二次函数的实际应用4种高频考点复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

二次函数的实际应用4种高频考点复习讲义 二次函数的实际应用4种高频考点复习讲义 考点目录 二次函数的实际应用：销售问题 二次函数的实际应用：拱桥问题与喷水问题 二次函数的实际应用：动态几何问题 二次函数的实际应用：材料阅读类问题 知识点解析 考点一 二次函数：销售利润问题 解题原理 1. 核心等量关系： 1. 价格变化会联动销量变化，单价、销量均为一次函数关系； 1. 通过设涨价/降价金额为自变量，把利润整理为二次函数； 1. 利用二次函数开口方向、顶点坐标、自变量实际取值范围，求最大利润、定价、销量最值。 解题思路 1. 设变量：设涨价元 或 售价为元； 1. 分别表示： 单件利润 = 原售价±变动价−进价 销售量 = 原销量∓变动对应销量 1. 代入利润公式，展开化简，得到二次函数解析式； 1. 结合实际限制：售价范围、销量为正、整数限制； 1. 利用顶点求最值，若顶点不在取值区间，则取区间端点最值。 考点二 二次函数：拱桥、喷水问题 解题原理 1. 拱桥、喷水轨迹均为抛物线模型，符合二次函数图象特征； 1. 利用建系法，将实际高度、水平距离转化为坐标； 1. 结合顶点、交点、已知点坐标，求抛物线解析式； 1. 依靠解析式代入求值，求解跨度、高度、射程、限制高度等实际量。 解题思路 1. 合理建立平面直角坐标系： 一般以顶点、水面中点、喷水口为原点/坐标轴上点； 1. 标出所有已知实际尺寸对应的点坐标； 1. 设合适解析式：顶点式优先（已知顶点），普通式通用； 1. 代入已知点，求解二次函数系数； 1. 结合题意：已知水平距离求高度、已知高度求水平宽度； 1. 结合实际情境取舍答案。 考点三 二次函数：动态几何问题 解题原理 1. 动点运动产生变化线段、面积、周长，以运动时间/线段长为自变量； 1. 利用几何性质：勾股、相似、特殊图形性质、面积割补； 1. 将变化的几何量（面积、周长、线段）表示为二次函数； 1. 借助二次函数单调性、顶点最值、区间范围，求解几何最值与取值。 解题思路 1. 设动点运动时间，用速度表示动态线段长度； 1. 结合图形性质，写出面积、周长、线段的表达式； 1. 化简整理为二次函数标准形式； 1. 确定自变量取值范围（动点运动边界）； 1. 开口向上/向下判断最值，区间内求最大值、最小值； 1. 结合特殊图形存在性，列方程求解临界位置。 考点四 二次函数：材料阅读类问题 解题原理 1. 题干自定义新概念、新规则、新函数模型，给出陌生背景； 1. 本质仍是二次函数图象、性质、解析式、最值、增减性； 1. 考查信息提取、迁移应用，用课本知识解决陌生定义问题； 1. 结合方程、不等式、方案选择，综合考查函数应用。 解题思路 1. 精读材料，提炼新定义、新运算、新规则； 1. 剥离文字背景，转化为纯二次函数问题； 1. 按要求求解析式、画图象、分析增减性、比较大小； 1. 结合题干限制条件（取值、整数、实际意义）； 1. 利用二次函数性质求解方案、最值、范围、判断结论。 四大考点通用总结 1. 核心统一思想：实际问题数字化、变量化，转化为二次函数； 1. 通用步骤：设自变量→列关系式→整理二次式→限定取值范围→利用图象与性质求解； 1. 关键注意：实际问题自变量有现实约束，不可直接套用顶点，必须看区间； 1. 考查核心：列式建模能力+二次函数最值与增减性应用。 真题速递 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 3．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 4．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 考点一 二次函数的实际应用：销售问题 【例题分析】 例1．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 例2．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【答案】(1) (2)100元或180元 (3)100元 【详解】（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 【变式训练】 变式1．（2026·山西阳泉·一模）项目学习 【项目主题】商品销售过程中的数学问题． 【问题情境】山西非遗刀削面，是山西文化的名片，其外滑内筋俱显匠心，承载着乡愁与晋商记忆．某速食品牌企业以山西刀削面为特色，设计生产了一种速食刀削面进行销售．某校综合实践小组的同学想要了解该品牌速食刀削面的销售情况，他们对速食刀削面的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该店这种速食刀削面日销量x（单位：份）的范围是． 信息②：速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系如下表所示． 信息③：如图所示，线段，表示该速食刀削面每份的售价（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系． 日销量 100 150 200 250 每份的成本 10 9.5 9.0 8.5 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间是______关系（填“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”）．与日销量x之间的函数关系式为______． (2)任务二：求与日销量之间的函数关系式，并直接写出该速食刀削面当日销售300份时的销售利润． (3)任务三：求当日该速食刀削面销量为多少份时，日销售利润最大． 【答案】(1)一次函数； (2)，速食刀削面当日销售300份时销售利润为600元 (3)当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大 【分析】（1）根据表格数据的变化规律可判断为一次函数关系，用待定系数法即可求解析式； （2）根据图像信息，用待定系数法即可求解析式；再根据利润（售价成本）销售量计算即可； （3）设当日该速食刀削面日销售利润为元，分两种情况根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知x每增加50，减少，则与x之间是一次函数关系； 设，由题意得经过和， 则，解得， ∴； （2）解：设与之间的函数关系式为， 将，，代入，得． 解得 与之间的函数关系式为． 当时，，， 销售利润为（元）， 则速食刀削面当日销售300份时销售利润为600元． （3）解：设当日该速食刀削面日销售利润为元． 当时， ． ． ，抛物线开口向下，有最大值， 取整数， 当时，有最大值，． 当时，与之间的函数关系式为， ． ． ，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大； 当时，有最大值，． 综上所述，当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大． 答：当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大． 变式2．（2026·河南开封·一模）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【答案】(1)型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， (2)A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【详解】（1）解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 考点二 二次函数的实际应用：拱桥问题与喷水问题 【例题分析】 例1．（2026·陕西汉中·二模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是G、E、F、H，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点分别在上，点分别在上，点到的距离均为12米．已知所在拋物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）由题意知的顶点坐标为，设桥洞所在抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）先求出的坐标，即可求解，而由对称性可知，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知的顶点坐标为， 设桥洞所在抛物线的函数表达式为， 将代入中，得，     解得， ∴桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ，     当时，， ，     ， 由对称性可知，， 故， ∴这两条标语的总长为米． 例2．（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁·一模）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 变式2．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【答案】(1) (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点与落地点求出抛物线的表达式； （2）设平移后的函数表达式，将点代入，求出的值，根据结果描述平移过程； （3）设，则抛物线的表达式为，由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，分别求出对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意可知，点是抛物线的顶点， ∴，，即， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设平移后的函数表达式， 将点代入，得， 解得， ∴儿童软弹玩具枪在竖直方向应该向下平移； （3）解：设，则抛物线的表达式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 将点代入，得， 解得， ∴要使软弹能够落在长方体盒子里，儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围为． 考点三 二次函数的实际应用：动态几何问题 【例题分析】 例1．（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S． (1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）． (2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)S关于t的函数解析式为 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意可分：①当点P在上时，即，②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当点P在上时，； （2）解：由题意可分：①当点P在上时，即，过点Q作，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，过点P作，如图所示： ∴，， 同理可得， ∴； 综上所述：S关于t的函数解析式为． 例2．（2026·江苏扬州·一模）如图，D、E分别为边上的动点，且，点C关于的对称点为点，连接和． (1)当时，则的值为 ，点C到的距离值为 ； (2)结合点的运动轨迹，求当点落在的角平分线上时，的值； (3)当点D在上移动时，与的重叠面积是否存在最大值，如果存在， 请直接写出此时的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)的值为或 (3)存在，的值为 【分析】（1）证明，推出，即可求出，利用勾股定理求出，设点C到的距离为，则点C到的距离为，根据，求出即可得出结果； （2）连接并延长，交于点M，延长线交于点，分点落在的平分线上，和点落在的平分线上，两种情况讨论即可； （3）设，同理（2）得，，，，，分，点在内部，，点在外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点C到的距离为，则点C到的距离为， ∵， ∴，则， ∴点C到的距离为； （2）解：连接并延长，交于点M，延长线交于点， ∵点C关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴， 设， 情况1：当点落在的平分线上， 过作，垂足为点P，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况2：落在的平分线上， 过作，垂足为点Q，可得， 同理，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． （3）解：存在， 设， 同理（2）得，，，，， ∴， 当时，点在内部，重叠部分面积， 则； ∵函数开口向上，对称轴为y轴， 在范围内，S随n的增大而增大，当时，S有最大值为6，此时的值为； 当时，点在外部，如图， 则重叠部分面积，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 函数开口向下，对称轴为直线 在范围内，当时，S有最大值为8，此时的值为； 综上所述：与的重叠面积存在最大值，此时的值为． 【变式训练】 变式1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 变式2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，证明四边形为平行四边形，得到，设，在中，根据勾股定理进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，根据题意，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可； （3）作于点，于点，易得四边形为矩形，根据三角函数求出的长，根据，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）作于点，于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（2）可知：，，， ∴，， ∴ ． 考点四 二次函数的实际应用：材料阅读类问题 【例题分析】 例1．（2026·江西宜春·一模）综合与实践 【问题背景】 生活中的抛物线形音响能让声音传得更远、音质更好，不同型号的音响，对应的抛物线形状也存在差异，这隐藏着抛物线的奥秘．学习小组计划研究这类音响的截面轮廓曲线为抛物线的部分． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点C是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为_____ (2)【建立模型】 第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系，请你写出a和h的数量关系，并参考图2验证猜想 (3)【应用模型】 第三小组重新建立平面直角坐标系后发现点的坐标为，，且时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值 【答案】(1) (2)，猜想见解析 (3)或． 【分析】（1）由题意得，，即抛物线表达式为，将代入即可求出； （2）由题意得，将代入抛物线表达式得：，得到；； （3）由题意得，则，，分两种情况进行讨论，当时，易得点不在轴下方，抛物线在对称轴处有最小值；当时，易得点在轴下方，当时，随的增大而减小，抛物线在处有最小值． 【详解】（1）解：由题意得：，顶点C到线段的距离为，（单位：），扩音口宽度为（单位：）， 则，， 抛物线表达式（其中为常数，）， ， 将代入得：， ； （2）解：由题意得：， 将代入抛物线表达式得：， ， ， ； （3）由题意得：，则，， ， 由（2）得：， 当时，可得，点不在轴下方， 抛物线在对称轴处有最小值， 即当时，， ， ； 当时，可得，在轴下方， ， 当时，随的增大而减小， 即当时，， ， 解得：， 或． 例2．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 例3．（2026·广西贵港·二模）【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 (1)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 (2)在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 (3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【答案】(1) (2)该点到支架的水平距离为米或米； (3)支架的最大长度为． 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【详解】（1）解：由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． （2）解：令，即， 解得， 答：该点到支架的水平距离为米或米； （3）解：由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁本溪·一模）某数学兴趣小组开展综合与实践活动，记录如下： 活动主题 测量帐篷内自由活动区的面积 活动准备 1．准备皮尺等测量工具； 2．查阅并绘制帐篷的示意图． 方案示意图 图1某帐篷的示意图，该帐篷是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的（点B在直线l上，点A在水平地面上，曲线段为抛物线上的一段曲线，点B为抛物线的顶点）． 采集数据 ①帐篷的底圆半径是； ②帐篷最高点B距离地面． 确定思路 以直线l与地面交点为坐标原点，以水平地面所在的直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点B为抛物线的顶点，点A在x轴上，点C为抛物线上一点，轴于点D． 备注 某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)某同学的身高是，求他在帐篷内自由活动区的面积（结果保留π） 【答案】(1) (2)他在帐篷内自由活动区的面积 【分析】（1）可设抛物线的顶点式表达式，代入点A的坐标求解参数，得到抛物线表达式． （2）先将身高对应的y值代入抛物线表达式，求出对应的值，再利用圆的面积公式计算面积． 【详解】（1）由题意得，，， 设抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为； （2）当时，， ∴， ∴自由活动区的面积为， 答：他在帐篷内自由活动区的面积． 变式2．（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①圆形校徽的直径为；② 【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可； （2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上， 且点、、、、， 故假设对应的函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， 故对应的函数表达式为． （2）解：①令对应的函数表达式为， 当时，对应的函数值为． ∴， 结合点，得， 故可得方程组，解得， ∴对应的函数表达式为， 故点， ∴． ②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过， 即， 当时，得， 解得， ∴两个摄像头之间水平距离的最小值为． 变式3．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表． 信息整理： ①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 … 滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______． (2)观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离． (3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 【答案】(1)； (2)滑行距离为 (3)能顺利完成 【分析】（1）观察表格数据，滑行时间​每增加1，滑行速度随之增加4，得出是​的一次函数，设，根据待定系数法求解即可． （2）由图1可知，二次函数过原点，且经过点、，故设，运用待定系数法求出，再代入，求解即可． （3）根据题意知，将，代入​求出，将代入求得点速度，再将代入得出， 根据二次函数的性质即可求出最大高度 ，与比较即可． 【详解】（1）解：观察表格数据，滑行时间​每增加1，滑行速度随之增加4， ∴是​的一次函数， 设， 代入和得：， 解得，验证其余点均满足， ∴函数表达式为 ． （2）解：由图1可知，二次函数过原点，且经过点、， 设， 代入得：， 解得， 即． 当时，． 答：滑行时间为时，滑行距离为． （3）解：该运动员能顺利完成， 理由如下： 根据题意知， 令，代入​得： ， 整理得， 解得：或（舍去）． 将代入得，点速度． 将代入得： ， 这是开口向下的二次函数，最大高度为顶点纵坐标： ． ∵， ∴该运动员能顺利完成此次技巧展示． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的实际应用4种高频考点复习讲义 二次函数的实际应用4种高频考点复习讲义 考点目录 二次函数的实际应用：销售问题 二次函数的实际应用：拱桥问题与喷水问题 二次函数的实际应用：动态几何问题 二次函数的实际应用：材料阅读类问题 知识点解析 考点一 二次函数：销售利润问题 解题原理 1. 核心等量关系： 1. 价格变化会联动销量变化，单价、销量均为一次函数关系； 1. 通过设涨价/降价金额为自变量，把利润整理为二次函数； 1. 利用二次函数开口方向、顶点坐标、自变量实际取值范围，求最大利润、定价、销量最值。 解题思路 1. 设变量：设涨价元 或 售价为元； 1. 分别表示： 单件利润 = 原售价±变动价−进价 销售量 = 原销量∓变动对应销量 1. 代入利润公式，展开化简，得到二次函数解析式； 1. 结合实际限制：售价范围、销量为正、整数限制； 1. 利用顶点求最值，若顶点不在取值区间，则取区间端点最值。 考点二 二次函数：拱桥、喷水问题 解题原理 1. 拱桥、喷水轨迹均为抛物线模型，符合二次函数图象特征； 1. 利用建系法，将实际高度、水平距离转化为坐标； 1. 结合顶点、交点、已知点坐标，求抛物线解析式； 1. 依靠解析式代入求值，求解跨度、高度、射程、限制高度等实际量。 解题思路 1. 合理建立平面直角坐标系： 一般以顶点、水面中点、喷水口为原点/坐标轴上点； 1. 标出所有已知实际尺寸对应的点坐标； 1. 设合适解析式：顶点式优先（已知顶点），普通式通用； 1. 代入已知点，求解二次函数系数； 1. 结合题意：已知水平距离求高度、已知高度求水平宽度； 1. 结合实际情境取舍答案。 考点三 二次函数：动态几何问题 解题原理 1. 动点运动产生变化线段、面积、周长，以运动时间/线段长为自变量； 1. 利用几何性质：勾股、相似、特殊图形性质、面积割补； 1. 将变化的几何量（面积、周长、线段）表示为二次函数； 1. 借助二次函数单调性、顶点最值、区间范围，求解几何最值与取值。 解题思路 1. 设动点运动时间，用速度表示动态线段长度； 1. 结合图形性质，写出面积、周长、线段的表达式； 1. 化简整理为二次函数标准形式； 1. 确定自变量取值范围（动点运动边界）； 1. 开口向上/向下判断最值，区间内求最大值、最小值； 1. 结合特殊图形存在性，列方程求解临界位置。 考点四 二次函数：材料阅读类问题 解题原理 1. 题干自定义新概念、新规则、新函数模型，给出陌生背景； 1. 本质仍是二次函数图象、性质、解析式、最值、增减性； 1. 考查信息提取、迁移应用，用课本知识解决陌生定义问题； 1. 结合方程、不等式、方案选择，综合考查函数应用。 解题思路 1. 精读材料，提炼新定义、新运算、新规则； 1. 剥离文字背景，转化为纯二次函数问题； 1. 按要求求解析式、画图象、分析增减性、比较大小； 1. 结合题干限制条件（取值、整数、实际意义）； 1. 利用二次函数性质求解方案、最值、范围、判断结论。 四大考点通用总结 1. 核心统一思想：实际问题数字化、变量化，转化为二次函数； 1. 通用步骤：设自变量→列关系式→整理二次式→限定取值范围→利用图象与性质求解； 1. 关键注意：实际问题自变量有现实约束，不可直接套用顶点，必须看区间； 1. 考查核心：列式建模能力+二次函数最值与增减性应用。 真题速递 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 3．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 4．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 考点一 二次函数的实际应用：销售问题 【例题分析】 例1．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 例2．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【变式训练】 变式1．（2026·山西阳泉·一模）项目学习 【项目主题】商品销售过程中的数学问题． 【问题情境】山西非遗刀削面，是山西文化的名片，其外滑内筋俱显匠心，承载着乡愁与晋商记忆．某速食品牌企业以山西刀削面为特色，设计生产了一种速食刀削面进行销售．某校综合实践小组的同学想要了解该品牌速食刀削面的销售情况，他们对速食刀削面的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该店这种速食刀削面日销量x（单位：份）的范围是． 信息②：速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系如下表所示． 信息③：如图所示，线段，表示该速食刀削面每份的售价（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系． 日销量 100 150 200 250 每份的成本 10 9.5 9.0 8.5 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间是______关系（填“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”）．与日销量x之间的函数关系式为______． (2)任务二：求与日销量之间的函数关系式，并直接写出该速食刀削面当日销售300份时的销售利润． (3)任务三：求当日该速食刀削面销量为多少份时，日销售利润最大． 变式2．（2026·河南开封·一模）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 考点二 二次函数的实际应用：拱桥问题与喷水问题 【例题分析】 例1．（2026·陕西汉中·二模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是G、E、F、H，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点分别在上，点分别在上，点到的距离均为12米．已知所在拋物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 例2．（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁·一模）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 变式2．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 考点三 二次函数的实际应用：动态几何问题 【例题分析】 例1．（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S． (1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）． (2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 例2．（2026·江苏扬州·一模）如图，D、E分别为边上的动点，且，点C关于的对称点为点，连接和． (1)当时，则的值为 ，点C到的距离值为 ； (2)结合点的运动轨迹，求当点落在的角平分线上时，的值； (3)当点D在上移动时，与的重叠面积是否存在最大值，如果存在， 请直接写出此时的值，如果不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 变式2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 考点四 二次函数的实际应用：材料阅读类问题 【例题分析】 例1．（2026·江西宜春·一模）综合与实践 【问题背景】 生活中的抛物线形音响能让声音传得更远、音质更好，不同型号的音响，对应的抛物线形状也存在差异，这隐藏着抛物线的奥秘．学习小组计划研究这类音响的截面轮廓曲线为抛物线的部分． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点C是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为_____ (2)【建立模型】 第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系，请你写出a和h的数量关系，并参考图2验证猜想 (3)【应用模型】 第三小组重新建立平面直角坐标系后发现点的坐标为，，且时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值 例2．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 例3．（2026·广西贵港·二模）【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 (1)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 (2)在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 (3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁本溪·一模）某数学兴趣小组开展综合与实践活动，记录如下： 活动主题 测量帐篷内自由活动区的面积 活动准备 1．准备皮尺等测量工具； 2．查阅并绘制帐篷的示意图． 方案示意图 图1某帐篷的示意图，该帐篷是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的（点B在直线l上，点A在水平地面上，曲线段为抛物线上的一段曲线，点B为抛物线的顶点）． 采集数据 ①帐篷的底圆半径是； ②帐篷最高点B距离地面． 确定思路 以直线l与地面交点为坐标原点，以水平地面所在的直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点B为抛物线的顶点，点A在x轴上，点C为抛物线上一点，轴于点D． 备注 某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)某同学的身高是，求他在帐篷内自由活动区的面积（结果保留π） 变式2．（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 变式3．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表． 信息整理： ①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 … 滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______． (2)观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离． (3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $