21.2.2 第2课时 平行四边形的判定（2）-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 平行四边形的判定2第2课时 平行四边形的判定（2） 一、学习目标 1. 掌握**平行四边形后两种判定方法**： 2. 1. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 2. 3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4. 3. 能运用这两种判定方法进行**证明、计算、说理**； 4. 5. 熟练区分平行四边形的4种判定方法，能根据已知条件选择合适的判定方法。 6. 二、知识回顾 1. 平行四边形性质（回顾核心） 在$$\boldsymbol{\parallelogram ABCD}$$中： ① 对边平行且相等；② 对角相等，邻角互补；③ 对角线互相平分。 2. 上节课判定方法（判定1、2） 1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 2. 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4. 三、平行四边形的判定（2）两种判定定理 判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 文字语言： 如果一个四边形的**对角线互相平分**，那么这个四边形是平行四边形。 几何语言： 在四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$ $$\because OA=OC, \ OB=OD$$ $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形 注意：对角线“互相平分”，即两条对角线的交点是各自的中点，缺一不可；仅一条对角线平分，不能判定。 判定定理 4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 文字语言： 如果一个四边形的**两组对角分别相等**，那么这个四边形是平行四边形。 几何语言： 在四边形$$ABCD$$中 $$\because \angle A=\angle C, \ \angle B=\angle D$$ $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形 注意：必须是“两组对角分别相等”；仅一组对角相等，不能判定平行四边形。 四、定理简单证明（理解即可） 证判定 3：对角线互相平分→平行四边形 已知：四边形$$ABCD$$，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$OA=OC, \ OB=OD$$ $\begin{cases} OA=OC \\ \angle AOB=\angle COD（对顶角相等） \\ OB=OD \end{cases}$ $$\therefore \triangle AOB\cong\triangle COD(\text{SAS})$$ $$\therefore AB=CD, \ \angle OAB=\angle OCD$$ $$\therefore AB\parallel CD$$ $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（一组对边平行且相等） 证判定 4：两组对角分别相等→平行四边形 已知：四边形$$ABCD$$，$$\angle A=\angle C, \ \angle B=\angle D$$ $\because$ 四边形内角和为$$360^\circ$$ $$\therefore \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ$$ 又$$\angle A=\angle C, \ \angle B=\angle D$$ $$\therefore 2\angle A+2\angle B=360^\circ \Rightarrow \angle A+\angle B=180^\circ$$ $$\therefore AD\parallel BC$$（同旁内角互补，两直线平行） 同理可证：$$AB\parallel CD$$ $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（定义：两组对边分别平行） 五、典型例题 例 1（判定3：对角线互相平分） 如图，在四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，已知$$OA=3cm$$，$$OC=3cm$$，$$OB=4cm$$，$$OD=4cm$$，求证：四边形$$ABCD$$是平行四边形。 解： $$\because OA=OC=3cm, \ OB=OD=4cm$$ $$\therefore$$对角线$$AC$$、$$BD$$互相平分 $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（**对角线互相平分的四边形是平行四边形**） 例 2（判定4：两组对角分别相等） 在四边形$$ABCD$$中，已知$$\angle A=110^\circ$$，$$\angle B=70^\circ$$，$$\angle C=110^\circ$$，求证：四边形$$ABCD$$是平行四边形。 解： $\because$ 四边形内角和为$$360^\circ$$ $$\therefore \angle D=360^\circ - \angle A - \angle B - \angle C=360^\circ - 110^\circ - 70^\circ - 110^\circ=70^\circ$$ $$\therefore \angle A=\angle C=110^\circ, \ \angle B=\angle D=70^\circ$$ $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（**两组对角分别相等的四边形是平行四边形**） 例 3（综合判定：选择合适方法） 如图，在四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$AE\perp AC$$，$$CF\perp AC$$，且$$AE=CF$$，$$OE=OF$$，求证：四边形$$ABCD$$是平行四边形。 解： $$\because AE\perp AC, \ CF\perp AC$$ $$\therefore \angle AEO=\angle CFO=90^\circ$$ 在$$\triangle AEO$$和$$\triangle CFO$$中 $\begin{cases} \angle AEO=\angle CFO \\ OE=OF \\ \angle AOE=\angle COF（对顶角相等） \end{cases}$ $$\therefore \triangle AEO\cong\triangle CFO(\text{ASA})$$ $$\therefore OA=OC$$ 又$$OE=OF$$，$$\therefore OB=OD$$（等式性质） $$\therefore$$ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 六、易错提醒 1. 不能只用**一条对角线平分**判定平行四边形（需两条互相平分）； 2. 3. 不能只用**一组对角相等**判定平行四边形（需两组对角分别相等）； 4. 5. 选择判定方法的技巧： 6. 6. 已知“边的关系”：优先用前2种判定（两组对边相等、一组对边平行且相等）； 6. 6. 已知“对角线关系”：优先用判定3（对角线互相平分）； 6. 6. 已知“角的关系”：优先用判定4（两组对角分别相等）。 6. 7. 牢记：4种判定方法最终都可转化为“两组对边分别平行”（平行四边形定义）进行验证。 8. 七、课堂练习 1. 四边形$$ABCD$$的对角线交于点$$O$$，若$$OA=OC$$，则再加条件________，可判定为平行四边形。 2. 3. 在四边形$$ABCD$$中，$$\angle A=80^\circ$$，$$\angle B=100^\circ$$，$$\angle C=80^\circ$$，则该四边形________（填“是”或“不是”）平行四边形。 4. 5. 如图，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$AB\parallel CD$$，且$$OA=OC$$，求证：四边形$$ABCD$$是平行四边形。 6. 八、课堂小结 平行四边形4种判定方法（完整梳理）： 1. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2. 3. 判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 5. 判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 6. 7. 判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 8. 9. 判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 10. 教学设计 教学目标 课题 21.2.2第2课时平行四边形的判定2 授课人 素养目标 1.理解并掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法. 2.会将平行四边形问题转化为三角形的问题，渗透化归意识. 3.综合运用平行四边形的判定方法和性质进行证明和计算. 教学重点 平行四边形判定定理的理解及运用. 教学难点 根据不同条件能正确选择平行四边形的判定方法. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 (教材P62练习第1题)如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗? 我们上一课时学习了两组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形，那么这里只有一组对边，该怎样处理呢? 这就需要另一种判定平行四边形的方法了. 【教学建议】 引导学生进行讨 论，并将其转化为几何模型以便后续进行证明. 设计意图 从实际生活出发引入新课，激发学生学习兴趣. 活动二：逆向思考，探究新知 探究点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗? 下面我们共同来验证一下. 如图,在四边形ABCD 中,AB⊥CD.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 证法1:如图①,连接AC.∵AB∥CD,∴∠1=∠2. 又AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴BC=DA. 又AB=CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 证法2:如图②,连接BD.∵AB∥CD,∴∠1=∠2. 又AB=CD,BD=DB,∴△ABD≌△CDB. ∴∠3=∠4.∴AD∥BC. 又AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 思考：这两种证法的条件一样，但是证明过程不一样，两种证法的依据分别是什么? 答：证法1的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，而证法2 的依据是平行四边形的概念. 归纳总结：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 我们回过头看前面的铁轨问题，可以知道，互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以保证铁路的两条直铺的铁轨是互相平行的. 【教学建议】 引导学生用不同 的判定方法来证明平行四边形，教师总结判定定理.告诉学生：已知一组对边平行或相等的情况下，还可以找这组对边相等或平行来证明平行四边形，而不再拘泥于找另一组对边的关系. 设计意图 用一题多解的方式引导学生验证判定方法的正确性. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 想一想：在一个四边形中，如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形吗? 答：不能确保它是平行四边形，反例如下： 如图,AB=CD,AD∥BC,但四边形ABCD 不是平行四边形. 【对应训练】 1.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,要使四边形 ABCD 是平行四边形,可添加的条件不正确的是(D) A. AB=CD B. BC∥AD C.∠A=∠C D. BC=AD 2.教材P62练习第3题. 活动三：巩固新知，灵活运用 例1 (教材P62例5)如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 的中点.求证DE⊥BF. 分析：根据E，F 分别是AB，CD 的中点，四边形ABCD是平行四边形,可得EB⊥FD. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB⊥CD. 又 ∴EB⊥DF. ∴四边形 EBFD 是平行四边形. ∴DE⊥BF. 例2 (教材P62练习第2 题)如图,在▱ABCD 中,BD 是它的一条对角线,过A,C 两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:四边形 AFCE 是平行四边形. 证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AED=∠CFB=∠AEB=∠CFD=90°. ∴AE∥CF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD. ∴∠ABE=∠CDF. ∴△ABE≌△CDF(AAS). ∴AE=CF. ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 【对应训练】 1.如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在边AD,BC 上,添加下列条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是(A) ①AF=CE;②BF=DE;③∠AFC=∠AEC;④∠BAF=∠DCE. A.① B.② C.③ D.④ 【教学建议】 提醒学生：如果平行四边形是条件，那么用的是性质，而判定是在不知道这个四边形是平行四边形的情况下，利用已知条件来判定此四边形是平行四边形. 设计意图 引导学生厘清平行四边形的性质与判定. 八年级数学下册 61 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 2.如图,在▱ABCD 中,AE=CG,BF=DH,连接EF,FG,GH,HE.求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C,∠B=∠D,AD=BC. ∵BF=DH, ∴BC-BF=AD-DH,即CF=AH. 在△AEH 和△CGF 中, ∴△AEH≌△CGF(SAS). ∴EH=GF. 同理,GH=EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?这些方法是从什么角度去考虑的?我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P66习题21.2第5,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 教学反思 本节课以生活中的实际问题入手，再通过一题多解的方式来进一步探究平行四边形的判定，并引导学生灵活选择判定方法. 从本节课的授课过程来看，一题多解能够调动学生发散思维. 学科网（北京）股份有限公司 $