专题11 函数的概念及其表示【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

**基本信息** 以“概念-表示-应用”为主线，构建“知识梳理+题型突破+中考衔接”三阶训练体系，强化函数核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识考点|6大知识点|4类自变量取值范围判定法、函数三要素辨析框架|从常量变量定义→函数概念→三种表示方法递进| |题型突破|14类题型+42道题|图像识别三步法、动点问题分段函数建模|基础辨析→表示方法→综合应用的能力梯度| |中考特训|20道中考题|实际问题函数建模策略|覆盖中考高频考点，强化数学应用意识|

专题11 函数的概念及其表示 （重难点题型专训） 【知识考点 函数的概念及其表示】 1.常量和变量 （1）定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量，数值发生的量叫作变量． （2）常量与变量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 2.函数的概念 （1）函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x与 y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数（又称因变量），其中x是自变量． （2）对于函数概念的理解需注意几点 ① 有两个变量； ② 一个变量变化，另一个变量也随之变化； ③ 对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； ④ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 3.函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y=b，我们就说这个值b叫作当自变量的值为a时的函数值。 4.函数的解析式 用关于自变量的数学式子来表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫作函数的解析式。 5.函数自变量的取值范围 （1）自变量的取值范围 在函数解析式中，自变量的取值必须使相应的函数解析式有意义。 （2）常见的几种函数解析式中自变量的取值范围 ① 整式型函数表达式：自变量取值范围为一切实数； ② 分式型函数表达式：自变量取值范围为分母不为0的一切实数； ③ 根式型函数表达式：自变量取值范围为被开方数大于等于0的一切实数； ④ 零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为底数不为0的一切实数。 （3）在实际问题中与几何图形中的自变量取值 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 6.函数的三种表示方法 （1）解析法 定义：用含有自变量x 的数学式子来表示函数的方法； 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系； 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析法表达。 （2）列表法 定义：把一系列自变量x 的值与对应的函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法； 优点：能直接找出自变量与对应的函数值； 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 （3）图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法； 优点：能直观形象的表示出变量之间的函数关系； 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 【重难点常考题型概览】 【题型01】常量与变量 【题型02】函数的概念辨析 【题型03】用表格表示变量间的关系 【题型04】用解析式表示变量间的关系 【题型05】用图象表示变量间的关系 【题型06】函数解析式 【题型07】确定自变量的取值范围 【题型08】求自变量的值或函数值 【题型09】函数关系的综合运用 【题型10】函数图像的识别 【题型11】用描点法画函数图像 【题型12】从函数图像中获取信息 【题型13】函数的三种表示方法的应用 【题型14】动点问题的函数图像 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】常量与变量 【例1】（2024-2025八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（   ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【变式1-1】（2024-2025八年级下·吉林长春·期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） 收银员号：0021 购物小票号：00937439 序号 商品名称 数量 单价 金额 1 天然矿泉水 5 1.30 6.50 A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【变式1-2】（2024-2025八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 【变式1-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【题型02】函数的概念辨析 【例2】（2025-2026八年级上·广东梅州·期中）有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·山西临汾·期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是________． 【变式2-3】（2025-2026八年级下·北京·月考）如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【题型03】用表格表示变量间的关系 【例3】（2025-2026八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广东深圳·期末）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（   ） A．10克 B．39克 C．20克 D．52克 【变式3-2】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的读数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（   ） 时间t（单位：s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计读数（单位：） A．当时，温度计上的读数是 B．当时，温度计上读数是 C．温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变 D．依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是 【变式3-3】（2025-2026八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型04】用解析式表示变量间的关系 【例4】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______ 其中常量是______，变量是______． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·云南昆明·期中）昆明市居民用水的水价为4.2元/立方米，则某居民某个月所缴纳水费（单位：元）与这个月的用水量（单位：立方米）成函数关系，请写出关于的函数解析式：______ 【变式4-2】（2024-2025八年级下·广东汕头·月考）长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为___________． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·北京海淀·期中）用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为______（不写自变量的取值范围）． 【题型05】用图象表示变量间的关系 【例5】（2023-2024八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·吉林长春·期末）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·四川凉山·期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·北京东城·期末）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是( ) A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③① 【题型06】函数解析式 【例6】（2024-2025八年级上·江西吉安·期末）如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025-2026八年级下·江苏南通·月考）如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为_____． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）将一张长方形的纸对折，如图①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②．连续对折3次后，可以得到7条折痕，如图③． 回答下列问题： (1)对折4次可以得到__________条折痕． (2)写出折痕的条数与对折次数之间的函数关系式． (3)求出对折10次后的折痕条数． 【题型07】确定自变量的取值范围 【例7】（2025-2026八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 【变式7-1】（2025-2026八年级下·四川达州·开学考试）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【变式7-2】（2025-2026八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【变式7-3】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了如下几个函数： ①；②；③；④． （1）在①~④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是_________（填序号）； （2）去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围． 【题型08】求自变量的值或函数值 【例8】（2024-2025八年级下·广东江门·期末）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：），通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则电流的值为__________． 【变式8-1】（2025-2026八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【变式8-2】（2025-2026八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加______． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·湖南永州·期末）与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 【题型09】函数关系的综合运用 【例9】（2024-2025八年级下·河南信阳·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度与温度测量得到的表格． 距离地面高度（千米） 温度（） 请回答下列问题： (1)上表反映了两个变量之间的关系，自变量是______； (2)与之间的关系式是______； (3)你能估计温度为时，距离地面的高度是多少吗？ 【变式9-1】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·月考）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【变式9-2】（2024-2025八年级下·四川遂宁·月考）已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【变式9-3】（2025-2026八年级上·江苏·月考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【题型10】函数图像的识别 【例10】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025-2026八年级下·河北沧州·月考）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025-2026八年级上·江苏南京·期末）向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为直角，动点P从点A出发，沿匀速前进到点D，在这个过程中，的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（   ） A． B． C． D． 【题型11】用描点法画函数图像 【例11】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． （1）完成下列表格． … … … … … … （2）画出函数图象． 【变式11-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． （1）列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … （2）描点：根据表中数据描出各点． （3）连线：用平滑的线依次连接各点． 【变式11-2】（2025-2026八年级下·河南南阳·月考）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【变式11-3】（2025-2026八年级下·北京·期中）如图是小华的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ． （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 【题型12】从函数图像中获取信息 【例12】（2025-2026八年级上·安徽铜陵·期末）水池有个进水口，个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图所示，出水口的出水量与时间关系如图所示，某天点到点该水池的蓄水量与时间关系如图所示，下列论断： 点到点，打开个进水口，关闭出水口； 点到点，同时关闭个进水口和个出水口； 点到点，关闭个进水口，打开出水口； 点到点，同时打开个进水口和个出水口．其中可能正确的论断是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025-2026八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【变式12-2】（2025-2026八年级下·河北沧州·月考）一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： （1）解释点C的实际意义； （2）若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； （3）在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 【变式12-3】（2025-2026八年级上·江苏南京·月考）小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． （1）小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． （3）求小丽出发多长时间后，两人相距． 【题型13】函数表示方法的应用 【例13】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【变式13-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【变式13-3】（2025-2026八年级上·四川成都·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是． (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【题型14】动点问题的函数图像 【例14】（2024-2025八年级下·江苏淮安·月考）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ） A． B． C．的周长为44 D．当时，的面积为24 【变式14-1】（2024-2025八年级下·河南鹤壁·期中）如图（1）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间t（单位：）的函数关系如图（2）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（ ）． A． B． C． D． 【变式14-2】（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 【变式14-3】（2024-2025八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【特训01】拓展培优强化 1．（2024-2025八年级下·湖北咸宁·期末）如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 2．（2025-2026八年级下·湖南衡阳·月考）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）小轿车的速度是_____，大客车的速度是_____； （2）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少； （3）请直接写出两车出发多长时间后，两车相距． 3．（2024-2025七年级下·四川巴中·期末）游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 4．（2023-2024八年级下·四川资阳·月考）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)直接写出 ， ， ； (2)求长方形的长； (3)求当时，S与运动时间t的关系式． 5．（2024-2025八年级下·浙江宁波·月考）如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为． （1）求的度数． （2）若，求的值． 6.（2023-2024七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    （1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … （3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 7.（2024-2025七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： （1） ， ， ； （2）当点第一次在边上运动时，求与的关系式； （3）点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 8.（2025-2026八年级上·江苏泰州·期末）如图1，线段，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B匀速运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度在线段AB上来回匀速运动（从点B向点A运动，到达点A后立即原速返回，向点B运动），两个动点同时到达点B后停止运动．设点P的运动时间为x秒，PQ的长度记为y． （1）当时，线段________；当________点P与点Q相遇； （2）当时，求PQ的长度y与运动时间x之间的函数关系式，并补全图象（标注好关键点的坐标）； （3）存不存在这样的x，使得无论x取何值，为定值，如果存在，求出该定值并直接写出满足条件的x的取值范围，如果不存在，请说明理由． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 3.（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 6.（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 7．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 8.（2024·四川眉山·中考真题）函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 9．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（   ） A． B． C． D． 11．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   12．（2025·黑龙江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 13.（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________． 14．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表： /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当克时， 毫米． 15．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 16．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 17．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（ ） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 18．（2023·四川雅安·中考真题）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 函数的概念及其表示 （重难点题型专训） 【知识考点 函数的概念及其表示】 1.常量和变量 （1）定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量，数值发生的量叫作变量． （2）常量与变量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 2.函数的概念 （1）函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x与 y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数（又称因变量），其中x是自变量． （2）对于函数概念的理解需注意几点 ① 有两个变量； ② 一个变量变化，另一个变量也随之变化； ③ 对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； ④ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 3.函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y=b，我们就说这个值b叫作当自变量的值为a时的函数值。 4.函数的解析式 用关于自变量的数学式子来表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫作函数的解析式。 5.函数自变量的取值范围 （1）自变量的取值范围 在函数解析式中，自变量的取值必须使相应的函数解析式有意义。 （2）常见的几种函数解析式中自变量的取值范围 ① 整式型函数表达式：自变量取值范围为一切实数； ② 分式型函数表达式：自变量取值范围为分母不为0的一切实数； ③ 根式型函数表达式：自变量取值范围为被开方数大于等于0的一切实数； ④ 零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为底数不为0的一切实数。 （3）在实际问题中与几何图形中的自变量取值 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 6.函数的三种表示方法 （1）解析法 定义：用含有自变量x 的数学式子来表示函数的方法； 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系； 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析法表达。 （2）列表法 定义：把一系列自变量x 的值与对应的函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法； 优点：能直接找出自变量与对应的函数值； 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 （3）图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法； 优点：能直观形象的表示出变量之间的函数关系； 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 【重难点常考题型概览】 【题型01】常量与变量 【题型02】函数的概念辨析 【题型03】用表格表示变量间的关系 【题型04】用解析式表示变量间的关系 【题型05】用图象表示变量间的关系 【题型06】函数解析式 【题型07】确定自变量的取值范围 【题型08】求自变量的值或函数值 【题型09】函数关系的综合运用 【题型10】函数图像的识别 【题型11】用描点法画函数图像 【题型12】从函数图像中获取信息 【题型13】函数的三种表示方法的应用 【题型14】动点问题的函数图像 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】常量与变量 【例1】（2024-2025八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（   ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【解答】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·吉林长春·期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） 收银员号：0021 购物小票号：00937439 序号 商品名称 数量 单价 金额 1 天然矿泉水 5 1.30 6.50 A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【答案】C 【分析】本题考查了常量与变量，根据常量是固定不变的量即可得解，熟练掌握常量的定义是解此题的关键． 【解答】解：∵付款金额随购物数量的变换而变化， ∴单价是常量， 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是问题中固定不变的量，变量是可以取不同值的量．逐一分析各选项，判断其表述是否正确即可． 【解答】解：选项A：矩形面积公式为，其中3是固定值，为常量；和随矩形形状变化，是变量．表述正确． 选项B：周长公式中，2和π是固定数值，为常量；和随圆的大小变化，是变量．表述正确． 选项C：匀速运动公式中，速度是固定不变的，为常量；路程和时间是变量．选项中将视为变量，表述错误． 选项D：关系式中，2和1是固定数值，为常量；和可变化，是变量．表述正确． 综上，选项C的表述不正确． 故选：C 【变式1-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数． 【解答】解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变． ②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量． ③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量． ④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量． 综上，变量共有3个， 故答案为3个． 【题型02】函数的概念辨析 【例2】（2025-2026八年级上·广东梅州·期中）有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【解答】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． 【变式2-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，否则不是，据此分析即可． 【解答】解：A选项：，符合函数的定义，故不符合题意； B选项：，符合函数的定义，故不符合题意； C选项：，符合函数的定义，故不符合题意； D选项：，当时，对于一个确定的的值，都有两个值与之对应，故y不是x的函数，故符合题意． 故选：D． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·山西临汾·期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是________． 【答案】气温 【分析】本题考查了函数自变量和因变量，根据自变量和因变量的定义：自变量是会引起其他变量发生变化的变量，是被操控的；因变量是由一些变化而被影响的量，是被测定或被记录的；进行求解即可． 【解答】解：∵气温随时间的变化而变化 ∴其中自变量是时间，因变量是气温． 故答案为：气温． 【变式2-3】（2025-2026八年级下·北京·月考）如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由函数的概念求解即可． 【解答】解：①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的高度h都有唯一值与之对应，所以h是V的函数，符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，注水量V都有唯一值与之对应，所以V是h的函数，符合题意； 所以正确的是①③④． 【题型03】用表格表示变量间的关系 【例3】（2025-2026八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【解答】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广东深圳·期末）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（   ） A．10克 B．39克 C．20克 D．52克 【答案】B 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，根据邮资表，确定邮资为2.40元对应的信件质量的范围，进行判断即可． 【解答】解：由表格可知，当信件质量满足（克）时，邮资为2.40元． 选项A：10克属于，对应邮资1.20元，不符合题意． 选项B：39克属于，对应邮资2.40元，符合题意． 选项C：20克属于的右端点，对应邮资1.20元，不符合题意． 选项D：52克属于，对应邮资3.60元，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的读数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（   ） 时间t（单位：s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计读数（单位：） A．当时，温度计上的读数是 B．当时，温度计上读数是 C．温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变 D．依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是 【答案】D 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，能从表格中获取有效信息是解答的关键． 根据题意和表格中的数据逐项判断即可． 【解答】解：A，根据表格可得，当时，温度计上的读数是，正确，不符合题意； B，当时，温度计上的读数是，正确，不符合题意； C，温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变，正确，不符合题意； D，依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数可能低于或者等于，错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【解答】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 【题型04】用解析式表示变量间的关系 【例4】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______ 其中常量是______，变量是______． 【答案】 ，12 x，y 【分析】见解析 【解答】解：设x张白纸粘合后的总长度为， ∴， 其中常量是，12，变量是x，y． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·云南昆明·期中）昆明市居民用水的水价为4.2元/立方米，则某居民某个月所缴纳水费（单位：元）与这个月的用水量（单位：立方米）成函数关系，请写出关于的函数解析式：______ 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据水价为4.2元/立方米，且结合为水费以及为用水量，进行列式，即可作答． 【解答】解：∵昆明市居民用水的水价为4.2元/立方米，则某居民某个月所缴纳水费与这个月的用水量成函数关系， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·广东汕头·月考）长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，熟练掌握长方形的面积公式是解题关键．根据长方形的面积公式可得，由此即可得． 【解答】解：由题意得：， 则用含的式子表示为， 故答案为：． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·北京海淀·期中）用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为______（不写自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、求函数解析式，由矩形的性质得出，，再结合矩形的周长为得出，整理即可得出答案． 【解答】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵用一根长的铁丝围一个矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型05】用图象表示变量间的关系 【例5】（2023-2024八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·吉林长春·期末）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【解答】解：由题意得：刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，过了一段时间到达琪琪家减速停车，则速度减少到0，琪琪上车后，小林开车加速行驶，速度从0开始增加，一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， 能近视的刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是D选项． 故选：D． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·四川凉山·期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【解答】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·北京东城·期末）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是( ) A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③① 【答案】C 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，充分理解两个量之间的关系是解题关键 先理解图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象 【解答】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： 第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系； 第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系； 第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系； 第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系； 正确的排序是：①②④③ 故选：C． 【题型06】函数解析式 【例6】（2024-2025八年级上·江西吉安·期末）如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列函数关系式．设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的图形的周长为8，可得到 x、y之间的关系式． 【解答】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 四边形的周长为8， ， ， 即该直线的函数表达式是， 故选择：C． 【变式6-1】（2025-2026八年级下·江苏南通·月考）如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得米，，据此可得，根据列出不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【解答】解：由题意得，米， ∵篱笆的长度为25米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握等腰三角形判定与性质是解本题的关键． 根据三边相加等于周长即可得出y关于x的函数表达式． 【解答】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）将一张长方形的纸对折，如图①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②．连续对折3次后，可以得到7条折痕，如图③． 回答下列问题： (1)对折4次可以得到__________条折痕． (2)写出折痕的条数与对折次数之间的函数关系式． (3)求出对折10次后的折痕条数． 【答案】(1)15 (2) (3)1023 【分析】（1）通过分析对折次数与折痕数的规律，计算对折次的折痕数； （2）总结对折次数与折痕数的数量关系，推导函数关系式； （3）将代入函数关系式计算折痕数． 【解答】（1）解：观察规律： 对折次，折痕数：； 对折次，折痕数：； 对折次，折痕数：； ∴对折次，折痕数：． （2）解：由上述规律可得，折痕数与对折次数的函数关系式为： （为正整数）． （3）解：当时，代入函数关系式： ∴对折 次后的折痕条数为． 【点评】本题考查了规律探究与函数关系式的应用，解题关键是通过观察前几次对折的折痕数，总结出规律． 【题型07】确定自变量的取值范围 【例7】（2025-2026八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数必须非负，判断每个选项的自变量取值范围是否正确． 【解答】解：A、，被开方数，所以，正确； B、，分母，所以，正确； C、，可取全体实数，正确； D、，被开方数且分母，所以，即，但选项说，错误； 故选：D． 【变式7-1】（2025-2026八年级下·四川达州·开学考试）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【解答】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【解答】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 【变式7-3】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了如下几个函数： ①；②；③；④． （1）在①~④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是_________（填序号）； （2）去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围． 【答案】（1）②④；（2）①；③ 【分析】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据函数表达式的形式逐一判断即可得解； （2） 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．列式计算即可得解． 【解答】解：（1）解：②；④的函数表达式为整式，自变量可取全体实数， 故答案为：②④． （2）解：①有意义 ，则， ； ③有意义 ，则， ． 【题型08】求自变量的值或函数值 【例8】（2024-2025八年级下·广东江门·期末）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：），通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则电流的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了根据函数解析式求其中变量问题，将电阻、时间、热量代入公式计算即可． 【解答】解：将，，，代入， 得：， 化简得：， 解得或（负值不合题意，舍去）， 故答案为：2． 【变式8-1】（2025-2026八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 【变式8-2】（2025-2026八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加______． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值或函数值，根据自变量x与函数y的关系图，得，再分析当x增加1时，，即可作答． 【解答】解：依题意，， 则当x增加1时，， 此时， 即当x增加1时，y增加， 故答案为：2 【变式8-3】（2024-2025八年级下·湖南永州·期末）与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值．根据奇函数的定义可得，将代入求出，从而求出即可． 【解答】解：∵是奇函数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型09】函数关系的综合运用 【例9】（2024-2025八年级下·河南信阳·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度与温度测量得到的表格． 距离地面高度（千米） 温度（） 请回答下列问题： (1)上表反映了两个变量之间的关系，自变量是______； (2)与之间的关系式是______； (3)你能估计温度为时，距离地面的高度是多少吗？ 【答案】(1)高度； (2)； (3)距离地面的高度是． 【分析】本题考查了函数的定义，表格表示函数关系，求函数值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数的定义即可求解； （）由表格可知当高度每上升时，温度下降，然后求出关系式即可； （）将代入解析式，即可求解． 【解答】（1）解：上表反映了两个变量之间的关系，自变量是高度， 故答案为：高度； （2）解：由表格可知当高度每上升时，温度下降， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， 解得：， ∴距离地面的高度是． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·月考）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【答案】(1)表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数 (2) (3)元 【分析】（1）根据函数的定义判断解答即可； （2）销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此确定解析式即可； （3）根据解析式计算即可． 本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键． 【解答】（1）解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数． （2）解：销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此销售总价y关于销售数量x的函数解析式为：． （3）解：根据题意得，， 应付的钱数为：（元）． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·四川遂宁·月考）已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的取值范围，求函数值，一元一次不等式的应用（用一元一次不等式解决实际问题）等知识点，熟练掌握函数基础知识是解题的关键． （1）长方形的一边长为，则另一边长为，然后利用长方形的面积公式即可得出长方形面积与一边长的函数关系式； （2）长方形的一边长为，则另一边长为，由题意得，，解不等式即可求出自变量的取值范围； （3）由（1）得，然后将代入求值即可． 【解答】（1）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 长方形面积， 长方形面积与一边长的函数关系式为； （2）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 由题意得：，， 解得：， 自变量的取值范围为； （3）解：由（1）得：， 当时， ， 当时，面积的值为． 【变式9-3】（2025-2026八年级上·江苏·月考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜 (2) (3)至少批发甲种蔬菜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、函数关系式、一元一次不等式的应用，熟练掌握方程组和不等式的应用是解题关键． （1）设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜，根据批发甲、乙两种蔬菜共花元列出化简即可得； （3）根据全部卖完蔬菜后利润不低于元建立一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【解答】（1）解：设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜， 由题意得：， 解得， 答：批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜， ∵批发甲、乙两种蔬菜共花元， ∴， ∴． （3）解：由题意得：， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜． 【题型10】函数图像的识别 【例10】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【解答】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 【变式10-1】（2025-2026八年级下·河北沧州·月考）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．由此逐项判断即可． 【解答】解：C、B、D选项中，对于一定范围内自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以是的函数； A选项中，对于一定范围内取值时，有个值与之相对应，所以不是的函数． 【变式10-2】（2025-2026八年级上·江苏南京·期末）向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器各部分的大小与高度不同，每部分的粗细不同得到用时的不同．可得水面高度随注水量变化而分三个阶段，再进一步分析即可. 【解答】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 【变式10-3】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为直角，动点P从点A出发，沿匀速前进到点D，在这个过程中，的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，可证明，，分三个阶段：点P在上运动，S随t的增大而增大；点P在上运动，S保持不变；点P在上运动，S随t的增大而减小；根据，可得点P在上的运动时间小于点P在上的运动时间，据此可得答案． 【解答】解：∵为直角， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在上运动时，， ∴当点P在上运动时，S随t的增大而增大； 当点P在上运动时，， ∴当点P在上运动时，S保持不变； 当点P在上运动时，设点P到的距离为h， ∴， ∵h随t的增大而减小，S随h的减小而减小， ∴当点P在上运动时，S随t的增大而减小， ∵，且点P匀速运动， ∴点P在上的运动时间小于点P在上的运动时间， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 【题型11】用描点法画函数图像 【例11】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． （1）完成下列表格． … … … … … … （2）画出函数图象． 【答案】（1）列表见分析；（2）函数图像见分析 【分析】本题考查了描点法画函数图象，根据题意正确画出函数图象是解题的关键． （1）列表找出点的坐标即可； （2）利用描点法画函数图象即可． 【解答】解：（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 【变式11-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． （1）列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … （2）描点：根据表中数据描出各点． （3）连线：用平滑的线依次连接各点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）选取包含原点的对称值，代入计算对应值，形成坐标列表，为描点提供数据； （2）根据列表的坐标，在坐标系中精准标记各点位置，为连线确定参考点； （3）因正比例函数图象是过原点的直线，用平滑直线连接所有点并延伸，得到完整图象． 【解答】解：（1）解：将代入，依次计算对应值： 、、0、3、6． x … －2 －1 0 1 2 … y … －6 －3 0 3 6 … （2）解：描点如图所示． （3）解：连线如图所示． 【点评】本题考查了正比例函数的图象画法，掌握列表-描点-连线的基本作图步骤，以及正比例函数的图象是经过原点的直线这一性质是解题的关键． 【变式11-2】（2025-2026八年级下·河南南阳·月考）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【答案】（1）3；5；（2）见分析；（3）①；②见分析 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【解答】解：（1）解：当时，；当时，， ∴，； （2）解：如图函数图像即为所求作： （3）解：①根据函数图像可得，函数的最小值是； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【变式11-3】（2025-2026八年级下·北京·期中）如图是小华的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ． （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析；（4）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）使函数有意义，，即可得； （2）根据函数的对称性即可求得m的值； （3）根据所描出的点，用平滑的曲线画出图象即可； （4）观察图象，总结出规律即可，答案不唯一，如：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【解答】解：（1）解：函数有意义， ，解得， 则函数的自变量x的取值范围是； （2）解；由对称性可知，与的函数值相同， 则时，m． （3）解：函数图象如图所示： （4）解：由函数图像可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【题型12】从函数图像中获取信息 【例12】（2025-2026八年级上·安徽铜陵·期末）水池有个进水口，个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图所示，出水口的出水量与时间关系如图所示，某天点到点该水池的蓄水量与时间关系如图所示，下列论断： 点到点，打开个进水口，关闭出水口； 点到点，同时关闭个进水口和个出水口； 点到点，关闭个进水口，打开出水口； 点到点，同时打开个进水口和个出水口．其中可能正确的论断是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，根据图1，图2先确定进水速度与出水速度，再根据时间段的进出水量确定开进出水口对每个时间段进行分析即可判定． 【解答】解：由图中可以看出，一个进水口的速度为1；一个出水管的速度为2． 从0点到1点，蓄水量由5增加到6，如果打开2个进水口关闭出水口的话，就要增加2，所以①不对，排除A、B． C、D中都有②，②一定对． 3点到4点，蓄水量由6变为5，关闭2个进水口，打开出水口的话就应该减少2．③不对． 5点到6点，进水量与出水量相同，同时打开两个进水口和出水口，合理，故④对． 故选：D． 【变式12-1】（2025-2026八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【分析】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【解答】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 【变式12-2】（2025-2026八年级下·河北沧州·月考）一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： （1）解释点C的实际意义； （2）若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； （3）在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 【答案】（1）当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米；（2）无人机的爬升速度为25米/分，m的值为2，n的值为14；（3）8分钟 【分析】（1）根据函数图象作答即可； （2）根据点B、C求出爬升速度，可求m的值，进而求出匀速下降的速度，即可求出n的值； （3）根据函数图象作答即可． 【解答】解：（1）解：点C的实际意义是当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 （2）解：爬升速度（米/分钟） ∴， ∵无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍， ∴无人机匀速下降的速度是米/分钟， ∴； （3）解：由函数图象可知，悬停的总时长（分钟）． 【变式12-3】（2025-2026八年级上·江苏南京·月考）小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． （1）小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． （3）求小丽出发多长时间后，两人相距． 【答案】（1）；；（2）见分析；（3）或或 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，能从图象获取信息是解题的关键． （1）由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形，据此根据路程等于速度乘以时间先求出小丽的速度，进而求出小明的速度即可； （2）根据（1）所求分别求出小明和小丽到达终点需要的时间，再求出小明到达终点时，小丽的出发时间，以及此时二人的距离，据此补全函数图象即可； （3）分三种情况求解：①小丽出发，而小明还未出发；②小明出发，但两人还未相遇；③小明追上小丽后，列方程求解即可． 【解答】解：（1）解：由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形， ∴小丽的速度为， ∴小明的速度为； 故答案为：；． （2）解：小明到达终点需要的时间为， 小丽到达终点需要的时间为， ∴小丽出发6小时时，小明到达终点，此时二人相距， 如图所示，即为所求． （3）解：当小丽出发，而小明还未出发，若两人相距，小丽已经出发了； 当小明出发，但两人还未相遇时，若两人相距，则 ，解得； 当小明追上小丽后，若两人相距，则， 解得； 综上所述，小丽出发或或时，两人相距． 【题型13】函数表示方法的应用 【例13】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 【答案】(1) (2)1，2 (3) 【分析】（1）将代入对应函数关系式，求出对应y的值即可； （2）根据一次函数的特点，即当自变量均匀变化时，因变量也均匀变化判断即可； （3）利用待定系数法解答即可． 【解答】（1）解：当时，， 故答案为： （2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为 故答案为：1， （3）将，和，分别代入， 得， 解得， 当时，函数的表达为 【变式13-1】（2024-2025八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【解答】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 【变式13-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【解答】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点评】本题考查了函数图像的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 【变式13-3】（2025-2026八年级上·四川成都·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是． (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)见解析 (2)所挂物体的质量,弹簧的长度 (3) (4) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值，理解题意是解题关键 （1）根据表格找出规律即可求解； （2）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （3）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （4）根据（3）所求求出当时，的值即可得到答案． 【解答】（1）解：根据题意所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长0.5厘米， ∴当所挂物体质量为4千克时，弹簧的长度为(厘米)； 当所挂物体质量为6千克时，弹簧的长度为(厘米)； 补全表格如下： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 14 15 （2）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （3）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （4）解：当， 解得：， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 【题型14】动点问题的函数图像 【例14】（2024-2025八年级下·江苏淮安·月考）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ） A． B． C．的周长为44 D．当时，的面积为24 【答案】B 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息． 根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得，由勾股定理求出，求出，进而求出的面积可判断D． 【解答】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点D处时，， ，故A结论正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B结论不正确，符合题意； ∴的周长为，故C结论正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图，作， ，， ∴， ∴， ∴， 点P在中点处， ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 【变式14-1】（2024-2025八年级下·河南鹤壁·期中）如图（1）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间t（单位：）的函数关系如图（2）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图（）判断出的,的长度，过点作于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，则，，根据勾股定理求出，根据面积公式，求出，根据，再根据勾股定理求出，动点运动的总路程，再根据时间路程速度计算即可得解． 【解答】解：由图（2）可知，在到秒时，的面积不发生变化， ∴在上运动的时间是秒，在上运动的时间是：（秒）， ∵动点的运动速度是， ∴，， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴动点运动的总路程为：， ∵动点的运动速度是， ∴点从开始移动到停止移动一共用了（秒）． 【变式14-2】（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【解答】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】（2024-2025八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【解答】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 【特训01】拓展培优强化 1．（2024-2025八年级下·湖北咸宁·期末）如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 【答案】 8 2或12 【分析】由图①②的关联信息可知，当点P从点A运动到点B的运动时间为，即可求得第一空答案； 当点P运动到点B处，由求得，当点P运动到点C处，由求得， （1）当时，根据矩形的判定与性质，即可求得t的值； （2）当时，分点P在和上两种情况讨论，根据勾股定理分别列方程求解，即得t的值． 【解答】解：由图①②可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 故答案为：8； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， （1）当时， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； （2）当时，分两种情况： ①若点P在上，则，， 过点P作于点M， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得， ， 舍去； ②若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 【点评】本题考查了利用函数图象解题，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理列方程解题是关键． 2．（2025-2026八年级下·湖南衡阳·月考）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）小轿车的速度是_____，大客车的速度是_____； （2）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少； （3）请直接写出两车出发多长时间后，两车相距． 【答案】（1）50；30；（2）15；450；（3）4或14或16 【分析】（1）根据速度路程时间结合函数图象求解即可； （2）根据题目中的数据和题意，可以计算出两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程； （3）分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）解：由图象可得，小轿车的速度为：， 大客车的速度为：； （2）解：设两车出发时，两车相遇， 由题意得：， 解得，， ， ∴两车出发后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是； （3）解：设两车出发后两车相距， 当时，，解得，， 当时，两车之间的距离为：， 当时，两车之间的距离为， 当时，， 解得，， 由上可得，x的值为4或14或16时，两车相距． ∴两车出发或或后两车相距． 3．（2024-2025七年级下·四川巴中·期末）游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【答案】（1），h；（2）8，2；（3）． 【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【解答】解：（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 4．（2023-2024八年级下·四川资阳·月考）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)直接写出 ， ， ； (2)求长方形的长； (3)求当时，S与运动时间t的关系式． 【答案】(1)1，4，9 (2)6 (3) 【分析】（1）由函数图象可知，当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得；可由求得；当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得； （2）由函数图象可知，当时，的面积不变，可知此时点在边上运动，由点与点重合时，的面积为12得，可求得，所以长方形的长为6； （3）点在边上时，分两种情况求出关系式即可． 【解答】（1）解：由函数图形可得：当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12， ∴，解得； 当时，点的速度为每秒m个单位，当时，的面积为8， ∴，解得； 当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12， ∴，解得； 故答案为：1，4，9； （2）解：由函数图象可知，当时，的面积为定值， 当点从点运动到点时，的面积为12， ， ， 长方形的长为6； （3）解：当点在边上时，， 当时，如图，， ， ； 当时，， 当时，如图，， ， ， 综上所述，与之间的函数关系式为． 【点评】此题考查根据图形的面积求函数关系式以及数形结合与分类讨论数学方法的运用等知识与方法，此题难度较大，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 5．（2024-2025八年级下·浙江宁波·月考）如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为． （1）求的度数． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过题意可知动点在上起始点时，的面积，还可知动点与点重合时，的面积，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而得出在中，，，即可求出的度数； （2）先求出，再得出，由即可求出的值． 【解答】解：（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 图象与轴交于点，的长为， 此时， ， 当时，有最大值为， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ． 6.（2023-2024七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    （1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … （3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量；（2）；；（3）当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【解答】解：（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 7.（2024-2025七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： （1） ， ， ； （2）当点第一次在边上运动时，求与的关系式； （3）点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】（1）1；；；（2）；（3）的值为或时，面积为． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 【解答】解：（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键． 8.（2025-2026八年级上·江苏泰州·期末）如图1，线段，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B匀速运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度在线段AB上来回匀速运动（从点B向点A运动，到达点A后立即原速返回，向点B运动），两个动点同时到达点B后停止运动．设点P的运动时间为x秒，PQ的长度记为y． （1）当时，线段________；当________点P与点Q相遇； （2）当时，求PQ的长度y与运动时间x之间的函数关系式，并补全图象（标注好关键点的坐标）； （3）存不存在这样的x，使得无论x取何值，为定值，如果存在，求出该定值并直接写出满足条件的x的取值范围，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；；（2），图见分析；（3）存在， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，利用数形结合思想解题是关键． （1）根据运动速度以及时间分别求出，，从而得出的长度；设，，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设时间为x秒，然后分三种情况分别列出方程，从而求出x的值； （3）同（2）分三种情况求解即可． 【解答】解：（1）解：当时，，， ∴； 设，， 由题意得， 解得， 故答案为：2；； （2）解：①当时，，， ∴； ②当时，，， ∴； ③当时，，， ∴， 综上，， 补全图象如图： （3）解：存在， ①当时，，，， ∴， ∴不为定值； ②当时，，，， ∴， ∴不为定值； ③当时，，， ∴为定值1， ∴x的取值范围是． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得： 故选：A． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 3.（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意．根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从变化到所用的时间． 【解答】解：“漏壶”的漏水速度为：， 水面高度从变化到所用的时间是， 故选：A． 4.（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【解答】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 5.（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【解答】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 6.（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【解答】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 7．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【解答】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 8.（2024·四川眉山·中考真题）函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的自变量取值范围，熟知二次根式和分式有意义的条件是解答的关键．求函数自变量的取值范围需满足分母不为零及根号内非负的条件． 【解答】解：在函数中，需满足且， 解得且， 故选：A． 9．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【解答】解：， 故选：A． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【解答】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 11．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论． 【解答】解：当在点左侧，即：时： ①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图： 设分别交于点， ∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，图象为开口向下的一段抛物线； ②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图： 由①可知：， ∴，图象是一段开口向上的抛物线； 当过点时，即时，重合，此时，； 综上：满足题意的只有B选项， 故选B． 【点评】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 12．（2025·黑龙江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 13.（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【解答】解：由题意，得：； 故答案为：． 14．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表： /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当克时， 毫米． 【答案】50 【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可． 【解答】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米， 当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米， ∴y与x的函数关系式为， 当时，， 故答案为：50． 【点评】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键． 15．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【解答】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 16．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 17．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（ ） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)①左，1；②B (3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【解答】（1）描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B （3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点评】本题考查了函数的图象，函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 18．（2023·四川雅安·中考真题）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜， (2) (3) 【分析】（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解； （2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系； （3）根据当天全部售完后所赚钱数不少于元，列不等式求解即可． 【解答】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜， 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜， （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 答：m与n的函数关系为：， （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 学科网（北京）股份有限公司 $