重难点21 向量综合题八大题型 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点21 向量综合题九大题型 题型01：向量的线性运算与坐标运算 1．在平行四边形中，．    (1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示. (2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示. 2．已知向量，， (1)分别求，的坐标； (2)若向量，且与向量平行，求实数k的值． 3. （24-25黄浦区高一下期末）设的顶点的坐标分别为，，． （1）若，求点的坐标； （2）过点作，垂足为，求的坐标． 4．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且. (1)证明：，，三点共线； (2)延长交于，用，表示出并求出. 5．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标，的值； (3)已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点，，的坐标. 6．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值；(3)求和. 题型02：向量基本定理与共线定理应用 7．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 8．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设，将用，，表示； (2)设，，证明：是定值． 9．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 10. （24-25华师大二附中高一下期中）如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 题型03：向量中模与夹角问题 12．已知向量，. (1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角. 13.（24-25复兴高级中学高一下期末） 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 14. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 15．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 16．设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．（23-24高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 18．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）在中，为的中点，为边上的中点，交于，设， (1)试用，表示； (2)若，，，求的余弦值 (3)若在上，且，设，，，若，求的范围. 题型04：向量中平行与垂直问题 19. （24-25上师大附中高一下期末）已知平面上的两个向量． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 20. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 21. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 22. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 题型05：求向量的数量积 23．如图，在中，，E是AD的中点，设，．    (1)试用，表示，； (2)若，与的夹角为，求． 24. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知中三点的坐标分别是， （1）求； （2）求证：直角三角形． 25．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示；(2)若，求. 26．（24-25高一下·上海青浦·期中）如图，在四边形中，，，是的中点，．    (1)用向量，表示向量，； (2)若，，求的值． 题型06：向量的最值与范围问题 27. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 28．（24-25高一下·上海闵行·期中）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 29．（24-25高一下·上海普陀·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，以为圆心，1为半径作圆，点在圆上，若平面内有一点，使得，求的取值范围． 30．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 31．（23-24高一下·上海静安·期中）如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，． (1)若AD平分，求AD的长； (2)若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围． 32. （24-25复兴高级中学高一下期末）如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 33. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知点， （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 题型07：三角形“四心”问题综合探究 34.奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 35．（23-24高一下·上海金山·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 36．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 题型08：向量与三角函数综合 37. 已知向量． （1）若，求的值； （2）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 38. 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上的严格增区间. 39.（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 40. 已知，，． （1）设，求函数的解析式及最大值； 时 （2）设的三个内角的对边分别为，当时，，且，求的面积． 题型09：向量综合压轴题 41. （24-25控江中学高一下期末）在平面直角坐标系中，，，，以为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的上的动点，M为x轴上的动点. （1）求的单位向量的坐标； （2）若M的坐标为.设与的夹角为，.用表示，并求的最大值； （3）若M的坐标为，且四边形为平行四边形，N为线段上靠近M的三等分点，求的最大值. 42. （24-25晋元高级中学高一下期末）如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 43. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 44. （24-25南洋模范中学高一下期末）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 45．（23-24高一下·上海松江·期中）如图，在中，已知，，，单位圆与交于，，，为单位圆上的动点． (1)当时，求的最小值； (2)若，求的值； (3)记的最小值为，求的表达式及的最小值． 46．如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点21 向量综合题八大题型 题型01：向量的线性运算与坐标运算 1．在平行四边形中，．    (1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示. (2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可； （2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可. 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以， . （2）因为是与的交点，是的中点， 所以， . 2．已知向量，， (1)分别求，的坐标； (2)若向量，且与向量平行，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解即得. （2）求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，， . （2）由（1）知，而， 由与向量平行，得，解得：， 所以实数k的值是. 3. （24-25黄浦区高一下期末）设的顶点的坐标分别为，，． （1）若，求点的坐标； （2）过点作，垂足为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示计算即可； （2）设，再根据，，结合平面向量垂直平行的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 设，则， 由， 得，解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 因为三点共线，所以， 设，则， 由，得， 所以，解得， 所以. 4．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且. (1)证明：，，三点共线； (2)延长交于，用，表示出并求出. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论即可求证； （2）设，结合平面向量的线性运算及三点共线的推论可得，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，， 由于，则，，三点共线. （2）设，则， 由于三点共线，则，解得， 则. 而， ， 所以，即. 5．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标，的值； (3)已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点，，的坐标. 