二次函数：相似问题、角度问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

二次函数：相似问题、角度问题复习讲义 二次函数：相似问题、角度问题复习讲义 考点目录 以二次函数为背景的相似问题 以二次函数为背景的角度问题 知识点解析 考点一 以二次函数为背景的相似问题 解题原理 1. 坐标几何转化原理 二次函数图象上所有点均可设为含参坐标，利用坐标差表示线段长度、竖直/水平距离、斜边长，将几何相似条件完全代数化。 1. 相似三角形核心判定 依托两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三大判定； 抛物线背景多出现直角、等角、公共角、对顶角，优先使用直角相似、等角相似。 1. 分类讨论原理 未指定相似对应顶点时，对应关系不唯一，需分多组对应情况列比例式，避免漏解。 1. 函数与方程思想 相似 边长比例等式 构造方程，求解动点横坐标、参数，结合二次函数定义域取舍根。 解题思路 1. 定点化、设动点 求出抛物线与坐标轴交点、顶点等定点坐标；设抛物线上动点横坐标，表示出完整坐标。 1. 梳理固定角与直角 挖掘隐含直角、公共角、同角的余角相等、内错角相等，锁定一组恒定等角。 1. 分类罗列对应情况 无固定对应顺序时，按不同直角顶点、不同角对应关系分类。 1. 坐标表示边长 利用两点距离公式、竖/横线段长度，写出对应边代数式。 1. 列比例方程 根据相似对应边成比例，列出分式方程。 1. 解方程 + 检验 求解方程，舍去不在定义域、三点共线、图形不存在的增根，写出动点坐标。 考点二 以二次函数为背景的角度问题 解题原理 1. 角度代数化原理 特殊角（、、、）、等角、倍角、互余/互补角，可通过斜率、三角函数、向量、直角三角形转化为代数条件。 1. 斜率与夹角原理 两直线夹角可由斜率关系判定；垂直利用斜率乘积 ；等角可通过正切值相等建立等式。 1. 几何模型转化原理 借助一线三等角、直角三角形、等腰三角形、平行线倒角，将不规则角转化为规则可求角。 1. 范围与最值原理 动角随动点变化，结合二次函数增减性、区间范围，求解角度取值、存在性问题。 解题思路 1. 建坐标，定直线 写出相关直线解析式，求出斜率；设动点坐标，表达动直线斜率。 1. 角度条件翻译 · 直角：斜率乘积为 或勾股定理； · 等角：两角正切值相等； · 特殊角：构造直角三角形，利用特殊三角函数值； · 倍角、补角：利用三角恒等倒角。 1. 构造几何图形 作水平/铅垂线，构造直角三角形，用边长比值表示角的三角函数。 1. 列方程求解 将角度条件转化为方程，解出动点坐标或参数。 1. 结合图象限制 根据抛物线区间、动点位置，筛选合理答案，排除不合理解。 真题速递 1．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 考点一 以二次函数为背景的相似问题 【例题分析】 例1．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 例4．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 变式2．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． (1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标． (3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． (4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 变式3．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 变式4．（2026·四川南充·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 考点二 以二次函数为背景的角度问题 【例题分析】 例1．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点．点是抛物线对称轴上的一动点，连接，．当取得最大值时，求的最大值； (3)将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使抛物线与射线交于，两点．点为抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 例2．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 例3．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若此抛物线上有一动点，其横坐标为，当在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为 时，求的值； (3)设此抛物线与轴正半轴的交点为，点为抛物线顶点，连接，若点在线段上运动，连接，点为点关于直线的对称点，射线与抛物线交于点，当直线与直线所夹锐角为时，求点的横坐标． 变式2．（2026·贵州铜仁·模拟预测）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 变式3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：相似问题、角度问题复习讲义 二次函数：相似问题、角度问题复习讲义 考点目录 以二次函数为背景的相似问题 以二次函数为背景的角度问题 知识点解析 考点一 以二次函数为背景的相似问题 解题原理 1. 坐标几何转化原理 二次函数图象上所有点均可设为含参坐标，利用坐标差表示线段长度、竖直/水平距离、斜边长，将几何相似条件完全代数化。 1. 相似三角形核心判定 依托两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三大判定； 抛物线背景多出现直角、等角、公共角、对顶角，优先使用直角相似、等角相似。 1. 分类讨论原理 未指定相似对应顶点时，对应关系不唯一，需分多组对应情况列比例式，避免漏解。 1. 函数与方程思想 相似 边长比例等式 构造方程，求解动点横坐标、参数，结合二次函数定义域取舍根。 解题思路 1. 定点化、设动点 求出抛物线与坐标轴交点、顶点等定点坐标；设抛物线上动点横坐标，表示出完整坐标。 1. 梳理固定角与直角 挖掘隐含直角、公共角、同角的余角相等、内错角相等，锁定一组恒定等角。 1. 分类罗列对应情况 无固定对应顺序时，按不同直角顶点、不同角对应关系分类。 1. 坐标表示边长 利用两点距离公式、竖/横线段长度，写出对应边代数式。 1. 列比例方程 根据相似对应边成比例，列出分式方程。 1. 解方程 + 检验 求解方程，舍去不在定义域、三点共线、图形不存在的增根，写出动点坐标。 考点二 以二次函数为背景的角度问题 解题原理 1. 角度代数化原理 特殊角（、、、）、等角、倍角、互余/互补角，可通过斜率、三角函数、向量、直角三角形转化为代数条件。 1. 斜率与夹角原理 两直线夹角可由斜率关系判定；垂直利用斜率乘积 ；等角可通过正切值相等建立等式。 1. 几何模型转化原理 借助一线三等角、直角三角形、等腰三角形、平行线倒角，将不规则角转化为规则可求角。 1. 范围与最值原理 动角随动点变化，结合二次函数增减性、区间范围，求解角度取值、存在性问题。 解题思路 1. 建坐标，定直线 写出相关直线解析式，求出斜率；设动点坐标，表达动直线斜率。 1. 角度条件翻译 · 直角：斜率乘积为 或勾股定理； · 等角：两角正切值相等； · 特殊角：构造直角三角形，利用特殊三角函数值； · 倍角、补角：利用三角恒等倒角。 1. 构造几何图形 作水平/铅垂线，构造直角三角形，用边长比值表示角的三角函数。 1. 列方程求解 将角度条件转化为方程，解出动点坐标或参数。 1. 结合图象限制 根据抛物线区间、动点位置，筛选合理答案，排除不合理解。 真题速递 1．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可；②参考①思路联立解析式即可；③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∵点的坐标为， ∴点B的横坐标为， 将代入得，， ∴点B的坐标为， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵直线的解析式为，即第二、四象限的角平分线， ∴直线为第一、三象限的角平分线，解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴，则， ∴点B的坐标为． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 考点一 以二次函数为背景的相似问题 【例题分析】 例1．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 【分析】（1）令和，分别求解即可； （2）分两种情况：和，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， 当时，， ； （2）解：∵是直线与抛物线的交点， ①如图，若时，则， ， 解得：（舍去）或， ②如图，若时，过作轴于点， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ，， ，， ， ， 解得：（舍去）或 综上，符合题意的的值为或． 例4．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 【变式训练】 变式1．（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2) (3) 或 ． 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），，代入直线得 ， ∴点坐标为：； （3）解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由，，得，， 设，由得：， 整理解得或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，，计算得； 因此坐标为： 或 ． 变式2．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． (1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标． (3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． (4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)能，P点坐标为或 (4)点Q的坐标是或或或 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，勾股定理，旋转的性质得到，，运用待定系数法求解即可； （2）得出，设，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意运用待定系数法得到直线的解析式为：，根据平行四边形的判定方法分类讨论：当时，四边形是平行四边形；，时是平行四边形，结合图形分析即可求解； （4）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时，若；当时，若；当时，若；当时，若；结合图形分析求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由旋转得：， ∴， ∴，且直线是抛物线的对称轴， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得，， ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，由旋转得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：如图2，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线是平移所得， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图3， 由题意得：， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 即当直线向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、、F、P为顶点的四边形是平行四边形， 此时， 综上所述，P点坐标为或； （4）解：分四种情况： ①如图4， 当时，若， 由题意可知：， ∴， 过Q作轴于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴， ∴； ②如图5， 当时，若， ∴， 设，则， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ③如图6， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设，则， 同理得：， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ④如图7， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设， 同理得：，， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； 综上所述，点Q的坐标是或或或． 变式3．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③ 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 变式4．（2026·四川南充·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为： (2)点D的坐标为或 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解； （3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：过点D作于H， 抛物线交y轴于点， ∵、B关于直线对称， ∴． 设． ∵， ∴，即 ∴ ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点D的坐标为或． （3）解：与的数量关系为：． 理由如下：设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴ 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∵与抛物线有唯一交点F， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴． 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∴，即， ∴， ∴． 过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K， 则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． 考点二 以二次函数为背景的角度问题 【例题分析】 例1．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点．点是抛物线对称轴上的一动点，连接，．当取得最大值时，求的最大值； (3)将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使抛物线与射线交于，两点．点为抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）把，，代入抛物线解出即可． （）根据轴，用含的式子表示出，通过配方求出取最大值时的的坐标，再根据抛物线的对称性转化，此时,根据三角形三边关系知，当、、共线时有最大值，从而求出最大值为的长度． （）根据沿直线进行平移，设出新抛物线的解析式，从而求出直线与抛物线的交点，再根据，得到，进而得到，根据直线平移的性质可知直线和直线的相等，求出的解析式，最后求出的坐标，第二种情况是在直线下方，过作交抛物线于交轴于，使得，过作轴，根据得到，求出的坐标，再联立直线和平移后的抛物线，从而求出的坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过，， 将，代入解析式得解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：连接， 当时，， 解得，， ∵， ∴； 设直线的解析式为（）， 把，代入得解得； ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴ ． 由抛物线的对称性可知，关于抛物线的对称轴对称，且在对称轴上， ∴， ∴, 根据三角形三边关系知， ∴当、、共线时有最大值，最大值为的长度， ∵ ∴的最大值为． （3）解：①当在直线上方时，过作交抛物线于， ∵抛物线是沿直线进行平移， ∴设向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线过， ∴， 解得，（舍） ∴平移后的抛物线解析式为； 联立方程组得：， 解得，， ∵新抛物线与直线交于,两点，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∵，， ∴同法可求出直线的解析式为， 根据直线平移的性质可知直线和直线的相等， 设的直线解析式为，新抛物线上的， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∵， ∴． ②当在直线下方时， 过作交抛物线于交轴于，使得，过作轴于点． ∴， ∴, ∴， ∵, ∴， ∴, 设过的直线解析式为（）， ∴，解得， ∴的直线解析式为， 联立方程组整理得， 解得，， ∵， ∴， 综上，点的坐标为或． 例2．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴，交于，过点作轴于，交于，根据解析式求出，得出，根据平行线的性质及角的和差关系得出，利用的三角函数求出，，可得，根据，证明四边形是平行四边形，得出当取得最大值时，取最大值，设，可得，根据二次函数的性质可求出点坐标为，在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于，可得、、在一条直线上时，取最小值，利用三角函数求出、的长即可得答案； （3）先求出平移后的抛物线解析式为，得出两抛物线的交点为原抛物线的顶点，分点在点下方和点在点上方两种情况，分别求出、的解析式，与新抛物线联立，求出交点坐标即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴，交于，过点作轴于，交于， ∴， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取最大值， 设， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， 在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于， ∴， ∴当、、在一条直线上时，取最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：∵将抛物线沿方向平移个单位长度，， ∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等， 设平移的距离为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线解析式为， 联立两个抛物线的解析式得，， 解得：， ∴，此时新抛物线经过原抛物线的顶点， 如图，①当点在点下方时，过点作轴，交于，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②当点在点上方时，过点作于，设交轴于， 同理可得，，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 例3．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若此抛物线上有一动点，其横坐标为，当在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为 时，求的值； (3)设此抛物线与轴正半轴的交点为，点为抛物线顶点，连接，若点在线段上运动，连接，点为点关于直线的对称点，射线与抛物线交于点，当直线与直线所夹锐角为时，求点的横坐标． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)的值为或 (3)点的横坐标为 【分析】（1）根据对称轴得的值，由点得的值，即可得出结果； （2）根据函数最值情况，对的范围进行分类讨论，即可得出的值； （3）令与交于点，过点作轴，过点作轴，交轴与点，根据题意情况判断出 轴，令点坐标为，则点，由对称的性质，得 ，，得出方程，求解出、的值，得出直线的函数表达式为，结合，即可求出点的横坐标． 【详解】（1）解：∵对称轴与轴交于点， 即抛物线对称轴为直线， 故 ， ∴， ∴， 将点代入 ， 得 ， 解得， 故抛物线对应的函数表达式为． （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 对的取值范围进行分类讨论， ①当时，当时，函数值最小， 故 ， 解得； ②当时，当时，函数值最小， 故 ， 化简得 ， 解得或（不满足，舍去）； 综上，的值为或． （3）解：令与交于点，过点作轴，过点作轴，交轴与点，如下图所示： 当时，得， 解得或， 故点， 当时， ， ∴点， ∵，，轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵轴， ∴， 若直线与直线所夹锐角为， 则 ， ∴ 轴， 令直线表达式为， 将点，代入 ， 得，解得， ∴直线表达式为， 令点坐标为，则点， 由对称的性质，得 ，， ∴，解得， 故， 求得直线的函数表达式为，结合， 得 ， 解得或（舍去）， ∴点的横坐标为． 变式2．（2026·贵州铜仁·模拟预测）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴和先根据抛物线对称轴公式求出，再把点代入抛物线解析式求出即可； （2）先确定点B和点C的坐标，得出是等腰直角三角形，，当，存在两种情况：点在点的上方， ，点在点的下方， ，据此求出即可， （3）根据对称轴与取值范围的相对位置确定函数最大值的对应的取值，由此即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线， ∴，解得． 又∵抛物线经过点， ∴，解得． 故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为． （2）解：当时，即，解得或．故点B的坐标为． 当时，，故点C的坐标为． 设坐标为． 在中， ，，， ∴是等腰直角三角形，． 当，存在两种情况： ①点在点的上方，如图： 此时． 在中，，即，解得． 此时点坐标为． 线段． ②点在点的下方， 如图： 此时． 在中，．即，解得． 此时点坐标为， 线段． 综上所述，线段的长度为或． （3）解：抛物线解析式为，化为顶点式为．抛物线开口向下，顶点坐标为． 根据对称轴的位置不同，函数最大值取值有三种不同情况： 情况一：当时，即，此时函数在范围内，随增大而增大，最大值在处取得， ∴， 整理得，解得．因为，所以． 情况二：当时，即，此时函数的最大值为顶点的纵坐标．． 则，解得．此解不满足的条件，故舍去． 情况三：当时，此时函数在范围内，随增大而减小，最大值在处取得． ∴． 整理得，解得．因为，所以． 综上所述，的值为或． 变式3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $