江苏省镇江中学2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024级高二下学期4月期中考试试题 数学 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.C=() A.14 B.21 C.42 D.49 2.100×99×98×..×86可以表示为() A.Ai B.Aic C.Ai D.Aico 3.5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有() A.A3A种 B.2AA种 C.CA种 D.CA种 4.5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军)，获得冠军的可能种数为() A.C B.A C.4 D.5 5.己知某厂甲、乙两车间生产同一批商品，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的 70%,30%,甲、乙车间的优品率分别为90%，85%.现从该厂这批产品中任取一件， 则取到优品的概率为() A.86.5% B.88.5% C.90% D.93% 6.(1+x)1-2.x)的展开式中x2的系数为() A.-40 B.-10 C.30 D.40 7.镇江西津渡元宵节灯展后，悬挂的2串(7盏)不同的花灯需要取下，如图所示，每次 取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为x,若7盏等都需要 取下，则花灯a与花灯x被相邻取下的概率为() c D. 扫描全能王创建 8.已知(1+x)o26=a+ax+a2x2+ax2++a2o2%x2026,则 a2025+2a24+3a2023+4a2o22+…+2025a1+2026a,=( A.2026×226 B.2025×22025 C.2025×22026 D.2026×2205 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.已知一组数据如下：2023,2024,2025,2025,2026,2027，则() A.这组数据的极差为4 B.这组数据的方差为2 C.这组数据的众数等于平均数 D.这组数据的第70百分位数为2026 10.己知事件A,B,C满足P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是() A.如果P(AUBUC)=1,那么P(C)=0.1 B.如果A与B相互独立，那么PAB=0.28 C.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.9 D.如果B∈A,那么P(AUB)=0.6,P(BA)=0.25 11.若C=36,则() A.Ch+C2+C2+…+C%=255 B.C+C+C+C2+C73=Ci2 C.1l+2.2+3.3++nnl=9则 D.(n+1)n被(n-1)除的余数为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表： 学号 2 3 4 5 6 7 8 成绩 9.2 7.9 8.5 6.8 5.2 7.2 8.1 8.2 可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为 器 扫描全能王创建 13.已知多项式(x-l)8=4+a,(x+1)+a2(x+1)2+…+a(x+1)8, 则a1+a2+…+ag的值为 14.镇江中学教学区含有三个年级的教学楼与养德楼共四座楼，有学生建议在这4座楼的第 五层位置建3个连廊，将这4座楼宇连接起来。若采纳建议的话，则共有 种 不同的方案 高二年级 高一年级 高三年级 养德棱 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生， 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： 频数 组距 a 0.025 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50 分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (③)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，己知甲复赛获优秀等级的概率为二，乙 赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获 优秀等级的概率。 6 扫描全能王创建 16.(15分)镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小、形状 相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用5表示取出的3 个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用”表示获得 的奖金数额 (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率： (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求5=5的概率： (3)计算随机变量”的分布列与数学期望 17.(15分)已知在 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大 (1)求n: (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项. 187分)已知椭圆C号+若=ab>0的离心率为，且过点(W5,兮 (1)求椭圆C的方程： (2)过椭圆C上异于椭圆顶点的点P作两条直线，分别与椭圆C相交于异于点P的 点A、B,若四边形OAPB为平行四边形，探究四边形OAPB的面积是否为定值. 若是，求出此定值：若不是，请说明理由。 (3)在(2)的条件下，直线AB必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明 19.(17分)已知函数f(x)=axInx-3x, (1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间： (2)求函数y=f(x),x∈[e2,e]的最小值 (3)当x>1时，f(x)<2026(1-xlnx),求实数a的取值范围. 4 扫描全能王创建 2024级高二下学期4月期中考试试题 数学参考答案 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.ACD 10.BC 11.ABD 12.7 13.-255 14.16 15.解：(1)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+)×10=1，得a=0.03, 因为0.01×10×200=20（人），0.015×10×200=30（人）. 所以不高于50分的轴5×，20=2（人： 20+30 …4分 (2)平均数元=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 因为在40,70]内共有80人，则中位数位于[70,80]内，设中位数为x, (001+0015+0.015)x10+0.03x(x-70)=05,解得x=2:…9分 (3)法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A,则 aw-5品 -X- +一X二= 至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为 19 …13分 20 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A, P(A)=1-PA=1-1x1=19 5412 至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为 20 。…13分 扫描全能王创建 16.解：(1)记事件A:取出的三个球的标号和为奇数， …1分 P(A)-C+GC-10- Cg-202 4分 (2)事件B:5=5,P(AB)=C+C-2=1 C%201o' 1 e-- 8分 (3)随机变量1的取值为：30,40,50,60， P=150-=是=六=2m=号-品， Pg-250-8-品-品P0=0=等-8-分分 ”的分布列为： n 150 200 250 300 1 3 3 1 P 20 20 10 2 E(5)=150×20 +200× 3+250x +300× 10 ×1_525=262.5.15分 22 17.解：(1)因为二项式展开式中间项的二项式系数最大，而只有第6项的二项式系数最 大，所以展开式共有11项，得n=10, …2分 (2) 展开式的通项是T,4=C1o(-12x0-·y, Co2r≥C0.2+ 1)系数的绝对值为C。·2,若它最大，则 C%2≥C21sr≤9) 解得srs 3· ...6分 因为1≤r≤9，r∈N”,所以r=3.此时第4项系数绝对值为15， 2 器 扫描全能王创建 而第1项系数绝对值为1，第1项系数绝对值为2西。…8分 所以系数绝对值最大的项是第4项， 即T4=-C。·23.x7y23=-15x2y2. 9分 2)系数最大的项应在项数为奇数的项之中，即当"取偶数0,2,4,6,8,10时， 相应各项系数分别为 =lc29 0.C罗c2n裳c出2 1024 故系数最大的项是第5项为C5-2一少=105分.…15分 说明：若学生用上面求绝对值系数最大时对应的项的系数是负数后，就下结论系数最大项 为检查它相邻两项谁的系数大就确实是谁，这种做法缺少逻辑性，扣A分. a2+4b2=1 18.解：(1)由题意得： 93 a=2 得a2=4,b2=1, a2=b2+c2 故椭圆C的标准方程为：4+y2=1。 3分 (2)设直线AB:y=kr+m,A,),B(,2), x2 联立 +y=l,可得(4+x2+8mx+4m2-4=0, 4 y=kx+m 则△=16(4k2-m2+1)>0, X+x2= 8km 4m2-4 4k2+1’53= 4k2+1’ 5分 y+y=k(+)+2m=42+' 2m 四边形OAPB为平行四边形，∴.OA+OB=OP, 8km 2m 4k2+1'4k2+1 6分 扫描全能王创建 8bm）2 2m 点P在椭圆上， 、4k2+1 4k2+1 =I 4 整理得m2=k+4: 7分 1ABF+及k-=V+k.44-m+ 4k2+1 原点O到直线AB的距离d=mL 9分 Vk2+1 Scoumm ABId=41m4k-m+1 4k2+1 =2V4k2+1.2 K+ =2× 5 k2+1 2 ∴四边形OAPB的面积为定值√5 10分 (3)一个定椭圆方程为x2+4y2=1 …12分 证明如下： +y=1 4 可得(4k2+l).x2+8kmx+4m2-1=04分 y=kx+m 则△=64k2m24(1+4k2(4m2-1片4(4k2-4m2+1), 由2可知：㎡=+号 ∴.4k2-4m2+1=0 .△=44k2-4m2+1)=0 .16分 .直线AB与定椭圆x2+4y2=1相切. 17分 4 器 扫描全能王创建 19.解：(1)当当a=2时，f(x)=2xlnx-3x .f(x)=2(Inx+1)-3=2Inx-1 当f'(x)>0时，x>√e,当f"(x)<0时，0<x<VE, 函数f(x)单调递减区间是(0，√，单调递增区间是[E,+o)3分 (2)f(x)=axInx-3x,xE[e2,e] .f(x)=a(Inx+1)-3=alnx+a-3 1)当a≤0时，f'(x)<0恒成立 ∴.f(x)在[e2,e3]上递减 .4分 2)当a>0时，f)=alnx+a-3>0时，x>e号 f(<0时，0<x<e 3- 3-a ∴.f(x)在(0，ea]上递减，在[ea,+oo)上递增 当e号≤e时，3-052，斜到a≥1 a 当宁之d时，3.2≥3，得到a≤引 a 当e<e吕<e时，2<3-a<3,得到2<a<1 4 当a≤时)在e区，c上递减， f(x)mm=f(e)=ae3.3-3e3=(3a-3e3 当子<a<1时，f在e,e六1上速减在宁，e1上遥增 fx。=fe5)=a-e号.3-a-3e号-ae 当a≥1时，f(x)在[e2,e]上递增， J 器 扫描全能王创建 f(x)mm=f(e2)=ae2.2-3e2-(2a-3)e2 aa-,as号 棕，-ae兰， i<axl 9分 (2a-3)e2,a≥1 (3).arnx-3x<2026(1-xlnx) .(a+2026)xlnx-3x-2026<0 令g(x)=(a+2026)xlnx-3x-2026,x>1 当a+2026≤0，即a≤-2026时，由x>1,xnx>0, ∴.(a+2026)xlnx≤0，而-3x-2026<0 .(a+2026)xlnx-3x-2026<0恒成立 .11分 当a+2026>0,即a>-2026时 取6=e,2029 2029 2029 >0,∴.ea+206>1 …13分 a+2026 .60>1 2029 g()=(a+2026)七lnea2o6-3x。-2026 =(a+2026) 2029 a+2026 …x-3x-2026 =2029x-3x-2026 =2026(x。-1)>0 ∴.g(x)<0不恒成立 综上：a≤-2026 …17分 6 扫描全能王创建