精品解析：广东东莞市第十三高级中学等校2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷高一年级数学科试卷

2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷 高一年级数学科试卷 命题人：吴敏彤 审题人：覃蓉翠 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的虚部的定义即可得解. 【详解】复数的虚部是. 故选：D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可知，解得. 3. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求出. 【详解】根据余弦定理得， 即，解得（舍去）或2， 故选：A. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果. 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 5. 如图，在中，，，若，则 A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， ， 据此可知. 本题选择A选项. 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 6. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 8. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 下列命题中为真命题的有（ ） A. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C. 棱柱的侧面都是菱形 D. 四面体是棱锥 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】对于A：圆柱的侧面沿母线展开得到的是一个矩形，故A正确； 对于B：用一个平行底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故B错误； 对于C：棱柱的侧面都是平行四边形，故C错误； 对于D：四面体是三棱锥，故D正确. 故选：AD 10. 若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是z的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简得出z，再逐一判断选项即可． 【详解】， 在复平面内所z对应的点坐标为，在第四象限，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 对于D，，则表示复数的点P的集合是以为圆心，2为半径的圆， 而，即为点到点之间的距离， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知非零向量，满足，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 若，，则的外接圆半径长为 D. 若，向量满足，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，利用数量积的运算律及数量积的性质计算判断ABD；利用正弦定理求出外接圆半径判断C. 【详解】非零向量满足，设，则， 对于A，由，得，解得， ，而，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由选项A知，，则的外接圆半径，C正确； 对于D，显然，由， 得，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，因此的最大值是，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， 13. 一个圆柱的内切球的表面积为，则这个圆柱的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱中内切球的性质即可求解. 【详解】因为球的表面积为，所以球的半径为2， 因为该球内切于圆柱，所以圆柱的底面半径为2，高为4，所以圆柱的体积． 故答案为： 14. 在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________ 【答案】6 【解析】 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以，由正弦定理边化角得， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，即，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得，故，再求模即可. 【小问1详解】 解：知是关于的方程的一个根， 所以，即， 所以，解得. 所以 【小问2详解】 解：由（1）得复数， 所以 所以复数的模为 16. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合诱导公式即可求解； （2）由三角形面积公式结合余弦定理，即可解得各边长，进而求得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，则， 则， 因为，所以， 则有，解得，则. 【小问2详解】 由题意得，其中， 则，解得， 由余弦定理得， 因为，则， 则的周长为. 17. 如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. （1）求四棱台的体积和侧面积； （2）若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【答案】（1）体积为，侧面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求侧面积； （2）将四棱台补成四棱锥，结合比例关系分析可知，即可得结果. 【小问1详解】 由题意，四棱台的体积为： ； 分别取中点，连接，作,交于点, 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的侧面积. 【小问2详解】 延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 18. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2），，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的定义即可求解； （2）利用向量的夹角公式求解即可； （3）先求得投影向量，进而计算可求的最小值. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为， ， ， 所以. 【小问3详解】 在方向上的投影向量为， 所以， 当时，的最小值为． 19. 在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系及三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 由， 由正弦定理得，而，则， 所以，，则； 【小问2详解】 由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得. 【小问3详解】 因为的面积为 ， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷 高一年级数学科试卷 命题人：吴敏彤 审题人：覃蓉翠 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，若，则 A. B. C. 3 D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 下列命题中为真命题的有（ ） A. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C. 棱柱的侧面都是菱形 D. 四面体是棱锥 10. 若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是z的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 11. 已知非零向量，满足，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 若，，则的外接圆半径长为 D. 若，向量满足，则的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 13. 一个圆柱的内切球的表面积为，则这个圆柱的体积为___________． 14. 在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 16. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. （1）求四棱台的体积和侧面积； （2）若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 18. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2），，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求的最小值． 19. 在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $