云南省玉溪第一中学2025-2026学年下学期高一期中考试数学试题

**基本信息** 试卷以文化传承与现实问题为情境，如围棋复杂度计算、沼气发电优化，通过函数、立体几何等知识考查数学眼光与模型意识，层次分明适配期中检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、函数性质、复数、三角|围棋文化结合指数运算，考查数学抽象| |填空题|3题15分|向量夹角、立体几何、函数零点|直三棱柱内切球问题，体现空间观念| |解答题|5题77分|函数恒成立、三角函数、向量、不等式、应用题|沼气发电优化题，用数学语言解决实际问题，培养模型意识|

玉溪一中2025—2026学年下学期高一期中考 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D A C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 ln2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：由题意，，解得． 实数的取值范围为． 令，其图象的对称轴为直线． 由不等式在上恒成立，可得， 解得． 实数的取值范围为． 16．（15分） 解：， 令，解得，， 所以的单调递增区间为； 由得， 因为函数的零点为，所以， ． 17．（15分） 解：由，得， 即， 所以． 因为当时，，， 所以 ， 令，则． 由，得， 所以， 因为，所以， 所以的值域为  18．（17分） 解： 由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为， 即的解集为； 由对一切实数恒成立， 等价于，恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意， 当，则满足， 即，解得， 所以的取值范围是； 依题意， 等价于， 当时，不等式可化为，解集为， 当时，不等式可化为， 此时， 所以不等式的解集为， 当时， 不等式化为， 当时，， 不等式的解集为； 当时，， 不等式的解集为或； 当时，， 不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为．  19．（17分） 解：的实际意义是未修建沼气发电池时合作社每年消耗的电费， 由，得， ； ，当且仅当，即时取等号． 该合作社应修建容积为米的沼气发电池，可使最小，最小值为万元； 由，得， 解得：． 的取值范围为  数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高一期中考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.已知实数，满足，，且，则的最小值为 A. B. C. D. 3.已知函数，则 A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 4.若，则 A. B. C. D. 1 5.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”.后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的道棋盘即棋盘上有纵横各条线段将棋盘分成个交叉点根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是参考数据： A. B. C. D. 6.设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7.在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面 的中心，若，，则四面体的体积 A. 与，都有关 B. 与，都无关 C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关 8.已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中错误的有 A. 若复数满足，则是虚数 B. 若复数，则其虚部不存在 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若复数、满足，则 10.已知互不相同的个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的个样本数据的方差为，平均数去掉的两个数据的方差为，平均数原样本数据的方差为，平均数，若，则 A. 剩下的个样本数据与原样本数据的中位数不变 B. C. 剩下个数据的分位数大于原样本数据的分位数 D. 11.给定函数，用表示中的较大者，记为，则 A. B. 的图象不可能是一条直线 C. 当时，的值域为 D. 若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，，则向量与的夹角为 ． 13.在封闭的直三棱柱内，有一体积为的球，若，，，，当球的体积取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为 ． 14.已知函数，若不相等的正实数满足，且恰为的两个零点，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若是函数的零点，求． 17．（15分）已知向量， （1）若，求 （2）若，函数，求的值域． 18．（17分）设函数． （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 19．（17分）近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费万元为了节能环保，决定修建一个可使用年的沼气发电池，并入该合作社的电网修建沼气发电池的费用单位：万元与沼气发电池的容积单位：米成正比，比例系数为为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费单位：万元与修建的沼气发电池的容积单位：米之间的函数关系为为常数记该合作社修建此沼气发电池的费用与年所消耗的电费之和为单位：万元． （1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系； （2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值． （3）要使不超过万元，求的取值范围． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $