广东深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B C A D B B AC ABD ACD 8B解析：因为a>0,且函数y=x-b和y=e-a都是R上的增函数，故若f()≥0恒成立， 则函数y=x-b和y=e-a的零点相同，所以b=lna,则赔=二 设g@)=吕a>0,则g(@)=2 当aE(0,e)时，g(a>0,8(a单调递增， 当aE(e,+∞)时，8'(@<0，g(@单调递减， 故g(a)mx=g(e)=e1,所以最大值为e1,故选：B. 11.ACD解析：A.由牛顿迭代法公式xm+1=xa f得，=。f)3 fs)_5 故A正确； f'(x) B.In1的方程为y-f(xn)=f(xn)(x-xn)，f(x)=x3-3代入整理得到 y=3x2x-2x-3故B错误； C由牛顿选代法公式飞出=七以义得 x-3_2. 1 或通过将 (xn1,0)代入切线方程y=3x2·x-2x-3中，整理得C正确； 3*1=2x+, +好、作)以及切线影的图象可知对任意正整数，飞，>7>1，故 对任意非负整数n,X≥1，令g()=2x+是，xe儿+o),g似=2-2-2(0-D≥0， 故gx,)≥g)=3,从而4x +戈4=2x+≥3，当且仅当x=1时等号成立故D正确 。 12.12 13.1 14. 28 14解析：若三个年级人数分别为a,b,c，则a+b+c=9,又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有C=28 种，由题意X=nin{a,b,c},则X=1,2,3,且各年级人数为(a,b,c), 其中X=3的情况有63,3)一种情况，即P(X=)=28 X=2的情况有(2,2,5)、(2,5,2)、(5,2,2)、(2,3,4)、(2,4,3)、(3,2,4)、(3,4,2)、(4,2,3)、 4,32)九种情况，即PX=2）=9 w=-1安多提 缘上)-3京+2x 1x28=28·故答案为：)g +1× 1839 28 15解：1)当a=1时，f()=+,xCR,f)。 令f'(x)>0,解得：x<0;令f'(x)<0,解得：x>0: 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，单调递减区间为(0，+o) 2)由)-得：了=a-1,2, 令f"(N=0,:a>0,解得x=1-<1,f'()s0对x∈[，2]恒成立， ÷f(田在到L,2习]递减，f(x)=f=a牛出 16.(1)a.=2n∈N* (2r6-1+) 解：(1)由已知可)=a+a+a+:··+a,=华”得，故a,}的前n项和为S=心+” 2 当n=1时，4=1+1-1. 2 当n≥2时，a,=8-8-1=-@-1-2n, 2 2 a=1满足a.=n,a,=,n∈N. （2)由a,=n,n∈N*可得fx)=xn+2x-1+3xw-2+···+x, 令x=7则=（份+2(）+3()2++n月 则份=)+2()+3(++n() 00n【周+目++目-1-目"-分-9-目 1-2 B-门-（份-z+份， 份)=m-1+) 17.(1)64 (2)1215x7 (6)5=1458x号 解)因为x1 的二项展开式有7项，所以n=6, 令x=1,得3+ 1 =4=4096,所以系数和为4096，各项的二项式系数和为2=64， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为64： (2)由(1)知n=6,所以3x2+1 的二项展开式的通项为 令12整-7，解得长=2，所以限开式中合的项为C3×-1215x: (3》因为3+右的二项聚开式的通限为万=心，气，0ss6e乙， 设展开式中第k+1项的系数最大，则 [36t.C≥36+D.C 3.C≥3.C1即 [3×6! 6! k(6-)(k+1(5-k) 61 3×6! 解得ss子，ke,即及=1， (6-k2(G-1y门-ry 故展开式的第2项系数最大，又了=3.Cx是=1458x号 所以展开式系数最大的项为第2项1458x号。 18.解：(1)设甲同学做对试题A为事件M,甲同学做对试题B为事件N,由题设可知 P(M)=P(MN)+P(MN)=0.6,所以P(N)=0.3: (2)由题设可知，P(M=0.6,P(N)=0.4,P(MN)=0.3,P(M=1-P(M=0.4, 又P(w=P+P(N)=04,所以P(=01,故P(I0-P子 P(N)1 (3)根据题意，P(N)=1-P(N)-P(N)-P(W)=0.3,分析可得X=0,1,2,3, P(X=0)=0.3×0.5=0.15,P(X=1)=0.3×0.5+0.4×0.5=0.35, P(X=2)=0.3×0.5+0.4×0.5=0.35,P(X=3)=0.3×0.5=0.15, 可得X的分布列为 X 0 2 3 0.15 0.35 0.35 0.15 19.(1)证明：f(x)=x2,f'(x)=2x f)---x:x+ x-x2 x1-x2 55)=2,5=+：)-f)成立 2 2 x1-x2 .f(x)=x2为A函数. (2)f(x)是B函数证明如下： f)=e,f'=e.可以证明））>f古+). x1-X2 2 即证e一e、 >e2. 不妨设x1>x2,只需证e2-e2>x1-x2, X1-x2 令x=,五(x>0),则需证e-e>2x.考虑函数g(9=(e-e)-2x(x>0), 2 g'(w)=e*+e-2>2Vee-2=0,g(w)为增函数， 当x>0,g(x)>g(0)=0,∴.e-ex>2x, 函数f(x)=e是B函数. (3)法1 0g9=g-1n+x-a有两个不同的零点飞，5等价于方程a=g -lnx+x有两个不 同的解，5 e-mx+x=e+e g）t=e(k>0 又x xx.令x ,则a=t+nt e e 因为函数y=t+lnt是单调递增函数，所以a=e+ln 有两个不同的解等价于直线 y=1与函数Mx)=e（K>0)的图象有两个不同交点 hy=-l当0<x<1时，<0，当x>1时，h>0 则(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增故h(x)≥h1)=e. 当x→0时，h(x)→+0，x)+o时，(x)→+0. 故若直线y=1与函数My)=e(x>0)的图象有两个不同交点，则Pe,又因为a=t+1mt, 所以a>e+1.故实数a的取值范围为e+l,+∞) ①由愿意1=e-e >e,故e的 ,则1=e-e由2-e>e学， —>e2且 Xx, x1-x2 X1-X2 一>e2两式相乘得： et >e+,故Xx2<1得证. X2 xx2 另法：e=e x1 x2 →x-nx=x-hxx-nx 一，一=1再利用对数均值不等式（要先 证)得xx2<1 法2(3)(i)函数gx)=e-hm+x-a的定义域为(0，+oo) 对求导得g回=e-11--1e+ 令g的=0.即-1+)=0，因为>0,6>0，所以x一1=0，解附=1 当0<x<1时，x-1<0,e+x>0,x2>0,则g(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递 减： 当x>1时，x-1>0,e+x>0,x2>0,则g(x)>0,所以g(x)在(1，+o)上单调 递增。 由上述单调性可知，g(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，g(1)=e+1-a 因为函数g(x)有两个零点，所以g(1)=e+1一a<0,解得a>e+1。 当x→0+时， e→+o,-hx→+oo,x-a→-a,所以g)→+o0； 当x→+o时，g→+o,hx→0，xa→+o,且e二增长速度比-hx快，所 以gx)→+o。综上，a的取值范围是(e+1,+oo), (②不妨设0<<1<x,要证xx,<1,即证x<1 X, 因为8)在(0，)上单调递减，所以只需证s>g)。 X, 又因为8x)=8,)=0,所以只需证gx,)>8(上)，即证8)一g(1)>0 X 令c=6)日1对o导：Gg8日 1 (x-1)e'+xe*-x-- 1 L.令hx)=e+ex-x- -,x>1, 对求导得-e-。是-1+2>0所以以1o)北单阔类 1 1 h(x)>h1)=2e-2>0,故G(x)>0.故G(x)在(1，+o)上单调递增.G(x)>G1)=0. 即)80，所以>g),所以<上 n X, 即x2<1 其他方法酌情给分深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 命题人：张宏伟蒲逸凡邹丽欣成自然郭春辉 审题人：胡婷婷李巧芳 本卷共19题，满分150分，用时120分钟 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列{a}的公差为d,若a=2g,a,=6,则d=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方 式共有()种 A.12 B.24 C.36 D.48 3.若函数f(x)=e+x的图象与直线2x-y+=0相切，则实数m=() A.-1 B.1 C.0 D.2 4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙 去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最 差的从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有()种 A.27 B.36 C.54 D.60 5.甲、乙两人向同一目标各射击1次，己知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为 0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是() 4 B} C.6 D. 1 11 2 6.苏轼，字子瞻，号东坡居士，北宋文学家、书法家、画家，历史治水名人.现有苏轼的6本 不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有()种不同分配方案 A.90 B.120 C.360 D.540 7.某次数学测试有8道单选题(4选1)，小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2 道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任 选1道题，小王做对该题的概率为() B.137 C. D. 1 160 8 5 试卷第1页，共4页 8.已知函数fx)=(x-b)e-a(a>0),若fx)≥0恒成立，则色的最大值为() a A.e-2 B.e-1 C.e D.e2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X的分布列如下表所示，则下列结论正确的是() A.=0.15 B.E(X)=2.9 2 C.E(3.X)=9D.D(X)=2 0.2 0.35 0.3 10.已知双曲线C:￥-y =1的左、右焦点为耳、F,点P为C右支上一动点，则下列说法 94 正确的是() A,双曲线C与双曲线女上1有相同的渐近线 94 B.若P=2PF,则△PFF的周长为18+2√13 C.若PE⊥P耳，则△PFF的面积为2 D.若M为圆E:(x+√3)+y2=1上一点，则PM-P的最大值为7 11.牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线的方法求方程的近似解步骤 如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任取x,作为r的初始近似值，曲线y=f(x)在点 (xf()处的切线为1，设1与x轴交点的横坐标为x,并称x为r的1次近似值：曲线 y=f(x)在点(xf(x)处的切线为12，设12与x轴交点的横坐标为x2,称x,为r的2次近 似值.一般地，曲线y=f()在点(xfx)1∈)处的切线为11，记1n+1与x轴交点的横坐 标为xn1,并称x1为r的n+I次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当xn与xa 的近似值相等时，该近似值即作为函数f(x)的一个零点"的近似值对于函数f(x)=x-3, 用该方法近似计算方程f(x)=0的根r,取初始近似值为x。=1,下列说法正确的是() 5 A.X1= B.直线1n的方程为y=3x2·x-2x+3 3 2 1 4 D.对任意非负整数n,三x+x1≥3 3 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=x3-m2+bx(a,b∈R)在x=1处取得极值3，则a+b= 13.己知(x+yx-y的展开式中xy3的系数为0，则实数a的值为 14.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中 三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额从所有可能的分配方案中随机选择 一种，用X表示这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E(X)= 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)=+1 (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)当a>0时，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值 16已知+ 的二项展开式有7项. (1)求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值： (2)求该展开式中含x的项： (3)求该展开式中系数最大的项. 17.定义函数f(x)=ax"+a2x-1+ax-2+…+ax1∈N)为数列{a}的“生成函数”，且 f)=+n 2 (1)求{a}的通项公式： e球f) 试卷第3页，共4页 18.甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B,乙同学做试题C,已知甲同学做 对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.3；乙同 学做对试题C的概率为0.5，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率： (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率： (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为X,求X的分布列. 19.用f'(x)表示函数f(x)的导函数，若对f(x)定义域内任意不相等的两个数x,x,,都有 ))-f心产)度立，测将圆数/)为4五数：若对/的定义城内任数不 X1-X2 相等的两个数飞，，都有不等式）f)>了凸十5)（或都有不等式 X1-x2 f:))<∫西十)成立，则称函数f)为B函数. X1-x2 (1)证明：若f(x)=x2,则f(x)为A函数： (2)若f(x)=e(e为自然对数的底数)，问f(x)是A函数还是B函数？证明你的结论. (3)若g()=g-lnx+x-a有两个不同的零点x,x X ()求实数a的取值范围； ()证明xx2<1. 试卷第4页，共4页