数列求和4种高频考点专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦数列求和四大高频方法，通过例题与变式构建“方法-题型-应用”逻辑体系，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |裂项相消法|3例+3变式|结合通项公式证明不等式|从递推关系求通项到裂项求和，体现转化思想| |错位相减法|3例+3变式|等差乘等比数列求和|通项公式推导与错位相减步骤结合，强化运算能力| |分组（并项）求和|3例+3变式|等差等比混合或正负项并项|分组转化为基本数列求和，培养分类讨论思维| |倒序相加法|4例+4变式|函数性质与数列求和结合|利用函数对称性推导求和公式，发展数学建模意识|

数列求和4种高频考点专项训练 数列求和4种高频考点专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项）求和 倒序相加法 考点一 裂项相消法 例1．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式； （2）求出的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式. 【详解】（1）设公比为，则，故， 故. （2），故， 所以. 例2．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 例3．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义和通项公式得到的关系式，利用的关系式求出； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）由题意知，所以，即， 将替换为，得， 两式相减，得． 所以， 所以． （2）由（1）知， 所以， 变式1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数的解集为．在数列中有，当时，记 (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由韦达定理求出的值，即可写出答案； （2）根据题意写出数列的通项公式，利用裂项相消求出，即可得证. 【详解】（1）由题意可知：是函数的两个零点. 由韦达定理可知： 所以 当时， 所以; （2）已知，由（1）可得， 当时，. 当时，. 则， 去括号可得 当时，，满足. 当时，，因为，所以，则，即. 综上，. 变式2．（2026·湖北随州·模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）降次作差求解数列的的通项公式即可； （2）根据（1）中的结果先确定数列，再运用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时， 当时，，且， 两式作差得，所以 显然符合上式， ∴ （2）根据（1）中的结果得，， ， 则 . 变式3．（25-26高三下·江西赣州·期中）在数列中，. (1)证明数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，记数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，再由等比的定义及等比数列的通项公式，即可求解； （2）根据条件得，利用裂项相消法得，即可求解. 【详解】（1）由，得到，又，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 则，得到，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以， 则， 又，所以. 考点二 错位相减法 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 例2．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意解得参数的值，再计算在点处切线方程，根据点均在切线上可得，结合递推关系求得通项公式； （2）代入上一问所求结果求得，再结合分组求和和错位相减求得前项和； 【详解】（1）对函数求导得， 因为，即，解得， 因此，又因为的图像过点，所以，解得 因此， 因为，的图像在点处的切线为，即 因为数列满足，且对任意，点均在切线上， 所以，变形可得 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以由等比数列通项，整理得 （2）已知 因此前项和 因为，令， ， 两式相减得：， 即，整理得 因此. 例3．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）时，可得，与原式相减可求通项公式； （2）结合（1），利用等差数列的前项和公式，计算可求； （3）利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，① 所以当时，， 当时，，② 由整理得， 因为符合上式，所以． （2）由（1）知， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以． （3）因为，所以． 因为， 所以， 所以． 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 变式2．（2026·陕西榆林·一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，并验证首项，即可求得，由于已知是等比数列，则求出任意两项即可得到公比. （2）符合等差乘以等比的形式的数列前项和使用错位相减求和法即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足， 所以． 因为，所以的公比， 所以． （2）由（1）可知， 所以①， ② 两式相减，得， 所以． 变式3．（2026·辽宁沈阳·一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和通项公式可求，利用等比数列的基本量运算可求； （2）先求，利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64， 所以，解得，所以； 数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则， 因为，，所以，解得或（舍）， 所以. （2）由（1）知， 则，可得， 两式相减可得 ， 所以. 考点三 分组（并项）求和 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理得出数列的递推关系，进而判断数列类型，求出通项公式. （2）先求出，进而得到的表达式，然后利用分组和裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 例2．（2026·四川宜宾·三模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合等比数列定义即可得证； （2）由等比数列性质可得数列的通项公式，再借助等比数列求和公式分组求和即可得. 【详解】（1）由，可得， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 则. 例3．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 变式1．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【分析】（1）先求出，然后时由得数列的递推关系，确定数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）（ⅰ）求出，写出中各项，用分组求和法求和；（ⅱ）分类讨论：为偶数时由（ⅰ）得结论，为奇数时，由计算. 【详解】（1）因为，所以， 时，，， 时， ，， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； （2）（ⅰ）由（1）知， ； （ⅱ）由（ⅰ）知为偶数时，，     为奇数时，. 所以； 变式2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) ，或. (2) 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 变式3．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据与的关系结合题设求证即可； （2）由（1）可得，进而得到，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，即， 所以， 设数列的前项和为， 所以 . 考点四 倒序相加法 例1．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 例2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 例3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】/ 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 例4．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 【答案】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设易得，即可利用倒序相加求得，由可得，进而得到数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，可求得，即可得到，进而得到，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由， 则， 由， 得， 则 ，即， 由，得， 则数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，4为公比的等比数列， 则数列为：， 显然数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，则， 所以， 则数列的前7项和为 . 故选：D 变式2．（2025·重庆永川·模拟预测）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】先计算，利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. 变式3．（24-25高三上·广东珠海·月考）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则________． 【答案】4050 【分析】根据可得，结合函数得到当时，，进而结合倒序相加法求解即可. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，， 则， 由，当时，， 于是， 令， 则， 因此， 所以. 故答案为：4050. 变式4．（24-25高三上·山东临沂·月考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 _________. 【答案】1012 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列求和4种高频考点专项训练 数列求和4种高频考点专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项）求和 倒序相加法 考点一 裂项相消法 例1．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 例2．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 例3．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 变式1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数的解集为．在数列中有，当时，记 (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：． 变式2．（2026·湖北随州·模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知，求. 变式3．（25-26高三下·江西赣州·期中）在数列中，. (1)证明数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，记数列的前项和，证明：. 考点二 错位相减法 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 例2．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 例3．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求数列的前n项和． 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 变式2．（2026·陕西榆林·一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式3．（2026·辽宁沈阳·一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 考点三 分组（并项）求和 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 例2．（2026·四川宜宾·三模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 例3．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 变式1．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 变式2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 变式3．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 考点四 倒序相加法 例1．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 例2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 例3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 例4．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 变式1．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·重庆永川·模拟预测）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 变式3．（24-25高三上·广东珠海·月考）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则________． 变式4．（24-25高三上·山东临沂·月考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 _________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $