第11章二次根式 单元测试卷-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二次根式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，依次对各选项验证即可． 【详解】解：A、∵被开方数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； B、∵该式根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C、∵任意实数的平方满足，∴，且根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故该选项符合题意； D、∵当时，，此时无意义，不是二次根式，因此它不一定是二次根式，故该选项不符合题意； 2．与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即化为最简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 3．下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，除法法则逐一进行判断即可． 【详解】解：没有意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误； 综上：正确的是②③． 4．下列二次根式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．==，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 5．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 6．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 7．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 8．如图，在中，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 9．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 10．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，进而求出，即可求出的值． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴． 12．当，代数式的值是_____． 【答案】1 【分析】根据题意得到，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 14．已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 15．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 16．如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 【答案】/平方米 【分析】根据正方形的面积公式分别求出两个正方形的边长，结合图形确定原长方形的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，两个花圃均为正方形， 大正方形花圃的面积为， 大正方形的边长为， 小正方形花圃的面积为， 小正方形的边长为， 由图可知，原长方形花园的宽等于大正方形的边长，长等于大正方形的边长与小正方形的边长之和， 原长方形花园的长为，宽为， 原长方形花园的面积为． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘法分配率去括号，再计算加减法； （2）先计算乘法，绝对值，乘方，再合并同类二次根式 【详解】（1）解：； （2） 19．计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为， 【分析】先对原式中的分子分母进行因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将a的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，． 20．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 21．已知和是实数m的两个不同的平方根． (1)求x，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据“和是实数m的两个不同的平方根”得到，解出x的值从而得到m的值； （2）将x、m的值代入中计算即可． 【详解】（1）解：∵和是实数m的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴x，m的值都是． （2）由（1）得， ∴． 22．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 23．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2)该草地的面积为平方米 【分析】（1）根据公式求得，然后将、、和的值代入公式求出面积，再根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解； （2）连接，在中用勾股定理得，再由勾股定理逆定理判定为直角三角形，分别算出两三角形面积，相加得四边形面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； （2）解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 24．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)当时，的最大值为，无最小值； (5) 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵10是“完美数” ∴； （2）解：，理由如下： ∵ 要使S为“完美数”， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）解：， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的最大值为，无最小值； （5）解：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，，， ，，， ，，， ，即的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二次根式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 3．下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．下列二次根式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 7．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 8．如图，在中，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 10．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若，则的值为__________． 12．当，代数式的值是_____． 13．已知，，则a与b的大小关系为________． 14．已知：，则的值为______． 15．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 16．如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)； 19．计算：先化简，再求值：，其中． 20．已知，求的值． 21．已知和是实数m的两个不同的平方根． (1)求x，m的值； (2)求的值． 22．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 23．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 24．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $