函数的表示4种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

函数的表示4种高频考点专项训练 函数的表示4种高频考点专项训练 考点目录 函数图像识别 用描点法画函数图像 从函数的图像获取信息 动点问题的函数图像 考点一 函数图像识别 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； B．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数，不符合题意； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； D．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数，符合题意． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量 的每一个值， 都有唯一确定的值与之对应.在图象上体现为：作垂直于 轴的直线，该直线与函数图象最只有一个交点. A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有多个交点，故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； D. 作垂直于 轴的直线，与图象只有一个交点，故 是 的函数. 变式2．（25-26八年级下·云南昆明·月考）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应． 结合图象，利用“垂直于x轴的直线与图象最多有一个交点”这一性质进行判断即可．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴在图象上，作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只能有一个交点． A. 图象是一条直线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B. 图象是折线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； C. 观察图象可知，存在垂直于x轴的直线与图象有3个交点，即对于同一个x值，有3个y值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意； D. 图象是抛物线，对于每一个x值，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意. 故选：C． 考点二 用描点法画函数图像 例1．（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)0，0；； 【分析】（1）把代入即可求得； （2）先描点，再连线即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴． （2）解：函数图象如图所示． （3）解：观察该函数图象： 当时，函数有最大值是0． 对于图象上两点，若，则． 对于函数，当时，的取值范围是． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【答案】(1) (2)①，②答案见解析 (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）由分式的分母不为0可得出答案； （2）①将，代入解析式即可求值；②连点成线，画出函数图像； （3）观察图像可得． 【详解】（1）解：由分式的分母不为0得：， 自变量x的取值范围是：； （2）①当时，， ； 当时，，解得：， ； ②图像如下： （3）当时，y随x的增大而减小． 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … (1)表格中： ， ． (2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【答案】(1)3；5 (2)见解析 (3)①；②见解析 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴，； （2）解：如图函数图像即为所求作： （3）解：①根据函数图像可得，函数的最小值是； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 变式2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）[探究]对于函数，当时，；当时，． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （2）[应用]对于函数． ①当时，______；当时，______；当时，______； ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （3）[迁移]当______时，函数取到最小值，最小值为______． 【答案】（1）图象见解析，0； （2）①，，，②图象见解析，； （3），． 【分析】此题主要考查了函数与绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）画出函数图象，直接得出结论； （2）①根据的取值范围去绝对值计算即可； ②画出函数图象，即可得出结论； （3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论． 【详解】解：（1）图象如图1所示，函数的最小值是0， 故答案为：0； （2）①当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，； ②函数图象如图2所示， 由图象可知，函数的最小值是， 故答案为：； （3）当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：；． 考点三 从函数的图像获取信息 例1．（25-26八年级下·北京房山·期中）房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意和函数图像可以判断每个结论是否正确． 【详解】解：由图可知， 甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确； 由可知甲跑完全程用时，故②正确； 起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确； 出发后甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误， 综上，共有3个正确结论． 例2．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】C 【详解】解：物资车往返总路程为，故A错误； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B错误； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C正确； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D错误． 例3．（25-26八年级下·北京·期中）甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 【答案】 35 75 【分析】（1）根据图中的信息和等量关系，列方程求出和的值，再计算即可； （2）先求出甲乙的路程，计算即可． 【详解】解：（1）由图1可知，当时，，， 则，解得， 由图1可知，当时，甲乙的速度相等， 则，解得， ； （2）当时间为时，甲的路程为，乙的路程为， 甲乙两车之间的距离． 例4．（25-26八年级下·四川资阳·期中）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的有_______个． ①；②甲的速度是； ③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地． 【答案】4 【分析】根据函数图象可知段为乙车在货站装货的时间段，据此可求出a的值，则可判断①；根据乙车需要7小时到达B地，则可得到甲车到达B地的时间，进而可求出甲车的速度，则可判断②；设乙车刚开始的速度为，根据乙车到达B地的时间建立方程求出乙车的初始速度，设经过，乙车追上甲车，根据乙车追上甲车时，二者的路程相同建立方程求解，即可判断③；根据路程等于速度乘以时间求出乙刚到达货站时，甲距B地的距离可判断④． 【详解】解：由题意可得，，故①正确， 甲的速度是：，故②正确， 设乙车刚开始的速度为，则， 解得， 设经过，乙追上甲， 则， 解得， ∴乙出发追上甲，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地，故④正确， ∴正确的有4个． 例5．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； (2)从美术馆到姑妈家的速度为 ． (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【答案】(1)离开家的时间； 离开家的距离；小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； (2) (3)或 【分析】（1）根据因变量和自变量的定义，以及函数图象即可得到答案； （2）根据图象，用从美术馆到姑妈家的路程除以时间，即可求解， （3）由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻，结合函数图象根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离，点A的实际意义为小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； （2）解：从美术馆到姑妈家的速度为； （3）解：由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻， 当在段时，根据题意得， 解得， 当在段时，根据题意得， 解得； 综上所述，当小明和家人离开家或时，他们离家的距离为． 例6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)游泳馆距离小刚家①_____________米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了②_____________米； (2)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 【答案】(1)2000，4000 (2)14分钟 【分析】（1）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米； （2）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，游泳馆距离小刚家米． 行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米； （2）解：由图象可知： 最初速度：（米/分钟）， ∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆， ∴拿装备后速度为（米/分钟）． ∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）． ∴（分钟）． 变式1．（25-26八年级下·北京延庆·期中）骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发，故③错误； 由图象可知，的图象经过点和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 变式2．（2025·贵州铜仁·二模）小李双休日爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为分钟，所走的路程为米，与之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小李中途休息了20分钟 B．小李休息前爬山的速度为每分钟70米 C．小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 D．小李从山脚到山顶的平均速度为47.5米/分 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，小李40分钟爬山2800米，分钟休息，分钟爬山米，爬山的总路程为3800米、总时间为100分钟，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可． 【详解】解：A、根据图象可知，在分钟，路程没有发生变化，所以小李中途休息的时间为：（分钟），故选项不符合题意； B、根据图象可知，当分时，米，所以小李休息前爬山的平均速度为：（米/分），故选项不符合题意； C、小李休息后的爬山的平均速度为：（米/分），小李休息前爬山的平均速度为：（米/分）， ∵， ∴小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故选项不符合题意； D、小李从山脚到山顶的平均速度为（米/分），故选项符合题意． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】 ①②④ 【分析】先读懂函数图象，获取相关信息，再利用行程问题的数量关系进行计算，根据图象纵坐标的最大值判断①；根据速度路程时间计算小华的速度判断②；求出小华行驶米所需时间，结合出发时刻计算相遇时刻判断；计算小华跑步到达学校所需时间，推算到达时刻与小明比较判断． 【详解】解：由图象可知，路程的最大值为， 小明家和学校距离米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的时间为（分钟）， 小华乘坐公共汽车的速度是（米/分），故②正确； 当时，小华行驶的时间为（分钟）， 小华在时出发，即后分钟，为， 相遇时刻为经过分钟，即，故③错误； 当小华跑步速度为米/分时， 所需时间为（分钟）， 小华出发时间不变，仍为， 小华到达学校时的值为， 由图象可知小明到达学校时的值为， 他们可以同时到达学校，故④正确. 综上所述，正确的有①②④． 变式4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 【答案】①② 【分析】当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离；当时，甲、乙两人相遇；当时，甲、乙两人开始背向而行；当时，乙到达地，而甲继续向地运动． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据图象可知，当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离，结论①正确． 当时，甲、乙两人相遇，两人运动的总路程为，所以． 当时，甲、乙两人开始背向而行，当时，两人的距离，所以，结论③错误． 当时，乙到达地，而甲继续向地运动， 此时乙共运动，用时，则， 所以， 所以乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确． 当乙到达地后，甲继续运动了，所用时间， 所以，结论④错误． 综上所述，正确的序号是①②． 变式5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 【答案】(1) (2)小山在途中休息了0.5小时 (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有 【分析】（1）结合图象，根据速度路程时间，即可求出小山爸爸骑行的速度； （2）先结合图象求出小山原来的速度，根据休息后骑行的速度是原来的一半，可得小山后来的速度，再用剩余的路程除以后来的速度，可得小山休息后骑行的时间，用总时间减去休息前骑行的时间和休息后骑行的时间，即可得小山在途中休息的时间； （3）当小山爸爸追上小山时，他俩骑行的路程相等，据此列方程求解． 【详解】（1）解：根据图象可得，， 答：小山爸爸骑行的速度为； （2）解：小山原来的速度为：， 小山后来的速度为：， 小山休息后骑行的时间为：， ． 答：小山在途中休息了0.5小时； （3）解：根据题意列方程，得， 解得，， ， 答：小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有． 变式6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：m），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.00 10.00 15.00 30.00 50.00 70.00 85.00 90.00 85.00 70.00 请解决以下问题： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为_______，摩天轮的半径约为_______； ②此摩天轮转一圈所用时间为_______． ③当时，座舱A的高度为．此后，座舱A至少再经过_______，座舱A的高度会再次回到． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②； ③ 【分析】（1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可； （2）①根据函数图象发现当时有最高点，当时有最低点，最高和最低差距即为直径，据此求解即可；②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间；③根据时，座舱A的高度为，由函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，据此求解即可． 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： （2）解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为，最低高度为， ∴摩天轮的直径约为， ∴摩天轮的半径约为； ②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为， ∴从最高点到最低点用时也为， ∴此摩天轮转一圈所用时间为； ③时，座舱A的高度为，由函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性， 则经过，座舱A的高度会再次回到． 考点四 动点问题的函数图像 例1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由图象上点知，且点在点时，的面积为12，连接交于点，则可求出和，利用勾股定理求出，得到． 【详解】解：如图1，连接交于点， 由图2知，当时，点与点重合，，的面积为12， 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　 【详解】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【分析】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 例4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 【答案】 【分析】根据函数图象可得，，，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：由图可得：当时，，即当点的运动距离为时，的长为， ∴当时，， 由图可得： 当时，，即当点的运动距离为时，的值最大，最大为， ∵当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在 中，， 即， 解得， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∴． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A．27 B．27.5 C．28.5 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，三角形中位线的性质等，取的中点，连接，由三角形中位线的性质可得，且，得到，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 由三角形中位线的性质可得，且， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由函数图象可知，，， 由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：C． 变式2．（25-26八年级下·河南开封·期中）边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合下面函数图象分析：当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得点在正方形的边上每移动一周，则的值增加16，而（周）……10（单位长度），从而可得当时，点位于上距离点D2个单位长度，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：点在正方形的边上每移动一周，则的值增加16， （周）……10（单位长度）， 当时，点位于上距离点2个单位长度，如图所示： ． 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 【答案】/厘米 【分析】过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接，由函数图象得，点C到的距离是线段的长，进而求得，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， 设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接， 由图2知，和时的函数值都为4，即，当时，函数值最小，即点C到的距离为线段的长， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 即点C到的距离是． 变式4．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 【答案】 2 【分析】（1）根据图2可得点Q在时候运动到点，即可解答； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点，计算此时的距离，即可解答． 【详解】解：（1）根据图2可得点Q在时候运动到点， ； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点， ， 此时， ， 点到达点C后其速度将变为每秒6个单位长度， ∴当两点停止运动时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的表示4种高频考点专项训练 函数的表示4种高频考点专项训练 考点目录 函数图像识别 用描点法画函数图像 从函数的图像获取信息 动点问题的函数图像 考点一 函数图像识别 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 变式2．（25-26八年级下·云南昆明·月考）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 考点二 用描点法画函数图像 例1．（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … (1)表格中： ， ． (2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 变式2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）[探究]对于函数，当时，；当时，． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （2）[应用]对于函数． ①当时，______；当时，______；当时，______； ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （3）[迁移]当______时，函数取到最小值，最小值为______． 考点三 从函数的图像获取信息 例1．（25-26八年级下·北京房山·期中）房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 例3．（25-26八年级下·北京·期中）甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 例4．（25-26八年级下·四川资阳·期中）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的有_______个． ①；②甲的速度是； ③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地． 例5．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； (2)从美术馆到姑妈家的速度为 ． (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 例6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)游泳馆距离小刚家①_____________米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了②_____________米； (2)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 变式1．（25-26八年级下·北京延庆·期中）骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 变式2．（2025·贵州铜仁·二模）小李双休日爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为分钟，所走的路程为米，与之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小李中途休息了20分钟 B．小李休息前爬山的速度为每分钟70米 C．小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 D．小李从山脚到山顶的平均速度为47.5米/分 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 变式4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 变式5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 变式6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：m），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.00 10.00 15.00 30.00 50.00 70.00 85.00 90.00 85.00 70.00 请解决以下问题： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为_______，摩天轮的半径约为_______； ②此摩天轮转一圈所用时间为_______． ③当时，座舱A的高度为．此后，座舱A至少再经过_______，座舱A的高度会再次回到． 考点四 动点问题的函数图像 例1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 例2．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 例4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A．27 B．27.5 C．28.5 D．30 变式2．（25-26八年级下·河南开封·期中）边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合下面函数图象分析：当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 变式4．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $