2026年陕西省中考数学一轮复习 填空题14题专练

中考14题专练 1．如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 2在等边中，，以点B为圆心，半径为2作，点D是边上的一个动点，过点D作与相切于点E，则线段的最小值为______． 3.在平行四边形中，，，．若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为______． 4．如图正方形中，E为边上任意一点（不与点A、D重合），将绕点C逆时针旋转至F，连接，取的中点P，若，则的长为______． 5.，四边形中，，，，，，为中点，为四边形内一点，，、分别为、上任意一点，的最小值为______． 6.如图正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为___________． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为_____． 8.中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______． 9如图，点A是射线上的动点，，点D在边上，且，连接，，当最大时，的长为________． 10如图，段长为6，点C是线段上一动点（不与A，B重合），分别以和为斜边，在的同侧作等腰直角三角形，，连接，点P是的中点．连接，则的最小值为___________． 11.如图和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为______． 12.如图，一个长4的正方形，E是射线上一动点，连接，P是线段上一动点，连接，且满足，则的最小值是_________． 13．如图，中，，，、为对角线边上两个动点（不与点、重合），连接、．若，则的最小值为______________． 14．菱形中，，点为上一点且，，点为所在直线上一点，连接、，当取得最大值时，的长为______． 15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为______． 16.如图，在中，，，，垂足为，为线段上的一动点，连接、．则的最小值为___________． 17．如图，在正方形中，，E、F是边，上两点，且，与相交于点G，点O是的内心，则的最小值为______． 18．如图，在矩形中，，，点E、F分别为边BC、BD上的两动点，且，当取最小值时，的值是______． 19．如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________． 20．如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________． 21．如图，已知在中，，垂足为点H，，，以为边在外部作，，且，则的长是_______． 22．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_______．    参考答案 1． 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 2. 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短，解题的关键是理解的值最小时，的值最小． 连接，作于点F，则，则勾股定理求得，当时，的值最小，进而即可求解． 【详解】解：如下图，连接，作于点F，则， 在等边中，， ， ， ， 与相切于点E，， ， ， ，且当的值最小时，的值最小， 当时，最小为， 故答案为：． 3． 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，，从而得到．接着利用三角函数或面积法证明等于点到的距离．最后通过构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出点到的距离即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在中，． 在中，． ． ， ． ． 过点作于点，则． ．即的值等于点到的距离． 过点作交的延长线于点． ，． 在中，， ． ． 在中，． ， ． ． ． ． 故答案为：． 4. 【分析】根据题意，证明，得点共线，再证明，得到，则，证明，得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转至F， ∴， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴点共线， ∵点P是中点， ∴在中，，在中，， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 5. 5 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，根据对称性有，，，，证明≌，推出点的轨迹，可知当、、、四点共线且时，最短，再通过计算即可解题． 【详解】解：如图，过点作交于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∵， ∴， ∴； 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点交延长线于，交于， 连接、、、， 则根据对称性有，，，， 在与中， ∴≌， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动； ∵、分别为、上任意一点， 由对称性有， ∴， 由图可知当、、、四点共线且时，最短， 即此时有最小值，最小值为的长； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 同理可得也是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ∴，， ∴， 此时， 即的最小值为． 故答案为：5 ． 6. 【分析】如图，连接交于点，由，点是正方形中心，连接，取的中点，连接．由正方形的边长为4，可求得，故，勾股定理求出．在中，，得出当三点共线时，最小，最小值为． 【详解】解：如图，连接交于点， 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即点是正方形中心， 连接，取的中点，连接． ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 在中，， 当三点共线时，最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．添出辅助线是解决本题的关键． 7. 4 【分析】过点A作AH⊥CD于H，由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求AH＝6，由折叠的性质可得AF＝AB＝4，可得点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，则当点F在AH上时，FH有最小值＝AH﹣AF＝2，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥CD于H， ∵平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠ABC＝60°， ∴CD＝AB＝4，∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠DAH＝30°， ∴DH＝AD＝＝2，AH＝DH＝6， ∵将△ABE沿着AE翻折，得△AFE， ∴AF＝AB＝4， ∴点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， ∴当点F在AH上时，FH有最小值＝AH﹣AF＝2， ∴△CDF面积的最小值＝×4×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够看出来点F的轨迹是圆，然后用求一个定点到圆上一点距离最小值的方法求解． 8. 【分析】连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键 9. 【分析】作过、且与相切的，切点使最大；过作，由垂径定理得是中点，结合已知算；由切线和垂直关系证四边形是矩形，得；在中用勾股定理算，进而得 ． 【详解】解：作经过点、且与射线相切的，切点为．连接、、，、、，与交于点，连接， ∵、、、共圆， ∴， ∵是的外角， ∴ ．   ∴，即切点对应的最大 ．   ∴当点在点时，最大． 过点作于点， 因为， ∴点是的中点． ∵，， ∴， ∴，． ∵与射线相切于， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理得． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质、垂径定理、矩形判定与性质及勾股定理，解题关键是利用圆的性质确定最大时的位置（作过、且与相切的圆，切点为使最大的点）． 10. 【分析】本题主要考查轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，延长交于点，得，证明四边形是矩形，可知点的运动轨迹是的中位线，作点关于直线的对称点，则，连接，则有，当三点共线时，最小，最小值为，即的最小值为，在中由勾股定理可求出． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， 延长交于点，连接，则，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴交于点， 当点重合时，点为的中点，当点重合时，点为的中点， ∴点的运动轨迹是的中位线， 作点关于直线的对称点，连接，则，连接，则有， 当三点共线时，最小，最小值为，即的最小值为， 作于点，则, ∴， 在中，． 即的最小值为， 故答案为：． 11. 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、轴对称的性质等知识点，找出的最小值的线段成为解题的关键． 先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，进而说明的最小值为的长；再根据平行四边形的性质以及轴对称的性质可得，，然后解直角三角形可得、；如图：过L作于G，再解直角三角形以及线段的和差得到、，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C点关于的对称点L， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图：过L作于G， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形性质、勾股定理等，如图，连接，证明出，得到点P在以AB为直径的圆上运动，当的延长线经过圆心，即的中点时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P在以AB为直径的圆上运动． 当的延长线经过圆心，即的中点时，有最小值， 此时，． 故答案为：． 13. 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以点为顶点，为一边在的上方作，且使，连接，过点作，交的延长线于点，证明和相似得，则，由此得当为最小时，为最小，因此当，，在同一条直线上时，为最小，最小值是线段的长，故得的最小值是线段的长，先求出，则，进而得，，，然后在中由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：以点为顶点，为一边在的上方作，且使，连接，过点作，交的延长线于点，如图所示： 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，， ∴ 又， ∴ ， ∴ ， ， 当为最小时，为最小，当，，在同一条直线上时，为最小，最小值是线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， ∴， 的最小值是， 故答案为：． 14. 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系．作A关于的对称点F，根据对称的性质以及三角形三边关系可知，当P，C，F共线时，最小，作直线，分别交，于G，H，作垂直平分线交于M，根据三角形内角和、对称的性质可以得到角的直角三角形，再求出的长，可得，即，从而得到，，从而得到，进而得到，过点B作于点K，则为等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：作A关于的对称点F，连接，，如图： ∴， ∴， ∴当P，C，F共线时，最小， 作直线，交延长线于G，交于H，作垂直平分线，交于M， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 过点B作于点K，则为等腰直角三角形， ∴， ∴． 15． 【分析】如图，连接PO并延长交BC于点E．当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值．过点E作EF⊥AD于点F，利用勾股定理，可得结论． 【详解】解：连接PO并延长交BC于点E．如图， 当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PE-OE=PO． 在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AP=2， ∴AP∥CE，AO=OC， ∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE， ∴△PAO≌△ECO， ∴EC= AP=2，PO=OE=PE， 过点E作EF⊥AD于点F， 在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°， ∴四边形EFDC为矩形， ∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4， ∴PF=AD-AP-FD=2， ∴PE=2， ∴PO=OE=PE=， ∴PQ−OQ的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，推出当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PO的长是解题的关键． 16. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 在∠BAC的外部作，作于F，交于P，此时，通过解直角三角形，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在的外部作，作于F，交于P， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 此时，即的最小值为的长度， ∴， 此时最小， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】首先证明，从而得出，进而证得；然后根据三角形内心的性质求出，确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧；接着确定该圆弧所在圆的圆心位置和半径，最后利用点与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴ ， ∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， 设该圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则， ∵， ∴在中，，即， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， ∵， 且点在正方形内部（即右侧）， ∴圆心在的左侧，且到的距离等于的一半， ∴，连接，交圆于点，此时即为的最小值， ∴， ∴ ． 18． 【分析】如图，在上截取，连接，证明，得到，将转化为，作点关于的对称点，当三点共线时，取得最小值，利用角度关系推导此时，进而求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 四边形是矩形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时，即取得最小值， 点与点关于对称， ， （对顶角）， ， 是的外角， ， ， ， 在中，，， ， ． 19．/0.75 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 20． 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 21．10 【分析】过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点，使，连接，，首先证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，利用勾股定理求得即可得的长． 【详解】解：如图，过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 22． 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，    将绕点旋转，使与重合，得到， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 点在垂直于的直线上， 过点作，    则即为的最小值，过点作， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 则， 故的最小值为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $