精品解析：福建宁德市第五中学等校2025-2026学年第二学期适应性练习高一数学

2025-2026学年第二学期适应性练习 高一数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 故的虚部为 2. 已知非零向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义理解判断. 【详解】因为向量，，是非零向量，则一定可以推出， 若成立，结合数量积的几何意义，知在上的投影（或投影向量）相等，不能推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B 3. 在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（ ） A. B. C. 10 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理结合余弦定理即可求解. 【详解】由是方程的两个根，所以， 由余弦定理得：， 所以. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，则平面图形的面积为（） A. 4 B. 6 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的倍， 所以平面图形的面积. 5. 一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶20千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是（ ） A. 20千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由题可知，如图， 由正弦定理可得，所以， 即、两处之间的距离是千米. 6. 已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由，化简得，再根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】根据题意，由，得，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 7. 如图，在中，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在和中，利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得：①， 在中，由正弦定理得：②， 又，所以， 由①②得：. 8. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心的性质，结合欧拉定理即可求解. 【详解】因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，即，故： 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】设复数，共轭复数. 选项A：若，则，得，故，真命题. 选项B：取，，，，假命题. 选项C：取，，但，假命题. 选项D：由，得，又，故，真命题. 10. 四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 当时，为中点 C. 的最小值为3 D. 的最大值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义即可求解A，根据向量的线性运算即可求解B，根据数量积的运算律，结合线性运算即可求解D. 【详解】对于A,,A正确， 对于B,由可得,故，即为中点，B正确， 对于CD， , 又因为，故当时，此时取到最小值3. 当或时，此时取到最大值4，因此C正确，D错误. 11. 锐角的内角所对的边分别为的面积为S，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面积公式可，进而利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及和差化积得，即可求解A和B，根据余弦定理可求解C，根据正弦定理以及二倍角公式，构造函数，利用导数求解函数单调性，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】已知，则， 因为，整理得， 由正弦定理得， 因为且， 所以，因为， 故. 可得或， 解得或, 由于为三角形的内角，故.A正确，B错误， 若，将代入可得， 则，C正确， 因为是锐角三角形，，所以， 则 ，解得. 由正弦定理可得， 令，因为，所以，则. 设，则在上单调递增，所以， 故，D正确， 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 13. 矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案. 【详解】设中点为，根据矩形的性质，可知， 所以点即为四面体外接球的球心， 因为， 所以四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 14. 如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的几何意义可知，=，求解最大，即可根据不等式求解求得最值. 【详解】如图，先将视为定点，设，则， 连接，则， 过作的平行线交圆于，交于，且为垂足， 又知当在同侧时，取最大值， 设在的投影为， 当确定时，为定点，则当落在处时，最大， 由向量的几何意义可知，=，最大时为， 又,， ∴最大为 ,当且仅当时等号成立，即， ∴的最大值为2. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，是上一点，是上一点，且，.设. （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量方法证明三点共线. 【答案】（1）,, （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【小问1详解】 由向量的减法可得， 由向量的加法可得， 同理； 【小问2详解】 由， 则，所以， 又为公共点，即三点共线. 16. 已知i为虚数单位，复数是的共轭复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出复数的表达式，再利用纯虚数的条件列出表达式，即可求得结果. （2）因为为直角三角形，根据点的坐标可得，可得两个向量的数量积等于0，即可求得结果. 【小问1详解】 ． ∵为纯虚数， ∴，解得， ∴，． 【小问2详解】 复数，，是的共轭复数， 所以 则，，． ∵为直角三角形，显然． ∴．即． 解得． 17. 如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. （1）求四棱台的表面积； （2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比； 【小问1详解】 如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 18. 在中，角的对边分别是，满足，且. （1）求角的大小； （2）为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到表达式，由锐角三角形，求出，由三角形面积公式求出. 【小问1详解】 由可得， ， 故，即， 得，由于，故， . 【小问2详解】 若选①：由平分得：， 又，， ，即． 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得，解得， ； 若选②：为线段的中点，则， 则， 由（1）知， 所以， 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得， ． 【小问3详解】 由（1）知，已知， 由正弦定理得， 故， ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 则， 故三角形的面积为， 故边上的高为，. 19. 设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足. （1）设，计算和； （2）设，求证：； （3）如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）设射线分别为角的终边，则，，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【小问1详解】 由平面向量数量积的坐标运算可得， 由于为锐角，则， 故， . 【小问2详解】 不妨设射线分别为角的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故，故. 【小问3详解】 以点为坐标原点，直线所在直线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期适应性练习 高一数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（ ） A. B. C. 10 D. 40 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，则平面图形的面积为（） A. 4 B. 6 C. D. 12 5. 一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶20千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是（ ） A. 20千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 10. 四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 当时，为中点 C. 的最小值为3 D. 的最大值为5 11. 锐角的内角所对的边分别为的面积为S，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 的取值范围为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 13. 矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________. 14. 如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，是上一点，是上一点，且，.设. （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量方法证明三点共线. 16. 已知i为虚数单位，复数是的共轭复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值. 17. 如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. （1）求四棱台的表面积； （2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 18. 在中，角的对边分别是，满足，且. （1）求角的大小； （2）为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 19. 设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足. （1）设，计算和； （2）设，求证：； （3）如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $