数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 考点目录 由递推关系求数列通项公式 由递推关系研究数列的性质 考点一 由递推关系求数列通项公式 例1．（2026·河南·模拟预测）已知数列满足，． (1)令，求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，若，求n的最大值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先应用累加法及等比数列求和公式计算得出通项公式； （2）应用分组求和及等比数列求和公式计算得出，最后应用指数函数单调性计算求解. 【详解】（1）由，可得，即， 当时，有， 累加，得 ， 又，所以， 验证可知也符合上式， 所以． （2）因为，且，所以， 所以， 则， 令，得，解得， 所以n的最大值为7． 例2．（2026·河北沧州·二模）已知为数列的前项和，，，，且，. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2)110 【分析】（1）先判断数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，先确定这两个等差数列的首项，可通过​求出偶数项的首项分别推导奇数项和偶数项的通项公式，再整合得到​的表达式； （2）先根据​的通项公式求出前n项和​的表达式，利用分组求和法计算该和. 【详解】（1）依题意，，，则， 又，所以， 又，所以，解得， 则数列中所有的奇数项是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，即n为奇数时，， 数列中所有的偶数项是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，即为偶数时，， 所以. （2）由（1）可知，，， 则 . 例3．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知数列满足，且（且）. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造等差数列，根据等差数列通项公式计算求解； （2）先化简，再应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）已知，整理得 ， 即，则数列为首项 ，公差为1的等差数列， 所以 ，所以； （2），， 所以，　① ，　② 由①-②，得 ， 所以. 例4．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件变形可得，进而可得是等差数列，运算得解； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1），， 是以1为首项，1为公差的等差数列. ， . （2）， . 变式1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目条件得到，并得到当为奇数时，，求出与的关系； （2）推导出是等比数列，从而求出的通项公式； （3）求出的通项公式，从而得到，结合（1）求出答案 【详解】（1），， 故，， 当为奇数时，， 故 ； （2）当时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以； （3）时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以的前项中偶数项的和为 故． 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 变式3．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知数列满足，且为常数列． (1)求的值； (2)若，记的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为常数列可得，结合关系可求； （2）由（1）结合可得，证明为等差数列，结合等差数列求和公式求结论. 【详解】（1）因为为常数列，所以，即， 又，所以． （2）由（1）知时，数列是常数列， 又，所以，即． 因为， 所以数列是首项为0，公差为2的等差数列， 所以． 变式4．（25-26高三下·湖南·月考）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设函数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察递推式，发现其可凑成完全平方形式，进而推出是首项为，公差为1的等差数列，求出，平方即得通项； （2）先对求导，后将和代入函数，最后用裂项相消法求和，得． 【详解】（1）由已知得， 显然，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即. （2）由题意知， 所以 ． 考点二 由递推关系研究数列的性质 例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，求得，结合裂项法求和，即可求解； （2）假设存在，使得，取满足该式的n的最小值，设为k，即，根据题意，求得当，且时，必有，结合反证法，即可得证； （3）根据题意，求得，得到，结合，证得；再由，利用累加法求得，结合裂项法求和，证得，即可得证. 【详解】（1）解：因为，所以，则， 所以． （2）证明：假设存在，使得，取满足该式的n的最小值， 设为k，即，① 由已知得，② 又由①+②得，所以 因为k是满足的n的最小值，若，则， 若，则，即是中最小的项． 当时，有，取整数使得且，此时必有， 这与相矛盾，假设不成立，故． （3）证明：先证： 由，可得， 由，可得， 所以；          再证： 由， 可得，所以． 当时，， 累加得，即． 所以， ． 例2．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【答案】(1)当时，此时为常数列且. (2)证明见解析 【分析】（1）根据可求的值，从而得到相应的常数列及对应的通项； （2）根据题设中的递推关系和分子有理化可证题设中的不等式. 【详解】（1）若为常数列，则，其中， 故，故（舍）或， 而当时，，此时为常数列且. （2）因为，所以， 又因为，故，而，故， 所以，所以， 又，所以. 例3．（2026·山东临沂·一模）对于可导函数，从初始值出发，定义序列．已知，． (1)设，求函数的解析式，并求的值； (2)记，，并设． （ⅰ）求证：； （ⅱ）是否存在正整数m，n，使得，，成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足条件的，，． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，证明见解析 【分析】（1）根据题意，迭代函数为，代入已知函数及其导函数，化简得，然后从初始值出发，依次计算即可； （2）（i）利用是的两个根，根据题意将代入，通过代数恒等变形得到分子为，分母为，从而有；（ii）由（i）的条件计算，假设存在正整数m，n，使得，，成等比数列，即，结合，可得，因为底数不为0或，则有指数相等，即，等式两边同时除以，结合指数的运算，可分析出无正整数解满足，得证. 【详解】（1）由题意得，则， 则有， 令，则， 取，则， 则， （2）（i），， 易得是的两个根， 则有，且， 由， 则， 因为，则有， 则 ， 因为，则有， 则， 于是，得证； （ii），迭代得， 即，， 其中，且， 若存在正整数m，n，使得，，成等比数列， 即，结合，可得， 因为， 所以， 同时除以得， 因为，则可设， 则有，即， 易得等号左边为偶数之差，结果为偶数，右边为奇数1，矛盾， 故无正整数解满足， 因此，不存在这样的正整数m，n，使得，，成等比数列. 变式1．（2026·江苏南通·二模）已知数列满足，． (1)求证：． (2)记， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：对任意实数，存在正整数s使得． (3)设c为正实数，若对任意正整数，都有，求c的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 (3) 【分析】（1）运用配方法进行运算证明即可； （2）（ⅰ）运用配方法，结合（1）中的结论进行求解即可； （ⅱ）运用放缩法，通过取对数进行求解即可； （3）运用取倒数法，结合裂项求和法进行求解即可. 【详解】（1）由， 所以当时，， 又因为，所以当时，； （2）（ⅰ）因为， 所以， ， 因为，且，可知数列单调不减，所以，所以，所以， 又因为，所以； （ⅱ）因为， 所以，当时取等号， 则 ， ， 则，当且仅当时取等号， 对任意实数，令， 取，其中表示不超过的最大整数， 则当时，任意实数，存在正整数s使得成立； （3）由（2）可知， 所以，即， 因为，， 所以 ， 即，即，所以c的最小值为. 变式2．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列： (2)求； (3)令，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）要证明数列 为等比数列，可先根据等比数列的定义，再通过对已知递推公式进行变形，得到 为常数； （2）先根据（1）求出 的表达式，再利用分组求和法求出 的值； （3）先求出的表达式，再通过单调性比较与的大小，最后证明. 【详解】（1）因为，则， 因为， 即，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 则． （3）由（2）可知，所以， ， 显然，则，即， 设，由于是单调递增函数， 所以单调递减． 则关于单调递减，所以， 综上． 变式3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，数列满足：，当时，. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)证明：存在，使得对于任意的，有； (3)证明：对于任意的，存在，使得当时，有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用函数在给定区间上的单调性求的取值范围. （2）根据（1）的结论，利用函数的单调性，确定方程的根，再证. （3）根据（1）的结论，函数在上单调递减，利用放缩可得，进而可得结论. 【详解】（1）由题意，， 所以恒成立，所以. 所以的取值范围为. （2）设， 由（1）知，在上单调递减， ， 由零点存在定理知，，使得，即， 若，则， 因为 所以对于任意的，有. （3）由题意，，所以， 假设当时，有，则有，即， 所以数列单调递增， 所以， 由（1）知，当时，在上单调递减， 所以，即， 所以，即， 因为，所以， 又因为，所以， 若，取，则，有； 若，取， 则，有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 考点目录 由递推关系求数列通项公式 由递推关系研究数列的性质 考点一 由递推关系求数列通项公式 、5 例1.(2026-河南模拟预测)已知数列{a,满足4=2,2a1=a,+3-2”. 0)冷，=2”a,求数列的通项公式 ②设a,的前n项和为S,若5，+a。<599,求n的最大值. 例2.(2026河北沧州二模)已知5为数列a,的前n项和，4=1，S,=10,n∈N,且n≥3，a,-a,2=2 ①求2： (2)求台 的值 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 1)” .25-26高三上安徽合肥期中）已知数列a清足山：且4,30十3（≥2且nEN* ①求数列a的通项公式 2若，=2n+3n-2,求数列6，的前n项和S 例4。(25-26高二下湖北期中)已知数列0满足4=1，且0a,-a,+a1=0. (①求数列a的通项公式： （n+2)an 2设，一n+1)-2,求数列b,的前n项和S, 2 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 20,n=2k-1,k∈N 变式1.(25-26高三下安徽合肥月考)己知数列1a,满足a=2’ an+2,n=2k,keN，设{a,{a 的前”项和分别为 Sn T )试求，4的值并探究5与7的关系； (2)当”≥2时，试求的通项公式： ③)试求5的值. S 变式2.(2026陕西榆林·棋拟预测)已知Sn是数列{a,的前m项和，4=1，数列a,∫是公差为三的等差数列. ①求数列a的通项公式 2若6.=之aC,求数列b,的前n项和 3 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 a,+t 变式3.(25-26高三下辽宁铁岭月考)已知数列a满足n0+1-(n+)a。=2,且n了为常数列. (1)求t的值： 2若4=2，记a的前”项和为S,求S,. 变式4.(25-26高三下湖南月考)已知数列a,满足4=1，且01=0，+2血，+1. ①求a,的通项公式： +…+x” 2)设函数x=aa,a2√a,a,Va,米， 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 考点二 由递推关系研究数列的性质 例1.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)记正项数列a,的前n项和为了，. +++1 1,1,1 (1)若a=2n,求SS2SSn; ②诺02an≥00，且8≤1， 证明：a1≤a, ⑧喏41-aa,al小1反，f明：答等. 例2.(25-26高三下重庆月考)已知数列{a,}满足a>0,a,=V3a+4n≥2，n∈N） ()数列a,}能否是常数列，若能，求出其通项公式：若不能，请说明理由： （2证明：口.-4≤子a1-4。 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 例3.(2026山东临沂一模》对于可导函数，从初始值出发，定义序列 x=F+0已知fy=X-3x+1,Xn=2, )设=8x）,求函数8口的解析式，并求”的值 e035.-3 _xn-a an 2,并设”x-B」 （i)求证：a=a (ii)是否存在正整数m,n, 心m<m<P八使得，a,成等比数列，若不存在，说明理由.若存在，求出所 有满足条件的，0，a」 支式La6江苏商通神已克文列a袋胆4，女22如o:N ()求证：a>0 =I (2)记”aa, (i)求证： b+1>bn≥3 ()求：对在意实数P~2,存在正整数使得久>。 6 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 (3)设c为正实数，若对任意正整数m≥2，都有后·，求c的最小值. > 数列：由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列的性质专项训练 2an 变式2.(25-26高二上内蒙古包头期末)已知数列a}的首项=3，且满足1 an+1, 1 (1)求证：数列a。为等比数列： 1+L+L++1 (2)求a1a2%an; (3)令”a,,证明：1<b1<b. 变式3.(25-26高三上福建福州月考)已知函数f=l(x+2),数列a满足：a=1,当"∈N时， an=f(an) ()考3)=0)-在L+四)上单调递减，求”的取值范围 在 ②)证明：存在GR,使得对于任意的”eN,有”，<， (3)证明：对于任意的b>0,存在m∈N,使得当”>m时，有1-a,<b P