【答案】(1) (2)， (3)，， 【分析】（1）根据点共线，得，即可列等量关系求解， （2）根据坐标运算即可求解， （3）根据向量相等即可列方程求解. 【详解】（1）， 因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得， 即，得， 因为，是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得， 所以； （2）， 所以； （3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 所以， ， 所以， 因为，所以. 6．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 题型02：向量基本定理与共线定理应用 7．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）； （2）. 由(1)可知， 又， 所以， 因为点G是的重心， 所以 而不共线， 所以解得 所以. 8．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设，将用，，表示； (2)设，，证明：是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可 （2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知： ，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解 【详解】(1)解　＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)证明　一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.② 而，不共线，∴由①②，得解得 ∴＋＝3(定值)． 9．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 10. （24-25华师大二附中高一下期中）如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 【答案】(1) (2)， (3)存在，，理由见解析； 【分析】（1）利用扇形的面积公式即可； （2）利用向量的线性运算将化简为，即可列方程组求解； （3）以为原点建系，设，再通过关系式得出与的关系式，利用即可求得的值，再结合的范围即可. 【详解】（1）由题意可得，，则. （2）因，则，则， 因，则， 解得，. （3）设存在， 以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则由，可得，即 则， 即，得或， 因，则，则，则， 故存在，使得. 题型03：向量中模与夹角问题 12．已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【解析】（1）由题知，，， 所以， 所以. （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 13.（24-25复兴高级中学高一下期末） 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 14. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及单位向量的定义求解. （2）利用向量数量积的定义及夹角公式求解. 【小问1详解】 由点、，得， 则 【小问2详解】 依题意，、， 则，， ，， 所以向量与夹角的余弦值为. 15．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量数量积运算得出；最后根据即可求解. 【解析】（1）当时， 依题意知，，，. 则， . 因为， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. （2）由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. （3）由（2）可知： ， . 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是 16．设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先根据求出，再利用，即可求出夹角； （2）根据题意可得且与不共线，计算即可. 【解析】（1）， 又， ，又； （2）的夹角为且， ， 向量与的夹角为锐角， 且与不共线， ，即， 解得：或且且， . 17．（23-24高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； （2）因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； （3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 18．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）在中，为的中点，为边上的中点，交于，设， (1)试用，表示； (2)若，，，求的余弦值 (3)若在上，且，设，，，若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据重心的性质，转化为，再逐步转化向量，用已知基底表示向量； （2）首先用基底表示向量，再根据（1）的结果，代入向量数量积的夹角公式，即可求解； （3）首先设，再根据几何关系，利用基底表示向量，利用垂直关系的数量积表示，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，R是重心 ∴ （2）， ， ， （3）设 ∴ ∵， ∴ 解得 ∴范围是 题型04：向量中平行与垂直问题 19. （24-25上师大附中高一下期末）已知平面上的两个向量． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 小问1详解】 与平行， 【小问2详解】 与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 20. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或3 （2）1或 【解析】 【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可. （2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 若，则． 整理得，解得或． 故的值为或． 小问2详解】 若，则有，即，解得或． 当时，，，∴，∴． 当时，，，∴，∴． 综上，的值为1或． 21. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， ，因为， 所以， 即. 22. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由，可得，进而由坐标运算可得解 【详解】（1）设与的夹角为，因为向量，， 所以，， ，又，所以. 所以，的夹角为； （2）因为，，又，所以， 所以，解得. 题型05：求向量的数量积 23．如图，在中，，E是AD的中点，设，．    (1)试用，表示，； (2)若，与的夹角为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为E是AD的中点， 所以 . （2）因为，与的夹角为， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 24. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知中三点的坐标分别是， （1）求； （2）求证：直角三角形． 【答案】（1）. （2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【小问1详解】 由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 【小问2详解】 证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角直角三角形. 25．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用向量的线性运算计算即可； （2）根据条件求出，再根据数量积的定义计算即可. 【详解】（1）由题意得. （2）根据题意知，                             所以 26．（24-25高一下·上海青浦·期中）如图，在四边形中，，，是的中点，．    (1)用向量，表示向量，； (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2)18. 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得结果； （2）根据平面向量的线性运算，用向量，分别表示向量，再利用向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 则． 因为，，所以， 则． （2）因为，所以， 则． 由（1）可知，，则， 故． 因为，，所以， 则． 题型06：向量的最值与范围问题 27. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】（1），． （2）的最大值为，． 【解析】 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【小问1详解】 平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． 【小问2详解】 根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 28．（24-25高一下·上海闵行·期中）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，计算的坐标，根据向量的线性运算可得关于的方程组； （2）分点在线段和线段上两种情况，分别设点的坐标，求出的坐标，利用数量积的坐标运算即可. 【详解】（1）如图，以为原点建立平面直角坐标系， 则， 则， 因，则， 故，得，则. （2）①当在线段上运动，设，其中， 因，所以， 则， 因为，所以， ②当在线段上运动，设， 因，则， 又，则，故， 则，则， 因为，所以， 综上，的取值范围为. 29．（24-25高一下·上海普陀·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，以为圆心，1为半径作圆，点在圆上，若平面内有一点，使得，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据向量模的坐标运算，辅助角公式计算即可． 【详解】由题意得，点的轨迹方程为：， 设， 则，， ． 故，即， 则的取值范围为． 30．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 31．（23-24高一下·上海静安·期中）如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，． (1)若AD平分，求AD的长； (2)若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求角平分线的长度用等面积法，即，用三角形面积公式分别表示三个三角形的面积，由等式关系得到AD与b，c的关系，从而得到AD的长； （2）根据为BC中点，由平面向量加法法则得到，用基底表示和，得到，结合转化为关于的二次函数，根据和二次函数单调性，得到二次函数的取值范围即为的取值范围. 【详解】（1）在中，， 因此， 即． （2）由为BC中点得， 故 又，在上单调递增； 因此时，；时，． 即． 32. （24-25复兴高级中学高一下期末）如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解； （2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （3）设，其中，根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理 ， 所以， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，则， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得， 所以表示为的函数为. 【小问3详解】 设，其中， 由题意可得， 则， ， 即，解得， 又，所以， 可得 ，其中， 构建 ，其中， 当，即时，取到最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键是设，其中，再结合（2）的结论用的式子表示出，最后再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出最大值. 33. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知点， （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）直接计算向量坐标，进行线性运算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算，将点积表达式转化为单一三角函数形式，利用正弦函数的有界性求范围。 （3）求出直线AP的方程，设出点的坐标，利用两点间距离公式，将问题转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以， 则 【小问3详解】 因为，所以直线AP斜率为， 直线AP的方程为， 设，则， 即点C坐标为 当，即时，最小值为： 题型07：三角形“四心”问题综合探究 34.奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据奔驰定理以及内切圆的性质可得，即可根据得，进而根据线性运算得,由共线即可求解， （2）根据奔驰定理以及外接圆的性质可得，即可得，结合三角恒等变换可得，即可根据函数的性质求解. 【解析】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设， 故， 设，则, 故, 由于与共线，而与不共线， 因此必然，故，    （2）设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故, 故当时，取最小值， 当或时，， 故.    35．（23-24高一下·上海金山·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    36．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据奔驰定理可求得的值； （2）由奔驰定理得出，进而可得出，即可求得、的值； （3）设的外接圆半径为，，，，利用三角形的面积公式结合“奔驰定理”可证得推论②成立. 【详解】（1）解：因为，根据奔驰定理可得， 因此，. （2）解：根据奔驰定理，得，即， 整理可得， 因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，. （3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为， ，，， 故，同理，， 根据奔驰定理，. 即. 所以. 题型08：向量与三角函数综合 37. 已知向量． （1）若，求的值； （2）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，由可得，再结合齐次式求解即可； （2）根据平面向量的坐标表示，由三角恒等变换化简可得，进而结合余弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以. 【小问2详解】 由， 则， 所以， 当时，，则， 则， 要使关于的不等式有解， 则，则，解得. 38. 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上的严格增区间. 【答案】（1）或 （2）严格增区间为和 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. 【小问2详解】 因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上严格增区间为和. 39.（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 40. 已知，，． （1）设，求函数的解析式及最大值； 时 （2）设的三个内角的对边分别为，当时，，且，求的面积． 解：（1）由题意 ， 所以，函数的最大值为，当且仅当， 即时，取到最大值． （2）由题意 所以，， 因为为三角形内角，所以，所以， 由余弦定理：得 解得 或， 所以或． 题型09：向量综合压轴题 41. （24-25控江中学高一下期末）在平面直角坐标系中，，，，以为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的上的动点，M为x轴上的动点. （1）求的单位向量的坐标； （2）若M的坐标为.设与的夹角为，.用表示，并求的最大值； （3）若M的坐标为，且四边形为平行四边形，N为线段上靠近M的三等分点，求的最大值. 【答案】（1）； （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）先得出的坐标，再计算单位向量即可； （2）先设，再结合三角恒等变换及正弦函数的值域计算得出最大值即可； （3）应用数量积公式结合三角恒等变换结合三角函数值域计算求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以的单位向量的坐标. 【小问2详解】 设与的夹角为，设， 又因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以当时，的最大值为； 【小问3详解】 设，因为，则 中点为，N为线段上靠近M的三等分点，则， ， ， ， 当且仅当时，取得最大值. 42. （24-25晋元高级中学高一下期末）如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 【小问3详解】 ， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 43. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. 【小问2详解】 依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. 【小问3详解】 设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 44. （24-25南洋模范中学高一下期末）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长． （2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得, 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以． 【小问2详解】 解：因为，所以，所以，， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故， 由，可得， 因为，解得，即 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以，，所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，②． 联立①②可得，， 所以， 又因为， 因为，可得，所以. 【点睛】 45．（23-24高一下·上海松江·期中）如图，在中，已知，，，单位圆与交于，，，为单位圆上的动点． (1)当时，求的最小值； (2)若，求的值； (3)记的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）依题意可得为中点，连接交圆于点，当点运动到点时，取得最小值，由题得到为等边三角形，从而求出的最小值； （2）建立平面直角坐标系记，则，利用平面向量线性运算的坐标表示得到，再由平方关系求出； （3）由即可表示出，再根据二次函数的性质计算最小值. 【详解】（1）当时，为中点，连接交圆于点， 当点运动到点时，取得最小值． 在中，已知，，， 则，所以，又， 所以为等边三角形，所以， 所以． （2）以为原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标， 则，记，则， 所以，， 所以，即， 因为，所以， 所以，又， 所以，解得（舍去）或． （3）因为，当且仅当在线段之间时等号成立， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以； 46．如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【解析】（1）解法1：因为，， 所以 ， ， ， . 解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系 则，，，， 所以，，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $