5.2 菱形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 5.2菱形 第1课时菱形的概念与性质 >“答案与解析”见P39 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·杭州临平段考)如图所示为汽车常备 5.如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交 的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个 AB于点E,交AC于点F,连结DF.当 菱形ABCD,中间通过螺杆连结，转动手柄可 ∠CDA=80时，∠CDF的度数为() 改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当 A.15° B.30° C.40° D.50° ∠BCA=26时，∠ADC的度数为( A.26° B.52°C.128°D.154 (第5题) (第6题) 手柄 6.★(2025·杭州建德段考)如图，四边 (第1题) (第2题) 形ABCD是菱形，AC=6,BD=8, 2.(2025·温州期末)如图，在菱形ABCD中， AC,BD相交于点O.若AO=3,BO=4,则 AE⊥BC于点E,则AE的长是 BC的长为 ( A.5 B.6 C.8 D.10 A 24 5 B.6 D.12 3.如图，在菱形ABCD中，E为 D 7.如图，菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°， 对角线AC上一点，AE= 对角线AC,BD相交于点O,点E在AB上， AD,连结BE.若∠AEB= 70°，则∠BAD的度数为 B 且BE=BO,则∠AOE的度数为 (第3题) 4.(2024·广安)如图，在菱形ABCD中，E,F 分别是AB,BC边上的点，BE=BF,求证： ∠DEF=∠DFE. (第7题) (第8题) (第9题) 8.新情境·现实生活如图所示的活动衣帽架是 由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可 (第4题) 以调节点A,E之间的距离.若点A,E之间 的距离调节到60cm,菱形的边长AB= 20cm,则∠DAB的度数为 9.如图，菱形ABCD的边长为2， ∠BAD=60°，E为边BC的中点， P为对角线AC上一动点，则PB十 PE的最小值为 90 第5章特殊平行四边形 10.如图，四边形ABCD和四边形ADEF都是物思维拓展 菱形，连结BF,∠BAD=∠FAD,∠BAD 12.★新考法·探究题 在菱形ABCD 为锐角. 中，∠ABC=60°，E是对角线AC (1)求证：AD⊥BF. 所在直线上任意一点，F是边BC (2)若BF=BC,求∠ADC的度数. 的延长线上一点，且CF=AE,连结 BE,EF. (1)如图①，当E是对角线AC的中点时， B 求证：BE=EF (2)如图②，当点E在对角线AC上，且不 (第10题) 是中点，其他条件不变时，判断(1)中的结 论是否仍然成立，并说明理由， (3)如图③，当E是对角线AC的延长线上 任意一点，其他条件不变时，判断(1)中的 结论是否仍然成立，并说明理由， 11.★如图，AC是菱形ABCD的对角线，延长 CB至点E,使得BE=BC,连结AE,过 点D作DF⊥AB,垂足为F. (1)求证：AE⊥AC. (2)若AE=6,CE=10,求DF的长 (第12题) B (第11题) 91 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2课时 菱形的判定 “答案与解析”见P41 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 5.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线， 点O,添加下列条件，不能判定□ABCD是菱 E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是 形的为 AC,BD的中点.若四边形EMFN是菱形， A.AC⊥BD B.AB=BC 则原四边形ABCD应满足的条件是() C.AC=BD D.∠1=∠2 A.AB=CD B.AB⊥CD D C.AC=BD D.AC⊥BD (第1题) (第2题) 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到 (第5题) (第6题) △DCE,连结AD,则下列条件能够判定四边 6.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O, 形ABCD是菱形的为 ( 且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD= A.AB=BC B.AC=BC 8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面 C.∠B=60° D.∠ACB=60 积为 () 3.如图，在由相同的小正方形组 A.40 B.24 成的网格图中，四边形 C.20 D.15 ABCD的顶点都在格点（网 7.如图，过□ABCD的顶点B作边 格线的交点)上.若每个小正 (第3题) AD和CD上的高，垂足分别为M, 方形的边长均为1，则AB= N,连结AC,BD,MN.若BM= ,BC= CD= BN,测下列说法中，错误的是 AD- 根据 A.∠MBN=∠BAD 可以判定四边形ABCD的形状是 B.MN∥AC 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 C.四边形ABCD为菱形 点，点E,F在射线AD上，且DE=DF.求 D.△ABD是等边三角形 证：四边形BECF是菱形 (第7题) (第8题) (第4题)》 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4, BC=3,D为斜边AB上一点，连结CD, 以CD,CB为边作□CDEB,则当AD= 时，四边形CDEB为菱形 92 第5章特殊平行四边形 9.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC罚思维拓展 上的两点，且AE=CF.求证： 11.如图①，P是线段AB上一点，在 (1)△ABE≌△CDF. AB的同侧作△APC和△BPD, (2)四边形BEDF是菱形， 使PC=PA,PD=PB,∠APC= ∠BPD,连结CD,E,F,G,H分别是AC, AB,BD,CD的中点，连结EF,FG,GH, HE,EG,HF. (第9题) (1)直接写出EG与HF的位置关系. (2)如图②，当点P在线段AB的上方时， 在△APB的外部作△APC和△BPD,其 他条件不变，则(1)中的结论还成立吗？请 说明理由， 10.★如图，在四边形ABCD中，BC=CD, (第11题) ∠BCD=2∠BAD,O是四边形ABCD内 一点，且OA=OB=OD.求证： (1)∠BOD=∠BCD (2)四边形OBCD是菱形 (第10题) 936DE.解得DE-号 因为四边形ADEF是矩形， 所以AF=DE=号 10.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以ABCD. 所以∠EAB=∠EFC. 又因为E为BC的中点， 所以EB=EC. 在△ABE和△FCE中， ∠EAB=∠EFC, ∠BEA=∠CEF, EB=EC, 所以△ABE≌△FCE. (2)由(1)知，△ABE≌△FCE, 所以AB=CF. 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AD=BC,AB=DC. 所以DC=CF. 又因为CG=CE, 所以四边形DEFG是平行四边形 因为E为BC的中点， 所以BE=CE. 所以BE=CE=CG. 所以BC=EG. 又因为AD=BC=EG=2AB,DF= CD+CF=2CD=2AB. 所以DF=EG. 所以四边形DEFG是矩形. 方法归纳 矩形的判定方法 证明一个四边形是矩形，若题 设与这个四边形的对角线有关，通 常先证明这个四边形是平行四边 形，再证明其对角线相等：若题设 与角度有关，通常考虑用矩形的定 义或者依据“有三个角是直角的四 边形是矩形”来证明.若容易证出 有一个直角且为平行四边形，则可 根据矩形的定义进行证明：若容易 证出有三个直角，则用后者证明 11.(1)四边形PBCE是平行四 边形 因为CF∥AB,即CEBP,PEBC, 所以四边形PBCE是平行四边形. (2)如图，因为△ABC是等边三 角形， 所以∠B=∠1=60°，BC=CA. 因为CF∥AB, 所以∠2=∠1. 所以∠B=∠2. 又由(1)知，四边形PBCE为平行四 边形， 所以PB=EC. 在△BPC和△CEA中， PB=EC, ∠B=∠2， BC=CA, 所以△BPC≌△CEA. 所以CP=AE (3)当P为AB的中点时，四边形 APCE是矩形. 理由：因为P为AB的中点， 所以AP=BP, 又由(2)证得BP=CE, 所以AP=CE. 因为CF∥AB,即EC∥AP, 所以四边形APCE是平行四边形. 又因为△ABC是等边三角形，P为 AB的中点， 所以CP⊥AB, 所以∠APC=90, 所以□APCE是矩形 (第11题) 5.2菱形 第1课时菱形的概念与性质 1.C2.A3.809 4.因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=CD=AD,∠A= ∠c. 因为BE=BF, 所以AB-BE=BC一BF,即AE=CF. IDA=DC, 在△DAE和△DCF中，{∠A=∠C, AE=CF, 所以△DAE≌△DCF. 所以DE=DF 所以∠DEF=∠DFE. 39 5.B解析：如图，连结BF.因为四边 形ABCD是菱形，所以易知∠BAC= ∠BAD,∠ABC=∠CDA=809 CD=BC,∠DCF=∠BCF,CD∥ AB.在△DCF和△BCF中， CD=CB, ∠DCF=∠BCF,所以△DCF≌ CE=CF, △BCF.所以∠CDF=∠CBF.因为 CD∥AB,所以∠BAD=180°- ∠CDA=100°.所以∠BAC= ∠BAD=50因为EF垂直平分 AB,所以AF=BF.所以∠ABF= ∠BAF=50°.所以∠CBF= ∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°.所 以∠CDF=30°. E (第5题) 6.A解析：因为四边形ABCD是菱 形，AC=6,BD=8,所以AC⊥BD, 1 0C=0A=2AC=3,0B=OD= 2BD=4.所以∠BOC=90.在 Rt△BOC中，由勾股定理，得BC= √OC2+OB2=√32+42=5.因为 AE⊥BC于点E,所以S装无AD= 2AC·BD=BC·AE.所以AE= AC·BD6×824 2BC 2×55 方法归纳 菱形的边和对角线的应用 (1)菱形“边”的应用：菱形的 四条边相等，可以知一边求菱形的 周长，也可以求证线段相等 (2)菱形“对角线”的应用：菱 形对角线互相垂直，可求证垂直 (直角三角形等)，可计算菱形的边 长、周长、对角线长以及面积等. 7.25°解析：因为四边形ABCD是 菱形，∠BAD=80°，所以易知 ∠BA0=∠BAD=40,ACLRD, 所以∠AOB=90°.所以∠ABO= 90°-∠BA0=90°-40°=50°.因为 BE=BO,所以∠BOE=∠BEO= 3×180-∠AB0)=3×(180 50)=65°.所以∠AOE=∠AOB ∠BOE=90°-65°=25°. 8.120°解析：如图，连结AC.因为 四边形ABCD是菱形，AB=20cm, 所以AB=BC=20cm,AD∥BC.因 为活动衣帽架是由三个全等的菱形构 成的，且，点A,E之间的距离为60cm, 所以易知AC=60÷3=20(cm).所以 AB=BC=AC.所以△ABC是等边 三角形.所以∠B=60°.因为AD∥ BC,所以∠DAB=180°-∠B= 180°-60°=120° (第8题) 9.√5解析：如图，连结BD,交AC 于点O,连结DE,交AC于点P. 因为菱形的对角线互相垂直平分， 所以PD=PB.所以PB十PE= PD+PE=DE,即DE的长就是 PE十PB的最小值.因为四边形 ABCD是菱形，∠BAD=60°，且菱形 的边长为2，所以∠BCD=∠BAD= 60°，CD=BC=AB=2.所以△BCD 是等边三角形.因为E为边BC的中 点，所以BE=CE=1,DE⊥BC.所以在 Rt△CDE中，DE=WCD-CE= √22-1'=√，即PB+PE的最小值 为3， 01 R (第9题) 10.(1)因为四边形ABCD和四边形 ADEF都是菱形， 所以AB=AD,AD=AF, 所以AB=AF, 因为∠BAD=∠FAD, 所以AD⊥BF. (2)因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC,AB/CD 所以∠BAD+∠ADC=180. 因为BF=BC, 所以BF=AB. 由(1)，得AB=AF, 所以BF=AB=AF」 所以△ABF是等边三角形 所以∠BAF=60°. 因为∠BAD=∠FAD, 所以∠AAD-7∠RAF-}XN=3 所以∠ADC=180°-∠BAD=150°. 11.(1)连结BD,交AC于点O. 因为四边形ABCD是菱形， 所以OA=OC,∠BOC=90°. 因为BE=BC, 所以BD∥AE 所以∠EAC=∠BOC=90°. 所以AE⊥AC (2)因为∠EAC=90°，AE=6, CE=10. 所以AB=BC=BE=5,AC= √CE-AE=8. 因为易得四边形AEBD是平行四边形， 所以BD=AE=6. 因为Sn=AB·DF=2AC·BD, 所以5DF= 1 ×8×6. 所以DF=24 5 一方法归纳 菱形面积问题的求解技巧 由菱形对角线互相垂直的性 质，可得菱形的面积等于对角线长 乘积的一半.进一步地，对角线互 相垂直的四边形的面积都等于对 角线长乘积的一半.此外，菱形也 是平行四边形，其面积也等于底乘 高，由此可利用等量关系“底X 高子×对角钱长的来软”列方 程，巧解相关问题 12.(1)因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC. 因为∠ABC=60°， 所以△ABC是等边三角形. 所以∠BCA=60°. 40 因为E是对角线AC的中点， 所以∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE. 因为CF=AE, 所以CF=CE 所以∠F=∠CEF=2∠CA=30, 1 所以∠CBE=∠F=30. 所以BE=EF (2)成立. 理由：由(1)知，△ABC是等边三角形. 所以∠BAC=∠BCA=60°，AB=AC. 所以∠ECF=120. 过点E作EGBC,交AB于点G. 因为EG∥BC, 所以∠AGE=∠ABC=60. 所以∠BGE=120°=∠ECF. 又因为∠AGE=∠BAC=60°， 所以△AGE是等边三角形 所以AG=AE=GE. 所以AB-AG=AC-AE,即BG=EC. 又因为CF=AE, 所以GE=CF, 在△BGE和△ECF中， BG=EC, ∠BGE=∠ECF, GE=CF, 所以△BGE≌△ECF. 所以BE=EF」 (3)成立. 理由：过点E作EGBC,交AB的延 长线于点G. 由(1)知，△ABC是等边三角形， 所以AB=AC,∠BAC=∠BCA=60°. 所以∠ECF=60 因为EGBC, 所以∠AGE=∠ABC=60. 又因为∠BAC=60°， 所以△AGE是等边三角形 所以AG=AE=GE. 所以AG-AB=AE-AC,即BG=EC. 又因为CF=AE, 所以GE=CF. 在△BGE和△ECF中， BG=EC, ∠BGE=∠ECF, GE=CF, 所以△BGE≌△ECF」 所以BE=EF 方法归纳 含有60或120°内角的 菱形的特征 如果一个菱形的一个内角为 60°或120°，那么夹角为60°的两边 与较短的对角线可构成等边三角 形，这是非常有用的基本图形，且 两条对角线把菱形分成四个全等 的含30°角的直角三角形. 第2课时菱形的判定 1.C2.A3.√/10√/10/10 √0四边相等的四边形是菱形 菱形 4.因为AB=AC,D是BC的中点， 所以AD⊥BC,BD=CD. 因为DE=DF, 所以四边形BECF是平行四边形. 因为AD⊥BC,即EF⊥BC, 所以四边形BECF是菱形： 5.A解析：因为E,F,M,N分别是 AD,BC,AC,BD的中点，所以AE DE,BF=CF,AM=CM,BN=DN. 所以EN,NF,FM,EM分别为 △ABD,△BCD,△ABC,△ACD的 中位线.所以EN=FM=令AB, FN=EM=之CD.所以四边形 EMFN为平行四边形.当EN=FN, 即AB=CD时，四边形EMFN是 菱形 6.B解析：因为AB=AD=5,O是 BD的中点，所以∠BAO=∠DAO. 因为∠ABD=∠CDB,所以AB∥ CD.所以∠BAC=∠ACD.所以 ∠DAC=∠ACD.所以AD=CD.所 以AB=CD.所以四边形ABCD是平 行四边形.因为AB=AD,所以 ☐ABCD是菱形.所以AC⊥BD, AC=2A0,B0=2BD=4.所以在 Rt△AOB中，AO=√JAB-BO2= 3.所以AC=2AO=6.所以四边形 ABCD的面积为子AC·BD=X 6×8=24. 7.D解析：因为四边形ABCD是平 行四边形，所以AB∥CD,∠BAD= ∠BCD.所以∠BAD+∠ADC 180°.因为BM⊥AD于点M,BN CD于点N,所以∠AMB=∠BMD= ∠BND=∠CNB=90°.所以 ∠MBN+∠ADC=360°-∠BMD ∠BND=360°-90°-90°=180°.所 以∠MBN=∠BAD.故A正确，不符 合题意.在△AMB和△CNB中， ∠BAM=∠BCN, ∠AMB=∠CNB=90°，所以 BM=BN, △AMB≌△CNB.所以AB=CB, AM=CN.所以四边形ABCD为菱 形.所以AD=CD,DB⊥AC.所以 DB平分∠ADC.因为AD-AM= CD-CN,所以DM=DN.所以 DB⊥MN.所以MN∥AC.故B正 确，不符合题意：C正确，不符合题意. △ABD是等腰三角形，但不一定是等 边三角形.故D错误，符合题意. 解析：如图，连结CE,交AB 于点O.因为在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=4,BC=3,所以 AB=√AC+BC=5.当四边形 CDEB为菱形时，CE⊥BD,OD= OB.因为Sar=7AB·OC- 号AC·c.所以0OC=CC AB 答3-导所以在△仪0汇中，由勾 5 股定理，得OB=√BC-OC= √3-（传）=号所以AD=AB 20B=5-2X9=7 551 D 0 (第8题) 9.(1)因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=CD,AB∥CD. 所以∠BAE=∠DCF. 41 在△ABE和△CDF中， (AB=CD, ∠BAE=∠DCF, AE-CF, 所以△ABE≌△CDF. (2)如图，连结BD,交AC于点O. 因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC,AO=CO,BO=DO 因为AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即 EO=FO. 所以四边形BEDF是平行四边形. 又因为BD⊥EF, 所以四边形BEDF是菱形， D (第9题) 10.(1)如图，延长AO,交CD于 点E. 因为OA=OB, 所以∠BAO=∠ABO. 又因为∠BOE=∠BAO+∠ABO, 所以∠BOE=2∠BAO. 同理，可得∠DOE=2∠DAO. 所以∠BOE+∠DOE=2∠BAO+ 2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即 ∠BOD=2∠BAD. 又因为∠BCD=2∠BAD, 所以∠BOD=∠BCD. (2)如图，连结OC. 在△OBC和△ODC中， OB=OD, BC=DC, OC=OC, 所以△OBC2△ODC. 所以∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO. 1 所以∠BOC=2∠BOD,∠B0= 2∠BCD. 又因为∠BOD=∠BCD, 所以∠BOC=∠BCO. 所以BO=BC. 又因为OB=OD,BC=CD, 所以OB=BC=CD=OD. 所以四边形OBCD是菱形 D E C (第10题) 方法归纳 判定一个四边形为菱形的方法 (1)用对角线进行判定：先证明 四边形是平行四边形，再证明对角线 互相垂直或直接证明四边形的对角 线互相垂直且平分 (2)用边进行判定：先证明四 边形是平行四边形，再证明一组邻 边相等或直接证明四边形的四条 边都相等. 11.(1)EG与HF互相垂直平分. (2)成立. 理由：如图，连结AD,BC. 因为∠APC=∠BPD, 所以∠APC+∠CPD=∠BPD+ ∠CPD,即∠APD=∠CPB. 在△APD和△CPB中， AP=CP. ∠APD=∠CPB, PD-PB, 所以△APD≌△CPB. 所以AD=CB 因为E,F,G,H分别是AC,AB, BD,CD的中点， 所以EF,FG,GH,HE分别是 △ABC,△ABD,△BCD,△ACD的 中位线。 所以EF=GH=2CB,IHE=FG= 合AD 所以EF=FG=GH=HE. 所以四边形EFGH是菱形. 所以EG与HF互相垂直平分. (第11题) 5.3正方形 第1课时正方形的判定 1.C2.C3.有一组邻边相等的 矩形是正方形 4.因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 因为BE=DF, 所以OB一BE=OD一DF,即OE=OF. 所以四边形AECF是平行四边形 因为AC⊥BD,即AC⊥EF, 所以四边形AECF是菱形. 因为OE=OA=OF, 所以OE=OF=OA=OC. 所以EF=AC. 所以四边形APCF是正方形， 5.C6.D 7.C解析：因为F,G,H,I分别是 DE,BE,BC,CD的中点，所以FG∥ BD,FG=BD,HI∥BD,H 2BD.所以FGHI,FG=HL,所以 四边形FGHI是平行四边形.同理， 可得FI/CE,F1=多CE.因为 ∠BAC=90°，所以BD⊥CE.所以 HI⊥FL.所以四边形FGHI是矩形. 当BD=CE时，FG=FI,则四边形 FGHI是正方形 8.甲、丙解析：因为AB=AD, BC=DC,所以AC垂直平分BD.若 添加“AB∥CD”,则∠ABO=∠BDC. 因为BC=DC,所以∠BDC= ∠CBO.所以∠ABO=∠CBO.在 △ABO和△CBO中， I∠ABO=∠CBO, BO=BO, 所以 ∠BOA=∠BOC=90°， △ABO≌△CBO.所以BA=BC.所 以AB=BC=CD=DA.所以四边形 ABCD是菱形.故甲同学的说法正 确.若添加“∠BAD=90”,无法证明 四边形ABCD是矩形，故乙同学的说 法错误.若添加“∠ABC=∠BCD= 90”,则∠ABC+∠BCD=180°，所以 ABCD.由证明甲同学的说法可知， 四边形ABCD是菱形.因为∠ABC= 42 90°，所以四边形ABCD是正方形.故 丙同学的说法正确.综上所述，说法正 确的同学是甲、丙 9.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以AB=CD,∠BAD=∠BCD, AB//CD. 所以∠AEF=∠CHG. 因为BE=2AB,DH=2CD, 所以BE=DH. 所以AE=BE=2DH=CH. 因为∠BAD+∠EAF=180°， ∠BCD+∠HCG=180°， 所以∠EAF=∠HCG. 在△EAF和△HCG中， I∠AEF=∠CHG, AE=CH. I∠EAF=∠HCG, 所以△EAF≌△HCG. 所以AF=CG. (2)当AD=√5AB时，四边形BEDH 是正方形. 理由：由(1)，易知BEDH,BE=DH, 所以四边形BEDH是平行四边形. 因为EH⊥BD, 所以四边形BEDH是菱形 所以DE=BE=2AB. 因为AE=号BE, 所以AE=AB. 所以AE2+DE2=AB2+(2AB)2= 5AB2. 因为AD2=(√5AB)2=5AB2, 所以AE2+DE=AD2. 所以∠BED=90°. 所以四边形BEDH是正方形. 所以当AD=√5AB时，四边形 BEDH是正方形 10.(1)因为AB=AC,AD⊥BC, 所以∠BAD=∠CAD=∠BAC= 22.5°，∠ADB=∠ADC=90°. 因为△ABD翻转得到△ABE, 所以△ABE≌△ABD. 所以AE=AD,∠E=∠ADB=90°， ∠BAE=∠BAD. 所以∠DAE=2∠BAD=45