精品解析：广东江门市培英高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

培英高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，且，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案. 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 2. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 3. 函数在点处的切线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数求导得， 在处斜率为， 点处的切线方程是：，即． 4. 有本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同种的取法是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，共有3种组合方式： 数学和语文：； 数学和英语：； 英语和语文：； 总的不同取法为：． 5. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解. 【详解】记，函数的定义域为， ，故函数在上单调递增. 又，所以函数的零点个数为. 故选:B. 6. 已知数列的通项公式：，则它的前项和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用裂项相消法可求得结果. 【详解】， 其前项和. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果. 7. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再利用导数求出函数的单调性，即可识别函数图象． 【详解】解：函数的定义域为， 令，则； 令，则或． 函数在上单调递增，在，上单调递减． 故选： 8. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，分得和，求得函数 的单调性，以及最小值，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 若，，在单调递增，此时至多有一个零点，舍去； 若，令，解得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也时最小值， 又由时，，且时，， 要使得函数恰有两个零点，则满足，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列定义对各选项逐一分析即可判断作答. 【详解】因数列是等比数列，则，为非0常数， 对于A，，显然是非0常数，即是首项为，公比为的等比数列，A正确； 对于B，因，则当时，，不是等比数列，B不正确； 对于C，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，C正确； 对于D，若数列中有负数项，则无意义，若，，则，不是等比数列，D不正确. 故选：AC 10. 下列求导运算正确的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，故选项D正确. 11. 已知函数，若，其中，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B． 【详解】因为，所以， 令，解得或， 当时，或，所以单调递增区间为和； 当时，，所以单调递减区间为， 的图象如右图所示， 设，则，，故A错误； 又，所以， 即， 对照系数得，故选项C正确； ，故选项D正确； 因为，所以，解得，故选项B正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数的性质进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此当时，函数有最小值，最小值为. 故答案为： 13. 已知数列是等差数列，且满足，则等于______． 【答案】75 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，，所以，即， 所以. 14. 我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加.按此规律至少___________年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据） 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意满足等比数列模型，运用等比数列通项公式解决即可. 【详解】由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加，满足等比数列模型， 令， 所以， 所以， 所以， 所以， 又因为为正整数， 所以， 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列满足. （1）若，求证：为等比数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1） 由于， 所以， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由证得为等比数列. （2）先求得，然后求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围. 【答案】（1）减区间为，增区间为.（2） 【解析】 【详解】分析：（1）将代入化简，求导，利用导函数的符号即可得到答案； （2）由已知得，利用导数进行理解，若函数存在单调增区间，则在区间上有解，即在区间上有解，离参数得，令，则依题意，只需即可. 详解：(1)当时，.其定义域为. 当时， ，单调递减； 当时， ，单调递增； 所以，的减区间为，增区间为. (2)的定义域为. 若函数存在单调增区间，则在区间上有解， 即在区间上有解. 分离参数得，令，则依题意，只需即可. ∵ 即所求实数的取值范围为. 点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上≥0(或≤0)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 (或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 17. 已知函数 （1）若在时有极值，求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据在取得极值，得到解得的值；（2）利用（1）中得到函数的解析式，对其求导，进而找到其单调性和极值，结合图像，可得到的取值范围． 试题解析：（1） 由已知得 解得: 经验证，符合题意． （2）由（1）知 由 得 列表如下： + 0 — 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据表格，当时函数取得极大值，且极大值为，当时函数取得极小值，且极小值为，所以根据题意可知 所以 的取值范围是:． 考点：1．函数的极值；2．函数求导；3．函数的零点个数． 18. 已知数列的前项和为，且满足，设，数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求的表达式； （3）证明：对于，都有． 【答案】（1） （2） （3） ， 单调递增，， 对于，都有． 【解析】 【分析】（1）根据已知递推关系得出，进而求出； （2）求出，进而列出，利用错位相减法求和； （3）分析的单调性，再利用单调性证明结论． 【小问1详解】 已知，当时，， ，则， 当时，，解得，符合题意， 是首项是1，公比为3的等比数列，即． 【小问2详解】 已知，则， ，则， ， ． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若，都有成立，求实数的取值范围； （2）证明：对任意的，，为自然对数的底数． （提示：由（1）知当时） 【答案】（1） （2） 由（1）知当时， 设， 则， ，代入， 得， 得到， ，即原命题得证． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数讨论函数单调性得出极值，并结合已知条件构造不等式求出实数的取值范围； （2）结合（1）的结论，利用放缩法及裂项相消法求解，进而证明结论． 【小问1详解】 已知，求导得， 当时，，在单调递增， 而当时，， 不满足恒成立；当时，令，解得， 可得在上单调递增，在上单调递减； 得到， ，解得，综上得到． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培英高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，且，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 2. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 函数在点处的切线方程是（ ）． A. B. C. D. 4. 有本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同种的取法是（ ）． A. B. C. D. 5. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知数列的通项公式：，则它的前项和是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ） A. B. ， C. D. 10. 下列求导运算正确的有（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数，若，其中，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小值是________． 13. 已知数列是等差数列，且满足，则等于______． 14. 我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加.按此规律至少___________年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列满足. （1）若，求证：为等比数列； （2）求的通项公式． 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围. 17. 已知函数 （1）若在时有极值，求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围． 18. 已知数列的前项和为，且满足，设，数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求的表达式； （3）证明：对于，都有． 19. 已知函数． （1）若，都有成立，求实数的取值范围； （2）证明：对任意的，，为自然对数的底数． （提示：由（1）知当时） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $