广东深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试题高一数学

**基本信息** 深圳高级中学高一数学期中卷以深圳大梅沙测量愿望塔高度等地域情境为载体，融合空间几何、向量与解三角形，梯度设计科学，凸显数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、线面关系、圆台表面积、向量表示|第6题结合地域地标设计测量问题，培养数学眼光| |多选|3/18|复数性质、解三角形结论、圆锥性质|第11题动态探究圆锥截面与周长最值，发展推理意识| |填空|3/15|直观图周长、向量投影、三角形参数范围|第14题含参数三角形最值，考查数学思维严谨性| |解答|5/77|棱台侧面积与体积、向量应用、解三角形、正方体线面关系、垂心综合|18题正方体动态点探究线面平行，19题垂心与最值综合，体现数学语言表达现实问题的能力|

深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试题 高一数学 命题人：王会丹 阮飞燕 雷蕾 辛彦瑶 审题人：王雪冰 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则=（    ） A． B． C． D． 2．设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若是异面直线，，则 3．如图所示是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且 ∠ABC=120°,则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中， E是棱的中点， D是棱BC上一点，，若，则实数的值为（    ）　 A． B． C．3 D．4 5．在平行四边形ABCD中，. 用向量来表示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周，同学们都积极参加各种数学活动．深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度．他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A，在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为30°，又在沙滩上选择了观测点B（A, B和塔底O在同一个水平面上），愿望塔底端O位于点B的北偏西45°，已知A, B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西15°，则愿望塔的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414 ，≈1.732 ） A．60米 B．71 米 C．85 米 D．100 米 7．在△ABC中内角所对边分别为，若，角的角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．为平面内的定点，，的夹角为，，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第三象限 B．若复数，则的虚部为 C．若，则的最大值为2 D．若，则 10．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（     ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且只有一解，则的取值范围是 D．若，则 11．已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于的任意一点，则下列说法中正确的是（     ） A．圆锥的侧面积为 B．过顶点作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且∥，则△PMN的周长的最大值为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中，，那么原△ABC周长是________． 13．已知向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为_______． 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. 若存在最大值，则正数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题， 共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知正四棱台两底面边长分别为10和20 ，高为12． （1）求此棱台的侧面面积； （2）若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比． 16．（15分）已知等腰梯形中，，,为边上的中点． （1）若与共线，求的值； （2）若为边的中点，与交于，求； （3）若为边上的动点，求的最小值． 17．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足． （1）求角的大小； （2）若，，求△ABC的面积． 18．（17分）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，为线段上一动点，． （1）若平面交平面于直线，求证：∥； （2）当直线时，求三棱锥的体积； （3）是否存在一点，使得直线∥平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，． （1）求A； （2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围； （3）若△ABC为锐角三角形，O为△ABC的垂心，且满足，求的最小值. 试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试题 高一数学参考答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D B B B A C AC ABD ACD 填空题 12. 6 13. 14. 解答题 15．【详解】（1）正四棱台中，， 取的中点，的中点，则为侧面底边上的高． 设分别是上、下底面的中心，，则四边形为直角梯形． 在直角梯形中，，，． ∴. ……………………4分 ∴S侧＝4××(10＋20)×＝780 ……………………6分 （2）该正四棱台的体积为 ……………………9分 ……………………11分 几何体的体积x y ∴两部分体积之比为2:5 ……………………13分 16．【详解】如图建立直角坐标系，则, （1）, ……………………5分 （2） ……………………10分 （3）设，, .……………………15分 17．【详解】（1）因为，由正弦定理得 …………1分 即. 所以， 所以 ………………………3分 ………………………4分 ………………………5分 （2）由（1）知，而为等边三角形. 由于是的一个外角，所以. 在中，由正弦定理得， 即，所以. ………………………8分 由余弦定理得，， 即，所以. ……………………12分 故，， 所以. ……………………15分 18.【详解】（1）在正方体中， 因为平面平面，平面平面，平面 平面 所以， ……………………2分 因为点、 分别是棱、 的中点，所以, 所以． ……………………4分 （2）连接,． 是的中点 又 又 为的中点，即为正方体的中心 ……………………6分 ……………………9分 （3）存在P使得,此时点P是线段的三等分点（靠近） ,,则P是满足条件的点，………………………………10分 下面证明： ………………………………………11分 在正方体中, ………………………………………12分 ………………………………………13分 ………………………………………15分 ………………………………………17分 19.【详解】（1）由正弦定理， 可变成，……………………………………1分 又 则，又，, 则 ………………………………3分 即，又，则， ……………4分（没有角的范围需扣掉这一分） 从而，所以. …………………………5分 （2）由正弦定理可得 ………………………7分 因为为锐角三角形，所以，所以………………………8分 所以. 又因为 所以，，所以 ………10分 （3）O为的垂心，，则，所以 所以.注意：这里根据垂心得到关于m,n和边b,c的等式，酌情给1-2分；若得到最终m,n的等式就给4分。 同理，， 所以 所以. 从而可得，即有，化简得 ………………………14分 由为锐角三角形，得，， 而，得，从而， ………………………15分 ， 函数在上单调递减， 则的最小值为. ……………………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $