5.2菱形 自主达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形定义、性质与判定，通过基础辨析、中档综合到提升探究的三层设计，实现从概念理解到动态应用的知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形定义、性质（对角线、面积）|单选题1考定义辨析，填空题11结合生活情境（伸缩衣帽架）强化应用意识| |中档|性质与判定综合、简单计算|单选题4结合坐标系求坐标，填空题13动点问题训练空间观念| |提升|动态探究、跨知识整合|解答题23含类比迁移，24结合旋转与中位线，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.2菱形》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，连接且，，则四边形的面积为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 6．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（满分24分） 9．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 10．如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 11．如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 12．在四边形中，已知对角线，顺次连接四边形各边中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边中点，得到四边形．则四边形的形状为______． 13．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 14．如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 16．如图，菱形的边长为8，E，F分别是，边上的动点，，．下列结论：① ；②；③若，则 ；④ ．其中正确的有______． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接，则四边形是菱形． (2)根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 18．（8分）如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，连接，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，当时，求菱形的周长． 19．（8分）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则______． 20．（8分）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 21．（8分）如图1，在菱形中，，过点作的垂线，垂足为，交对角线于，连接． (1)求的长； (2)如图2，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数表达式； (3)在（2）的条件下，当点在边上运动时，是否存在这样的值，使与互余，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（8分）如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 23．（12分）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 24．（12分）【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． (1)证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 (3)在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 参考答案 1．B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 2．A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．A 【分析】根据勾股定理求出边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，还等于底乘以对应的高计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴， ∴， ∵． ∴ ∴． 4．C 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵点A在直线上，若点A的纵坐标是3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 5．B 【分析】根据菱形的性质可知点是的中点，由可知是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可 ． 【详解】解：∵四边形是菱形 ， ∴，即点是的中点， ∵ ， ∴ ，， ∴在中，， ， ∴菱形的面积． 6．C 【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵边长为2的菱形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 7．C 【分析】根据菱形的性质得，，，所以，由勾股定理求出，连接，可证四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．A 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵E，F分别是，的中点， ∴平分，平分，， ∴ ， ， ∴ ，故①符合题意； ②∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理： ， ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意； ③∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴和不全等，故③不符合题意； ④如图，设与交于点M， 同①得：是等边三角形， ∴ ，， 由②可知，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上所述，其中正确的结论有①②. 9．（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 10．40 【分析】由，，判定四边形是平行四边形，由平行线的性质推出，得到，推出，判定平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 11．48 【分析】根据菱形的面积等于对角线的长度的乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 12．菱形 【分析】先确定第一次连接各边中点得到的四边形的形状，再推导四边形的形状即可． 【详解】解：在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点， 根据三角形中位线定理，得，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又，， ，即， 平行四边形是矩形， ∴矩形的对角线相等，即， ，，，分别是矩形各边的中点， 根据三角形中位线定理，可得 ， ， ， ， ， ， 由四边相等的平行四边形是菱形，即四边形是菱形． 13． 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 14．80 【分析】连接，证明四边形是矩形，得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 15．4.8 【分析】如图，连接，过点D作于点H，交于，根据菱形的性质得垂直平分，则，，当N与H重合，M与重合时，最小值为，由勾股定理求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，交于， ∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当N与H重合，M与重合时，最小值为， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4.8． 16．①②③④ 【分析】①根据边角边即可证明两个三角形全等；②证明是等边三角形即可求解；③根据即可求得；④根据三角形的内角和关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故②正确； 如图，过点作于M，于N， ∵四边形是菱形，边长为8， ∴平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 17．(1)见解析 (2)①；②；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． 以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点D，连接， 则即为所求． （2）解：证明：∵是等边三角形，平分， ∴且，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）． 18．(1)见解析 (2)40 【分析】（1）分别以点C、D为圆心为半径画弧，两弧相交于E，连接，即可； （2）根据矩形的性质及勾股定理确定，，再求菱形的周长即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形． （2）解：∵矩形的对角线相交于点． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴菱形的周长为：． 19．(1)见解析 (2)5 【分析】（）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 解得． 20．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论； （2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用求解即可． 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 21．(1) (2)当点P在上时， 当点P在上时， (3)存在， 【分析】（1）连接，交于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理得，则此题可解； （2）根据菱形的性质得，再根据“边边边”证明，可得，然后分两种情况：当点在边上时，由（1），根据的面积得出关系式；当点在边上时，由（1），再根据的面积得出答案； （3）连接，根据“等边对等角”得，进而得，再根据“同角的余角相等”得，可得，然后根据可得，最后求出，则此题可解． 【详解】（1）解：连接，交于点． ∵四边形是菱形， ． ． ， 在中，由， 得， 解得； （2）解：∵四边形是菱形，， ． 又， ． ． ①当点在边上时，由（1），且， 的面积； ②当点在边上时，由（1），且， 的面积； （3）解：存在． 连接， ， ． ． 在中，， 又， ． 当时，． ． 又∵， ． ． ． 22．(1)见解析 (2)24 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形．     是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线，     ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；②的长为2或1 【分析】（1）由点E是的中点得，从而，故 ，故，由点D是的中点得，又，故四边形是平行四边形，，，故，； （2）取点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点，连接，，为剪痕，把向下移，使点A和点C重合，将逆时针旋转，使点B和点C重合，将顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形； （3）①延长至点G，使，连接，，由点N是的中点得，从而可推得，故，，，又，，故，，故，又是等边三角形，故，，故，，故，故是等边三角形，故；②由题意知，，分两种情况讨论：当是的中位线时，，故；当不是的中位线时，取的中点H，连接，，，从而，，故是等边三角形，设，则，故，由得，故． 【详解】（1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ， 又，， ， ，， ， ∵点D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点， 由（1）知，， ∵， ∴．， 把向下移，使点A和点C重合，将绕点R逆时针旋转，使点B和点C重合，将绕点S顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： （3）①证明：如图（2），延长至点G，使，连接，， ∵点N是的中点， ， 又， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ∵四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当是的中位线时，如图（3），此时， ； 当不是的中位线时，如图（4），取的中点H，连接， ，，又， ，， 是等边三角形， ， 设，则， ， ，解得， ， 综上所述，的长为2或1． 学科网（北京）股份有限公司 $