第14讲 实系数一元二次方程与复数的三角形式（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册重难点讲义与测试

第14讲 实系数一元二次方程与复数的三角形式 知识清单 知识点01：几个重要的结论 知识点02：复数的三角形式 知识点03：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：实数的平方根 题型2：复数的平方根与立方根 题型3：复数的三角表示 题型4：三角表示下复数的几何意义 题型5：复数乘、除运算的三角表示 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 几个重要的结论 ① ②③若为虚数，则 运算律 ① ② ③ 关于虚数单位i的一些固定结论： ① ② ③④ 知识点02 复数的三角形式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 知识点03 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 题型1：实数的平方根 【例1-1】已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积 【详解】解：方程的根为， 即，， 所以， 所以，， ， 所以， 所以， 故选：B 【例1-2】在复数范围内，方程x2﹣2x+2＝0的解为__． 【答案】1+i或1﹣i 【分析】利用求根公式求方程x2﹣2x+2＝0的解即可． 【详解】解：方程x2﹣2x+2＝0中，＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4， 所以该方程的解为x1＝＝1+i， x2＝＝1﹣i； 故答案为：1+i或1﹣i． 【例1-3】方程的根为______________． 【答案】 【分析】利用配方法将方程化为，然后根据虚数单位的意义即可得到方程的根. 【详解】由得, 配方得, ∴, ∴, 故答案为：. 【变式1-1】下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误. 【详解】①由，则是的一个平方根，正确； ②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误； ③如果，当时，当时不一定，错误； 故正确命题为1个. 故选：B 【变式1-2】已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________． 【答案】 【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值 【详解】解：设， 由根与系数的关系可得，则， 因为，所以， 所以，解得， 由，得或， 所以， 故答案为： 【变式1-3】若实系数方程的一个根是，则__________． 【答案】1 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可得结果. 【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为， 根据韦达定理可得，所以. 又，所以，所以 故答案为：. 题型2：复数的平方根与立方根 【例2-1】设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【详解】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 【例2-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）28的平方根为__________；的平方根为__________. 【答案】 【分析】利用平方根的定义求解即得. 【详解】令是28的平方根，则，而，于是， 所以28的平方根为； 令为的平方根，则，而，于是， 所以的平方根为. 故答案为：； 【例2-3】求及的平方根． 【答案】的平方根为或；的平方根为或. 【分析】由可得出的平方根，设，根据复数的乘法运算可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的平方根. 【详解】，所以，的平方根为或. 设，即，所以，， 解得或，因此，的平方根为或. 【变式2-1】方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合选项，逐个进行验证即可得到答案. 【详解】显然0是它的一个解，不是它的解； 由于，； 所以也是它的解； 故选：C. 【变式2-2】在复数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】配方后，再根据，利用平方差公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【答案】–1的立方根为–1，，，8的立方根为2，，． 【分析】求出1的立方根，后变形方程，与，对照，整体换元，求出–1，8的立方根即可. 【详解】令，则， 解得， 则（舍去），， 解得， 不妨设，为的另一个非实数立方根. 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此–1的立方根为–1，，； 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此8的立方根为2，，． 题型3：复数的三角表示 【例3-1】（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 【例3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则____________. 【答案】 【分析】利用辐角的性质求解即可. 【详解】设辐角为，由辐角性质得， 且 所以. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解. 【详解】（1），，， 设为复数的辐角主值，为第四象限的角，故. 因为，， 所以. （2）. 【变式3-1】（2024高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 【变式3-2】（24-25高一·上海·随堂练习）欧拉公式（i为虚数单位）可知，当时，的值________实数．（填写是或否） 【答案】是 【分析】直接根据欧拉公式的定义即可求解. 【详解】． 故答案为：是. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【详解】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得， 所以； （2）由，所以，解得， 所以； （3）由，所以，解得， 所以； （4）由，所以，解得， 所以. 题型4：三角表示下复数的几何意义 【例4-1】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为， 则，所以 . 故选：D. 【例4-2】若复数的辐角主值为，则实数__________． 【答案】 【分析】根据辐角主值可得复数实部和虚部满足的条件，解方程可求得结果. 【详解】，，，解得：. 故答案为：. 【例4-3】设，求的辐角主值． 【答案】 【分析】根据共轭复数的概念求出，进而化简成标准三角形式即可求出结果. 【详解】因为， 则 ， 因为， 所以的辐角主值为. 【变式4-1】设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【详解】复数满足条件，所以可设 所以 所以 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D 【变式4-2】已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示可得，从而可得其共轭复数，即可得共轭复数的辐角主值. 【详解】解：的辐角主值是，则，， 所以共轭复数， 则共轭复数的辐角主值是. 故答案为：. 【变式4-3】24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 【答案】 【分析】写出复数的三角形式，根据三角形式几何意义得到，且，，且，利用三角形面积公式得到，相加后得到答案. 【详解】，得，由， 得. 因为，所以，即，且. 因为，所以，即，且. 设四边形的面积为， 则 . 题型5：复数乘、除运算的三角表示 【例5-1】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 【例5-2】将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 【答案】 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 【例5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【答案】 【分析】将复数改写成三角形式，再利用三角形式的复数乘法的几何意义即得. 【详解】复数的三角形式是， 依题意，向量对应的复数是: ． 【变式5-1】）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出 再整理为 的形式. 【详解】 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 【变式5-2】计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______． 【答案】 【分析】运用三角形式下复数的乘除法则计算即可. 【详解】 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】根据三角形式的复数的乘法和除法规定即可计算得到和表示的复数. 【详解】不妨设则， 则复数乘法运算的几何意义是将复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转 （如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的s倍，得到向量，表示的复数就是积； 则复数除法运算的几何意义是将复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点O按逆时针方向旋转角）， 再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商． 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 【例6-1】计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值. 【详解】设， 所以 . 故选：D 【例6-2】设，则______． 【答案】 【分析】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4096 【分析】（1）利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得； （2）将幂的底数化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得. 【详解】（1）． （2）． 【变式6-1】（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 【变式6-2】利用1的立方根，则8立方根是______． 【答案】， 【分析】设立方根为形式，由可得且，结合求结果. 【详解】令1的立方根为且，则， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 同理，令且， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 故答案为：， 【变式6-3】计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） （4） . （5） . 一、填空题 1． ______． 【答案】 【分析】写出，的三角表示，应用三角形式除法化简复数即可. 【详解】由，， 所以. 故答案为： 2．把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______． 【答案】 【分析】根据复数三角表示的定义求解即可. 【详解】由题可得，且在第三象限， 所以辐角的主值为， 所以， 故答案为：. 3．复数（为虚数单位）的辐角为______． 【答案】 【分析】利用辐角的定义直接求得. 【详解】由辐角的定义可以得到：复数（为虚数单位）的辐角为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海杨浦·月考）下列命题中，所有真命题的序号为________. ①虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数； ③若复数 ()是某一元二次方程的根，则一定是该方程的另一个根. 【答案】② 【分析】由坐标原点可判断①，通过求解，可判断②，通过可判断③. 【详解】对于①，坐标原点在虚轴上，其对应的数为为实数，错误； 对于②设的平方根为，则，即， 故，解得或， 所以..的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故②正确； 对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，错误； 故答案为：② 5． 1的所有四次方根为______． 【答案】 【分析】根据四次方根的定义在复数范围内求解即可. 【详解】解：设1的四次方根为，则，所以解得或，则或. 故1的所有四次方根为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期末）计算：______． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 7．已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________. 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再化为三角形式，即可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以复数z的辐角主值为. 故答案为：. 8．已知为虚数单位，，则的辐角主值为______. 【答案】 【分析】根据复数的三角表示分析求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故答案为：. 9．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：____________． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】 ． 故答案为：. 11．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解. 【详解】由，得，由，得， 因，所以，即，且， 又因，所以，即，且, 因此. 故答案为：. 12．已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】根据题意求出，然后根据是实系数一元二次方程的一个根即可求解. 【详解】设，因为， 所以，且复数在第一象限， 又复数满足，所以， 因为是实系数一元二次方程的一个根， 则有，也即， 所以，则， 故答案为：. 二、单选题 13．以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】逐一计算每个选项即可得答案. 【详解】对于A：，符合； 对于B：，符合； 对于C：，不符合； 对于D：，符合 故选：C. 14．（24-25高一下·上海·期末）已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定每个命题，得到答案. 【详解】由题意，设复数， 对于（1）中，由，即，解得，所以复数为实数，所以（1）正确； 对于（2）中，若，可得，所以且， 所以，所以为纯虚数，所以（2）是正确的； 对于（3）中，若，可得，所以或， 解得或或，故（3）错误. 故选：B. 15．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案. 【详解】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A 16．设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可； （2）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可. 【详解】（1） ． （2） ． 18．（24-25高一上·上海·课前预习）设有两个用三角形式表示的复数与，其中，，则______；______．质疑：三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么？ 【答案】，（）；质疑见解析. 【分析】略 【详解】复数乘法运算的几何意义是将复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转（如果， 把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的s倍， 得到向量，表示的复数就是积； 复数除法运算的几何意义是将复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点O按逆时针方向旋转角）， 再把它的模变为原来的倍， 得到向量，表示的复数就是商． 19．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程有虚根，判别式小于0求解； （2）根据实系数一元二次方程，可利用韦达定理可构造方程组求得，得解. 【详解】（1）时，关于的方程在复数集中有两个虚根， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）是关于的实系数方程的一个根， 是另一个根， ，解得. 20．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 21．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解方程结合辐角范围得到复数，再表示为三角形式即可. （2）利用旋转的性质求出z、，最后利用辐角的性质求解即可. 【详解】（1）由，解得. ∵，∴应舍去， ∴. （2）由题意得，：，：. ∵，位置成逆时针顺序，又， ∴把按逆时针方向旋转即得， ∴， 将代入上式，解得， 由点在第三象限知. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 实系数一元二次方程与复数的三角形式 知识清单 知识点01：几个重要的结论 知识点02：复数的三角形式 知识点03：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：实数的平方根 题型2：复数的平方根与立方根 题型3：复数的三角表示 题型4：三角表示下复数的几何意义 题型5：复数乘、除运算的三角表示 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 几个重要的结论 ① ②③若为虚数，则 运算律 ① ② ③ 关于虚数单位i的一些固定结论： ① ② ③④ 知识点02 复数的三角形式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 知识点03 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 题型1：实数的平方根 【例1-1】已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 【例1-2】在复数范围内，方程x2﹣2x+2＝0的解为__． 【例1-3】方程的根为______________． 【变式1-1】下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________． 【变式1-3】若实系数方程的一个根是，则__________． 题型2：复数的平方根与立方根 【例2-1】设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【例2-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）28的平方根为__________；的平方根为__________. 【例2-3】求及的平方根． 【变式2-1】方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在复数范围内分解因式：______． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 题型3：复数的三角表示 【例3-1】（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则____________. 【例3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 【变式3-1】（2024高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一·上海·随堂练习）欧拉公式（i为虚数单位）可知，当时，的值________实数．（填写是或否） 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 题型4：三角表示下复数的几何意义 【例4-1】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（    ） A． B． C． D．1 【例4-2】若复数的辐角主值为，则实数__________． 【例4-3】设，求的辐角主值． 【变式4-1】设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 【变式4-3】24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 题型5：复数乘、除运算的三角表示 【例5-1】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【例5-2】将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 【例5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【变式5-1】）（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么？ 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 【例6-1】计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【例6-2】设，则______． 【例6-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【变式6-1】（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【变式6-2】利用1的立方根，则8立方根是______． 【变式6-3】计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 一、填空题 1． ______． 2．把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______． 3．复数（为虚数单位）的辐角为______． 4．（24-25高一下·上海杨浦·月考）下列命题中，所有真命题的序号为________. ①虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数； ③若复数 ()是某一元二次方程的根，则一定是该方程的另一个根. 5． 1的所有四次方根为______． 6．（24-25高一下·上海·期末）计算：______． 7．已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________. 8．已知为虚数单位，，则的辐角主值为______. 9．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：____________． 11．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______． 12．已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 二、单选题 13．以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 14．（24-25高一下·上海·期末）已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 15．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 16．设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 18．（24-25高一上·上海·课前预习）设有两个用三角形式表示的复数与，其中，，则______；______．质疑：三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么？ 19．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 20．计算： (1)； (2)； (3)． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $