重难点01 同角三角关系与诱导公式8大综合问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版2020必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 同角三角关系与诱导公式 知识点一、同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 2、同角三角函数基本关系式的变形 知识点二、诱导公式 1、六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不改变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2、诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 题型01：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【方法点拨】已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 注：(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 【例1】已知为锐角，且，则 ． 【例2】已知，，则________ 【例3】已知在中，，则_______ 【跟踪训练】 1．已知是第三象限的角，则 ． 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，求，的值． 题型02：求正余弦齐次式的值问题 【方法点拨】正、余弦齐次式的计算 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 【例4】已知，计算： (1)； (2). 【例5】已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 【跟踪训练】 1.已知，则 . 2.已知，则 . 3．若，则= . 4.已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5.已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 题型03：与关系的应用 【方法点拨】sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 【例6】已知sinα+cosα． （1）求sinα•cosα的值； （2）若α＜π，求的值． 【跟踪训练】 1.已知. (1)求的值； (2)求的值. 2.已知是第三象限角，且． 求的值； 求的值． 3.化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 题型04：利用同角关系化简三角函数式 【方法点拨】利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 【例7】若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【例8】已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【跟踪训练】 1.若，则          ，          ． 2.已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 题型05：利用诱导公式化简求值 【方法点拨】用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 【例9】已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【例10】如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【跟踪训练】 1．已知 (1)化简; (2)若，求的值． 2．已知 (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 3.已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 题型06：利用互余互补关系求值 【方法点拨】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【例10】已知，则 . 【例11】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（   ） A．0 B． C． D． 3．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 题型07：利用同角关系与诱导公式证明三角恒等式 【方法点拨】证明思路： 左边化简→右边（或右边化简→左边）； 左右两边同时化简，得到同一结果； 作差法：左边 - 右边 = 0，或作商法：。 常用技巧：通分、因式分解（如平方差、完全平方公式）、切化弦、利用代换。 【例12】求证： (1)； (2)． 【例13】证明：． 【例14】三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 【跟踪训练】 1．证明下列恒等式： (1)； (2)． 2.求证： (1)； (2)； (3)． 3.证明下列恒等式： （1）； （2）. 题型08：同角关系式与诱导公式的综合应用 【例15】已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【跟踪训练】 1．已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 2.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 一、填空题 1．已知是第二象限角，且，则_______ 2.若，则_______ 3．如果角的终边在直线上，则__________ 4．设，则__________ 5．已知，，则_______ 6．已知，则_______ 7.已知，则_______ 8．化简： ． 9.已知，则________ 10.已知，则________ 11．已知则 . 二、选择题 12.已知，则（   ） A． B． C． D． 13．若，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 14.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 15.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 16．化简 (1)； (2)已知是第三象限角，化简 17.已知，计算 (1)； (2)； 18．已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 19.已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 20. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 21. 22. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 23. 24. 已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 23．求证：. 24．求证：． 25．求证：. 26．求证： (1)； (2)； (3). 27.已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 28.已知，其中. (1)求的值； (2)若是第三象限角，且,求 的值； (3)若 ，求 的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 同角三角关系与诱导公式 知识点一、同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 2、同角三角函数基本关系式的变形 知识点二、诱导公式 1、六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不改变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2、诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 题型01：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【方法点拨】已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 注：(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 【例1】已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，且为锐角，推出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 故． 故答案为：. 【例2】已知，，则________ 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 【例3】已知在中，，则_______ 【详解】由，则，即， 两边平方，可得，则， ，解得. 【跟踪训练】 1．已知是第三象限的角，则 ． 【答案】 【详解】因为是第三象限的角，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得（正根舍去）， 故答案为： 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 3.已知，，求，的值． 【答案】， 【分析】先通过角所在象限确定三角函数的符号，进而利用同角三角函数基本关系计算即可. 【详解】因为，所以，， 且，而， 解得，. 题型02：求正余弦齐次式的值问题 【方法点拨】正、余弦齐次式的计算 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 【例4】已知，计算： (1)； (2). 【答案】(1)3 (2) 【分析】将齐次式用表示，再代入值求解即可． 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 【例5】已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）解法1由平方关系得到，从而解出即可；解法2由同角的三角函数关系解出，从而求出结果； （2）解法1由同角的三角函数关系和商数关系计算即可；解法2由已知得到，再由同角的三角函数关系化简得到； 【详解】（1）解法1：， 因为， 所以，即， 从而， 因为，， 又因为，所以，因此， 从而， 故． 解法2：由及， 解得，， 或，， 因为，所以，， 所以，因此． （2）解法1：， 所以， 假设，则由上式知，与矛盾， 所以， 从而． 则 解法2：，所以， 又，所以，即， 因此． 【跟踪训练】 1.已知，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 2.已知，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 3．若，则= . 【答案】 【详解】， 故答案为： 4.已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于，所以， 又得， 解得或（舍去）， 故 （2） （3） 5.已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【解析】（1）因为，所以. （2） . （3）因为为第一象限角，由同角三角函数的基本关系可得， 解得，. 题型03：与关系的应用 【方法点拨】sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 【例6】已知sinα+cosα． （1）求sinα•cosα的值； （2）若α＜π，求的值． 【解题思路】（1）把已知等式两边平方，整理即可求得sinα•cosα的值； （2）由已知结合角α的范围求得cosα﹣sinα的值，通分后即可求得的值． 【解答过程】（1）解：由s， 两边平方得， 则s； （2）， 由，得， ∵，∴sinα＞0，cosα＜0， 则， 即：． 【跟踪训练】 1.已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件平方后求得，又由得，从而得解； （2）由与可求得与，利用商数关系求得，从而得解. 【详解】（1）将两边平方得：， ， 又， ， ， . （2）由（1）可知， 又， ， ， . 2.已知是第三象限角，且． 求的值； 求的值． 【答案】解：， ， ， 根据是第三象限角，可知， ；  由求得：， 故： ， 所以的值为．  【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系，属于一般题． 由两边平方可得，再对两边平方即可求出答案； 由题意可得，解出、的值，代入即可求出答案． 3.化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可求，利用诱导公式化简所求即可计算得解. （2）将平方得出，再将平方，根据 的范围， 即可得解. 【解答过程】（1） 所以 （2）， 所以， 又，，则，故 而， 所以. 题型04：利用同角关系化简三角函数式 【方法点拨】利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 【例7】若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系求得再根据，计算求得结果． 【解答】 解：，． ， 故选：． 【例8】已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 【跟踪训练】 1.若，则          ，          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，属于基础题． 根据同角三角函数的基本关系化简计算即可得结果． 【解答】 解：， ，即， ，． 故答案为 ；． 2.已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果； （2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ，解得：或. （2）， 是第一象限角，，， 由（1）知：，由得：， . 题型05：利用诱导公式化简求值 【方法点拨】用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 【例9】已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得， （2）因为是第三象限角，且， 由诱导公式得，故， 所以，故， 因此． （3）当时，将其代入原函数， 可得． 【例10】如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【解析】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. （3）， ， ， ， 所以. 【跟踪训练】 1．已知 (1)化简; (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）解： （2）解：由得，故， 又，故， 因，故为第一、三象限角 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因为 所以， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，． 2．已知 (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1） ； （2）； （3）因为 所以， 所以， ， 又因为所以 所以 . 3.已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【解析】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 题型06：利用互余互补关系求值 【方法点拨】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【例10】已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【例11】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，且， 所以，所以， 所以. 故选：D 【跟踪训练】 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 则． 故选：B 2．已知，且，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 因为，可得， 所以， ， 所以. 故选：C. 3．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即角的终边位于第二、三象限或轴负半轴， 而，则为第二象限角， 则， 故. 故选：A. 题型07：利用同角关系与诱导公式证明三角恒等式 【方法点拨】证明思路： 左边化简→右边（或右边化简→左边）； 左右两边同时化简，得到同一结果； 作差法：左边 - 右边 = 0，或作商法：。 常用技巧：通分、因式分解（如平方差、完全平方公式）、切化弦、利用代换。 【例12】求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 【例13】证明：． 【答案】证明见解析 【详解】左边右边， 所以． 【例14】三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 【答案】，证明见详解. 【详解】猜想. 证明：由诱导公式可得， 所以. 【跟踪训练】 1．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 2.求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解答过程】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 3.证明下列恒等式： （1）； （2）. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明. （2）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明. 【解答过程】（1），即证. （2） ，即证. 题型08：同角关系式与诱导公式的综合应用 【例15】已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【解析】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 【跟踪训练】 1．已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为 ， 由可知，所以， 又因为 . （2）因为， 所以， 即， 所以， 两边平方得， 即 即， 解得， 故. 2.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）结合诱导公式进行化简，然后结合同角基本关系进行化简即可求解； （2）结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解. 【详解】（1） ， ， 若的纵坐标为，则， 当时，时，； 当时，； 综上，或； （2）因为， 所以， ， . 一、填空题 1．已知是第二象限角，且，则_______ 【分析】由是第二象限角和商数关系结合即可求解. 【解析】因是第二象限角，且， 故，则. 2.若，则_______ 【分析】由正弦二倍角公式及商的齐次式问题即可求解. 【详解】 . 3．如果角的终边在直线上，则__________ 【答案】 【分析】先求出，再由弦化切公式转化为进行求解； 【解析】 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 故答案为: 4．设，则__________ 【答案】 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解析】因为， 所以 . 故答案为： 5．已知，，则_______ 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解析】， 故， 又且，故， ，故. 6．已知，则_______ 【分析】将化成，再结合化简即可. 【解析】原式， 因为，则，所以上式. 7.已知，则_______ 【解题思路】由诱导公式化简，进而根据弦切互化即可求解. 【解答过程】． 8．化简： ． 【答案】 【详解】化简：, 故答案为： 9.已知，则________ 【详解】由题意，. 10.已知，则________ 【详解】由题意，. 11．已知则 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 二、选择题 12.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【解答过程】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 13．若，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解. 【解析】 ， 由于，所以，故， 故选：D. 14.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解； 【详解】因为，所以， 即，得． 所以． 故选：B． 15.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解； 【详解】因为，所以， 即，得． 所以． 故选：B． 三、解答题 16．化简 (1)； (2)已知是第三象限角，化简 【解析】（1）解：由. （2）解：因为是第三象限角，可得，， 则. 17.已知，计算 (1)； (2)； 【解析】（1）解：由， 则. （2）解：由， 则. 18．已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果； （2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果. 【解析】（1）∵为第二象限角，∴ ∴ . （2）由，得， ∴， 所以 . 19.已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意. （2）由（1）得若，则， 所以. （3）由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 20. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故 21. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【详解】（1）因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. （2）因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 22. 已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解法一：分析可得，根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出的值； 解法二：利用平方关系求出的值，分析得出，利用平方关系可求出的值； （2）解法一：利用诱导公式化简得出，根据（1）中、的值代入计算可得出的值； 解法二：利用诱导公式化简得出，根据（1）中的结果求出的值，代值计算可得出的值. 【详解】（1）解法一：因为，则， 因为，联立，得， 解得，所以. 解法二：因为，，所以， 所以，即， 因为， 因为，则，所以，，所以. （2）解法一：因为 ， 由（1）得，所以； 解法二： . 由，解得，，所以， 所以. 23．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】左边＝ ＝右边． 故原式得证． 【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负. 24．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】左边 右边， ∴原等式成立． 25．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】. 所以原等式成立． 26．求证： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 故成立. （2）因为， 所以. （3） ， ， 故等式左边，等式成立. 27.已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3) 【分析】（1）运用诱导公式规则，分别化简分子、分母中每个三角函数（如，等），再对化简后的分式进行约分，最终转化为基本三角函数（正切）的形式化简求值； （2）先利用同角三角函数的平方关系（），将所求式子中的“”“”转化为含的表达式，再将“弦函数（，）表达式”转化为“切函数（）表达式”，化简求值即可； （3）先将，代入已知等式，结合诱导公式（）化简等式，再结合同角三角函数的平方关系，建立关于的方程，解方程得的值（即）即可. 【详解】（1）由且， 所以且. （2）由题设及（1）知， 且 因为，所以， 所以 ； （3）由题知，得 所以代入原式得：， 即， 又， 整理得， 所以，       可得， 所以， 因为，所以， 等式两边同时除以得： 所以，            即 . 28.已知，其中. (1)求的值； (2)若是第三象限角，且,求 的值； (3)若 ，求 的值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】（1）利用诱导公式化简，代值计算即得； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简计算即得； （3）根据题设条件和弦化切求得，再将待求式齐次化后代值计算即得. 【详解】（1）因. 则； （2）由可得， 因是第三象限角，则， 即得； （3）由可得. 则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $