5.2 菱形强化训练 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

5.2 菱形 强化训练 【题型1】利用菱形的性质求角度 【典例】菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　） A.120° B.130° C.140° D.150° 【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，连结AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　) A.20°    B.60° C.70°    D.80° 【强化训练2】如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC，CD于点E，F．若∠EAF＝60°，则∠D的度数为 　 　． 【强化训练3】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　． 【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,过顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF。 (1)求证:△DEF为等腰三角形。 (2)若∠DEF=66°,求∠A的度数。 【强化训练5】八年级下册数学教材内容：菱形的对角线互相垂直. [结论运用] 图1　 图2　 图3 (1)如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝10，OD＝8，则菱形ABCD的面积是　　. (2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，AC，BF.求证：AC＝BF. (3)如图3，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，若∠DAE＝42°，则∠ACF＝　　°. 【题型2】利用菱形的性质求线段长 【典例】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为(　　) A.    B.1 C.      D. 【强化训练1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　） A. B. C. D.4 【强化训练2】如图，在面积为24的菱形ABCD中，AC＋BD＝14，则AB的长为(　　) A.5    B.3      C.6    D.7 【强化训练3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，F为CD的中点，连结OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为____. 【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N。连结OM,若OM=2,BD=8,则MC的长为　　　　。 【强化训练5】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上. (1)求证：BG＝DE. (2)若E为AD的中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长. 【题型3】利用菱形的性质求面积 【典例】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE。若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为() A.30 B.40 C.50 D.60 【强化训练1】如图,在菱形ABCD中,若AB=5, AC=6,则菱形ABCD的面积为() A.20    B.24    C.26    D.32 【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB＝AD＝5,BD＝8,∠ABD＝∠CDB,则四边形ABCD的面积为(　　) A.40    B.24 C.20    D.15 【强化训练3】若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　　. 【强化训练4】如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠E＝60°，AC＝4，求菱形ABCD的面积． 【强化训练5】菱形ABCD的两条对角线相交于点O．已知AB＝5cm，OB＝3cm，求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积． 【题型4】求菱形在坐标系中的坐标 【典例】如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（﹣2，﹣1），BC∥x轴，将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（　　） A.（﹣1，2） B.（3﹣2，3） C.（3+1，2） D.（3+3，3） 【强化训练1】如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D.（﹣2﹣，） 【强化训练2】在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），点C的坐标是　 　． 【强化训练3】已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为          　.　 【题型5】添加条件使四边形是菱形 【典例】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　) A.AB＝CD      B.AD＝BC C.AC＝BD      D.AB＝BC 【强化训练1】下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　　) A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形. 【强化训练3】如图，▱ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，DE＝DF，添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形．①∠1＝∠2；②AF＝CE；③AB＝CD． （1）添加的条件是：　 　；（填序号） （2）添加条件后，请证明▱ABCD为菱形． 【题型6】证明四边形是菱形 【典例】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD＝4OE.③四边形AECF是菱形．④S△BOE＝S△ABC.其中正确的是(　　) A.①②③④    B.①② C.①③    D.②③④ 【强化训练1】下列命题正确的是(　) A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE． （1）求证：四边形BCFE是平行四边形； （2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形． 【强化训练3】如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC＝AB，连结CD.求证：四边形ABCD是菱形. 5.2 菱形 强化训练（参考答案） 【题型1】利用菱形的性质求角度 【典例】菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　） A.120° B.130° C.140° D.150° 【答案】A 【解析】 因为菱形的一条对角线与边长相等， 所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°， 所以该菱形较大内角的度数是120°． 故选：A． 【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，连结AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　) A.20°    B.60° C.70°    D.80° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠DCA＝∠1＝20°， ∴∠2＝90°－∠DCA＝70°. 【强化训练2】如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC，CD于点E，F．若∠EAF＝60°，则∠D的度数为 　 　． 【答案】 80°． 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝DC， 由题意得：AB＝AE，AD＝AF， ∴∠AEB＝∠B，∠AFD＝∠D， ∴∠AEB＝∠B＝∠AFD＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴∠BAE＝∠DAF， 设∠B＝∠D＝x，则∠AEB＝∠B＝x， ∴∠DAF＝∠BAE＝180°﹣2x， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180°， 即x+180°﹣2x+60°+180°﹣2x＝180°， 解得：x＝80°， ∴∠D＝80°， 故答案为：80°． 【强化训练3】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　． 【答案】 25°． 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°， 故答案为：25°． 【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,过顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF。 (1)求证:△DEF为等腰三角形。 (2)若∠DEF=66°,求∠A的度数。 【答案】 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,∠A=∠C。 ∵DE⊥AB,DF⊥BC, ∴∠AED=∠CFD=90°。 在△ADE和△CDF中, ∵ ∴△ADE≌△CDF(AAS), ∴DE=DF, ∴△DEF是等腰三角形。 (2)∵DE=DF, ∴∠DEF=∠DFE=66°, ∴∠BEF=∠BFE=90°-66°=24°, ∴∠B=180°-24°-24°=132°。 ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC, ∴∠A=180°-∠B=48°。 【强化训练5】八年级下册数学教材内容：菱形的对角线互相垂直. [结论运用] 图1　 图2　 图3 (1)如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝10，OD＝8，则菱形ABCD的面积是　　. (2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，AC，BF.求证：AC＝BF. (3)如图3，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，若∠DAE＝42°，则∠ACF＝　　°. 【答案】(1)96 (3)27 解：(1)∵四边形ABCD为菱形，AD＝10，OD＝8， ∴AC⊥BD，BD＝2OD＝16， ∴在Rt△AOD中， OA＝＝6， ∴AC＝2OA＝12， ∴菱形ABCD的面积为S＝AC·BD＝×12×16＝96. (2)如答图，连结CE，交AD于点H. 答图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵四边形CDEF是菱形， ∴EF∥CD，EF＝CD，EC⊥FD，EH＝CH， ∴AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，AD垂直平分线段EC， ∴四边形ABFE是平行四边形，AC＝AE， ∴AE＝BF，∴AC＝BF. (3)∵四边形ACBD是菱形，四边形CDEF是菱形， ∴AD＝AC，CD＝CF＝DE，∠ADE＝∠ADC. ∵AD＝AD，∠ADE＝∠ADC，CD＝ED， ∴△ADC≌△ADE(SAS)， ∴∠DAE＝∠DAC＝42°. ∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝×(180°－∠DAC)＝69°. ∵CD＝CF，∴∠ADC＝∠CFD＝69°， ∴∠ACF＝∠CFD－∠DAC＝69°－42°＝27°. 【题型2】利用菱形的性质求线段长 【典例】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为(　　) A.    B.1 C.      D. 【答案】D 【强化训练1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　） A. B. C. D.4 【答案】C 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5， ∵DH⊥BC， ∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD， 即5DH＝×8×6， 解得：DH＝， 故选：C． 【强化训练2】如图，在面积为24的菱形ABCD中，AC＋BD＝14，则AB的长为(　　) A.5    B.3      C.6    D.7 【答案】A 【解析】∵菱形ABCD的面积为24， ∴AC与BD互相垂直平分，且AC·BD＝24， 即AC·BD＝48. ∵AC＋BD＝14， ∴AB＝ ＝ ＝＝5. 【强化训练3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，F为CD的中点，连结OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为____. 【答案】2 【解析】 在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD. 在Rt△AOE中，AE＝＝5. ∵AE＝BE，∴OB＝AE＋OE＝8. 在Rt△AOB中，AB＝＝4， 即菱形的边长为4. ∵F为CD的中点，OB＝OD，∴OF＝BC＝2. 【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N。连结OM,若OM=2,BD=8,则MC的长为　　　　。 【答案】 【解析】 如答图,连结AC。 ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC过BD的中点O,∴OA=OC。 ∵AM⊥BC,∴∠AMC=90°, ∴OM=AC, ∴OC=2,AC=4。 ∵OB=BD=×8=4, ∴BC==2。 ∵菱形ABCD的面积=BC·AM=AC·BD, ∴2×AM=×8×4, ∴AM=, ∴MC==。 【强化训练5】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上. (1)求证：BG＝DE. (2)若E为AD的中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长. 【答案】解：(1)在矩形EFGH中，HE＝FG，EH∥GF， ∴∠GFH＝∠EHF. 又∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠GBF＝∠EDH. 在△BGF与△DEH中， ∵ ∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE. (2)如答图，连结EG. 答图 在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC. ∵E为AD的中点，∴AE＝ED. 又∵BG＝DE，∴AE＝BG. 又∵AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AB＝EG. ∵在矩形EFGH中，EG＝FH＝4， ∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为16. 【题型3】利用菱形的性质求面积 【典例】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE。若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为() A.30 B.40 C.50 D.60 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC。 ∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°, ∴AC=2OE=2×3=6, ∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×10=30。 【强化训练1】如图,在菱形ABCD中,若AB=5, AC=6,则菱形ABCD的面积为() A.20    B.24    C.26    D.32 【答案】B 【解析】连结BD,交AC于点O,如答图所示。 ∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC=AC=3,OB=BD,AC⊥BD, ∴∠AOB=90°, ∴OB===4, ∴BD=2OB=8, ∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×8=24。 【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB＝AD＝5,BD＝8,∠ABD＝∠CDB,则四边形ABCD的面积为(　　) A.40    B.24 C.20    D.15 【答案】B 【解析】∵∠ABD＝∠CDB,∴AB∥CD. ∵O是BD的中点,∴BO＝DO. 又∵∠AOB＝∠COD, ∴△AOB≌△COD(ASA), ∴AB＝CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝AD,∴▱ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,∴∠AOB＝90°. 在Rt△ABO中,BO＝BD＝4, ∴AO＝＝3. ∵AC＝2AO＝6, ∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×6×8＝24. 【强化训练3】若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　　. 【答案】24 【强化训练4】如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠E＝60°，AC＝4，求菱形ABCD的面积． 【答案】 解（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴DB∥CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥CE． 在直角△ACE中，∵∠E＝60°，AC＝4， ∴∠EAC＝30°， ∴CE=AC， ∴由勾股定理得，CE＝4． ∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝CE＝4， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×4＝8． 【强化训练5】菱形ABCD的两条对角线相交于点O．已知AB＝5cm，OB＝3cm，求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积． 【答案】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，由勾股定理得：OA＝＝＝4， ∴AC＝2OA＝8（cm），BD＝2OB＝6（cm）， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×8×6＝24（cm2）． 【题型4】求菱形在坐标系中的坐标 【典例】如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（﹣2，﹣1），BC∥x轴，将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（　　） A.（﹣1，2） B.（3﹣2，3） C.（3+1，2） D.（3+3，3） 【答案】D 【解析】 ∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（﹣2，﹣1）， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝， ∴D的坐标为（1+3，2）， ∵将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合， ∴平移规律为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴平移后点D的对应点的坐标为（1+3+2，2+1），即（3+3，3）， 故选：D． 【强化训练1】如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D.（﹣2﹣，） 【答案】D 【解析】 作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝90°， ∵四边形OABC为菱形， ∴CB＝OC＝OA＝2，CB∥OA， ∴∠BCE＝∠AOC＝45°， ∴∠CBE＝∠BCE＝45°， ∴BE＝CE， ∵CB＝＝＝CE＝2， ∴BE＝CE＝， ∴OE＝OC+CE＝2+， ∴B（﹣2﹣，）， 故选：D． 【强化训练2】在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），点C的坐标是　 　． 【答案】 （8，4）． 【解析】 过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴， ∵点A的坐标是（3，4）， ∴AO＝5， ∵四边形AOBC是菱形， ∴AO＝AC＝BO＝BC＝5，AO∥BC， ∴∠AOB＝∠CBF， ∵AE⊥x轴，CF⊥x轴， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， 在△AOE和△CBF中， ∴△AOE≌△CBF（AAS）， ∴EO＝BF＝3， ∵BO＝5， ∴FO＝8， ∴C（8，4）． 故答案为：（8，4）． 【强化训练3】已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为          　.　 【答案】或 【解析】当AB为菱形的边时，如答图1. 答图1 AB＝＝3. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝3，AD∥BC， ∴点D的坐标为(3，3). 当AB为菱形的对角线时，如答图2，设菱形的边长为m. 答图2 ∵点A(0，3)，B(6，0)， ∴OA＝3，OB＝6. ∵四边形ABCD为菱形， ∴CA＝AD＝BC，AD∥BC， ∴CA＝CB＝m，∴OC＝6－m. 在Rt△AOC中，32＋(6－m)2＝m2，解得m＝， ∴点D的坐标为. 综上所述，点D的坐标为(3，3)或. 【题型5】添加条件使四边形是菱形 【典例】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　) A.AB＝CD      B.AD＝BC C.AC＝BD      D.AB＝BC 【答案】D 【强化训练1】下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　　) A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直 【答案】C 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形. 【答案】AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等，答案不唯一) 【解析】当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形； 当添加“AB＝CD”时，∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)， ∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形； 当添加“∠ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC. ∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形. 【强化训练3】如图，▱ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，DE＝DF，添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形．①∠1＝∠2；②AF＝CE；③AB＝CD． （1）添加的条件是：　 　；（填序号） （2）添加条件后，请证明▱ABCD为菱形． 【答案】 （1）添加∠1＝∠2能使▱ABCD成为菱形． 故答案为：①； （2）证明：∵∠1＝∠2，∠D＝∠D，DF＝DE， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AD＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【题型6】证明四边形是菱形 【典例】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD＝4OE.③四边形AECF是菱形．④S△BOE＝S△ABC.其中正确的是(　　) A.①②③④    B.①② C.①③    D.②③④ 【答案】A 【解析】 ∵E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE. 又∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝EC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE， ∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AB⊥AC，①正确． 在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB. 在△AOF和△COE中，∵ ∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AE＝CE，∴▱AECF是菱形，③正确． 易知AC⊥EF. 在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD， ∴AD＝4OE，②正确． 在▱ABCD中，OA＝OC. 又∵E为BC的中点，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC， ④正确． 综上所述，正确的是①②③④. 【强化训练1】下列命题正确的是(　) A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE． （1）求证：四边形BCFE是平行四边形； （2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形． 【答案】 （1）证明：∵D．E为AB，AC中点 ∴DE为△ABC的中位线，DE＝BC， ∴DE∥BC， 即EF∥BC， ∵EF＝BC， ∴四边形BCEF为平行四边形． （2）∵四边形BCEF为平行四边形， ∵∠ACB＝60°， ∴BC＝CE＝BE， ∴四边形BCFE是菱形． 【强化训练3】如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC＝AB，连结CD.求证：四边形ABCD是菱形. 【答案】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD. 又∵AB＝BC，∴AD＝BC. 又∵AE∥BF，即AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝AD，∴▱ABCD是菱形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $