3.二次函数-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

第一部分数与代数 3.二次函数 知识梳理 【知识点一三次函数的概念及表达式】 1.二次函数的定义：形如y=2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函 数，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项. 2.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0). (2)顶点式：2=a-h)4或y=ux+4c-(a≠0，a,b,c,b,k是常数). 2a (3)交点式：y=(x-x)(x-2)(此种形式只需了解即可，在中考中不作为考查对象)· 知识点三三次函数的图象和性质 1.二次函数的图象 抛物线 y=ax2(a≠0)》 y=ax2+k（a≠0) y=a(x-h)2(a≠0) y=a(x-h)2+h(a≠0) a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 向上 向下 向上 向下 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 直线=h 直线=h 顶点坐标 原点 (0,) (h,0) (h,k) 2.二次函数的增减性、最值 =a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 对称轴、 顶点坐标 对称销是栏名 顶点华标是岛“ a>0,开口向上 a<0,开口向下 开口方向 101 中考总复习·数学 续表 =ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 在对称轴左侧，即x<在对称轴右侧，即x>在对称轴左侧，即x<在对称轴右侧，即x> 增减性 会时 b时 2 会时 会时 y随龙的增大而减小 y随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当x=-多时，y有最小值，抛物线有最高点，当x=-多时，y有最大值 最值 2a 2a y最小价=4ac-b2 4a y最大=4e-b2 4a 3.二次函数图象的平移 (1)平移步骤：①将抛物线表达式转化为顶点式：y=(x-h)2+k,确定其顶点坐标； ②保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(，k)即可. (2)平移规律： 移动方向 平移前的表达式 平移后的表达式 规律 向左平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k 3y=a(x-h+m)2+ 左加 向右平移m个单位长度 y=a(x-h)2tk y=a(x-h-m)2+h 右减 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2tk y=a(x-h)）P+k+m 上加 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+h y=a(x-h)+h-m 下减 口诀 左加右减、上加下减 知识点三二次函数与一元三次方程的关系 一元二次方程ar2+b.x+c=0根的情况 二次函数y=a.r2+br+c与r轴的交点情况 b2-4ac>0 有两个不相等的实数根 有两个不同的交点 b2-4ac=0 有两个相等的实数根 有唯一的交点 b2-4ac<0 无实数根 无交点 【知识点四 二次函数的应用 二次函数实际应用中的最值问题： 在求二次函数最值时，一定要准确求出自变量的取值范围，特别要观察顶点是否在取值 范围内，若在，则取顶点的纵坐标为最值；若不在，则根据取值范围在对称轴的左右和抛物 线的开口方向，利用增减性求最值， 102 第一部分数与代数 考点精梳 考点一二次函数的图象与性质 例1(2023雁塔区模拟)对于抛物线y=ax2+(1-a)x+3,当x=-1时，y<0,则这条抛物 线的顶点一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例2(2024南山区模拟)如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数，且a≠0)在同一 平面直角坐标系内的图象可能是() B 例3(2025浙江模拟)已知二次函数y=am2-ax-1(a≠0)，y2=x2-bx+3,则下列结论正 确的是（) A.若-2<a<0<b,则y<y2 B.若-2<a<b<0,则y1<y2 C.若0<a<2<b,则y<y2 D.若0<a<b<2,则y<y2 考点三二次函数系数的符号及其之间的关系 例1(2025宝鸡二模)在二次函数y=x2-2nx+2(n为常数)中，当x>1时，y随x的增 大而增大，则n的取值范围是() A.n<I B.n>1 C.n≥1 D.n≤l 例2(2025宝安区三模)已知关于x的二次函数y=x2+(b-3)x-b的图象不经过第三象 限，则实数b的取值范围是() A.b<3 B.b>3 C.b≤0 D.b<0 例3(2025安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示，则() A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 例3题图 103 中考总复习·数学 【考点三三次函数图象的平移 例1(2023莱芜区期中)将抛物线y=-5x+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个 单位长度，所得到的抛物线为() A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1 C.y=-5(x+1)2+3 D.y=-5(x-1)2+3 例2(2024汉滨区期末)抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移 正确的是() A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 例3(2025临渭区模拟)在平面直角坐标系中，将抛物线L1:y=ax2+2ax+c(a,c为常 数，且a<0)沿x轴向右平移3个单位长度得到抛物线L2,点A(m,y1),B(m+2,y2)均在 抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧，若y<y2,则m的取值范围为() A.1<m<2 B.0<m<1 C.0<m<2 D.-1<m<1 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 例1(2025巴林左旗模拟)二次函数y=x2+bx的图象如图所示，对 称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x+bx-t=0(t为实数)在 -1<x<4的范围内有解，则t的取值范围是() A.t≥-1 B.-1≤t<3 4 C.-1≤tK8 D.3<t<8 例1题图 例2(2024临渭区模拟)在平面直角坐标系中，点M是直线y=3与x轴之间的一个动 点，且点M是抛物线)=方r+bxtc的顶点，则方程P+bx+c=-2的解的个数是 考点五二次函数的实际应用 例1(2025西青区二模)某商品现在的售价为60元/件，每星期可卖出300件，市场 调查发现，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖 出20件.已知该商品的进价为40元/件，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出(300+20x)件； ②若该商品的售价为61元/件，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元： 104 第一部分数与代数 ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当售价为65元/件时，售卖该商品 每星期获利最大 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 例2(2025青秀区期末)某足球运动员将足球沿与地面 Ah/m 2.75 成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高 度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二 0.5 1.1 次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的 例2题图 时间是 S. 例3(2025南开区模拟)如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN,某人 利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三 边一共用了100m木栏. (1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450m2,求所利用旧墙AD的长. (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值 M A 例3题图 易错点精析 易错点一忽视函数类型 例若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值， 【错解】.函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，∴.b2-4ac=16-4(a-1): 2a=0,解得a=-1,a=2. 【错点分析】当题干未明确指出函数是否为二次函数时，应对字母的取值范围进行讨论 在解题过程中，容易主观地认为函数y=x+bx+c为二次函数，而忽略函数为一次函数的情况. 【正解】.函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数 时，b2-4ac=16-4(a-1)·2a=0,解得a=-1,a2=2;当函数为一次函数时，a-1=0,解得a=1. 故a的值为-1或1或2. 105 中考总复习·数学 【易错点三忍略抛物线的完整性 例甲车在弯路进行刹车试验，收集到的数据如下表所示： 速度x/(km/h) 0 5 10 15 20 25 刹车距离ylm 0 3 2 15 6 35 4 (1)如图，利用上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标，在 y/m 坐标系中画出了甲车的刹车距离y(m)与速度x(kmh)的函数图 35 4 象，请根据以上信息求出函数的表达式。 (2)在一个限速为40km/h的弯路上，甲、乙两车相向而行， 同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为 4■■■ 12m和10.5m,又知乙车的刹车距离y(m)与速度x(km/h)满0510152025 x/(km/h) 足函数=子x,请你从两车的速度方面分析相撞的原因。 例题图 【错解】(1)设函数的表达式为y=ax2,:图象经过点(10,2)，代人入得a= 50, 函数的表达式为0只问题(2)略. 【错点分析】本题问题(1)产生错误的原因是观察题中给出的图象，发现抛物线经过原 点，所以认为原点就是抛物线的顶点，进而设抛物线的表达式为y=2.本题图象既然是抛物 线的一部分，就应设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c 【正解】(1)设抛物线的表达式为y=a+bx+c..图象经过点(0,0)，(10,2)， (20,6),c=0.代入表达式，得a=b品，两数的表达式为)=0+0 2)y=12.0+0=12,解得30,40（不符合怎意，合去） 又y乙=10.5，∴4=10.5，解得x=42.乙车速度为42kmh,大于40kmh, ·.从速度方面来看，乙车超速，导致两车相撞 易错点三忽视实际问题中自变量的取值范围 例某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元kg, Ay/kg 40外--- 已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高 24 于18元g.市场调查发现，该产品每天的销售量y(kg)与销售价 x(元kg)之间的函数关系如图所示. 0 1018 x/(元/kg) (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围. 例题图 106 第一部分数与代数 (2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元g)之间的关系式.当销售价为多少时， 每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 【错解】(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b,将(10,40)，(18,24)代入，得 106+6=40,解得-2. 18k+b=24,b=60, y与x之间的关系式为=-2x+60(10≤x≤18)· (2)W=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200..-2<0,故当x=20时，W有最 大值，最大值为200，即当销售价为20元/kg时，每天的销售利润最大，最大利润是200元. (3)由150=-2x2+80x-600,解得x1=15,x2=25. 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元kg或25元/kg 【错点分析】第(1)问正确，第(2)(3)问错误的原因在于忽略了条件“已知销售 价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元kg”对x的限制作用， 即自变量x的取值范围.第(2)问中，注意抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内 时，在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，可借助图象进行分析求 得最值。 【正解】(1)略 (2)W=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200. :-2<0,对称轴为直线x=20,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，且10≤x≤ 18,.当x=18时，W有最大值，最大值为192，即当销售价为18元/kg时，每天的销售利润 最大，最大利润是192元 (3)由150=-2x2+80x-600,解得x=15,x2=25(不符合题意，舍去). 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元kg 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)已知函数y=(m+3)x2+1是二次函数，则m的取值范围为() A.m>-3 B.m<-3 C.m≠-3 D.任意实数 2.(★)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述正确的是() A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧的部分是下降的 107 中考总复习·数学 3.(*)在同一坐标系中画出=3，g32,}2的图象，正确的是（) B 4.(★)如图是二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象，下列说法错误 的是() A.y的最大值是4 B.当-4<x<1时，函数值y>0 C.当x<-1时，y随x的增大而增大 D.函数的图象关于直线x=-1对称 第4题图 5.（★)将y=x2-4x+1配方为顶点式y=a(x+k)P+h,结果是(） A.y=(x-2)2-3 B.y=(x-2)2+5 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-1)2 6.(★)将抛物线y=x2-2x+3向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得 到的抛物线表达式是（) A.y=x2+2 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x-3)2+1 7.(★）如图，二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第 一象限，且过点(0,1)和(-1,0)，下列结论：①ab<0,②b2>4, ③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>-1时，y>0.其中正确结论的个数是 A.2 B.3 第7题图 C.4 D.5 8.(★)某学校附近一涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平 面直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为)=4，当涵洞水面宽 AB为16m时，涵洞顶点O至水面的距离是() A.6m B.12m 第8题图 C.16m D.24m 9.(★)已知二次函数y=ax+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+ 108 第一部分数与代数 bx+c=0的解为() A.x1=-3,x2=0 B.x1=3,x2=-1 C.x1=-3,x2=-1 10 D.x1=-3,x2=1 第9题图 10.(★★)一名篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m y (0,3.5) 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐内.已知篮 圈中心距离地面的高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标 3.05m 系中，下列说法正确的是（) ←2.5m→0 A.篮球出手时离地面的高度是2m 4m- B.篮圈中心的坐标是(4,3.05) 第10题图 C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D.此抛物线的懈析式是)行43.5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)若y=(2-a)x2是二次函数，则a= 12.（★)已知函数y=x2-8x+9,当x> 时，y随x的增大而增大. 13.(★)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为 14.(★)若直线y=-5x+b与双曲线y=4的图象相交于点P(-2,m),则b= 15.(★)一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的 时间t(s)之间具有函数关系h=at+I9.6t.已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的 最大高度是 m. 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分★）已知点A(a,7)在抛物线y=x2+4x+10上. (1)求点A的坐标 (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标. 109 中考总复习·数学 17.(10分★)已知二次函数y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A,B两点，点A在点B的 左侧，交y轴于点C. (1)求A,B,C三点的坐标. (2)求直线AC的函数表达式. 18.(10分★)如图，二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交 于点C,且OC=OB. (1)求抛物线的函数表达式， (2)若点P为抛物线上位于x轴下方的一点，当S△4S△4B时，求出点P的坐标。 2 B 第18题图 110中考总复习·数学 考点五反比例函数的实际应用 例1D【解析】当受力面积S一定时，压强p和压力 F成正比例关系.S>0,.压强随压力的增大而增大，排除 B选项；当压力F一定时，压强p和受力面积S成反比例 关系.八0，压强随受力面积的减小而增大，排除C选 项.根据题意，刀刃磨薄，刀具就会变得锋利，可以知道是 受力面积变小，故选D. 例2C【解析】由题图可知，近视眼镜的度数y(度) 与镜片焦距x(m)之间的关系式为y=100,:当x的值增 大时，y的值随之减小，A错误，B错误；将x=日代入) 100得y=800600,C正确；将y≤200代入y=10得x≥ 子，D行误故送C ■优题精练 1.D2.B3.A4.D5.C6.C7.C8.B9.D 10.B【解析】~点A4,弓)在双曲线=上上，k= 4x号=6，反比例函数的解析式为)=。BC=1且BC与 x轴平行，AB与y轴平行，点A的坐标为4，)，点 C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3.点C在 y=6上，点C的坐标为(3,2)，同理，DB=1,则点E 的横坐标为2，把x=2代入y=6,则y=3,求得点E的 坐标为(2,3)，FG=1,则点G的横坐标为1，把x=1代入 =,则)=6，点G的坐标为(1,6)·观察图象可知。 EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，即EF=6 3=3.故选B. 1.s=g12K<13.-1814.315. 16.解：(1)反比例函数y=k的图象经过点A(-2, 1 3),k=y=(-2)×3=-6,.该函数的表达式为y=-6 (2)点B(1,6)不在这个反比例函数的图象上.理由： 由(1)知，k=-6. 1×6=6≠-6，.点B(1,6)不在这个反比例函数的图 象上. 17.解：（1)把点A(1,3)代入=理，得到m=3. 点B的横坐标为-3，∴.点B的坐标为(-3，-1)· 把A1,3》,B-3,-D代人y=b,得63，，解 -3k+b=-1, 得=1， b=2, h=x+2,=3 x (2)由图象可知y>y2时，x>1或-3<<0. 18.解：(1)点B的坐标为(-6,0)，AD=3,AB= 8,E为CD的中点，.点A(-6,8),E(-3,4). .反比例函数图象经过点E,m=-3×4=-12. 设AE的表达式为y=kx+b,将点A、点E的坐标代入 得 -6k+b=8, 上-专一次函损的表达武为音 解得 4 -3k+b=4, b=0. (2).AD=3,DE=4,.AE=VAD+DE2=5. .AF-AE=2..AF-7.BF=1. 设点E的坐标为(a,4),则点F的坐标为(a-3,1), E,F两点在函数y=m的图象上，4a=a-3,解得 a=-1,.E(-1,4),.∴m=-1×4=-4,.∴.反比例函数的表达式 为y-4 ”x 19.解：(1)p=600(50). (2)当S=02时，p=609-300,即压强是30Pm (3)由题意知600≤6000，S≥0.1，即木板的面积 至少要有0.1m2. 20.解：(1)：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠ k+b=3, 0)的图象经过A(1,3),B(-1,-1)两点，. -k+b=-1, 解得-2，即该一次函数的表达式是)=2x+1. b=1, (2)点(2a+2,d2)在一次函数y=2x+1的图象上， ∴.a2=2(2a+2)+1, 解得a=-1或a=5,即a的值是-1或5. (3)反比例函数y=m+1的图象在第一、三象限， 理由：·点C(x1,y)和点D(x2,y2)在一次函数y=2x+ 1的图象上，m=(x1-x2)(y1-y2)· 假设<2，则y1<2,此时m=(x1-2)(y1-y2)>0: 假设x>x2,则y1>2,此时m=(x1-)(y-2)>0.由上可 得，m>0, m+1>0,反比例函数y=m+1的图象在第一、三 象限. 3.二次函数 考点精梳 考点一二次函数的图象与性质 例1A【解析】.当x=-1时，y<0,∴.a-(1-a)+3<0, 0 acl，小名-20，-430，这条 Aa 4a 抛物线的顶点一定在第一象限，故选A. 例2B【解析】由一次函数y=ax-a的图象可得a<0, 此时二次函数y=a2-2x+1的图象应该开口向下，A错误； 由一次函数y=ac-a的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2 2+1的图象应该开口向上，对称轴=子0，B正确：由 一次函数y=a-a的图象可得a>0,此时二次函数y=ar2-2c+ 1的图象应该并口向上.对称轴=一名0，和x轴的正半 轴相交，C错误；由一次函数y=ax-a的图象可得a>0,此 时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上，D错误.故 选B. 例3B【解析】根据题意，得y2y=(1-a)x2+(a-b)x+4. 要使y<y2,只需y>0恒成立；当a=1时，函数y=(1-b)x+4 是一次函数，显然y>0不恒成立；当a>1时，二次函数y 的图象开口向下，y>0不是恒成立，C,D错误；只需 1-a>0,且△=(a-b)2-16(1-a)<0恒成立，当-2<a<0<b时， 满足1-a>0,但当b很大时，4可能大于0，A错误：当-2< a<b<0时，满足1-a>1,-2<a-b<0,.△=(a-b)2-16(1-a)<0 恒成立，B正确.故选B. 考点二二次函数系数的符号及其之间的关系 例1D【解析】由题知，二次函数的表达式为y= x2-2nx+2(n为常数)，∴.抛物线的对称轴为直线x=n.又 当x>1时，y随x的增大而增大，n≤1.故选D. 例2C【解析】.a=1,.抛物线的开口向上，对称轴 是直线之 当x=0时，y=-b,·二次函数的图象与y轴的交点坐 标为(0，-b). .·关于x的二次函数y=x2+(b-3)x-b的图象不经过第三 象限，·.0<3b且-b≥0，解得b≤0，故选C. 例3C【解析】由图象可知，抛物线交x轴于点 (2,0),另一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称性 可知，对称轴号<品<1，b>-24,即2a+b0,B错误： 当x=-1时，可知y>0,即a-b+c>0,D错误；观察图象知 a>0,b<0,c<0,故abc>0,A错误；由对称轴的范围可知 b<-a,即b+a<0,故4b+4a<0①，把点(2,0)代入抛物线 中，得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c,再代入①式中，可得 4b-2b-c<0,整理即为2b-c<0,C正确.故选C 考点三二次函数图象的平移 例1A【解析】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单 位长度，得到y=-5(x+1)2+1,再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为y=-5(x+1)2-1.故选A. 例2D【解析】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)， 抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标为(2，-1)，则抛物线y=x2 参考答案 向右平移2个单位长度、向下平移1个单位长度得到抛物 线y=(x-2)2-1的图象.故选D. 例3B【解析】：抛物线L1:y=ar2+2ax+c(a,c为常 数，且a<0,抛物线山开日向下，对称轴为直线=光 =-1..:将抛物线L1:y=ax2+2ax+c(a,c为常数，且a<0) 沿x轴向右平移3个单位长度得到抛物线L2,.抛物线L2 开口向下，对称轴为直线x=2.点A(m,y),B(m+2,y2) 均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧，m<2, m+2>2,.0<m<2.y1<y2,2-m>m+2-2,m<1,综上所 述，0<m<1.故选B. 考点四二次函数与一元二次方程的关系 例1C【解析】由题意得，抛物线的对称轴为直线 =女1，解得6=-2，二次函数的表达式为=-2= (x-1)2-1,顶点坐标为(1，-1).当x=-1时，y=1+2=3: 当x=4时，y=16-2×4=8.x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线 y=t的交点的横坐标，∴.当-1≤t<8时，x2+bx-t-0在-1<x<4 的范围内有解.故选C. 例20,1或2【解析】分三种情况：点M的纵坐标 小于2时，方程写4br+c=2的解是2个不相等的实数根： 点M的纵坐标等于2时，方程5+bx+e=2的解是2个相 等的实数根；点M的纵坐标大于2时，方程号bx+=2的 解的个数是0.故方程了4bx+c=2的解的个数是0,1或2. 考点五二次函数的实际应用 例1D【解析】结论①：根据题意，每降价1元，每 星期可多卖出20件，.降价x元时，销量为(300+20x) 件，故结论①正确.结论②：由题意，售价61元/件属于涨 价1元，销量减少10件，即300-10×1=290（件），每件 利润为61-40=21（元），.总利润为21×290=6090（元）， 结论②正确.结论③：若涨价，设涨价y元，则售价为 (60+y)元/件，销量为(300-10y)件，∴.利润函数为P= (20+y)(300-10y)=-10y2+100y+6000=-10(y-5)2+6250, 当y=5时，售价为65元件，此时利润P=6250元.若降价， 设降价x元，则售价(60-x)元/件，销量为(300+20x)件， ·.利润函数为P,=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000= -20(x-2.5)2+6125, ∴.当x=2.5时，售价为57.5元/件，此时利润P=6125元. 对比两者，售价为65元/件时利润最大，最大为6250 元，结论③正确. 综上所述，三个结论均正确.故选D. 例20.8【解析】根据函数的图象可得抛物线的对称 轴为直线x=05+l.1=0.8, 2 抛物线的开口向下，∴在x=0.8时，足球到达最高 点，即足球到达最高点所需的时间是08s. 中考总复习·数学 例3解：(1)设AB=xm,则BC=(100-2x)m.根据 题意，得x(100-2x)=450,解得x=5,x2=45.当x=5时， 100-2x=90>20,不符合题意，舍去；当x=45时，100-2x= 10.答：AD的长为10m. (2)设4D=xm,5=2x(100-x)=-7x-5024+1250, 若a≥50，则当x=50时，S的最大值为1250；若0<a<50, 则当0<x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最 大值为50a-22综上所述，当a≥50时，s的最大值为 1250;当0<a<50时，S的最大值为50a7 ■优题精练 1.C2.C3.D4.B5.A6.C7.B8.C9.D 10.D 11.-212.413.y=(x-4)2-2514.-1215.19.6 16.解：(1)点A(a,7)在抛物线y=x2+4x+10上， d244+10=7,解得-1或a=-3,∴.点A的坐标为(-1,7) 或(-3,7) (2)y=x2+4x+10=(x+2)2+6,∴.抛物线的对称轴是直线 x=-2,顶点坐标为(-2,6). 17.解：(1)令y=0,则-x2-2x+3=0,解得=-3,2= 1,A(-3,0),B(1,0), 令x=0,则y=3,∴.C(0,3) (2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b,将A,C的 坐标代入=6x+6,则3张+b=0 b=3. 解得1， 6=3,·直线AC的 函数表达式为y=x+3. 18.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(+1)(x-3), 将点C(0,3)代入，得a(0+1)·(0-3)=3,解得a=-1,故 该抛物线的函数表达式是y=-(+1)(x-3),即=-x2+2x+3. (2)S△Am=S△4CR,·点P到AB的距离等于点C到AB 的距离 ·点C到AB的距离为3，点P在x轴下方，.点P的 纵坐标为-3. 令y=-3,则-x2+2x+3=-3,解得x1=1+1V7或x2=1- V7, .点P的坐标为(1+V7,-3)或(1-V7,-3). 19.解：(1)设y1与x之间的关系式为y=kx+b,图 象经过点(0,168)与(180,60)， b=168, 解得 k5’.该产品的销售价 (180k+b=60, b=168, (元kg）与产量x(kg)之间的关系式为1=-}+168(0≤ x≤180). (2)由题意可得，当0≤x<50时，y2=70;当130≤x≤ 180时，y2=54: 当50≤x<130时，设y3与x之间的关系式为y2=mx+n, 直线y2=mx+n经过点(50,70)与(130,54)， 50m+n=70,解得 1130m+n=54, =80, 当50≤130时，=写480 综上所述，生产成本？（元kg)与产量x(kg)之间 70(0≤x<50), 的关系式为写+80(50≤130). 54(130≤x≤180). (3)设产量为xkg时，获得的利润为W元. ①当0≤50时，W=g168-0-号k245片 12005 3 当x=50时，W的值最大，最大值为3400： ②当50≤<130时，W=[-号+168与480月 =号6-1094840. ∴.当x=110时，W的值最大，最大值为4840： ③当130≤≤180时./=-号+168-54）26c95月 5415, .当x=130时，W的值最大，最大值为4680. 综上所述，当该产品的产量为110kg时，获得的利润 最大，最大值为4840元. 20.解：(1)将点(1，)代入抛物线y=x2-2(k-1)x+ 高，得-2-1+高，解得太=号 (2)将点(2k,)代入抛物线=2-2(k-1)x+2-6, 得1=(2kP-2k-1)26=4号6：将点（2，为）代入 抛物线y=-2(k-1)x+h2-6,得-2-2(k-1)2+2-3k= k-k+8y>2,h件+多>-k+8,解得k>1. 2 2 2 (3)将抛物线y=2-2(k-1)x+k2-5k的表达式配方得 2 =(x-6+14k-1,将抛物线向右平移1个单位长度得 到新的抛物线表达式为=-k4之6-1 当k<1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右 侧，y随x的增大而增大， 当=1时，=(1-k户号-1=，2 子，解得=1，k:子，都不符合题意，含去；当1≤6≤ 2时，=-6-山，2k-1=-弓，解得k山 当k>2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左 侧，y随x的增大而减小， 当2时.4=(2-2-1号43，号6+ 3子解得3,6号（含去） 综上所述，k=1或k=3. 函数强化训练 1.C2.A3.A4.D5.C6.D7.A8.C 9.D10.A 1.≥212.413.1314.-5,315.号 16.解：(1)x<-1 (2)y>-2 (3)x>2 17.解：(1)由题意，当0≤x≤25时，设函数关系式 为y=kx,∴.25k=1250,解得k=50,∴.此时函数关系式为 y=50x; 当25时，设函数关系式为=mx+n, 125m+n=1250, 50m+n=2000. /m=30, n=500, .此时函数关系式为)=30+500， 综上所述，方式B的收费总额y(单位：元)与游泳 次数x之间的关系式为30x+500(o25): 50x(0≤x≤25)， (2)①当0≤x≤25时，.·两种方式付费会相差100 元，.50x-40=100,x=10,符合题意. ②当>25时，两种方式付费会相差100元，∴30x+ 500-40xl=100,.∴x=40或x=60,符合题意. 答：当游泳次数为10次、40次或60次时，按这两种 方式付费会相差100元. 18.(1)证明：由条件可知A(0,4),B(4,0),.0A= 4,0B=4.∠A0B=90°，∴L0AB=45°. (2)解：点C的坐标为(0，m),∴.0C=m,AC=4-m. 由条件可CE=AC=4-m,∠OAB=∠CED=45°，∴.OE= CE-0C-4-2m. .'∠E0F=90°，.∴.∠0EF=∠0FE=45°，.0F=0E=4-2m .CD⊥OA,∴.∠OAB=∠CDA=45°，∴.CD=AC=4-m, 四边形C0FD的面积=2(0F+CD)0C=2(4-2m+4- 多0.当m=号，四边形0D的面积有最大值， 最大值为多 19.解：(1)一次函数y=x+2的图象过点A(2,a) 和B(b,-2),∴.a=2+2,-2=b+2, ∴a=4,b=-4,A(2,4),B(-4,-2)· 参考答案 :反比例函数y=k与一次函数=+2的图象交于点A 和B,.k=2×4=8 心反北例函数的表达武为)圣 (2)由图象可知，不等式x+2<k的解集是x<-4或0< x<2. (3)在函数y=x+2中，当x=0时，y=2,D(0,2), 0D=2,Sa4m7×2x2=2,Sam-2Sa40w=4. .点P在x轴上，设点P(n,0),则OP=Inl, Sawm=0ry⅓=4，即4e4,n=2. .P(2,0)或P(-2,0). 20.解：(1)当a=1时，抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1, .抛物线的顶点坐标为(1,1)· (2)当x=0时，y=2a,即抛物线与y轴的交点A的坐 标为(0,2a)..线段OA上的“完美点”的个数大于3 个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a> 0,“当“完美点”的个数为4个时，这4个“完美点”的 坐标分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，当 “完美点”的个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别 为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，3≤ 2a5,a的取值范图是}≤a<3 (3)易知抛物线的顶点坐标为(1，a),过点P(2,2a), Q(3,5a),R(4,10a). 显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合 题意. 下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况： ①当抛物线经过2,1)时，解得？此时，P(2,1), 03,,R4,5) 如图1所示，满足题意的“完美点”有(1,1)， (2,1),(2,2),(3,3),共4个. ②当抛物线经过(3,2)时，解得-名此时，P2,号)， Q(3,2),R(4,4). 如图2所示，满足题意的完美点”有(1,1)，(2,1)， (2,2),(3,2),(3,3),(4,4,共6个. :a的取值范围是号<a≤2 M P 012345x 012345x 图1 图2 第20题答图