专题01：集合与常用逻辑、不等式（8大题型+43题专训）讲义-2026届高考数学二轮复习（华侨港澳台）

2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题01 集合与常用逻辑 不等式 题型01：集合的意义与表示 1.若，则实数a的取值集合为______． 2.已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型02：集合之间的关系 4.设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 5. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 集合或，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型03：集合的运算 7. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D．[1，4] 9. 已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 12.集合，，则 （ ） A. B. C. D. 13. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 14.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 15. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知集合，则 . 17. 已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18. 若全集为，集合，，则 ． 19. 设全集为，集合，则_______． 20. 已知集合， ，，则=（    ） A． B． C． D． 题型04：充分条件与必要条件 21.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 22.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ． 23.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24. “”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件 25. 已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 26.已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________. 27.“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 28. 若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 题型05：不等式的性质 29. 若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 30. 已知，且，则 A． B． C． D． 31. ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ） A B. C. D. 32. 若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 33. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 题型06：不等式的求解 34. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35. 不等式的解集为 　　． 36. 不等式的解集是______． 37.不等式的解集为 A. B. C. D. 38.不等式的解集是__________． 题型07：基本不等式 39.若正数满足，则的最大值为_________. 40. 若正数满足，则的最小值为 . 41. 已知，，且，则的最小值为_________． 42. 若，则的最小值为_______. 43.若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是___________． 44.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题01 集合与常用逻辑 不等式 题型01：集合的意义与表示 1.若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【解析】因为，故或或， 当时，，与元素的互异性矛盾，舍； 当时，，符合； 当时，或，根据元素的互异性，符合， 故a的取值集合为.故答案为： 2.已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，且， 解得， 故选：B 3. 已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由椭圆的性质得， 又, 所以集合 共有11个元素. 题型02：集合之间的关系 4.设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 5. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 6. 集合或，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围． 【详解】解：， ①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得． 当时，可得， 要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 题型03：集合的运算 7. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解. 【详解】为函数的值域， 令或，， 为函数的定义域， 即，因为，所以函数定义域为， 故， 故选：D. 8. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D．[1，4] 【答案】A 【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得. 【详解】 故 故选：A 9. 已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【详解】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 10.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围 当时，，则，即 当时，若，则或 解得或，综上，实数的取值范围为 故选：D 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算简单绝对值不等式后得到集合的范围，再计算交集即可. 【详解】由得，解得，即，故. 故选：B. 12.集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 13. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用交集的运算，可得答案. 【详解】 ， ； 故选：C. 14.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可. 【详解】由题可得：， 所以. 故选：C 15. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，中的元素，再由集合的并运算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 所以， 所以. 16. 已知集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 17. 已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围； 【解析】解：∵，， ∴ ∴． 故选：D． 18. 若全集为，集合，，则 ． （答案） （详解）因为，由，得到，即， 又，易知，所以， 所以， 故答案为： 19. 设全集为，集合，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 20. 已知集合， ，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以函数值域为， 所以， 不等式的解集为或， 所以或， ∴或， 则． 故选：B． 题型04：充分条件与必要条件 21.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集， 故选：A 22.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为命题“，”是真命题， 当，即时，不等式为，显然不满足题意，； 当，即时，所以，解得． 故答案为：． 23.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设命题“”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论. 【详解】若命题“”是真命题， 则， 又因为， 所以， 所以若命题“”是假命题，则实数的取值范围是． 故选：B. 24. “”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】因为，根据三角函数的基本关系式，可得， 反之：若，根据三角函数的基本关系式，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 25. 已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得，， 若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 26.已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________. 【答案】 【分析】先解出的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解. 【详解】由，得, 令，， “”是“”成立的必要不充分条件，. （等号不同时成立），解得，故整数的值可以为. 故答案为：中任何一个均可. 27.“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案. 【详解】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件, 故选:A. 28. 若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】计算不等式，然后得出且等号不能同时取得，计算即可. 【详解】由得， 因为是不等式成立的充分不必要条件， ∴满足且等号不能同时取得，即，解得． 故答案为： 题型05：不等式的性质 29. 若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出． 【解答】解：．，不成立， ．，根据不等式的基本性质，，，故正确 ．，，不成立， ．时，，不成立． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题． 30. 已知，且，则 A． B． C． D． （答案）C （详解）试题分析：A：由，得，即，A不正确； B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立； C：由，，得，故，C正确； D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C. 31. ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，所以选项A错误， 对于选项B，易知，因， 当且仅当，即时取等号，所以选项B正确， 对于选项C，易知，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以选项C错误， 对于选项D，易知，又， 当且仅当取等号，但无解， 所以，故选项D错误， 故选：B. 32. 若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：C. 33. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 题型06：不等式的求解 34. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：. 故选：A. 35. 不等式的解集为 　　． 【分析】由已知进行转化，进行可求． 【解答】解：， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 36. 不等式的解集是______． 【答案】或. 【解析】 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 37.不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的定义，不等式等价于，解之可得． 【详解】不等式等价于 . 或，又，所以或． 故选：D． 38.不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 题型07：基本不等式 39.若正数满足，则的最大值为_________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 40. 若正数满足，则的最小值为 . （答案）/ （分析）根据基本不等式求解． （详解）由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 41. 已知，，且，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 分析】由题意可得代入，结合不等式求解即可. 【详解】由可得：， 所以， 当且仅当即. 故答案为：. 42. 若，则的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】结合基本不等式可得. 【详解】解：因为，，所以，，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查了基本不等式.运用基本不等式求解最值时，需要注意一正二定三相等. 43.若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. 44.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $