考点05 一次函数综合问题（4大类型21种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点05 一次函数综合问题 题型一：一次函数面积问题 类型一 一直线与坐标轴围成的面积 1．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，根据函数图象经过的象限可知一次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，再根据直线与坐标轴围成的三角形面积建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上， ∴， ∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， ∴（已检验是原方程的解）， 故答案为：． 2．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，关键是计算出的值，注意有两个值，不要漏解． 根据图象经过点，得出，再根据的面积为2，得出，进而算出的值，再计算出，然后把的值代入，即可得到的值，写出函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴的交点是， ∴， 即， ∴，， 将，分别代入， 得，， ∴一次函数的表达式是或． 3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知直线的截距为，则该直线与两坐标轴围成的三角形面积是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的解析式，与坐标轴的交点坐标，由直线的截距为，得出直线的解析式，然后求出与x轴和y轴的交点坐标，即可求出三角形的面积． 【详解】解：∵直线的截距为， ∴ ∴， 当时，， ∴与y轴交于点， 令，则，解得， ∴与x轴交于点， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 故答案为： ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点是该函数图像上的一动点，且点P在第一象限内，求的面积S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3)（） 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，求直线与坐标轴围成的三角形面积等知识点． （1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）直接由三角形面积公式求解即可； （3）根据三角形的面积公式即可建立起函数关系式． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得， 所以函数表达式为． （2）解：． （3）解：如图， 因为点在第一象限，且， 所以． ， 所以（） 类型二 两直线与一坐标轴围成的面积 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，这两条直线相交于点，则的面积等于______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点P和点A、B的坐标是解题的关键． 先求得P点的坐标，进一步求得直线的解析式，根据直线的解析式求得A，B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴， 由直线可知，由直线可知， ∴， ∴ 故答案为：9． 7．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是______，与轴围成的三角形的面积是______． 【答案】 12 【分析】联立两直线解析式解方程组即可得到交点坐标；求出两直线与轴交点间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：联立得， 解得． 所以，交点坐标为， 令，则，解得， ，解得， 所以，两直线与轴交点之间的距离为， 所以，两条直线和轴所围成的三角形的面积． 故答案为：，12． 【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，第二问先求出两直线与轴的交点间的距离是解题的关键． 8．（23-24八年级上·宁夏·期中） 已知如图直线与直线交于点． (1)求k的值． (2)求两直线与x轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题、一次函数与坐标轴的交点求法及三角形面积计算，解题的关键是掌握“函数图象上的点满足函数解析式”和“三角形面积=底×高”的核心公式，并能通过求直线与x轴交点确定三角形的底边长． （1）已知点是两直线的交点，故点P在直线上，将点的坐标代入该直线解析式，即可列方程求解k的值； （2）先分别求出两条直线与x轴的交点坐标（令，解方程求x的值），得到点A、B的坐标；再确定线段的长度（即三角形的底），点P的纵坐标即为三角形的高；最后代入三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴将代入得： 解得 （2）解：求直线与x轴交点A： 令，则，解得， ∴ 再求直线与x轴交点B： 令，则，解得， ∴ ∴． ∵点到x轴的距离（即的高）为3 ∴边上高． 答：两直线与x轴围成的的面积为． 类型三 三直线围成的三角形面积 9．（2024年上海市田家炳中学特色课程班中考第一次模拟测试卷）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次标记为，，，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正方形的性质，找到图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能通过计算得出是解题的关键． 本题根据题意，通过求出前几个点坐标，推导正方形边长规律，进而得出阴影三角形面积的规律，重点考查对一次函数性质、正方形性质及规律推导的掌握，解题时要善于从特殊情况归纳一般规律，利用规律依次求出、、、…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将代入得，， 点的坐标为． 四边形是正方形， ． 将代入得，， 点的坐标为， ； 同理可得， ， ， ， …， 所以（为正整数）． 当时，． 故答案为：． 11．（22-23八年级下·重庆渝中·月考）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是___________________． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求一次函数围成的三角形面积等．先求出点的坐标，求出直线与坐标轴的交点坐标，得出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，根据一次函数平移的性质得出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，联立方程组求出直线与直线的交点的坐标，根据即可求解． 【详解】解：∵直线：经过点， 故， 解得：， ∴， ∵直线与坐标轴交于点、， 故当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、在直线：上， ∴把，，代入直线得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 故当时，， ∴， 将直线向下平移个单位得到直线：， ∵直线交轴于点， 故当时，， ∴， ∵直线与直线交于点， 故联立方程组：， 解得：， ∴交点的坐标为， ∴． 故答案为：． 12．（内蒙古自治区包头市第二中学2025-2026学年八年级上学期11月月考数学试题）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)5 (4)和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 类型四 已知面积求坐标轴上符合的点的坐标 13．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为______，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为______． 【答案】 6 或/或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴的面积为：； 设点， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为：或． 故答案为：6；或． 14．（24-25八年级上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ____________． 【答案】或2 【分析】由可知点在直线上，当点在的左侧且的面积等于10时，求得的值，当点在的右侧且的面积等于10时，求得的值．本题考查了三角形的面积，正比例函数的图象性质，坐标与图形性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 点的坐标为， 点在直线上， 当点在的左侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 当点在的右侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 的面积等于10，则或． 故答案为：或2． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作轴的垂线与三条直线相交，其中．若图中阴影部分的面积是，则________．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征．根据题意求出，，同理，从而求出图中阴影部分的面积，进而得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：如图，    把分别代入得： ， ∴，， 同理， ∴图中阴影部分的面积是， ∵图中阴影部分的面积是， ∴， 解得：． 故答案为： 16．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)的面积是； (3)点的坐标是或． 【分析】（1）设直线的解析式为，将、代入即可得解； （2）由直线的解析式得出点坐标，由即可得解； （3）由题意求出，分情况考虑：当点在上时，当点在上时，分别将代入对应的直线解析式即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， 则直线的解析式为． （2）解：直线的解析式为， 时，，即，， ． （3）解：依题得：， 动点沿路线运动， ， ， 当点在上时， 点， 直线的解析式为， 则时，， 即； 当点在上时， 直线的解析式为， 时，， 即； 综上，这时点的坐标是或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何综合，解题关键是熟练掌握一次函数． 类型五 直线将三角形分成两部分 17．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知，，直线将平行四边形分成面积相等的两部分，则的值是（    ） A．3 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和一次函数图象上点的坐标特征．先求得平行四边形的中心坐标，再根据过平行四边形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形对角线，且，， ∴A、C的中点横坐标为，纵坐标为， ∴平行四边形的中心的坐标为， ∵直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴点在直线上， ∴， 解得． 故选：B． 18．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 19．（2025八年级上·四川成都·专题练习）八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过点P的一条直线l交y轴于点A，直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式；延长点所在正方形的两边，分别交轴于，交轴于，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，延长点所在正方形的两边，分别交轴于，交轴于， 正方形的边长为， ， ， ， 直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， ， 解得， ， ， 设直线l的解析式为，则有 ， 解得， 直线l的解析式为， 故答案为． 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 _____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．根据题意，先求得直线的解析式，得到直线上一点，得出点的纵坐标为，再利用待定系数法，求的解析式即可． 【详解】解：设直线为：， ，两点在直线上， ， 解得：， 直线：， ∵四边形的顶点坐标分别为，，，， ∴ ∵过点的直线将四边形分成面积相等的两部分， 设与的交点为，连接， ∴ ∴ 当时，， ， ，， 设直线为：， ， ， ：， 故答案为：． 题型二：一次函数与将军饮马问题综合 类型一 基础对称型（两定一动） 21．（22-23七年级上·山东烟台·期末）如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及利用轴对称的性质，确定点C的位置． 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，先把代入，求出b的值，得出点A的坐标，再得出点的坐标，用待定系数法求出的函数解析式为，即可求出点C的坐标． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C， 把代入得， 解得：， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在直角坐标系中，已知轴，，，，．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两个一次函数交点联立方程组． 为了使铺设管道的路线最短，燃气站应建在点关于直线的对称点与点连线与直线的交点处，先求出点的坐标，联立方程组，即可求得燃气站P的坐标． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，因为燃气管道不穿过，所以连接，此时管道路线最短，设交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，如图所示， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 令得，， 令得，解得，， 又， 在中， ， 在中，， 由、对称可知，，， ， ，，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为：，代入点、的坐标， 可得 解得， 直线的解析式为：， 解得 ． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·河南郑州·期末）近两年文旅盛行，众多游客来郑州探索“建业电影小镇”的复古风情，漫步“郑州海昌海洋公园”的蓝色奇境，沉浸于“只有河南”的深厚文化！图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知“建业电影小镇”A的坐标为，“只有河南”B的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出“海昌海洋公园”C的坐标 ； (2)若要在“建业电影小镇”A关于直线轴对称的位置点D处再打造一个特色景点，请在图中描出点D，点D的坐标是 ； (3)为了缓解“电影小镇”和“只有河南”之间的交通压力，在轴上找一点修建一个摆渡车车站，定时发车沿“摆渡车车站电影小镇只有河南摆渡车车站”的路线接送游客，若要使每趟车路线最短，请直接写出点的坐标，并求出摆渡车的最短路线长． 【答案】(1) (2) (3)，摆渡车的最短路线长为 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、平面直角坐标系及一次函数的图象与性质，熟练掌握轴对称图形的性质、平面直角坐标系及一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“建业电影小镇”A的坐标为，“只有河南”B的坐标为可建立平面直角坐标系，然后可得点C坐标； （2）根据轴对称的性质可进行求解； （3）根据题意要使每趟车路线最短，则需作点A关于x轴的对称点E，然后连接，此时与x轴的交点即为所求P点，然后得出直线的解析式，则可求出点P坐标，最后利用两点距离公式可得最短路线长． 【详解】（1）解：所作平面直角坐标系如下： ∴“海昌海洋公园”C的坐标为； 故答案为：； （2）解：所作点D如图所示： ∴点D的坐标为； 故答案为：； （3）解：由题意可知：要使每趟车路线最短，则需作点A关于x轴的对称点E，然后连接，此时与x轴的交点即为所求P点，如图所示： ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，则有，解得：， ∴， 根据两点距离公式可得：， ∴摆渡车的最短路线长为． 类型二 周长 / 线段和差型 24．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG， 直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴令，则；令，则，解得， ，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵点C与点G关于对称， ∴，， ∴， ∵，， ， 又∵点C与点F关于对称， ，，， ， ∵，， ∴的周长， 当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为的长， ∵在中，， 周长的最小值是． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 先根据动点，利用参数法求出即点在直线上，再找出点关于直线对称点为，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，求出长即可解题． 【详解】解：∵设动点为；又因为动点， ∴， ∴，即点在直线上， 如图， 直线与x轴、y轴分别交于、两点， 易得直线与x轴、y轴分别交于、， ∴， ∴关于直线对称点为， 连接，，作轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，最小值为． 26．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值_________． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 类型三 造桥选址类（平移型） 27．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，直线：是河岸，河在右侧，左侧的是一个河鲜冷藏仓库，是超市．    (1)现计划在河岸上建立一座河鲜加工厂，加工厂从仓库进货加工，再运输至超市，请在图中找出加工厂的位置，使进出货物的运输路径最短．（仅限在所给网格内作图，不需要说明作图理由） (2)若河的两岸互相平行，河宽为． ①在图中画出表示对面河岸的直线，并直接写出的解析式． ②上有一点，纵坐标为6，右侧有一点，线段是支流（宽度不计），支流有丰富多样的河鲜可以打捞．为支持河鲜产业发展，政府计划垂直于河的两岸造桥，渔民在支流处打捞河鲜后装上货车，运输河鲜到对岸的河鲜冷藏仓库．请求出上的造桥位置的坐标，以及支流上的打捞河鲜位置的坐标，使运输路径最短． 【答案】(1)见解析 (2)①②，，能使运输路径最短． 【分析】（1）要使最小，可作点关于的对称点，连接与的交点即为点； （2）①根据两岸互相平行及河宽为即可求出；②根据“造桥选址”类最短路径问题即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：①如图所示，的解析式为       ②，由（1）知，且，又 ∵桥， ∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴运输路径， 当、、共线且垂直于时，运输路径最短， 由图知是等腰直角三角形， ∴， 当坐标为时，， ∴， 又∵，由等腰三角形三线合一知点为中点， ∴ 答：，，能使运输路径最短． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、“将军饮马”最短路径问题．熟记常见的模型是解决此题的关键． 类型四 综合最值型 28．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 29．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 【详解】解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置． 题型三：一次函数的整点、定点、定值问题 类型一 整点问题 30．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 31．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据临界点求出直线解析式即可解答． 【详解】解：如图所示，此时，， 设直线的解析式为，由条件可得： ， 解得， ， 当时，， ， ； 如图3所示，此时，， 设直线的解析式为，由条件可得： ， 解得， ， 当时，， ， ； 综上，． 32．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有_________个整点，三角形的边上有_________个整点． 【答案】 3 12 【分析】此题考查一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，画出函数图象，进而求解即可． 【详解】当时， ∴直线与y轴交于点； 当时，，解得 ∴直线与x轴交于点； 画出图象如下： ∴由图象可得， 直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有3个整点，三角形的边上有12个整点． 故答案为：3，12． 33．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数， （1）若，则、的图象与x轴围成的区域内包括边界有______个整点； （2）若、的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则k的取值范围是______． 【答案】 4 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程求与x轴的交点坐标，根据x、y为整数确定k的取值范围． （1）求出直线与直线交于，再画出图形可得答案； （2）分两种情况，画出图形可得答案． 【详解】解：（1）若，则 作出，的图象， 则，的图象与x轴围成的区域如图中阴影部分所示，    其中的整点有：，，，，则整点共有4个． （2）因为， 所以的图象恒经过点， 当时，如图：    直线和交于， 由图可知当直线与轴交点在和之间时，、的图象与轴围成的区域内恰有6个整点，包括，不包括， 把代入得：，解得； 把代入得：，解得； ； 当时，如图：    同理可得； 综上所述，或． 类型二 定点问题 34．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 函数图象恒过定点，即无论m取何值，该点坐标都满足方程，因此将方程整理为关于m的表达式，令m的系数为零，求解x，再代入求y． 【详解】解： ， ∵对于任意实数m，图象都过定点， ∴令，解得． 将代入解析式，得． ∴定点P的坐标为． 故答案为：． 35．（23-24八年级下·福建泉州·期末）对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将解析式变形为，结合题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵对任意实数m，直线经过一个定点， ∴， ∴，此时， ∴定点为， 故答案为：． 类型三 定值问题 36．（24-25八年级下·江苏南通·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，先求得交点的坐标，即可求出点的轨迹，进而判断出直线与直线平行，即可求出的值．得出点的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】解：直线与直线（是常数，且）交于点， 解析式联立解得，， 解得， ， ，， ， 点在直线上， 点到直线的距离总是一个定值， 直线与直线平行， ， ． 故选：C． 37．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是______； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是______． 【答案】 【分析】（1）由，即可求得定点的坐标； （2）求得直线与直线的交点，可知点所在的直线为，由点到直线的距离是定值可知，解直角三角形即可求得点到直线的距离． 【详解】解：（1）∵， 当时，得， 即不论为何值，当时，都有， ∴定点， 故答案为：； （2）由， 解得：， ∴， ∴点所在的直线为，且点到坐标轴的距离相等， ∴直线在第一、三象限的平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， ∵点到直线的距离是定值， ∴点所在的直线与直线互相平行， 即直线平移后得到直线， ∴， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过定点， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点坐标，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，确定定点的坐标是解题的关键． 题型四：一次函数与几何综合 类型一 一次函数与三角形综合问题 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，． (1)如图1，求点A点坐标； (2)如图2，直线交x轴负半轴于C，点，交线段于D，点D的横坐标为t，的面积是S，用含t的式子表示S． (3)如图3，在（2）的条件下，，点E在线段上，连接并延长至F，连接并延长，交x轴于点G，时，求G点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到点A坐标． （2）先确定的长度，再根据点D的横坐标t，结合直线的解析式求出点D的纵坐标，最后利用三角形面积公式构建关于t的表达式． （3）因为已知S的值，所以先代入（2）的表达式求出t的值，确定点D坐标，进而得到直线的解析式；因为、，所以可通过构造全等三角形，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再根据全等性质得到线段长度，从而求出点G坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）解：设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 点横坐标为，则的纵坐标，这是中边上的高． ∴． （3）解：当时，代入得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 又∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点E作，过点B作射线交x轴于点M，且，过点G作于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ∴G点坐标为． 39．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先求点、坐标，进而代入直线解析式求解即可； （2）先根据图形得出，可得点，再根据将军饮马即可求出最小值； （3）先求得点的坐标；导角可得，则，再分类讨论，当点在点上方时，易证，根据勾股定理建立方程，即可得解；当点在点下方时，则与关于点对称，据此求解． 【详解】（1）解：对于，令，得， ，即， ， ， 当时，， ， 将点、代入中得， ， 解得， 直线的表达式为； （2）对于，令，得， ，， ， ， ， 此时， ， ； 如图，作关于轴对称点， 此时，当且仅当、、三点共线时取等， 此时最小值为， 综上，点坐标为，最小值为； （3）， 又， ， ， ， 当点在点上方时，则， ， 联立 解得： ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 当点在点下方时，此时与关于点对称， ，， ； 综上，点的坐标为或． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线与坐标轴分别相交于点A、B，与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，点P在直线上，且，试求点P的坐标； (3)如图2，点M是第四象限内一点，且，连接，探究与之间的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或 (3)，证明见解析 【分析】（1）联立两个解析式求出点C的坐标； （2）求出两点的坐标，分点在点的上方和原点下方两种情况进行讨论求解； （3）作交的延长线于点，设交于点，证明，倒角即可得出结果． 【详解】（1）解：联立，解得； ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 当点在点上方时：， 解得， ∴； 当点在原点下方时：， 解得， ∴． 综上：或； （3）解：，证明如下： 作交的延长线于点，设交于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（2）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型二 一次函数与四边形问题 41．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的“关联”函数，已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)若点分别在一次函数的关联函数图象上，则__________；__________． (2)点在函数的“关联”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，、为常数），其中、满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，、为常数）的“关联”函数图象与恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)3，5 (2)3或 (3)①经过定点，定点坐标为；②当或且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标特点等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据“关联”函数的定义求解即可； （2）分与两种情况，将点G的坐标代入函数关系式求解即可； （3）①由已知条件可将函数关系式变形为，可得结论； ②“关联”函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，当“关联”函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点；分别求得相应的b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在一次函数的“关联”函数图象上，且， ， 故答案为：3，5； （2）解：∵点在函数的“关联”函数图象上， 当时，，解得：， 当时，，解得：，综上所述，的值为3或； （3）解：①经过定点： ， ， 代入得：， 当时，； ∴一次函数的图象过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的“关联”函数图象经过定点和， ， 且点在内，设一次函数的“关联”图象与轴的交点为， 点沿轴向上平移过程中，当“关联”函数图象经过点时，与有三个交点， 将代入，解得：， 时，“关联”函数图象恰好与有两个交点，符合题意； 点沿轴继续向上平移，当“关联”函数图象经过点时，与有三个交点， 且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点，符合题意； ∴当或且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点． 42．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形．    (1)求正方形的面积； (2)求点和点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由题意可以得到、的坐标，从而得到线段的长度，进一步可以得到正方形的面积； （2）由题意和（1）可以得到，从而得到线段、、、的值，然后可以得到点和点的坐标； （3）找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，此时周长最小．由待定系数法求出的解析式，然后令，即可得到的坐标． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到；令，得到， ， ， 在中，， 正方形面积为； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点：   ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小：   ， ， 设直线的解析式为：， 把与坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为 对于，令，得到， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径等，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、勾股定理的应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等是解题关键． 类型三 等腰三角形存在性问题 43．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 44．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点． (1)求直线的解析式； (2)当最小时，直接写出点的坐标：__________； (3)若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)点E的坐标为、或 【分析】本题属于一次函数综合题，结合几何与函数是解题的关键． （1）结合直线，先求出点的坐标，再结合点，利用待定系数法求解直线的解析式； （2）路径最短问题，利用轴对称将折现转化为线段，作出关于轴的对称点，解出直线的函数表达式，求该表达式与轴的交点即可； （3）等腰三角形存在问题，分类讨论，利用两点之间的长度公式进行解题，列出对应方程并求解． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴当时，，即，解得， 故点的坐标为， 将点、代入直线：， 得，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点， 则点的坐标为， 连接，与轴相交于点，此时最小， 假设直线的函数表达式为， 将点、代入， 得，解得， 直线的解析式为 当时，，解得， ∴与轴的交点为， 故点的坐标为 ． （3）解： 以为腰时，， ∵，故，点在轴上，故不存在， 当时，假设点的坐标为， 则， 化简该方程得，解得、， 以为底时，即=，结合点 得， 故可得方程，解得， 综上，点E的坐标为、或 类型四 直角三角形存在性问题 45．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可； （2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵直线与轴交于点， 当时，得：，解得：， ∴， 由（1）知：， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）①当时， 由（2）知：， 此时点与点重合， ∴点的坐标为， ②当时，即，此时点的横坐标为，如图， ∵直线， 当时，得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 46．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)将直线向上平移5个单位长度得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，求线段的长． (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点以及待定系数法． （1）直接根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的平移规律得到直线的解析式，得到，，进而根据两点间的距离公式计算即可； （3）设，根据两点间的距离公式求出，，，分、两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵将直线向上平移5个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴； （3）解：∵， ∴， 设， ∵，， ∴，， 当时，， 即， 解得：； 即； 当时，， 即， 解得：； 即． 类型五 等腰直角三角形存在性问题 47．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． (1)求直线的表达式； (2)当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）分三种情况，结合全等三角形的判定和性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：直线交轴于点， ， 直线的解析式是； （2）解：当时，， 点   如图，当为直角顶点时， 过作轴于，过作于， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，①， ②， 由①②解得：，， ， ， 如图，当为直角顶点时，过作轴于， 同理可证， ，即， 又， ， 如图，当为直角顶点时，过作轴于， 同理可证， ，即， 又， ， 综上所述，点坐标为或或． 48．（25-26八年级上·福建宁德·月考）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求一次函数与y轴的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得点D的纵坐标为3，根据一次函数解析式可求出点D和点E的坐标； （2）设与轴的交于点，求出点F的坐标，根据求解即可； （3）分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作轴于点，延长交直线于点，利用一线三垂直模型证明，得到，再根据点A，点G和点H的坐标建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，轴， ∵点的坐标为， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，，当时，，解得， ∴点，点； （2）解：设与轴的交于点， 在中，当时，，解得， 点， 由题意得，轴， ∵点的坐标为， ∴， ， ； （3）解：设， ①若点在点下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点，则， ∴ 又点是等腰直角三角形的直角顶点， ， ， 又， ， ， ； ∵， ∴ ∴， ， 解得． ， ； ②若点在点上方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可证， ∴． 同理可得， ∴， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 类型六 平行四边形存在性问题 49．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形与坐标，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质，得出，因为，则点的坐标； （2）依题意，把代入，得出，把代入，得，根据线段关系，分别表达，进行比较，即可作答． （3）结合以为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，即当为对角线时，当为边时，运用平行四边形的性质：对边平行且相等等性质内容进行线段的运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点的坐标； （2）解：∵，且由（1）得点的坐标， ∴， ∵一次函数的图象分别与线段交于两点， ∴把代入，得出，即， ∴把代入，得出，即， 则， ∴； （3）解：存在： 已知，点在轴上， 当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点与点重合， ∴，， ∴； 当为边时，且当N在轴的负半轴时，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标，， ∴点的纵坐标与的纵坐标相等，即为， ∵点是直线上一动点， ∴此时点与点重合的， ∴，则， ∵当N在轴的负半轴， ∴； 当为边时，且当N在轴的正半轴时，如图所示： 设点N的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标，， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴点的纵坐标为， ∵点是直线上一动点， ∴设的解析式为， 把，代入， 则， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 解得， ∴， ∵点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴， ∴； 综上：或或． 50．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 类型七 特殊四边形存在性问题 51．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 52．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点，一次函数的图象与y轴交于点D、与边交于E，并且平分矩形的周长． (1)_______，_______； (2)点P是一次函数图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）根据解析的性质可得；再求出，，则，，再根据直线平分矩形的周长可得，解方程可得，则可得到，据此利用两点距离计算公式求解即可； （2）分为两种情况讨论，当四边形是正方利时和当四边形是正方形时，用一线三直角证明三角形全等，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵直线平分矩形的周长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情形： ①如图，当四边形是正方形时，过点作于， 四边形是正方形， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ， ，， ∵， ∴轴 点的横坐标是， 将代入得：， 点的坐标是； ②如图，当四边形是正方形时，过点作轴于． 四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ∴ ， ，． 设，则， ∴， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 53．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P；存在，P 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到的坐标，再由角平分线以及平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； （3）要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数、一次函数上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 四边形为矩形， ，，，， ， ，， ，， ， 为的平分线， ， ， ， 为中点， ， ， 由勾股定理可得， ， ． （2）解：①四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， ，． ②存在， 点是射线上的动点， 设， ，， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得， ，． 类型八 特殊角存在性问题 54．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可； （3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ， ， 若将的面积分为两部分，则或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：存在，理由如下： ①当点M在y轴右侧时， 如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为． 由题意可知，直线与的交点即为所求的点M． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为 ∴，，，， ∴， 解得，， ∴点E坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， ②当点M在y轴左侧时， 如图，作点E关于y轴的对称点H，连接， 由对称的性质可得，，点H坐标为， 由①可知，， ∴， ∴直线与与的交点即为所求的点M． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是关键． 55．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； (3)在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)D的坐标为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）根据直线求得点A，利用待定系数法即可求得直线； （2）在x轴正半轴取一点，使得，由于，则，结合，则有，根据即可求得点，同理可求得与点对称点； （3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，则有，得到，进一步有，设点，利用等面积法得，利用勾股定理得，解得，可求得直线解析式，由题意得点P在直线上，即可求得点；因为另一个点与点关于点N对称，利用中点坐标即可求得． 【详解】（1）解：直线：交轴于点，当，则，则点， 设直线的解析式， ， 解得， 则直线的解析式； （2）解：在x轴正半轴取一点，使得，如图， ∵直线：交轴于点，当，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 同理，在x轴负半轴也存在， 故点D的坐标为或； （3）解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 设点，则， 那么，， 即， 解得或（舍去）， 则直线解析式为， ∵第一象限内的点， ∴点P在直线上， ， 解得， 则点， ， 解得， 则点， ∵点与点关于直线对称， ∴， 解得， 则点， 故满足条件的点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数、等腰三角形的性质、三角形等面积法、勾股定理、中点公式和解一元二次方程，解题的关键是理解一次函数的性质和等面积法． 56．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据，求出，设点D的坐标为，得出，，根据，得出，求出结果即可； （3）先求出，；再分两种情况进行讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令中得， ∴， 设直线的解析式为 ， 得 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即； 当在下方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当在上方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作，交延长线于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键． 类型九 其它存在性问题 57．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，两直线的交点，坐标与图形． （1）先运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组可得点M的坐标； （2）由，，得到，，因此．对于函数，令，得到，从而，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵直线相交于点 ∴解方程组，得， ∴． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴． 对于函数，令，则， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴，即， 解得， 当时，，即； 当时，，即； 综上，存在点或，使得． 58．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴分别交于点A、C，点在轴正半轴上，，直线是线段的垂直平分线，与轴交于点D，E、F分别是边上的点，． (1)求点的坐标及的度数； (2)探索：在直线上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，含30度的直角三角形，平行四边形的判定和性质，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）先求出点的坐标，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，角的和差关系求出的度数，证明四边形为平行四边形，进而得到即可； （2）连接，平移求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出直线的解析式，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）存在，连接， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，为的中点， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小； ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵， ∴设的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， ∴， 联立，解得：， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∴当时，， ∴． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，点B的坐标为或 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 1．（2025年上海市闵行区中考二模数学试卷）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． 2．（湖南省长沙市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与直线交于点，射线上的动点以每秒个长度单位的速度从点出发，沿着方向作匀速运动，运动时间为秒，连结． (1)则点的坐标____________； (2)若是等腰直角三角形，则的值为_________； (3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式． (4)若的面积为，则点的坐标为_____________． (5)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (6)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 (5)或或或 (6)或 【分析】根据直线与直线交于点，联立成方程组，解方程组即可求出点的坐标； 设的坐标为，由直线与轴的正半轴所夹锐角为，因此当时或当时，是等腰直角三角形，分别求出点的坐标进而得出的值即可； 先求出点的坐标，然后运用待定系数法求出直线的解析式即可； 过作于，根据三角形的面积公式解答即可； 分三种情况讨论：以、为边作菱形；以为边、为对角线作菱形；以为边、为对角线作菱形，分别求解即可； 分别两种情况讨论：以为边作矩形，设的坐标为，根据矩形的性质，利用勾股定理得，再根据和表示的长，列出方程求解即可；以为对角线作矩形，根据矩形的性质求得坐标即可． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， 解得： ， 故答案为； （2）直线与轴的正半轴所夹锐角为， ， 由题意，设的坐标为， 当时，是等腰直角三角形，此时轴于点， ， ， ， ， ； 当时，是等腰直角三角形，此时， 如图，过作于，则， ， ， ， ，， ； 综上所述：或， 故答案为或； （3）如图： 由， 令，得，， 平分的面积， ， ， 设直线的解析式是， 把，代入得：， 解得：， 直线对应的函数关系式是； （4）由（2）于， ，于， ， ， ， ， 的坐标为或； （5）分三种情况讨论： 以、为边作菱形，如图和图， ，，， 设， ，， ，， ， 解得或， 点坐标为或； 以为边、为对角线作菱形，如图， 、关于轴对称，， ； 以为边、为对角线菱形，如图， ，， 设， ，， ，， ， 解得， 坐标为， 综上所述符合条件的的坐标为或或或， 故答案为或或或； （6）分别两种情况讨论： 以为边作矩形， 设的坐标为， 四边形为矩形， ， ，， ， 解得， ； 以为对角线作矩形， ，四边形是矩形， ， ， ， 的坐标为 ， 综上所述点的坐标为或， 故答案为或 ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，菱形的性质，矩形的性质，两点间距离公式以及分类讨论的思想等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点． (1)直接写出、的坐标及直线的解析式； (2)已知点在直线上，若，求点的坐标； (3)如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2)点坐标为或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）通过直线方程与坐标轴的交点特征求出 A、B 坐标，再利用待定系数法求直线l 的解析式； （2）需要根据已知角度关系，结合直线方程求出点 H 的坐标； （3）找到整点，再画出图形，最后根据旋转的性质以及整数点的分布来确定点F 的坐标． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，， 解得， ， 当时，， ， 因为直线：经过点和， 将代入得， 把和代入，得到， 解得， 故直线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 取点，连接， ∴， ∴， 在直线上取，过M作于N，如图： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：或， ∴直线的解析式为：或， 联立直线和直线解析式： 或， 解得或， ∴或； （3）解：在内部共有、、三个整数点， 在内部共有、、三个整数点， 当绕O点旋转后，四边形区域内必有、、三个整数点， 若上一点，则旋转后在上的对应点为， 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 综上所述：点F坐标为或或． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标． （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积． （3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 5．（25-26八年级上·江苏·月考）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 一次函数综合问题 题型一：一次函数面积问题 类型一 一直线与坐标轴围成的面积 1．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于___________． 2．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________． 3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知直线的截距为，则该直线与两坐标轴围成的三角形面积是________． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点是该函数图像上的一动点，且点P在第一象限内，求的面积S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围． 类型二 两直线与一坐标轴围成的面积 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，这两条直线相交于点，则的面积等于______． 7．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是______，与轴围成的三角形的面积是______． 8．（23-24八年级上·宁夏·期中） 已知如图直线与直线交于点． (1)求k的值． (2)求两直线与x轴围成的的面积． 类型三 三直线围成的三角形面积 9．（2024年上海市田家炳中学特色课程班中考第一次模拟测试卷）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是__________． 10．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次标记为，，，…，则的值为______． 11．（22-23八年级下·重庆渝中·月考）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是___________________． 12．（内蒙古自治区包头市第二中学2025-2026学年八年级上学期11月月考数学试题）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 类型四 已知面积求坐标轴上符合的点的坐标 13．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为______，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为______． 14．（24-25八年级上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ____________． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作轴的垂线与三条直线相交，其中．若图中阴影部分的面积是，则________．    16．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 类型五 直线将三角形分成两部分 17．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知，，直线将平行四边形分成面积相等的两部分，则的值是（    ） A．3 B． C．1.5 D． 18．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 19．（2025八年级上·四川成都·专题练习）八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过点P的一条直线l交y轴于点A，直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______． 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 _____ ． 题型二：一次函数与将军饮马问题综合 类型一 基础对称型（两定一动） 21．（22-23七年级上·山东烟台·期末）如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为__________． 22．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在直角坐标系中，已知轴，，，，．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是______． 23．（24-25八年级上·河南郑州·期末）近两年文旅盛行，众多游客来郑州探索“建业电影小镇”的复古风情，漫步“郑州海昌海洋公园”的蓝色奇境，沉浸于“只有河南”的深厚文化！图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知“建业电影小镇”A的坐标为，“只有河南”B的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出“海昌海洋公园”C的坐标 ； (2)若要在“建业电影小镇”A关于直线轴对称的位置点D处再打造一个特色景点，请在图中描出点D，点D的坐标是 ； (3)为了缓解“电影小镇”和“只有河南”之间的交通压力，在轴上找一点修建一个摆渡车车站，定时发车沿“摆渡车车站电影小镇只有河南摆渡车车站”的路线接送游客，若要使每趟车路线最短，请直接写出点的坐标，并求出摆渡车的最短路线长． 类型二 周长 / 线段和差型 24．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为____________． 26．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值_________． 类型三 造桥选址类（平移型） 27．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，直线：是河岸，河在右侧，左侧的是一个河鲜冷藏仓库，是超市．    (1)现计划在河岸上建立一座河鲜加工厂，加工厂从仓库进货加工，再运输至超市，请在图中找出加工厂的位置，使进出货物的运输路径最短．（仅限在所给网格内作图，不需要说明作图理由） (2)若河的两岸互相平行，河宽为． ①在图中画出表示对面河岸的直线，并直接写出的解析式． ②上有一点，纵坐标为6，右侧有一点，线段是支流（宽度不计），支流有丰富多样的河鲜可以打捞．为支持河鲜产业发展，政府计划垂直于河的两岸造桥，渔民在支流处打捞河鲜后装上货车，运输河鲜到对岸的河鲜冷藏仓库．请求出上的造桥位置的坐标，以及支流上的打捞河鲜位置的坐标，使运输路径最短． 类型四 综合最值型 28．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 29．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 题型三：一次函数的整点、定点、定值问题 类型一 整点问题 30．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有_________个整点，三角形的边上有_________个整点． 33．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数， （1）若，则、的图象与x轴围成的区域内包括边界有______个整点； （2）若、的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则k的取值范围是______． 类型二 定点问题 34．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 35．（23-24八年级下·福建泉州·期末）对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点_____． 类型三 定值问题 36．（24-25八年级下·江苏南通·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是______； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是______． 题型四：一次函数与几何综合 类型一 一次函数与三角形综合问题 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，． (1)如图1，求点A点坐标； (2)如图2，直线交x轴负半轴于C，点，交线段于D，点D的横坐标为t，的面积是S，用含t的式子表示S． (3)如图3，在（2）的条件下，，点E在线段上，连接并延长至F，连接并延长，交x轴于点G，时，求G点坐标． 39．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线与坐标轴分别相交于点A、B，与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，点P在直线上，且，试求点P的坐标； (3)如图2，点M是第四象限内一点，且，连接，探究与之间的位置关系，并证明你的结论． 类型二 一次函数与四边形问题 41．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的“关联”函数，已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)若点分别在一次函数的关联函数图象上，则__________；__________． (2)点在函数的“关联”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，、为常数），其中、满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，、为常数）的“关联”函数图象与恰好有两个交点，求的取值范围． 42．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形．    (1)求正方形的面积； (2)求点和点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 等腰三角形存在性问题 43．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 44．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点． (1)求直线的解析式； (2)当最小时，直接写出点的坐标：__________； (3)若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标． 类型四 直角三角形存在性问题 45．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 46．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)将直线向上平移5个单位长度得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，求线段的长． (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五 等腰直角三角形存在性问题 47．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． (1)求直线的表达式； (2)当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 48．（25-26八年级上·福建宁德·月考）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 类型六 平行四边形存在性问题 49．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七 特殊四边形存在性问题 51．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 52．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点，一次函数的图象与y轴交于点D、与边交于E，并且平分矩形的周长． (1)_______，_______； (2)点P是一次函数图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标． 53．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八 特殊角存在性问题 54．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； (3)在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 类型九 其它存在性问题 57．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴分别交于点A、C，点在轴正半轴上，，直线是线段的垂直平分线，与轴交于点D，E、F分别是边上的点，． (1)求点的坐标及的度数； (2)探索：在直线上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025年上海市闵行区中考二模数学试卷）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 2．（湖南省长沙市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与直线交于点，射线上的动点以每秒个长度单位的速度从点出发，沿着方向作匀速运动，运动时间为秒，连结． (1)则点的坐标____________； (2)若是等腰直角三角形，则的值为_________； (3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式． (4)若的面积为，则点的坐标为_____________． (5)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (6)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点． (1)直接写出、的坐标及直线的解析式； (2)已知点在直线上，若，求点的坐标； (3)如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26八年级上·江苏·月考）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $