精品解析：广东东莞市东莞中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高一数学

东莞中学2025-2026学年第二学期期中考试试题 高一数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟、不准使用计算器. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 正四棱锥的侧面都是正三角形 B. 直四棱柱是长方体 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 2. 已知向量，则（ ） A. A、B、C三点共线 B. A、B、D三点共线 C. A、C、D三点共线 D. B、C、D三点共线 3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 若，则复数z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，点D为BC的中点，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 26 D. 52 8. 已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是一个平行四边形 B. 若，则 C. 对任一非零向量，是一个单位向量 D. 10. 关于复数z，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 11. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于km，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为________（km）. 13. 一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为________. 14. 已知关于的方程有实根，则实数_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16. 如图，在高为的正三棱柱中，，是棱上的点. （1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； （2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，并求此时线段的长度. 17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线，于不同的两点，. （1）求的值； （2）设，，求的最大值. 18. 某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计） （1）若，求景观欣赏区所在四边形的面积； （2）当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少? 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞中学2025-2026学年第二学期期中考试试题 高一数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟、不准使用计算器. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 正四棱锥的侧面都是正三角形 B. 直四棱柱是长方体 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】D 【解析】 【分析】由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案. 【详解】对于A，正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B错误； 对于C，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故C错误； 对于D，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D正确. 故选：D 2. 已知向量，则（ ） A. A、B、C三点共线 B. A、B、D三点共线 C. A、C、D三点共线 D. B、C、D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由，是平面内的一组基底，向量与共线， 则存在实数使得，可得，解得. 故选：A. 4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 5. 若，则复数z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算后，结合共轭复数定义与虚部定义即可得. 【详解】， 故，其虚部为. 6. 在中，，，点D为BC的中点，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算、模长与数量积关系计算即可得. 【详解】由， 则， 即，整理得， 故. 7. 如图，圆为的外接圆，，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 26 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】取、中点、，连接、，可得， ，再利用数量积公式计算即可得. 【详解】取、中点、，连接、， 由垂径定理可知，、， 则 . 8. 已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【详解】因为，是两个单位向量，且夹角为，， 又因为， 所以 ， 又，所以，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是一个平行四边形 B. 若，则 C. 对任一非零向量，是一个单位向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：、、、四点可能共线；对B：由平面向量数量积定义即可得；对C：计算的模长即可得；对D：借助平面向量线性运算法则计算即可得. 【详解】对A：、、、四点可能共线，故A错误； 对B：若，当是非零向量时，有， 当中有零向量时，规定零向量与任意向量都垂直，故B正确； 对C：对任一非零向量，，故是一个单位向量，故C正确； 对D：，故D正确. 10. 关于复数z，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】设，结合共轭复数定义、模长公式及复数运算法则逐项计算并判断即可得. 【详解】设； 对A：若，则，即， 则，故A正确； 对B：若，则，故，则，故B正确； 对C：，，故C错误； 对D：虚数不能比大小，故D错误. 11. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C正确；计算向量与向量同向时的值可得选项D错误. 【详解】对于A选项，因为，则有， 所以，所以，解得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 即，解得，所以，故B正确； 对于C选项，在方向上的投影向量，故C正确； 对于D选项，向量与向量的夹角为锐角， 所以，， 所以，解得， 当向量与向量共线时，， 解得，此时，， 所以，向量与向量的夹角为，不符合题意， 所以的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于km，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为________（km）. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理计算即可得. 【详解】， 由余弦定理可得， 即， 故km. 13. 一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知确定原梯形的边长且是直角梯形，进而求出其面积. 【详解】由题意，且，，则，，， 所以原梯形是上下底分别为1，3，高为的直角梯形，则其面积为. 14. 已知关于的方程有实根，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】设是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解． 【详解】设为方程有实根， 则，即， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由z为纯虚数可知求解即可； （2）根据复数对应的点在第四象限可得其实部为正，虚部为负，列出不等式，求解即可. 【小问1详解】 ， 因为z为纯虚数， 有，解得； 【小问2详解】 复数z对应的点的坐标为， 因为复数z对应的点位于第四象限， 所以，解得. 16. 如图，在高为的正三棱柱中，，是棱上的点. （1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； （2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，并求此时线段的长度. 【答案】（1）， （2）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据表面积、体积公式计算即可得； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，当、、三点共线时，有最小值，且此时与相似，计算即可得解. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示： 当、、三点共线时，有最小值， 则， 此时与相似， 有，即，解得， 17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线，于不同的两点，. （1）求的值； （2）设，，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则，可用、表示出、，再利用平面向量夹角公式计算即可得； （2）借助平面向量三点共线定理可得，再用表示后，利用二次函数性质计算即可得的最大值. 【小问1详解】 由，则， 则， 则 ； 【小问2详解】 由，则， 又，，则， 由、、三点共线，则，故， 故， 当且仅当、时，等号成立， 故的最大值为. 18. 某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计） （1）若，求景观欣赏区所在四边形的面积； （2）当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少? 【答案】（1） （2）取，最短距离为． 【解析】 【分析】（1）由已知可得为中位线，由计算可得结论； （2）由正弦定理分别可得，，计算可求的最小值. 【小问1详解】 当时，，此时为中位线， 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，，∴． 在中，，，， 由正弦定理得，，∴ ∴ ，其中 令，∵，∴， 则 ∵在单调递增，在单调递减， ∴在单调递增，∴当，即，时， ， 所以当取时，可使快速通道路程最短，最短距离为． 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求得即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即 解得或（舍去）， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $