁剪，张按方案三裁剪，可满足需求，列出不等式，找到最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （） （2）解：如图所示， （） （3）解：依题意，（） （4）解：设张按方案一裁剪，张按方案二裁剪，张按方案三裁剪，可满足需求 ∴ ∴当时，共购买五张三合板，符合题意，价格为（元） 另外，当时，满足不等式①和②，共购买五张三合板，符合题意，价格为（元） 当时，满足不等式①和②，共购买五张三合板，符合题意，价格为（元） 综上所述，1张按方案一裁剪，4张按方案二裁剪，0张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是元； 或2张按方案一裁剪，2张按方案二裁剪，1张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是元； 或3张按方案一裁剪，0张按方案二裁剪，2张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是元． 【培优题型】 【题型8】含绝对值的一元一次不等式 1.考点总结 -核心：绝对值的几何意义（表示数轴上点到原点的距离），解含绝对值的一元一次不等式； -常考：形如（）或（）的不等式求解； -关键：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，转化为普通一元一次不等式（组）。 2.解题技巧 -绝对值性质：①若（），则；②若（），则或； -求解步骤：①去掉绝对值符号，转化为不等式（组）；②解不等式（组），得到解集；③数轴表示解集，验证合理性； -示例：解→转化为→移项得→系数化为1得。 【例题8】.（25-26九年级上·广东惠州·期末）不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西太原·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海闵行·月考）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 【题型9】一次函数背景下的不等式应用 1.考点总结 -核心：结合一次函数的图象与性质，解决与不等式相关的问题（如比较函数值大小、求自变量取值范围）； -常考：根据函数图象列不等式、由不等式求函数图象对应的区间、结合实际情境分析函数与不等式的关系； -关键：建立一次函数与不等式的联系，利用“函数值大小对应图象高低”的规律解题。 2.解题技巧 -图象法：①对于一次函数（），对应图象在x轴上方的x取值，对应图象在x轴下方的x取值；②比较两个一次函数与的大小，即找（或）时x的范围，对应图象中在上方（或下方）的区间； -转化法：将函数不等式转化为一元一次不等式求解（如，解关于x的不等式）； -易错提醒：注意的正负性对函数增减性的影响，进而影响不等式的解集方向。 【例题9】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式题9-1】.（22-23八年级下·河南许昌·月考）如图，直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)求直线：与直线及轴围成的图形的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，代入直线中求解、，得到直线解析式； （2）根据直线的解析式求出，联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象，得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点，代入中得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：令，则， ； 在中，令，则， ， ， 联立， 解得：， ， ， 即直线与直线及轴围成图形的面积为； （3）解：由图象可知，直线与直线交于点， 关于的不等式的解集为． 【变式题9-2】.（2026九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，若当时，对每一个的值，都有整数，使得成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】本题考查一次函数解析式的求解及不等式恒成立问题，结合“存在整数，使得成立”的条件，分情况讨论系数符号，从而确定参数范围是解答本题的关键． （1）先利用函数图象过点直接求出，再将点代入含的解析式，通过解方程求出，即可求得函数的解析式； （2）“存在整数”，等价于两函数的差大于1，再通过解不等式结合的范围，即可得到的范围． 【详解】（1）解：把代入，得：， ， 再将代入，得： ，解得：， 函数的解析式为：； （2）已知当时，对每一个的值，都有整数，使得成立， 因为的取值会取到整数，要保证此时范围内仍有整数，必须满足， 所以原条件等价于：在时恒成立（即两函数值之间至少有1个单位的“整数间隔”）， 由，，可得：， 条件转化为：当时，恒成立，即：， 分情况讨论： ①当（即）时： 此时不等式变为，但题目中，矛盾，此情况不成立； ②当（即）时： 此时不等式变为，而题目中，完全满足条件； 再结合的前提，可得且． 综上，的取值范围是：且． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是； 的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 【题型10】探究式不等式问题 1.考点总结 -核心：通过观察、猜想、验证，探究不等式的规律或取值范围； -常考：给定一系列不等式，总结规律；或结合代数式的取值，探究不等式成立的条件； -关键：从特殊到一般，通过举例验证规律，逻辑推导结论。 2.解题技巧 -规律探究：观察已知不等式的结构（如，），猜想一般规律（，），再用数学方法验证； -条件探究：根据不等式成立的要求，反向推导字母的取值范围，结合代数式的性质（如非负性）缩小范围，验证结论； -思维方法：采用“特殊值验证→猜想规律→逻辑证明→总结结论”的探究流程，确保规律的准确性。 【例题10】.（24-25七年级下·吉林长春·期末）【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果那么一定成立．请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例，说明不一定大于． 【结论应用】 （3）应用1：已知求的取值范围． （4）应用2：已知直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； （1）设，根据不等式的性质可得，即可得证； （2）设，得出，即可求解； （3）根据结论1，两式相加，即可求解； （4）根据不等式的性质可得，，两式相加，即可求解． 【详解】解：（1）∵，设 ∴ ∴ （2）如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例， 设 ∴， 即 ∴不一定大于． （3）∵ ∴即 （4）∵ ∴， ∴即 【变式题10-1】.（24-25八年级下·福建厦门·月考）探究活动：探究函数的图象与性质．下面是小左的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表是与的几组对应值． 直接写出的值是_________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象； (4)若关于的不等式的解集是，则的值为____． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查了函数的自变量取值范围、二次根式的性质、函数图象绘制以及一次函数与函数不等式的综合应用，解题关键是利用函数的性质和图象交点来解决问题． （1）根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将给定的x值代入函数表达式，计算得出对应的y值（即m的值）． （3）先根据小问2的结果描出指定点，再结合已知点用平滑曲线画出函数图象． （4）由不等式解集确定直线与函数图象的交点横坐标，求出交点纵坐标，代入一次函数表达式得到方程组，求解得出k、b，进而计算． 【详解】（1）∵函数有意义， ∴， 解得． 故答案为：； （2）当时，代入函数中， ， 则， ∴． 故答案为：． （3）解：如图所示： （4）解：∵不等式的解集是， ∴直线与函数的图象交点的横坐标为和． 当时，；当时，． 将和代入，得到方程组得 ． 解得： 则 ． 故答案为：． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；② (3)图象见解析；①；②图象见解析；， 【分析】（1）根据题意得自变量的取值范围是全体实数； （2）①把代入，即可求出m；②把代入，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解；②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解： 在函数中，自变量的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 （2）解：①把代入得：； 故答案为： ②当时，， 解得：， ∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为： （3）画出该函数的图象如图， ①观察图象得：该函数的最小值为； 故答案为； ②对于，当时，；当时，， 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 观察图象得：点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：， 【点睛】考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①12，2025或；②B (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时的值，当时的值即可得到答案； （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可； （4）确定直线恒过点，根据方程有两个实数解，即直线与直线有两个交点，画出图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，则， 或， ∴， 在中，当时，，即， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：根据（2）中图象可得：①当时，； 当时，则，解得：或， 故答案为：12，2025或； ②（i）变量x不是变量y的函数，原说法错误； （ii）当时，x每增加就增加1，原说法错误； （iii）图象经过第一、二象限，正确； （iv）当时，y有最小值，正确； 故选：B． （4）解：直线恒过点， ∵方程有两个实数解， ∴直线与直线有两个交点， 当平行于时，或， 由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点， 即方程有两个实数解， 故答案为：． 同步练习 一、单选题 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 2．关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式， 移项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 4．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的负整数解是有限的 【答案】B 【分析】正确解出不等式的解集，就可以进行判断． 【详解】解：A、不等式两边同时除以，得，故选项不符合题意； B、不等式的解集为，因此不是不等式的一个解，故选项符合题意； C、不等式的整数解有无数多个正确，故选项不符合题意； D、不等式的负整数解有，，，，，，，，，共9个，故选项不符合题意． 二、填空题 5．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 即， 解得． 6．关于x的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】首先求出不等式组的解集，根据不等式组有个整数解，得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式②可得：， 不等式组有个整数解， ， 不等式组的个整数解为、、、， ， 解得：． 7．已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 8．若，则______． 【答案】 【分析】不等式的性质：①不等号的两边同时加上（减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等号的两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；③不等号的两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数经过， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为． 10．下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得  第一步 去括号，得  第二步 移项，合并同类项，得  第三步 两边都除以，得  第四步 所以，原不等式的解集为． (1)任务一：上述求解过程中，从第______步发生错误，具体错误是______； (2)任务二：解不等式． 【答案】(1)四，两边都除以时，不等号的方向没有改变 (2) 【分析】（1）根据解不等式的步骤以及不等式的性质逐项判断即可； （2）根据解不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：经分析第四步错误，具体错误是两边都除以时，不等号的方向没有改变． （2）解：， ， ， ， ， ． 11．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可. 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 12．2025年我国新能源汽车产业持续升温，某汽车厂商针对一款新型电动汽车进行续航测试，测试团队从不同路况下的行驶数据中，抽取了100次有效测试结果，整理得到续航里程x（单位：）的频数分布表： 续航里程 频数 10 25 40 18 7 请根据以上信息解答下列问题： (1)直接指出中位数所在的分组； (2)若续航里程不低于为“优秀续航”，从这100次测试结果中随机选取1次，求恰好是“优秀续航”的概率； (3)该厂商计划推出“续航保障服务”，承诺：若该款车在正常驾驶情况下，续航里程低于的概率超过，则该款车视为不达标，需更换电池；为优化测试样本，厂商计划补充n次（n为正整数）续航里程在区间的测试数据，设补充的次数为n（n为正整数），若要使补充后，该款车仍达标，求n的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据表格可知本次测试中续航里程不低于的有25次，由概率公式计算即可； （3）根据补充后，该款车仍达标，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：抽取了100次有效测试结果， 中位数位于本次100次有效测试结果从小到大排列的第个和第个数据的和的平均数， ， 中位数在； （2）解：根据表格可知本次测试中续航里程不低于的有（次）， 则从这100次测试结果中随机选取1次，恰好是“优秀续航”的概率为； （3）解：即， 解得， n为正整数， 的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $