三角函数的图像与性质6种高频考点专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

三角函数的图像与性质6种高频考点专项训练 三角函数的图像与性质6种高频考点专项训练 考点目录 已知三角函数解析式求性质 三角恒等变换与三角函数的性质综合 三角函数图像与三角函数性质综合 三角函数伸缩平移变换与三角函数性质综合 以三角函数为背景的复合函数的性质 已知三角函数的性质求参数 考点一 已知三角函数解析式求性质 例1．（2026·湖南·一模·多选）已知函数，则（   ） A． B．在区间上单调递增 C．曲线关于点中心对称 D．方程在区间上有3个解 【答案】BC 【详解】对于A，的最小正周期，可得A错误； 对于B，时，，故在区间上单调递增，故B正确： 对于C，，可得曲线关于点中心对称，故C正确； 对于D，，即，所以，，即，，故在上只有两个解和，故D错误． 例2．（2025·江西萍乡·二模·多选）函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减 【答案】AC 【详解】对于A，由正弦函数的周期公式可得最小正周期为，正确； 对于BC，， 故的图象不关于直线对称， 的图象关于点对称,所以B错误，C正确； 对于D，因为，错误. 例3．（2026·山西晋中·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AB 【分析】利用正弦函数性质依次判断ABC；利用平移变换求出解析式判断D. 【详解】对于A，当，时，函数取得最小值，A正确； 对于B，，点是函数图象的一个对称中心，B正确； 对于C，由，得，因此函数在区间上单调递减，C错误； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到，D错误． 变式1．（2026·宁夏吴忠·二模·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向上运动 【答案】BC 【分析】对于AB：代入求函数值，结合题意即可判断；对于C：根据正弦型函数的周期性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时小球位于平衡位置，故A错误； 对于选项B：因为， 所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D错误. 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·二模·多选）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 【答案】AC 【详解】对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确； 对于B：令，解得， 当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C：令，解得， 当时，，所以是的一个零点，故C正确； 对于D：对于函数，因为的值域为， 所以的值域为，故D错误. 变式3．（2026·四川达州·二模·多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在处取得最大值 C．的图象关于直线对称 D．在上有2个零点 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，B错误； 对于C，因，C正确； 对于D，当时，，由，得， 解得，即在上有1个零点，D错误. 考点二 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测·多选）已知函数（）的最小正周期为，点（）是图象的一个对称中心，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．在区间上单调递增 D．直线与（）图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】AC 【分析】整理得，根据函数的最小正周期为，求得，即可判断A；求出的最小值，即可判断B；求出函数的单调递增区间，即可判断C；求出函数在上所有根的和，即可判断D. 【详解】， 因为其最小正周期为，即，所以，故A正确； 令，，解得，， 由题知，，又， 所以的最小值为，故B错误； 令，， 解得，，所以当时，， 又因为是的真子集，所以在区间上单调递增，故C正确； 令，即， 所以，或，， 即，或，，因为， 所以满足条件的所有的值为，，，， 故所有交点的横坐标之和为，D错误. 例2．（2026·广西贵港·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．是对称轴 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增 【答案】BCD 【分析】借助降幂公式与辅助角公式可将原函数化为正弦型函数；利用正弦型函数周期性计算可得A；借助代入检验法可得B、D；计算出可得C. 【详解】； 对A：函数的最小正周期为，故A错误； 对B：当时，，因是函数的对称轴， 故是函数的对称轴，故B正确； 对C：是奇函数，故C正确； 对D：当时，，因在上单调递增， 故函数在区间上单调递增，故D正确. 例3．（2026·四川内江·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 变式1．（2026·河南·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用三角恒等变换得到，再根据正弦函数性质逐项判断. 【详解】， 所以最小正周期，A正确； 的最大值为，B错误； 令， 所以函数的单调递增区间， 当时，单调递增区间是 所以在区间上单调递增，C正确； 当时，即，则， 所以， 则，D正确. 变式2．（25-26高三下·海南·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．点是曲线的一个对称中心 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象与的图象在有6个交点 【答案】ACD 【分析】根据正弦型函数的对称性，利用代入检验法可判断AB，根据正弦型函数的单调性判断C，利用图象法判断D. 【详解】； 对A：时，，故A正确； 对B：时，，由直线不是函数的一条对称轴， 故直线不是的图象的一条对称轴，故B错误； 对C：时，，由函数在上单调递增， 故由复合函数的单调性知在区间上单调递增，故C正确； 对D：作出与在上图象如下图： 由图可得，两函数图象在上共有6个交点，故D正确. 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测·多选）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．关于点中心对称 D．在单调递减 【答案】BD 【详解】化简得， 对于A，，故A错误， 对于B，，令，解得， 令，得，故的图象关于直线对称，故B正确， 对于C，令，解得， 令，得，关于点中心对称，故C错误， 对于D，， 当，则，根据余弦函数的性质可知，在单调递减，故D正确. 考点三 三角函数图像与三角函数性质综合 例1．（25-26高三下·河南安阳·月考·多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．图象的对称轴方程为 D．的图象关于原点对称 【答案】BD 【详解】由题图可得，得， 由，得， 因为，所以，可得. 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，令，得， 所以的单调递增区间为，故B正确； 对于C，令，得， 所以图象的对称轴方程为，故C错误； 对于D，，其图象关于原点对称，故D正确. 例2．（2026·河北保定·二模·多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象与函数的图象只有2个交点 C．函数在区间上有6个零点 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】选项A，结合图像和最小正周期公式求解；选项B，求出的表达式，在同一直角坐标系中画出和的图像，结合图像得解；选项C，求出在区间上的零点个数即可得解；选项D，利用平移知识求解即可得到结论. 【详解】选项A，，，，，， 故选项A正确； 选项B，过点，且该点是单调递增范围内的点， ，， ，，， 作出与函数的图象，如图所示， 当时，又，则，即， 通过图像可知函数和的图像只有2个交点，故选项B正确； 选项C，，， ，， ，，， ，，由5个值， 故函数在区间上有5个零点，故选项C错误； 选项D，的图象向右平移个单位长度得到 ，此函数的表达式与相同，故选项D正确. 例3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模·多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 【答案】BCD 【分析】借助图象计算可得A、B；结合诱导公式计算可得C；利用三角函数性质计算可得D. 【详解】对A：由图知，，因此，故A错误； 对B：由五点法可知，因此，令，， 得经过最大值点的对称轴为，， 故，即为单调递减区间，故B正确； 对C：由诱导公式可知， 故C正确； 对D：令，故，故， 因为在上有且只有3个实数根，则，故D正确. 变式1．（2026·山东德州·二模·多选）如图，函数的图象上有两点，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】根据两点题设中图象的对称性可求初相位和，然后逐项判断后可得正确的选项. 【详解】因为，故即，而在上升曲线段中， 故，而，故，故A正确； 而，由图形结合对称性可得为轴右侧的第一条对称轴， 故即即，故B正确； 故， 当时，，而在上为减函数， 故在上为减函数，故C正确； 又，设， 而，故为奇函数，故D错误. 变式2．（2026·青海西宁·二模·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．函数图象的对称中心为 C．当时，的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】利用图象求出函数的最小正周期，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断B选项；由可得出的取值范围，结合正切型函数的基本性质求出函数的值域，可判断C选项；化简函数的解析式，利用正切型函数的基本性质解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A，设函数的最小正周期为，则有， 由函数的图象可知，则． 又，则，即，A错误； 对于B，令，解得， 即图象的对称中心为，B正确； 对于C，当时，， 故，则，C正确； 对于D，当时，，此时无解， 当时，则，解得， 由，可得， 此时，解得， 故不等式的解集为，D正确． 变式3．（2026·河北衡水·二模·多选）2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的单调递减区间为 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】利用图象结合正弦型函数性质分析可得B；利用振幅与相位定义计算可得A；利用正弦型函数单调性计算可得C；利用正弦型函数对称性计算可得D. 【详解】对B：由图可得，则， ，解得，又，则， ，则，故； 对A：由题意可得， 即，故A正确； 对C：令， 解得， 即的单调递减区间为，故C错误； 对D：当时，则， 由，则， 则，即， 故，故D正确. 考点四 三角函数伸缩平移变换与三角函数性质综合 例1．（2026·河南开封·模拟预测·多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】根据函数图象的伸缩变换得到解析式，结合正弦型函数性质求解即可. 【详解】由题意知，. 对于A：，A错误. 对于B：最小正周期，B错误. 对于C：令，，解得，，所以对称中心为. 当时，对称中心为，C正确. 对于D：令，，解得，，所以对称轴为，. 当时，对称轴为，D正确. 例2．（2026·山东日照·二模·多选）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．函数的最大值为1 D．方程在上有5个实数根 【答案】ABD 【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，求出和解析式，再利用三角函数性质逐项判断即可得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到： ， 显然的最小正周期为，则长度是的半个最小正周期， 又是的一个单调递增区间，则， 即有，，解得，， 而，解得，于是， 对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，B正确； 对于C，， 则， 因此函数的最大值为，C错误； 对于D，对方程，即 ， 得或， 当时，， ，且有两个解， 所以方程在上有5个实数根，D正确. 例3．（25-26高三下·云南楚雄·月考·多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递增 【答案】AC 【详解】由题可得，则，解得， 因为，所以当时，有最小值，即，则，故A正确； 因为+2，则， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误； ，故点是图象的一个对称中心．故C正确； 当时，，所以在上不单调，故D错误． 变式1．（2026·河北沧州·二模·多选）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．点是曲线的一个对称中心 C．若和在上的单调性相同，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据图象变换及余弦函数性质求出函数的解析式，根据三角函数的对称性判断AB；根据三角函数的单调性判断C；利用辅助角公式化简，然后根据正弦函数性质求解最值判断D. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到，，由题意， 所以或， ， 所以，或（不恒成立，舍去）， 又，所以， 所以，， 由， 则直线不是曲线的一条对称轴，A错； 因为， 所以点是曲线的一个对称中心，B对； 由，则， 要使在上单调，由正弦函数在上单调递减，可知，所以， 若和在上的单调性相同，由余弦函数在上单调递减， 可知，所以，则的最大值为，C对； 因为，， 所以，其最大值为，D错. 变式2．（2026·山西晋中·模拟预测·多选）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】利用周期公式求出，利用平移得到，利用图象关于直线对称，结合余弦函数的图像和性质得到，由得到的值，从而得到和的表达式，利用正余弦函数的图像和性质分别对选项一一求解. 【详解】函数的最小正周期为， ，， 将其图象向左平移个单位长度后得到的， ， 图象关于直线对称， ，， ，， ，， 选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ， ，故选项C错误； 选项D，，，， 在上单调递增，故选项D正确. 变式3．（2026·广西河池·二模·多选）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列关于函数的说法中正确的是（   ） A．的一个对称中心为 B．在的值域是 C．在区间内单调递增 D．的一条对称轴为 【答案】ACD 【分析】根据平移变换的原则，可得的解析式，代入检验，结合正弦函数的图象与性质，可判断A、C、D的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的图象与性质，可判断B的正误. 【详解】由题意， A：令，则， 所以的一个对称中心为，故A正确； B：当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故B错误； C：当时，， 因为为的一个单调递增区间， 所以在区间内单调递增，故C正确； D：当时，， 所以的一条对称轴为，故D正确. 考点五 以三角函数为背景的复合函数的性质 例1．（2026·山东聊城·二模·多选）设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 【答案】BCD 【分析】先利用以及余弦函数的偶函数的性质判断周期和对称性，再求导讨论单调性.最后把方程转化为关于的方程，再列出区间内的全部根并求和. 【详解】因为且 都是偶函数， 所以 故是函数的一个周期. 又 所以的最小正周期不是，而是.因此A错误. 对于B，任取， ， 由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确. 对于C，因为， 所以 当时， 从而 于是故函数在区间上单调递增，C正确. 对于 D，令则方程化为即 因为且 所以在区间 上，方程只有唯一解 设则 于是 在区间内，方程的解为 方程的解为 故区间内全部实根为 这些根的和为 ， 所以D正确. 综上，正确选项为BCD. 例2．（2026·广东广州·二模·多选）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴 C．的最大值为 D．在内单调递减 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义判断A；举例说明判断B；求出最大值判断C；利用导数确定指定区间上的单调性判断D. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，， 因此是的一个周期，A正确； 对于B，，， 因此不是图象的对称轴，B错误； 对于C，，，因此， 而当时，，所以的最大值为，C正确； 对于D，求导得， 当时，，则， 因此，函数在内单调递减，D正确. 例3．（2026·四川攀枝花·二模·多选）已知函数，则（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在区间上有3个零点 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】探究与的关系，可判断A的真假；探究与的关系，可判断B的真假；求出函数在的零点，判断C的真假；利用导数求函数的极大值，判断D的真假. 【详解】对于A：因为，所以不是函数的周期，故A错误； 对于B：因为， ， 所以，所以的图象关于对称.故B正确； 对于C：因为， 由或. 又，所以或，即在区间上有2个零点，故C错误； 对于D：由. 由或. 当时，或， 若，，则，所以； 若，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上可得，当，时，取得最大值.故D正确. 变式1．（25-26高三下·山东聊城·月考·多选）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．是偶函数 B．在区间上单调递减 C．是的周期 D．的最大值为2 【答案】AB 【分析】根据奇偶函数的定义可判断A；根据复合函数单调性的判断方法可判断B；根据周期函数的定义可判断C；根据正余弦函数的值域可判断D. 【详解】，定义域为R， 故为偶函数，故A正确； ，在单调递减，在单调递增， 故在单调递减，在单调递减， 所以在区间上单调递减.故B正确； ，故不是的周期.故C错误； ，当且仅当时取等号， 又，故等号取不到，故， 又（当且仅当时等号成立），故，故D错误. 变式2．（2026·江西九江·二模·多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据周期的定义判断B；根据导数判断C；根据导数求最值判断D． 【详解】对于A，定义域为，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，，所以的最小正周期不为，故B错误； 对于C，，当时，， 所以，则在上单调递增，故C正确； 对于D，设，，则， 所以在上单调递减，， 所以的最小值为0，故D正确． 变式3．（2026·湖南·二模·多选）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 【答案】AD 【详解】分母不为0，，解得，A正确． 定义域关于原点对称， ，满足奇函数定义，不是偶函数，B错误． ，不是的一个零点，C错误． 因为，所以是的一个周期，D正确． 考点六 已知三角函数的性质求参数 例1．（2026·广东肇庆·二模）若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因是偶函数，则， 即，也即函数是偶函数，则， ，则得，所以， 则. 例2．（25-26高三下·北京·月考）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质，结合给定增区间列出不等式求解. 【详解】由函数相邻两个对称轴之间的距离为，得，解得， 由，得， 因此函数在上单调递增， 而函数在上是增函数，则， 于是，解得. 例3．（2026·浙江温州·二模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由可知，再根据极值点的概念和正弦函数图象的性质可知且，由此即可求出结果. 【详解】因为，所以. 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点， 所以，又，所以. 故的取值范围为. 例4．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则______. 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 例5．（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 【答案】3 【分析】先根据条件利用余弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在上单调，可得，检验可得它的最大值． 【详解】 函数，为的零点，为图象的对称轴，，且， 相减可得， 即，，即为奇数． 在单调，， ，故奇数的最大值为． 当时，， ，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，， ，， 此时在上不单调，不满足题意． 当时，， ，， 此时在上单调递减，满足题意； 故的最大值为. 例6．（2026·江西·模拟预测）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【答案】 【分析】结合差角的余弦公式求出函数图象相邻的三个交点坐标，再利用对称性建立方程求出值. 【详解】由，得，整理得， 解得，则， 不妨取函数图象相邻的三个交点为， 依题意，是等腰直角三角形，由对称性得，则， 所以. 故答案为： 变式1．（2026·浙江杭州·二模）设函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据辅助角公式， 则的图象关于直线对称， 即，解得， 因为，所以当时，符合题意． 变式2．（25-26高一下·江西南昌·月考）已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定函数的解析式，再利用正弦函数单调性求解即可. 【详解】由题可得，令， 整理得，结合，得时，. 此时. ， 令，解得， 当时，的一个单调递增区间为. 变式3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知性质得，再由区间单调性有，即可得. 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 变式4．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值____. 【答案】（答案不唯一，或都可以） 【分析】首先根据三角函数的对称性，列出关于的方程组，再根据的取值范围，即可求解. 【详解】题意可得，与的图象都关于直线对称， 则，，即， 因为，所以当，时，；当，时，； 当，时，，故，，. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·山西吕梁·月考）若函数的图象关于轴对称，则实数__________． 【答案】0 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】因为为偶函数，. 所以，即恒成立，解得. 故答案为：0 变式6．（2026·西藏日喀则·模拟预测）函数在内有最大值．没有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为在内有最大值，没有最小值， 所以，即，所以的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的图像与性质6种高频考点专项训练 三角函数的图像与性质6种高频考点专项训练 考点目录 已知三角函数解析式求性质 三角恒等变换与三角函数的性质综合 三角函数图像与三角函数性质综合 三角函数伸缩平移变换与三角函数性质综合 以三角函数为背景的复合函数的性质 已知三角函数的性质求参数 考点一 已知三角函数解析式求性质 例1．（2026·湖南·一模·多选）已知函数，则（   ） A． B．在区间上单调递增 C．曲线关于点中心对称 D．方程在区间上有3个解 例2．（2025·江西萍乡·二模·多选）函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减 例3．（2026·山西晋中·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 变式1．（2026·宁夏吴忠·二模·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向上运动 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·二模·多选）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 变式3．（2026·四川达州·二模·多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在处取得最大值 C．的图象关于直线对称 D．在上有2个零点 考点二 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测·多选）已知函数（）的最小正周期为，点（）是图象的一个对称中心，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．在区间上单调递增 D．直线与（）图象的所有交点的横坐标之和为 例2．（2026·广西贵港·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．是对称轴 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增 例3．（2026·四川内江·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 变式1．（2026·河南·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 变式2．（25-26高三下·海南·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．点是曲线的一个对称中心 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象与的图象在有6个交点 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测·多选）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．关于点中心对称 D．在单调递减 考点三 三角函数图像与三角函数性质综合 例1．（25-26高三下·河南安阳·月考·多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．图象的对称轴方程为 D．的图象关于原点对称 例2．（2026·河北保定·二模·多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象与函数的图象只有2个交点 C．函数在区间上有6个零点 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 例3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模·多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 变式1．（2026·山东德州·二模·多选）如图，函数的图象上有两点，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 变式2．（2026·青海西宁·二模·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．函数图象的对称中心为 C．当时，的值域为 D．不等式的解集为 变式3．（2026·河北衡水·二模·多选）2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的单调递减区间为 D．若，且，则 考点四 三角函数伸缩平移变换与三角函数性质综合 例1．（2026·河南开封·模拟预测·多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 例2．（2026·山东日照·二模·多选）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．函数的最大值为1 D．方程在上有5个实数根 例3．（25-26高三下·云南楚雄·月考·多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递增 变式1．（2026·河北沧州·二模·多选）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．点是曲线的一个对称中心 C．若和在上的单调性相同，则的最大值为 D．的最大值为 变式2．（2026·山西晋中·模拟预测·多选）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D．在上单调递增 变式3．（2026·广西河池·二模·多选）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列关于函数的说法中正确的是（   ） A．的一个对称中心为 B．在的值域是 C．在区间内单调递增 D．的一条对称轴为 考点五 以三角函数为背景的复合函数的性质 例1．（2026·山东聊城·二模·多选）设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 例2．（2026·广东广州·二模·多选）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴 C．的最大值为 D．在内单调递减 例3．（2026·四川攀枝花·二模·多选）已知函数，则（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在区间上有3个零点 D．的最大值为 变式1．（25-26高三下·山东聊城·月考·多选）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．是偶函数 B．在区间上单调递减 C．是的周期 D．的最大值为2 变式2．（2026·江西九江·二模·多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为0 变式3．（2026·湖南·二模·多选）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 考点六 已知三角函数的性质求参数 例1．（2026·广东肇庆·二模）若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 例2．（25-26高三下·北京·月考）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·浙江温州·二模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（   ） A． B． C．2 D．4 例4．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则______. 例5．（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 例6．（2026·江西·模拟预测）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 变式1．（2026·浙江杭州·二模）设函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江西南昌·月考）已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值____. 变式5．（25-26高三上·山西吕梁·月考）若函数的图象关于轴对称，则实数__________． 变式6．（2026·西藏日喀则·模拟预测）函数在内有最大值．没有最小值，则的取值范围是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $