统计与概率：独立事件的实际应用、递推法求概率问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦独立事件应用与递推法求概率，通过实际场景问题构建从概念到复杂应用的逻辑链条，强化数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立事件的实际应用|3例+2变式|列联表分析、比赛赛制概率、小球分布问题|从独立事件判定到概率计算，结合分层抽样、期望与分布列，构建统计与概率综合应用体系| |递推法求概率问题|3例+3变式|种植选择、投篮训练、抽奖活动等递推模型|以概率递推关系为核心，从初始概率到通项公式推导，培养数学抽象与逻辑推理能力|

统计与概率：独立事件的实际应用、递推法求概率问题专项训练 统计与概率：独立事件的实际应用、递推法求概率问题专项训练 考点目录 独立事件的实际应用 递推法求概率问题 考点一 独立事件的实际应用 例1．（24-25高三下·山东德州·开学考试）人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成题中表格，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关? (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 附：其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 例2．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）． (1)记甲盒中小球个数为，求的分布列和； (2)对于两个不相互独立的事件，，，． ①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）； ②定义为与的相关系数． （ⅰ）若，求证：与正相关； （ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况． 例3．（2025·福建·模拟预测）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及下四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选3次，设成绩落在区间的次数为，求的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响；优化失败则原成绩会降低10分.已知该运动员优化动作成功的概率为.在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时的取值范围. 变式1．（2025·云南·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 变式2．（2024·云南大理·模拟预测）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （ⅰ）求比赛结束时，三人总积分为2分的概率； （ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望. (2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 考点二 递推法求概率问题 例1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． (1)求、的值． (2)已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． (3)求的通项公式． 例2．（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 例3．（2026·重庆·三模）调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用．欧拉证明了调和级数，其中被称为欧拉常数，为误差．当足够大时，我们近似的认为，在本题中，调和级数均取这个近似值． (1)证明：当时，； (2)利用（1）证明； (3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者．如果不聘用，面试者会马上转去其它公司．假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为）．在后续候选人中，选择第一个比更优的候选人（记为），并继续寻找第二个比更优者（记为）．如果找到满足条件的、，则录取、，剩下的候选者不再进行面试．如果后续候选人中没有比更好的两个人，则招聘失败．已知有个候选人来参加面试，估计取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大？（参考数据：） 变式1．（2026·安徽·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则红球不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中．重复进行上述操作n次后，盒子中黑球的个数记为． (1)求随机变量的期望； (2)求随机变量的分布列； (3)求的表达式． 变式2．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． (1)求，； (2)求； (3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 变式3．（2026·陕西商洛·二模）国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动.在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2个白色小球和1个红色小球，每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把3个球的颜色重新变为2个白色小球和1个红色小球的初始状态.记第（，）次抽奖中奖的概率为. (1)求和； (2)是否存在实数，，，使得对任意的不小于4的正整数，都有？若存在，则求出，，的值；若不存在，请说明理由； (3)若累计中奖4次及以上可以获得一张优惠券，则从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为多少? 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：独立事件的实际应用、递推法求概率问题专项训练 统计与概率：独立事件的实际应用、递推法求概率问题专项训练 考点目录 独立事件的实际应用 递推法求概率问题 考点一 独立事件的实际应用 例1．（24-25高三下·山东德州·开学考试）人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成题中表格，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关? (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 附：其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关. (2)（i）（ii）14人 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第i轮获得优秀”，“员工经过培训能应用Sora”， 结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数，则，由条件列不等式可求结论． 【详解】（1）依题意，列联表如下： Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 零假设：Sora的应用与视频从业人员的减少独立，Sora的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，． 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关； （2）（i）设＂员工第i轮获得优秀＂，且相互独立． 设＂员工经过培训能应用Sora＂， 则 故员工经过培训能应用Sora的概率是． （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润：（万元）. 令，解得，又，所以． 因此，视频部最多可以调14人到其他部门． 例2．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）． (1)记甲盒中小球个数为，求的分布列和； (2)对于两个不相互独立的事件，，，． ①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）； ②定义为与的相关系数． （ⅰ）若，求证：与正相关； （ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况． 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)（i）证明见解析；（ii），与正相关. 【分析】（1）由题设的可能取值为，应用古典概型的概率求法求对应概率，进而写出分布列并求出期望； （2）（i）根据新定义及条件概率公式得，即可证； （ii）根据题意求出，，，根据给定公式及（i）的结论，即可得. 【详解】（1）由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法， ，，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 3 所以； （2）（i）由，则， 所以，故与正相关，得证； （ii）由题意，，， 所以， 结合（i）结论，故与正相关. 例3．（2025·福建·模拟预测）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及下四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选3次，设成绩落在区间的次数为，求的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响；优化失败则原成绩会降低10分.已知该运动员优化动作成功的概率为.在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时的取值范围. 【答案】(1)，下四分位数 (2) 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均数和下四分位数. （2）写出的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可； （3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可. 【详解】（1）平均值， 而，，因此下四分位数落在区间， 所以下四分位数为. （2）由样本数据知，训练成绩在，，之内的频数之比为， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内抽取了3次，在之内抽取了3次， 所以可取的值有：0，1，2，3， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. （3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间， 则相互互斥，动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件为“动作优化成功”，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件，，相互互斥， 因此在一次资格赛中入围的概率 ， 由解得，又，所以的取值范围是. 法二：由入围的成绩标准是80分，得进行某项动作优化前， 该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 因此进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又，所以的取值范围是. 变式1．（2025·云南·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【分析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，利用独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，得到比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望； （3）分别求得三局二胜制进行比赛甲获胜的概率和五局三胜制进行比赛甲获胜的概率，结合作差比较法，以及函数的性质，即可得到结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则． （2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5， 可得，， ．           所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为． （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，         采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：．           令， 因为，所以．           当时，； 当时，； 当时，．           所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利； 当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响．           由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 变式2．（2024·云南大理·模拟预测）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （ⅰ）求比赛结束时，三人总积分为2分的概率； （ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望. (2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，数学期望为 (2)乙和甲打第一局 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知比赛结束时，甲或乙连续获得两场胜利，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；（ⅱ）列举出总积分，根据各个积分计算出概率，再根据期望公式即可求解； （2） 设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，比较大小即可判断. 【详解】（1）（ⅰ）由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得两场胜利，有两种情况，； （ⅱ）由题意可知，， 所以， ， ， 所以三人总积分的分布列为 2 3 4 0.6 0.16 0.24 所以. （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中包含三种情况， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ； 显然， 故， ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局. 考点二 递推法求概率问题 例1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． (1)求、的值． (2)已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． (3)求的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）用全概率公式，结合第棵种桃树或非桃树的概率及其条件概率，计算第棵种桃树的概率； （2）套用贝叶斯公式，用、的联合概率除以的概率，求第棵种桃树的条件概率。 （3）先建立递推关系，再构造等比数列，通过求通项公式得到第棵种桃树的概率. 【详解】（1）设:第n颗种植桃树，：第n颗种植梨树，， . （2）. （3）假设转移概率不随变化， 由，得， 所以是等比数列，又，公比为， ，即. 例2．（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【详解】（1）若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. （2）（i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以， 故存在，使得当时，. 例3．（2026·重庆·三模）调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用．欧拉证明了调和级数，其中被称为欧拉常数，为误差．当足够大时，我们近似的认为，在本题中，调和级数均取这个近似值． (1)证明：当时，； (2)利用（1）证明； (3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者．如果不聘用，面试者会马上转去其它公司．假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为）．在后续候选人中，选择第一个比更优的候选人（记为），并继续寻找第二个比更优者（记为）．如果找到满足条件的、，则录取、，剩下的候选者不再进行面试．如果后续候选人中没有比更好的两个人，则招聘失败．已知有个候选人来参加面试，估计取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大？（参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出、，即可证得结论成立； （2）令，由（1）得，可得：，由此得出，，，利用不等式的可加性以及调和级数可证得结论成立； （3）把候选人的能力由低到高记为，其中，为最优秀的两人．先按“第二个最优秀者出现的位置”分类，求出成功概率，再用调和级数近似和导数分析确定最大概率对应的． 【详解】（1）令，则， 当时，，即在上单调递减， 故，即； 令，则， 当时，，即在上单调递增，故， 即. 综上所述，当时，. （2）令，由（1）得，可得：，，，， 叠加可得，， 由调和级数 可得， ， 由，可得 ，得，故. （3）设共有个候选人，不妨把他们按能力由低到高记为，其中与是最优秀的两人． 设最优秀的两人中较晚出现的一个在第位． 若策略最终成功，则必有，且另一个最优秀者在第位到第位之间，共有种位置选择． 对固定的和另一个最优秀者的位置，两个最优秀者占据这两个位置的概率为． 在第位到第位中，除去这两个最优秀者后还剩个位置． 为了使面试官在第位之前不会把其他人误选为第二个录取者， 这个位置中能力最高者必须出现在前个观察期内，其概率为． 所以成功选出最优秀两人的概率为 因为，所以 又 由调和级数近似可得 所以 令，则，并且 当时，只需研究函数 求导得，设， 再求导得，设，则 因此在上单调递增． 又 结合可知，在上的最大值点满足． 当时，；当时，． 其余整数对应的在这两个值两侧，概率不会更大．下面比较这两个候选值． 由参考数据，得 由参考数据，得 所以，即当时，招聘到最优秀的两个人的概率最大． 变式1．（2026·安徽·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则红球不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中．重复进行上述操作n次后，盒子中黑球的个数记为． (1)求随机变量的期望； (2)求随机变量的分布列； (3)求的表达式． 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 (3)． 【分析】(1) 分析得到的可能取值为2，3，4，并求出对应的概率，利用期望公式求出； (2) 分析得到的可能取值为2，3，4，5，并求出对应的概率，列出分布列； (3) 找到与的递推关系，转化为等比数列求通项公式，从而求出的表达式. 【详解】（1）每次操作取出2个球，若取出2个黑球，则黑球和红球的数量保持不变；若取出1个黑球1个红球，则黑球数量加1，红球数量减1；若取出2个红球，则黑球数量加2，红球数量减2． 的可能取值为2，3，4， 则，，， 则． （2）操作2次后，的可能取值为2，3，4，5， 操作2次后，盒子中2个黑球，则2次操作均为取出2黑， 则， 盒子中3个黑球，则2次操作中，其中1次取出2黑，另1次取出1红1黑， 则， 盒子中4个黑球，则2次操作中，其中1次取出2红，另1次取出2黑，或2次均取出1红1黑， 则， 盒子中5个黑球，则2次操作中，其中1次取出2红，另1次取出1红1黑． 则， 所以的分布列为 2 3 4 5 （3）记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则，， ， ， 所以 ， 所以． 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 变式2．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． (1)求，； (2)求； (3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意及独立事件的乘法公式即可求得，； （2）讨论的奇偶，计算对应的概率即可； （3）讨论成功增益为0和有成功增益的情况，分别求出初始状态下最终成功终止的概率和初始状态下最终成功终止的概率，进而根据即可求出的最小值． 【详解】（1）依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为 ， 恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为 ． （2）要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功， 当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次， 所以； 当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次， 所以； 所以，整理得． （3）定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止， 为上次测试成功但测试未终止， 设为从状态出发最终终止的概率. 则，故， 当成功增益为0，即时， 将代入得初始状态下最终成功终止的概率， 同理若成功增益， 则初始状态下最终成功终止的概率， 由题设有，故，此时， 所以满足条件的的最小值为． 变式3．（2026·陕西商洛·二模）国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动.在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2个白色小球和1个红色小球，每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把3个球的颜色重新变为2个白色小球和1个红色小球的初始状态.记第（，）次抽奖中奖的概率为. (1)求和； (2)是否存在实数，，，使得对任意的不小于4的正整数，都有？若存在，则求出，，的值；若不存在，请说明理由； (3)若累计中奖4次及以上可以获得一张优惠券，则从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为多少? 【答案】(1)， (2)存在，，， (3) 【分析】（1）分第一次中奖与否两种情况分析，利用全概率公式可得；分别分析第二次中奖，及第二次未中奖第一次中奖与否的情况，利用全概率公式可得； （2）分析相邻次中奖间的概率关系，利用全概率公式可得数列的递推公式，从而得的值； （3）先分析获得优惠券的情形，分别求出从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率，最后用对立事件的概率关系可得. 【详解】（1）由题意知， . （2）存在，理由如下： 因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，若第次中奖，则第次抽奖中奖的概率为； 从初始状态开始，若第次未中奖而第次中奖，则第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若第次未中奖且第次未中奖，则第次肯定中奖 ，所以第次抽奖中奖的概率为. 综上，对任意的，， 又，所以，，. （3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽9次至少中奖3次， 所以只需排除3次中奖的情况即可获得一张优惠券， 另外每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，抽一次中奖的概率为， 从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为， 从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为， 用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖， 则三次中奖的所有情况如下： ，，，，，，，，，， 故仅三次中奖的概率为： ， 所以从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $