中点四边形问题、四边形中的线段最值问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

中点四边形问题、四边形中的线段最值问题专项训练 中点四边形问题、四边形中的线段最值问题专项训练 考点目录 中点四边形问题 四边形中的线段最值问题 考点一 中点四边形问题 例1．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）；（3）5 【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明，，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论； （2）根据（1）中结论，得到，，，，从而可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质求得，过H作于M，利用正弦函数定义求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）连接，取的中点M，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 操作2．延长到点F，使，连接． ∵E分别为的中点， ∴，又， ∴, ∴，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； ∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， 过H作于M，则， ∴四边形的面积为； （3）连接，取的中点M，连接，， ∵点P和点Q分别为边和边的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即小路的长度为5． 例2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·山西晋中·月考）阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 中方四边形定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 根据中方四边形的定义可知，对角线互相垂直且相等的四边形是中方四边形．下面是这个结论的证明过程： 已知：如图1，在四边形中，对角线与交于点，，． 求证：四边形为中方四边形． 证明：如图1，分别取，，，的中点，，，，连接，，，与交于点，与交于点． 则，，． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为菱形． …… 任务： (1)下列四边形中，一定是中方四边形的是______． A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)请补全材料中的证明过程． (3)如图2，已知为锐角三角形，分别以，为边，向外作正方形和正方形．连接，，，试证明四边形为中方四边形． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行四边形及特殊的平行四边形的判定与性质、中位线定理和全等三角形的判定和性质，熟记相关判定定理及性质定理的内容是解题关键． （1）根据各种特殊的平行四边形的性质求解即可； （2）根据可得四边形为平行四边形，再根据和即可证明四边形为中方四边形； （3）连接，交于点，交于点，根据四边形和四边形为正方形可得，，证明，进而即可证明四边形为中方四边形． 【详解】（1）解：平行四边形的“中点四边形”为平行四边形； 矩形的“中点四边形”为菱形； 菱形的“中点四边形”为矩形； 正方形的“中点四边形”为正方形； 故选D． 解： （2）如图1，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，与交于点，与交于点． 则，，． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为菱形． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴菱形为正方形． ∴四边形为中方四边形． （3）证明：如图，连接，交于点，交于点． ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，． ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形为中方四边形． 变式1．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 变式2．（2025·河南南阳·二模）（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 【答案】【小问1】矩形 【小问2】四边形为矩形；理由见解析 【小问3】当时，四边形是正方形． 【分析】（1）先根据菱形证得，再根据中位线定理证得，，同理，，，从而可得，，于是可证得四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是矩形； （2）根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据证明平行四边形EFGH为矩形； （3）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：连接、， 四边形是菱形， ， 、F分别是、上的中点， ，， 同理，，， 则，， 四边形是平行四边形， 、G分别是、的中点， ， 又，， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形； （2）四边形为矩形． 证明：点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形EFGH为矩形； （3）当时，四边形是正方形， 理由如下：由（2）得四边形是矩形， 由（2）得，， 添加， ， 矩形为正方形． 变式3．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 （5）见解析 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质求解； （2）取格点P、M、N，连接，使B、C、A分别是的中点即可； （3）连接，根据三角形中位线的性质得出，，，．则，．即可由平行四边形的判定定理得出结论； （4）方法一：连接，证明，得同理，，，则，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点．证明，四边形为平行四边形．则．所以．．则． （5）取格点P、Q、M、N，连接，使B、C、D、A分别是的中点即可． 【详解】解：（1）∵是三边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，连接， 分别是的中点， ，． 同理：，． ，． 四边形是平行四边形． （4）方法一：连接， ， ． 又为中点， ． ，即． 同理，，， ，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点． ， ． 又为中点， ． ，． 又，， 四边形为平行四边形． ． ． 同理：． ． （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） 考点二 四边形中的线段最值问题 例1．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 例2．（2026·陕西咸阳·一模）【问题探究】 (1)如图，在中，，点是边上的动点，连接，则的最小值为___________； (2)如图，在中，，点是延长线上一点，于点，求的长； 【问题解决】 (3)如图，矩形是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长至点，使得，在边上找一点建一口水井，沿修一条水渠，再从向修一条小路，使得于点，再沿分别修小路，在四边形内种植果树．已知，求种植果树面积的最小值（即四边形面积的最小值）．（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据垂线段最短，确定时最小，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，由求出的最小值为； （）先由已知条件求出各边长度，再证明与相似，最后根据相似三角形对应边成比例，计算出的长度； （）将四边形的面积拆分为与的面积之和，先由矩形边长算出的面积，将求四边形面积最小值转化为求面积最小值；再把面积表示为点到的距离的函数，结合点的运动轨迹(以中点为圆心的圆)，利用垂线段最短求出点到的最小距离，最终算出四边形的最小面积． 【详解】（1）解：根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； （2）解：， ，则． ， ． ， ， ， ． （3）解：连接，则． 四边形是矩形，， ， ， ， ， 要求四边形面积的最小值，只需求出面积的最小值． 过点作于点， 则， 只需求出点到的距离的最小值． 以的中点为圆心，为半径作， ，即， 点在上方的上运动． 过点作于点交于点，连接． ， 当点移动到点的位置时，点与点重合，此时点到的距离最小，最小值为的长． 是的中点， ， ． 在和中，， ， ，即， ， ， ， 故种植果树面积的最小值为． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图，已知在中，，，过点C作于点D，则的最大值为_________ (2)【问题探究】：如图，已知在四边形中，，于点O，若，，求四边形面积的最大值： (3)【问题解决】：某公园计划将一块五边形空地改造为文化广场，已知，，，米，米，，为提升广场观赏性与连通性，计划在广场内部修建一段平行，长度为30米的文化连廊，并从A、B、C、D分别向文化连廊修建步行观光小路，且；现规划将五边形区域作为文化交流区，请问该区域的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为平方米 【分析】（1）取的中点，连接，在中，由三角形三边关系可得，当两点重合时，，此时有最大值，利用直角三角形的性质即可求解； （2）过点作的平行线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得到，利用（1）中方法求出的最大值，即可求解； （3）连接，证明四边形是 矩形，过点作于点，求出平方米，过点作，使得，连接，则四边形是平行四边形，易证三点共线，再证明四边形是平行四边形，推出，作的外接圆，设交点为，连接，过点作于点，当三点共线时，有最大值，即有最大值，则有最小值，即可解答． 【详解】（1）解：取的中点，连接， ∵， ∴当两点重合时，，此时有最大值， ∵在中，，，点为的中点， ∴， ∴的最大值为； （2）解：过点作的平行线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，取的中点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理（1）得，当两点重合时，有最大值，最大值为的长， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为； （3）解：存在，最小值为平方米， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 过点作于点， 则（米）， ∴（米）， ∴（平方米）， 过点作，使得，连接， 则四边形是平行四边形， ∴三点共线， ∴米， ∵，米， ∴，米， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，设交点为，连接，过点作于点， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）， ∵， 当三点共线时，有最大值，即有最大值，则有最小值， ∴的最大值为米， ∴的最小值为米， ∴四边形的最小面积为（平方米）， ∴五边形区域的最小面积是平方米． 变式1．（2026·陕西宝鸡·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得，，结合用证，推出，再由即可求出； （2）先根据正方形性质和已知条件算出、的长度，再利用正方形对角线的轴对称性，用证，将转化为，把转化为，根据两点之间线段最短得出最小值为的长，最后用勾股定理算出即可得出的最小值； （3）先根据矩形性质和已知条件算出各基础边长，作点关于的对称点，可将转化为'，得出其最小值为的长，再由推出，用证，得到是的中点，过作的垂线，由且，证得四边形是矩形，利用等角的正切值相等列比例式算出的长度，进而求出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，，，则 连接、，如图2， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在与的交点处时，最小，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵四边形是矩形，m，m，， ∴，，m，则m， ∴m， 作点关于的对称点，连接、，交于点，交于点，如图3， ∴m，， ∴m，，当点、、三点共线时，最小，最小为，此时点在点的位置，连接， ∵m， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，，即点是、的中点， 过点作于点，则，m， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴m， ∴m， ∴石板小路与的长度之和最小时，石子路的长为40m． 变式2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）①求证：； ②_____度． （2）如图②，取的中点，连结，线段长度为_____，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为_____． 【答案】（1）证明见解析；90；（2）2；；（3） 【分析】（1）证明即可；根据可得，即可得； （2）由是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，利用勾股定理求出的长，根据即可求解的最小值； （3）设，交于点，取的中点，连接，，过点作于点，证明，得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出的长，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 由可知， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∴， 当，，共线时，取等号，即线段长度的最小值为． （3）如图，设，交于点，取的中点，连接，，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，共线时，取等号，即线段长度的最小值为． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合应用 如图1，矩形中，，，为边上一个动点（不与、重合），为边延长线上一点，且，线段的延长线交线段于点． (1)与之间有怎样的关系？ (2)如图2，若，为中点．动点在线段上（不与、重合），过点作交的延长线于，连接． ①当与相似时，求的长． ②点在边上，当时，周长的最小值是多少？ 【答案】(1)互相垂直，，见解析 (2)①或；② 【分析】（1）证明，即可得到与之间的数量关系以及位置关系； （2）①由勾股定理可得，可得，则，然后确定点在线段上不成立；则满足条件的点在线段上，i．当时， 可得，则；ii．当，证明，求出，由求出，则；②可得，由①可得，，延长到，使，连接，与相交于，此时周长有最小值，过点作于，则，由勾股定理得，那么，在中，由勾股定理得，则周长的最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 又 ； （2）解：①为中点， 由勾股定理可得： 由（1）知，， 即 解得：． 依题意得 若点在线段上，如图2所示， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴ ∴ 此时与不相似 满足条件的点在线段上 i．当时，如图3所示， 则 ii．当，如图4所示， 则，， 则， ． 即 解得：． 即 解得： 综上所述，满足条件时的长为或． ②在中，， 由①可得， 如图5，延长到，使，连接，与相交于，此时周长有最小值，过点作于， ∴ 由勾股定理得 在中 周长的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $中点四边形问题、四边形中的线段最值问题专项训练 中点四边形问题、四边形中的线段最值问题专项训练 考点目录 中点四边形问题 四边形中的线段最值问题 考点一 中点四边形问题 例1．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    例2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 例3．（25-26九年级上·山西晋中·月考）阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 中方四边形定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 根据中方四边形的定义可知，对角线互相垂直且相等的四边形是中方四边形．下面是这个结论的证明过程： 已知：如图1，在四边形中，对角线与交于点，，． 求证：四边形为中方四边形． 证明：如图1，分别取，，，的中点，，，，连接，，，与交于点，与交于点． 则，，． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为菱形． …… 任务： (1)下列四边形中，一定是中方四边形的是______． A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)请补全材料中的证明过程． (3)如图2，已知为锐角三角形，分别以，为边，向外作正方形和正方形．连接，，，试证明四边形为中方四边形． 变式1．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 变式2．（2025·河南南阳·二模）（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 变式3．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 考点二 四边形中的线段最值问题 例1．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 例2．（2026·陕西咸阳·一模）【问题探究】 (1)如图，在中，，点是边上的动点，连接，则的最小值为___________； (2)如图，在中，，点是延长线上一点，于点，求的长； 【问题解决】 (3)如图，矩形是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长至点，使得，在边上找一点建一口水井，沿修一条水渠，再从向修一条小路，使得于点，再沿分别修小路，在四边形内种植果树．已知，求种植果树面积的最小值（即四边形面积的最小值）．（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计） 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图，已知在中，，，过点C作于点D，则的最大值为_________ (2)【问题探究】：如图，已知在四边形中，，于点O，若，，求四边形面积的最大值： (3)【问题解决】：某公园计划将一块五边形空地改造为文化广场，已知，，，米，米，，为提升广场观赏性与连通性，计划在广场内部修建一段平行，长度为30米的文化连廊，并从A、B、C、D分别向文化连廊修建步行观光小路，且；现规划将五边形区域作为文化交流区，请问该区域的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·陕西宝鸡·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 变式2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）①求证：； ②_____度． （2）如图②，取的中点，连结，线段长度为_____，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为_____． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合应用 如图1，矩形中，，，为边上一个动点（不与、重合），为边延长线上一点，且，线段的延长线交线段于点． (1)与之间有怎样的关系？ (2)如图2，若，为中点．动点在线段上（不与、重合），过点作交的延长线于，连接． ①当与相似时，求的长． ②点在边上，当时，周长的最小值是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $