云南省玉溪第一中学（北校）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 玉溪一中高一年级下学期期中数学卷，覆盖集合、向量、三角函数等核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、向量垂直、三角函数求值|基础层，如第2题向量垂直求参数，考查运算能力| |多选|3/18|不等式性质、解三角形多解判断|区分层，如第10题结合正弦定理分析三角形解的情况| |填空|3/15|函数定义域、投影向量、零点关系|细节层，第14题函数零点关系求范围，体现数学抽象| |解答|5/77|向量共线与最值、立体几何探究、三角函数图像|综合层，第17题立体几何存在性问题，培养空间观念与创新意识|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A B D C D A D C AC AB ACD 解答题： 15. 【解】（1）由三点共线可设，即即，∵不共线，∴，解得．∴当时，三点在同一直线上. （2） ，故当时，有最小值. 16．【解】（1），由正弦定理可得，又，所以，因为锐角三角形，故． （2）的面积为，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以， 所以的周长为． 17.【解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明：因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面，面，所以面， 因为E在棱PD上且，即，又因为，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面，又因为平面，平面，， 所以平面平面. 18.【解】（1）由题意可得，可得，又，而，可得，此时，由题意可得，要使函数为奇函数，则，，即，，而，所以，所以； （2）由题意令，可得，即，因为， 所以，所以，所以 19.【解】（1）. （2）的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 第4页，共8页 第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 玉溪一中2025-2026学年高 一 下学期期中考试双向细目表（数学） 题型 题号 主题 知识 模块 考 查 内 容 教材对应点 对应课标要求 情境创设 学科素养 关键能力 难度 数学运算 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数据分析 发现问题 提出问题 分析问题 解决问题 易 中 难 单项选择题 1 集合 集合的运算 必修一1.3 能求两个集合的交集 实数集与自然数集 ✅ ✅ ✅ 2 平面向量 向量的坐标运算 必修二6.3 垂直关系的坐标运算 确定的向量 ✅ ✅ ✅ ✅ 3 三角函数 三角恒等变换 必修二5.5 能用和差角公式进行简单的恒等变换 和差角公式逆用 ✅ ✅ ✅ ✅ 4 一元二次函数、方程和不等式 三个二次的关系 必修一2.3 从函数观点看一元二次方程和不等式 给出不等式的解集考察方程的根 ✅ ✅ ✅ ✅ 5 三角函数 三角恒等变换 必修二5.5 能用进行简单的恒等变换 给值求值 ✅ ✅ ✅ ✅ 6 对数函数 对数运算 必修一4.3 理解对数的运算性质 不同底化同地的对数运算 ✅ ✅ ✅ ✅ 7 立体几何初步 表面积或者体积计算 必修二8.3 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题 棱锥或者棱台（高易求） ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 8 平面向量 基底思想，系数和差的取值范围 必修二6.4（可参照课本31页15题或61页16题 会用向量方法解决简单的平面几何问题 平面图形 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 多项选择题 9 不等式性质 判断不等式是否成立 必修一2.1 掌握不等式的性质 给出具体不等式 ✅ ✅ ✅ ✅ 10 解三角形 解三角形相关 必修二6.4 能用正、余弦定理解决简单的三角形问题 根据条件判断三角形个数，形状等 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 11 立体几何初步 立体图形中的线面位置关系 必修二8.4、8.5 借助长方体，通过直观感知，了解空间线面的平行和垂直关系，能用已获的结论证明空间位置关系 正方体中的线面位置关系 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 填空题 12 函数的概念 求函数定义域 必修一3.1 能求简单函数的定义域 分式、根号或者对数式 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 13 平面向量 投影向量 必修一6.2 通过几何直观，了解平面向量的投影向量的意义 根据已知向量计算投影向量 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 14 函数的应用 零点问题 必修一4.5 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系 分段函数的零点问题 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 解答题 15 平面向量 三点共线和模长 必修二6.2、6.3 了解平面向量的线性运算，理解向量共线的含义，能用坐标表示向量的模和夹角 给出用不共线向量表示的向量 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 16 解三角形 边角互化，求角求面积和周长 必修二6.4 能用正、余弦定理解决简单的三角形问题 给出边角关系解三角形 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 17 立体几何初步 线线、线面平行关系的转化 必修二8.5 能用平行关系的定理证明图形中的平行关系 棱柱或者棱锥 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 18 三角函数 求函数解析式，求函数值 必修一5.6 会用三角函数解决简单问题 带参数的三角函数 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 19 函数的概念与性质 函数的单调性，函数零点 必修一3.2、4.5 会用符号语言表达函数单调性，结合函数图像，了解函数零点的概念 指数函数相关函数 ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ 满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 预估均分：100分 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高一年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人、审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．集合，，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则 A．-3 B．3 C． D． 3． A． B． C． D． 4．已知，关于的不等式的解集为，则 A．3 B． C．1 D． 5．若，则 A． B． C． D． 6．若，，则 A． B． C． D． 7．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为 A． B． C． D． 8．在中，为的中点，为平面内一点，且，则 A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．若实数满足，则下列不等式一定成立的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是 A．若A=30°，a=2，b=3，则有两解 B．若，则 C．若acos A=bcos B，则一定是等腰三角形 D．若a=2，A=30°，则的外接圆半径是4 11．如右图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别 是棱，，的中点，点满足，则下列说法 正确的有 A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为 D．若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的定义域为______． 13．已知向量，，则在上的投影向量为______． 14．已知函数若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15．(本题共计13分)设是两个不共线的向量，． (1)已知，，，若A，B，C三点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，求的最小值． 16．(本题共计15分)设锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，且Δ的面积为，求的周长． 17．(本题共计15分)如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E点在棱PD上且． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由． 18．(本题共计17分)已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若函数的一个零点为，且，求． 19．（本题共计17分)已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $