2026年中考数学二轮复习课件 一图串联二次函数之存在性问题集合

1 考 考 点 随着中考命题的不断创新，对于既能考查学生分析问题能力，又能考查学生思维创新素养的题目，越发受到命题者的青睐，存在性问题，看似知识单一，知识的关联度较小，但若能结合条件和图形特征，合理添加辅助线，便能快速获得解决问题的途径． 常考的存在性问题如下图： 中 2 考 考 点 中 3 考 考 点 本节课题，研究了许多二次函数的压轴题，把它们都串在同一道题，集中了几乎所有存在性问题的考点！刷千题不如认真做透一题！！来吧！挑战一下自己！ 中 4 考 考 点 家长朋友们，同学们，有句话说了很多遍：学霸不可怕，就怕学霸放长假，你只看到自己的孩子有没有学习，而看不到别人家的孩子在努力，这样的情况下，差距真的会越来越大啊！ 还要强调一点的是，把每一道简单的题目都做对，就是不简单，就能得高分！ 中 5 6 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 1、求A、B、C、D的坐标 2、画出二次函数的草图(网红题第1、2题) y=x²-2x-3 7 8 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 3、连接AC，在x轴上是否存在点P，使得△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 两圆一线找等腰 【几何法】“两圆一线”找等腰（1） 以点 A 为圆心，AC为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 P，有 AC=AP；（2） 以点 C 为圆心，CA 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 P，有 CA=CP；（3） 作AC 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 P，有 PA=PC． 9 究 点 1 线 2 式 3 A（-1，0） C(0，-3) P（x,0） 分类讨论得到三个式子①AC=AP、②CA=CP、③PA=PC； 【代数法】“点、线、式”找等腰 探 表示出三个顶点坐标 表示出三条线段的长度 10 盲解盲算法，它不需要画出具体的图形，理解利用点线式，即可算出，简单粗暴，所以，很多时候人们比较喜欢用这个方法，为什么啊，不用动脑子啊，几何法就不行了，有点时候必须画出精准的图形才能得解，图形不准确会产生误导. 在实际解题中，往往会几何法和代数法结合使用，这样会事半功倍。当然了，不管是几何法还是代数法，最后都需要检验，看下所求出的解是否符合题意，比如是否与已给点重合，是否三点共线等。 究 ①AC=AP、②CA=CP、③PA=PC 【代数法】“点、线、式”找等腰 以第一种情况为例 探 ①AC=AP A（-1，0） C(0，-3) P（x,0） 12 究 ①AC=AP、②CA=CP、③PA=PC 【代数法】“点、线、式”找等腰 以第二种情况为例 探 ②CA=CP A（-1，0） C(0，-3) P（x,0） 13 究 ①AC=AP、②CA=CP、③PA=PC 【代数法】“点、线、式”找等腰 以第三种情况为例 探 ③PA=PC A（-1，0） C(0，-3) P（x,0） 综上并检验 14 业 作 4、点P为对称轴上一点，当△ACP等腰三角形时，求出点P的坐标。(网红题第36题) 15 16 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 5、点P在抛物线上，点Q在对称轴上，是否存在点P，使得△PDQ为等边三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 分析：易求对称轴为直线x=1，D（1，-4） 作PH⊥QD,△PDQ是等边三角形， 所以由Tan∠PDQ=PH/DH得 设P点坐标为（a,a²−2a−3),所以H点坐标为（1,a²−2a−3) 所以DH=a²−2a+1,PH=a-1 代入得 17 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 5、点P在抛物线上，点Q在对称轴上，是否存在点P，使得△PDQ为等边三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 18 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 5、点P在抛物线上，点Q在对称轴上，是否存在点P，使得△PDQ为等边三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 a²−2a−3=-11/3 答案还有吗？ 19 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 6、D为抛物线顶点，过抛物线上一点E作EF//x轴，交抛物线于点F，请问是否存在点E，使得△DEF为等边三角形，若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由。(网红题第36题) 业 作 答案还有吗？ G 20 21 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 7、动点P在对称轴上，是否存在点P，使得△BCP是直角三角形。若存在，求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由。(网红题第9题改动) 【几何法】“两线一圆”得坐标（1） 若∠C 为直角，过点 C 作 BC 的垂线，与对称轴的交点即为所求点 P；（2） 若∠B 为直角，过点 B 作 BC 的垂线，与对称轴的交点即为所求点 P；（3） 若∠P 为直角，以 BC 为直径作圆，与对称轴的交点即为所求点 P．（直径所对的圆周角为直角） 两线一圆找等腰 22 究 点 1 线 2 式 3 B（3，0）、C（0，-3） P（1,m） （3） 分类讨论:①∠BCP=90°➯BC²+CP²=BP² ②∠CBP=90°➯BC²+BP²=CP²; ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²; 【代数法】“点、线、式”找坐标 探 表示出三个顶点坐标 表示出三条线段的长度 23 究 点 1 线 2 式 3 B（3，0）、C（0，-3） P（m,0） （3） 分类讨论: ①∠BCP=90°➯BC²+CP²=BP² ②∠CBP=90°➯BC²+BP²=CP²; ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²; 【代数法】“点、线、式”找坐标 探 ①∠BCP=90°➯BC²+CP²=BP² 解之得m=-4 24 究 点 1 线 2 式 3 B（3，0）、C（0，-3） P（m,0） （3） 分类讨论: ①∠BCP=90°➯BC²+CP²=BP² ②∠CBP=90°➯BC²+BP²=CP²; ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²; 【代数法】“点、线、式”找坐标 探 ②∠CBP=90°➯BC²+BP²=CP²; 解之得m=2 25 究 点 1 线 2 式 3 B（3，0）、C（0，-3） P（m,0） （3） 分类讨论: ①∠BCP=90°➯BC²+CP²=BP² ②∠CBP=90°➯BC²+BP²=CP²; ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²; 【代数法】“点、线、式”找坐标 探 ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²; 综上并检验 26 探 究 一线三垂直（K型图） ①∠BCP=90° 27 探 究 一线三垂直（K型图） ②∠CBP=90° ③∠BPC=90° 28 探 究 利用斜率K能求出P点坐标吗？ ①∠BCP=90° 29 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 8、动点P在对称轴上，是否存在点P，使得△PAC是直角三角形。 若存在，求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由。 业 作 30 31 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 9、点P是第四象限内抛物线上一点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P，使得△PCQ是等直三角形。若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。 ①∠PCQ=90°,CP=CQ 另由一线三直角得出： △MCQ ≌△NPC 32 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 9、点P是第四象限内抛物线上一点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P，使得△PCQ是等直三角形。若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。 ②∠CQP=90°,QC=QP 另由一线三直角得出： △MQC ≌△NPQ 33 究 探 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 9、点P是第四象限内抛物线上一点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P，使得△PCQ是等直三角形。若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。 ③∠CPQ=90°,PC=PQ 由△PCQ是等直三角形 可得∠PCQ=∠PQC=45° 所以PQ//y轴 所以m=n 易得PC=m PQ=-m²+3m m=-m²+3m 解之得 m=0（舍去）或m=2 所以Q（2，-1） 综上并检验 34 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 10、D为抛物线顶点，过抛物线上一点E作EF//x轴，交抛物线于点F，请问在x轴上是否存在点P，使得△PEF为等直三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。(网红题第41题) 业 作 图形仅供参考，不唯一 35 36 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 究 探 先求出B (3,0)，C (0,-3) ①BC为对角线 ②BE为对角线 ③BF为对角线 　3+0= x+a 　0+(-3)=x²-2x-3+0 ｛ 　3+x= 0+a 　0+x²-2x-3= -3+0 ｛ 　3+a= 0+x 　0+0= -3+x²-2x-3 ｛ 解得x=0（舍）或2 解得x=0（舍）或2 11、动点E在抛物线上，动点F在x轴上，是否存在以点B、C、E、F为顶点的平四，若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由。 设点E（x，x²-2x-3）F(a,0) 37 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 究 探 先求出B (3,0)，C (0,-3) ③BF为对角线 　3+a= 0+x 　0+0= -3+x²-2x-3 ｛ 11、动点E在抛物线上，动点F在x轴上，是否存在以点B、C、E、F为顶点的平四，若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由。 设点E（x，x²-2x-3）F(a,0) 综上并检验 38 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 12、平面内是否存在点P，使得以点P、B、C、D为顶点的平四，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 业 作 39 40 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路2：先平四，再菱形 思路1：先等腰，再菱形 41 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路1：先等腰，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) 首先利用点点公式，可以求出BC2=18 ①BC=BE时 所以a=3或-3（舍） 当E(0，3) 时 由中点公式可得 　 　 ｛ ① ② 解得 F（-3，0） 42 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路1：先等腰，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) 首先利用点点公式，可以求出BC2=18 ②CB=CE时 由中点公式可得 　 　 ｛ ① ② 43 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路1：先等腰，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) 首先利用点点公式，可以求出BC2=18 ②CB=CE时 由中点公式可得 　 　 ｛ ① ② 44 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路1：先等腰，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) 首先利用点点公式，可以求出BC2=18 ③EC=EB时 由中点公式可得 　 　 ｛ ① ② 综上并检验 45 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路2：先平四，再菱形 思路1：先等腰，再菱形 46 模 设点坐标，根据平四存在性要求列出“ ”（AC为对角线时），再结合一组邻边相等，得到方程组． 具体过程是： 平四 AB=AD 思路2：先平四，再菱形 47 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路2：先平四，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) ①BC为对角线 　3+0= 0+x 　0+(-3)= a+y ｛ 　x= 3 　-3= a+y ｛ EB=EC 解之得a=0,y=-3 所以可得E(0,0),F(3,-3) 48 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路2：先平四，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) ②BE为对角线 　3+0= 0+x 　0+a= (-3)+y ｛ 　x= 3 　a= (-3)+y ｛ CB=CE 所以可得E( ),F( ) 49 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 13、点E是y轴上一动点，点F是平面内一点，是否存在以点B、C、E、F为顶点的菱形，若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由。 究 探 思路2：先平四，再菱形 B(3，0) C（0，-3） 设E（0，a） F(x，y) ③BF为对角线 综上并检验 50 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 14、若点M是y轴上一动点，在坐标平面内，是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形。若存在，求出所有符合条件的N点的坐标，若不存在请说明理由。(网红题第44题) 业 作 51 52 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 15、点P为抛物线位于第四象限的一点，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，点E、F、G、H分别在线段OM、MP、PN、ON上，且OE=1/3OM，MF=1/3MP，PG=1/3PN，NH=1/3ON,是否存在以E、F、G、H为顶点的矩形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 证明：如图，∵PM⊥x轴，PN⊥y轴∴易证四边形PMON为矩形，∴PM＝ON，PN＝OM． 究 探 由SAS易证△EOH≌△GOF，△EMF≌△GNH 从而EH=GF,EF=GH,所以四边形EFGH是平四。 若四边形EFGH为矩形，则∠EHG＝90°，易证△EOH∽△HNG， 53 证明：如图，∵PM⊥x轴，PN⊥y轴∴易证四边形PMON为矩形，∴PM＝ON，PN＝OM． 究 探 由SAS易证△EOH≌△GOF，△EMF≌△GNH 从而EH=GF,EF=GH,所以四边形EFGH是平四。 若四边形EFGH为矩形，则∠EHG＝90°，易证△EOH∽△HNG， 代入得m²=n²，所以m=n，即点P在直线y=x上 设PM=m，PN=n， 与y=x²-2x-3连立方程组解之可得 54 母题： 二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为D 16、动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过动点M作x轴的垂线交抛物线于点N，同时动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当M点到达B点时，M、E同时停止运动．设运动的时间为t秒．当t为何值时，四边形OENM为矩形?(网红题第62题) 业 作 由题意可知OM=2t，OE=t， ∵N在抛物线上， ∴N（2t，4t²-4t-3）， ∵四边形OEMN为矩形 ∴OE=MN， ∴t=-4t²+4t+3，解之可得 55 结 小 到目前为止，给同学们讲解完了等腰三角形，平四等等存在性问题，讲解的时候就给出了大量的例题，现在又专门来了一节课用一个题目来串联各种存在性，还有不熟悉的，希望能观看直播视频，深入理解并动笔书写，争取彻底掌握。 其他的小众题型我们就不说了，比如等边啊，等直啊什么的，遇到的时候可以具体问题具体分析。 56 98664.0 $