2026年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题

专题11二次函数与单线段最值问题 【例1】（2025•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 【例2】（2025•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． （1）①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． （2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【例3】（2025•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集； （3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标． 【例4】（2025•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值． 1．（2025•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2） 【问题背景】求出抛物线C的解析式． 【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N． ①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值． ②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值． 【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围． 2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0）， （1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式； （2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标； （3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长． 3．（2025•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度； （3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 4．（2025•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标； （2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长． 5．（2025•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标． （2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长． 6．（2025•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长． 7．（2025•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积； （3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值． 8．（2025•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标； （3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标． 9．（2025•乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积； （3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 10．（2025•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线CA的解析式； （2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值． （3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围． 11．（2025•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C． （1）求a，m的值和点C的坐标； （2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值； （3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小． ①求m的取值范围； ②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围． 13．（2025•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）则点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　． （2）如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE． （3）如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标． 14．（2025•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标． 15．（2025•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E． （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2025•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点． （Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标； ②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？ 17．（2025•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式； （3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标． 18．（2025•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d； （3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标． 19．（2016•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标； （2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值． 20．（2018•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB． （1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F． ①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积； ②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 【例1】（2025•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论； ②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论； （2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可； ②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴A（2，0），B（0，﹣2m）； ∵y＝﹣（x﹣m）2+2， ∴抛物线的顶点为D（m，2）， 令x＝0，则y＝﹣m2+2， ∴C（0，﹣m2+2）． ①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2， ∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）． ②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2． 如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E， 设点P的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）． ∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2， ∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3， ∵﹣1＜0， ∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3． 此时P（1，1）． （2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2）， ①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上， ∴需要分两种情况： 当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+， 当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣， ∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣． ②当≤m≤1+时， ∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3， ∴当m＝1时，BC的最大值为3； 当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣， ∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3， 当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13． ∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13． 【例2】（2025•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． （1）①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． （2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标； ②利用待定系数法求函数解析式解答； （2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论． 【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形， ∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）； ②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：， 解得：； （2）∵AP⊥PM， ∴∠APM＝90°， ∴∠APB+∠CPM＝90°， ∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠CPM， ∵∠B＝∠PCM＝90°， ∴△MCP∽△PBA， ∴＝，即＝， ∴3n＝m（3﹣m）， ∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3）， ∵﹣＜0， ∴当m＝时，n的值最大，最大值是． 【例3】（2025•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集； （3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标． 【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据（1）的解析式由图象判断即可； （3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可． 【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2， 当y＝0时，x+2＝0， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， 把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2； （2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2， 即﹣x2﹣2x+2＞2， 当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时， 解得x＝0或x＝﹣2， 由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2， ∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0； 方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2， 即﹣x2﹣x+2＞x+2， 观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值， ∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0； （3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q， ①如图1，当P在AB上方时， 在Rt△OAB中， ∵OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°， ∴∠PDQ＝∠ADE＝45°， 在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ＝， ∴PD＝＝1， 设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2）， ∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x， 即﹣x2﹣2x＝1， 解得x＝﹣1， ∴此时P点的坐标为（﹣1，2）， ②如图2，当P点在A点左侧时， 同理①可得PD＝1， 设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2）， ∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x， 即x2+2x＝1， 解得x＝±﹣1， 由图象知此时P点在第三象限， ∴x＝﹣﹣1， ∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣）， ③如图3，当P点在B点右侧时， 在Rt△OAB中， ∵OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°， ∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°， 在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ＝， ∴PD＝＝1， 设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2）， ∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x， 即x2+2x＝1， 解得x＝±﹣1， 由图象知此时P点在第一象限， ∴x＝﹣1， ∴此时P点的坐标为（﹣1，）， 综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）． 【例4】（2025•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值． 【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果； （2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及∠AEC＝90°，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果； （3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果． 【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3）， ∴a•（﹣3）＝﹣3， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）； （2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下： 设点E（1，m）， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2， 当∠EAC＝90°时， AE2+AC2＝CE2， ∴14+m2＝1+（m+3）2， ∴m＝， ∴E1（1，）， 当∠ACE＝90°时， AC2+CE2＝AE2， ∴11+（m+3）2＝4+m2， ∴m＝﹣， ∴E2（1，﹣）， 当∠AEC＝90°时， AE2+CE2＝AC2， ∴5+m2+（m+3）2＝10， ∴m＝﹣1或﹣2， ∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2）， 综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）； （3）设AD的中点为I， ∵A（﹣1，0），D（1，﹣4）， ∴AD＝＝2，I（0，﹣2）， ∴PA⊥PD， ∴∠ADP＝90°， ∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上， ∵BI＝＝， ∴PB最小＝﹣． 1．（2025•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2） 【问题背景】求出抛物线C的解析式． 【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N． ①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值． ②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值． 【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围． 【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式即可求解； 【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3， ②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，即可求解； 【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4， 即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即可求解． 【解答】解：【问题背景】 A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）， 将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝， 故抛物线的表达式为：…①； 【尝试探索】 ①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得， 直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②， 四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2， 设点N的坐标为：（x，k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6）， 即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3， 故k的值为：； ②联立①②并解得：x＝0或6， 故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6， MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k， ∵0，故MN有最大值，最大值为； 【拓展延伸】 由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③， 联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8， （Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分， （Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4， 即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2）， 即x＝4+2，则t＝3+4+2＝7+2， 故t的取值范围为：2≤t≤． 2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0）， （1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式； （2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标； （3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长． 【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C （2）连接BC，交DH于点M，使△ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x＝﹣1，求得M（﹣1，2）； （3）由题意得出E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3），再根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4， 将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0， 解得a＝﹣1， 则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3； （2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小， 当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， 则A（1，0），C（﹣3，0）， 当x＝0时，y＝3，则B（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（0，3），C（﹣3，0）代入得， 解得：， ∴直线BC解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2， 所以点M坐标为（﹣1，2）； （3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3）， 则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+， ∴当m＝﹣时，线段EF最长． 3．（2025•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度； （3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可； （3）根据△CDE∽△PCF，DE∥PF，可得：＝，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），建立关于t的方程求解即可． 【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， ∴CO＝3， ∵CO＝BO， ∴BO＝3， ∴B（3，0）， ∵A（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4）， ∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴E（1，2）， ∴DE＝2； （3）∵PF∥DE， ∴∠CED＝∠CFP， 当＝时，△PCF∽△CDE， 由D（1，4），C（0，3），E（1，2）， 利用勾股定理，可得CE＝＝， DE＝4﹣2＝2， 设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t， ∴＝， ∵t≠0， ∴t＝2， 当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3， ∴点P坐标为（2，3）． 4．（2025•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标； （2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长． 【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入，即可求解； （2）根据题意得OC＝2，AC＝4，设点D（x，﹣x2﹣4x），则DE＝|﹣x2﹣4x|，OE＝﹣x，根据∠ACO＝∠DEO＝90°，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，分两种讨论，即可求解； （3）求出直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为y＝x+，联立方程组，得到点F．G的坐标，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2，4）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）， 把点（0，0）代入得：0＝a（x+2）2+4． 解得：a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x． 令y﹣0，则﹣x2﹣4x＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝0， ∴点B（﹣4，0）， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4，0）； （2）∵AC⊥x轴，点A （﹣2，4）， ∴点C（﹣2，0）， ∴OC＝2，AC＝4， ∵∠ACO＝∠DEO＝90°， ∴当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE， 设D（x，﹣x2﹣4x）， ①当∠AOC＝∠ODE时，△AOC∽△ODE，如图： ∵∠AOC＝∠ODE， ∴tan∠AOC＝tan∠ODE， ∴＝＝2， ∴＝2， ∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x）， ∴x1＝0（舍去），x2＝﹣或x3＝0（舍去），x4＝﹣， ∴点D的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）； ②当∠AOC＝∠DOE时，△AOC∽△DOE，如图： ∵∠AOC＝∠DOE， ∴tan∠AOC＝tan∠DOE， ∴＝＝2， ∴＝2， ∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x， ∴x1＝0（舍去），x2＝﹣6或x3＝0（舍去），x4＝﹣2（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣6，﹣12）； 点D（﹣6，﹣12）； 综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（﹣6，﹣12）或（﹣，﹣）或（﹣，）； （3）∵在（2）的条件下，点D在第二象限， ∴点D的坐标为（﹣，）， 直线BD的解析式y＝kx+m， ∴，解得， ∴直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14）， ∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11）， ∵点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等， ∴直线FG的的解析式为y＝x+， 联立得，解得，， ∴F（﹣，），G（﹣5，﹣5）， ∴FG＝＝． 5．（2025•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标． （2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长． 【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解； （2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE＝3，DE＝9，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝3，再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，求出m即可． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，顶点D坐标为（2，﹣9）； （2）延长FG交y轴于点I， ∵A（﹣1，0），E（2，0），D（2，﹣9）， ∴AE＝3，DE＝9， ∴在Rt△EAD中， ， ∵EF∥AD，FG∥x轴， ∴四边形AGFE是平行四边形， ∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3， ∴在Rt△EHF中，EH＝3HF， 设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形， 把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5， 得，﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5， 解得：或m＝（舍去）， ∴． 6．（2025•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长． 【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案； （2）设P（t，t2﹣t﹣4），则G（1﹣t，t2﹣t﹣4），利用tan∠GCH＝＝，求出CN，即可得出答案； （3）过点P作PT⊥x轴于点T，可证得△PDH≌△PBT（AAS），过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，再证得△DRF≌△QKF（ASA），过点Q作QW∥PD，可证得△DPF≌△QWF（AAS），过点Q作QZ⊥PE于点Z，再证明△EQZ≌△EPT（AAS），再利用HL证明Rt△QWZ≌Rt△PBT，设EB＝m，运用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，设P（t，t2﹣t﹣4）， ∵抛物线的对称轴为直线，PG∥x轴， ∴点G与点P是抛物线上的一对对称点， ∴G（1﹣t，t2﹣t﹣4）， 设PG与y轴交于点H，则H（0，t2﹣t﹣4）， 在抛物线中， 令x＝0，得y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OC＝4， 又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t，GH＝t﹣1， ∵tan∠GCH＝＝， ∴， 解得：， ∴d与t之间的函数解析式为d＝； （3）如图2，过点P作PT⊥x轴于点T， ∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°， ∴四边形PHOT为矩形， ∴∠HPT＝90°， ∴∠DPH＝∠BPT， ∵PD＝PB， ∴△PDH≌△PBT（AAS）， ∴DH＝BT，PH＝PT， ∴， 解得：t1＝6，t2＝﹣2（舍）， ∴P（6，6）， ∴T（6，0）， ∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2， 过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M， ∵PE＝3PF， ∴EF＝2PF， ∵cos∠PFM＝cos∠EFK， ∴， ∴FK＝2FM， ∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°， ∴四边形PMKT为矩形， ∴MK＝PT＝6， ∴FM＝2，FK＝4， 同理四边形DHMR为矩形， ∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°， ∵∠DFR＝∠KFQ， ∴△DRF≌△QKF（ASA）， ∴DF＝QF， 过点Q作QW∥PD， ∴∠DPF＝∠QWF ∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ， ∴△DPF≌△QWF（AAS）， ∴DP＝QW＝PB，PF＝WF， ∴， 过点Q作QZ⊥PE于点Z， ∴∠EZQ＝∠PTE＝90°， ∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ， ∴△EQZ≌△EPT（AAS）， ∴PT＝QZ，EZ＝ET， ∵QW＝PB， ∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL）， ∴WZ＝BT， ∴EW＝EB． 设EB＝m， 则EW＝WF＝FP＝m， ∴EP＝3m， ∵BT＝2， ∴ET＝m+2，PT＝6， 在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2+PT2， ∴（3m）2＝（m+2）2+62， 解得：，m2＝﹣2（舍）， ∴， ∴BQ＝2BE＝5， ∵OB＝4， ∴OQ＝9， ∵ON＝2， ∴QN＝OQ+ON＝11． 7．（2025•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积； （3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值． 【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可； （3）求出直线AC的解析式，过点P作PH∥y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可． 【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0）， ∴OB＝1， 又∵OA＝OC＝3OB， ∴OA＝OC＝3， ∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 将A，B，C三点代入解析式得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4， ∴D点的坐标为（﹣1，﹣4）， ∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝， ∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2， ∴△ACD是直角三角形， S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3； （3）设直线AC的解析式为y＝sx+t， 代入A，C点坐标， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PH∥y轴， ∴∠PHE＝∠OCA＝45°， 设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3）， ∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x， ∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+， ∴当x＝﹣时，PE有最大值为， 此时P点的坐标为（﹣，﹣）． 8．（2025•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标； （3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标． 【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），因为OB＝3OA，所以x2＝﹣3x1，又由于x1，x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根，所以x1+x2＝2，从而求出x1的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即可解决问题； （2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使△BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，设M（a，﹣a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到G（a，﹣a+3），从而得的MG＝﹣a2+3a，利用S△MBC＝S△MGC+S△MGB，得到S△MBC＝，当a＝时，△MBC面积最大，从而求得M点坐标； （3）由EF＝得EF＝1，过D作DQ∥y轴交BP于Q点，设出P点坐标，求出D点坐标和直线BP解析式，从而表示出DQ的长度，由△PEF∽△PQD，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，列出方程，即可解决． 【解答】解：（1）设A（x1，0），B（x2，0）， ∵OB＝3OA， ∴x2＝﹣3x1， 令y＝0，则mx2﹣2mx+3＝0， ∵x1与x2是方程的两根， ∴x1+x2＝2， 又x2＝﹣3x1， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 将x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC解析式为y＝kx+3， 代入点B的坐标得，k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 设M（a，﹣a2+2a+3）， 如图1，过M作MG∥y轴交直线BC于G点，则G（a，﹣a+3）， ∴MG＝﹣a2+3a， ∴S△MBC＝S△MGC+S△MGB＝＝， 当a＝时，△MBC面积最大，此时△BCN的面积总小于△BCM的面积， ∴M（）； （3）如图2，由（1）可得，OC＝3， ∴EF＝， 设P（t，﹣t2+2t+3）， ∵B（3，0）， ∴直线BP的解析式为y＝﹣（t+1）（x﹣3）， ∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 过D作y轴的平行线交直线BP于Q点， ∴Q（1，2t+2）， ∴DQ＝2﹣2t， ∵DQ∥y轴， ∴△PEF∽△PQD， ∴， ∴， ∴P（）． 9．（2025•乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积； （3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA，即可求解； （3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1）， 将点C的坐标代入上式得：＝a（0﹣5）（0+1），解得a＝﹣， 故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣5）（x+1）＝﹣x2+2x+； （2）由抛物线的表达式得顶点M（2，）， 过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得， 故直线AC的表达式为y＝﹣x+， 当x＝2时，y＝，则MH＝﹣＝3， 则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝； （3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+）， 由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可， 则EF2＝OD2＝m2+（﹣m+）2＝m2﹣m+， ∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1， 故点D（1，2）， ∵点P、D的纵坐标相同， 故2＝﹣x2+2x+，解得x＝2±， 故点P的坐标为（2，2）或（2﹣，2）． 10．（2025•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线CA的解析式； （2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值． （3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围． 【分析】（1）由y＝﹣（x﹣1）2+4中，得A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为y＝﹣x+3； （2）根据直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），从而AF＝3﹣m，DE＝﹣m2+3m，而△EAF是等腰直角三角形，可得AE＝AF＝3﹣m，△DEG是等腰直角三角形，即可列﹣m2+3m＝（3﹣m），解得m＝2或m＝3（舍去）； （3）由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，根据x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，可得3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，即解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，可得：﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，即解得n＞7． 【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3， ∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）， 设直线CA的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线CA的解析式为y＝﹣x+3； （2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F， ∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0）， ∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形， ∴AE＝AF＝3﹣m，∠DEG＝∠AEF＝45°， ∴△DEG是等腰直角三角形， ∴DE＝GE， ∵E为GA的中点， ∴GE＝AE＝3﹣m， ∴﹣m2+3m＝（3﹣m）， 解得m＝2或m＝3， ∵m＝3时，D与A重合，舍去， ∴m＝2； （3）由得或， ①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图： ∵x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0， ∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0， 解得0＜n＜1； ②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得： ﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0， 解得n＞7， 综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7． 11．（2025•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C． （1）求a，m的值和点C的坐标； （2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设P（t，0），则有＝，解方程，可得结论． （3）存在．连接AB，设AB的中点为T．分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM′∥AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）， ∴5＝﹣20a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+6）， 令y＝0，则﹣（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6， ∴C（3，0）， 当x＝﹣5时，y＝﹣×（﹣8）×1＝2， ∴B（﹣5，2）， ∴m＝2． （2）设P（t，0），则有＝， 整理得，21t2+242t+621＝0， 解得t＝﹣或﹣， 经检验t＝﹣或﹣是方程的解， ∴满足条件的点P坐标为（﹣，0）或（﹣，0）． （3）存在．连接AB，设AB的中点为T． ①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件． ∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB， ∴T（﹣3，）， ∵C（3，0）， ∴直线CT的解析式为y＝﹣x+， 由，解得（即点C）或， ∴M（﹣，）， ②CM′∥AB时，满足条件， ∵直线AB的解析式为y＝x+， ∴直线CM′的解析式为y＝x﹣， 由，解得（即点C）或， ∴M′（﹣9，﹣9）， 综上所述，满足条件的点M的横坐标为﹣或﹣9． 12．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值； （3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小． ①求m的取值范围； ②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解． （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由0＜PQ≤7求出m取值范围， ②通过数形结合求解． 【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴y＝x2+x﹣． （2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣． ∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2， ∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2）， ∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝． （3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|， 当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小， 当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大， ∴﹣3m+1＞0满足题意， 解得m＜． ②∵0＜PQ≤7， ∴0＜﹣3m+1≤7， 解得﹣2≤m＜， 如图，当m＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点， m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点， 直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣， ∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点， 当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点， 综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点． 13．（2025•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）则点A的坐标为 　（﹣1，0）　，点B的坐标为 　（3，0）　． （2）如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE． （3）如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标． 【分析】（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，解出x即可； （2）过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H，证明∴&△FAO≌△DEH即可； （3）令x^{2}﹣2 x﹣3＝kx+b得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，得出k与b的关系，然后求出D，E的坐标，根据FE＝FD，列方程求出F的坐标． 【解答】（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0 即x2﹣2x﹣3＝0 得x1＝3，x2＝﹣1 ∴A（﹣1，0）B（3，0） （2）过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H． 令ax+a＝ax2﹣2ax﹣3a 得ax2﹣3ax﹣4a＝0， ∴x2﹣3x﹣4＝0 ∴x1＝4，x2＝﹣1 ∴xD＝4 ∴EH＝AO＝1 ＝∠AOF＝∠EHD，∠FAO＝∠DEH ∴△FAO≌△DEH ∴AF＝DE （3）令x^{2}﹣2 x﹣3＝kx+b 得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0 （2+k）2+4（3+b）＝0 ∴ ＝ ＝ ∴ ∴ ＝ ∴， ∴ ＝ ＝ ∴ ＝ ＝ ∵EF＝DF ∴ 整理得 ∴yF＝﹣ F的坐标为（1，﹣） 14．（2025•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标． 【分析】（1）c＝5，OC＝5，tanC＝，则OA＝3，5OA＝3OB，则OB＝5，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），即可求解； （2）S＝CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t+5）＝t2+t； （3）证明△CTE≌△QTJ（AAS），故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，tan∠EQN＝tan∠JCN，即，解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故点Q（3m，5﹣6m），将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0（舍去）或，故点Q（4，﹣3），设：HR＝k，则点R（k﹣1，﹣k2+）， QS＝yQ﹣yR＝k2﹣，由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，即（k2﹣）2+25＝k2，即可求解． 【解答】解：（1）c＝5，OC＝5，tanC＝，则OA＝3， 5OA＝3OB，则OB＝5， 故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5）， 则抛物线表达式为：y＝a（x+5）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣15）， 即﹣15a＝5，解得：a＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+5； （2）设点Q（t，﹣t2﹣t+5），点B（﹣5，0）， 由点B、Q的坐标得：直线BQ的表达式为：y＝﹣（t﹣3）（x+5）， 故点E（0，﹣t+5）， S＝CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t+5）＝t2+t； （3）过点Q作QJ∥x轴交y轴于点N，交对称轴于点L，过点C作CT⊥BQ于点T， 延长CT交QJ于点J，过点Q作y轴的平行线交x轴于点K，交HR于点S， 则OKQN为矩形，OK＝QN＝t， 由（2）知，CE＝t，故QN：CE＝3：5， 设QN＝3m，则CE＝5m， ∵∠BQC＝45°，故CT＝QT， ∠EQN＝90°﹣∠NEQ＝90°﹣∠CET＝∠TCE＝∠JCN， 故△CTE≌△QTJ（AAS）， 故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m， tan∠EQN＝tan∠JCN，即， 解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）； CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故点Q（3m，5﹣6m）， 将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0（舍去）或， 故点Q（4，﹣3）， 抛物线的顶点D坐标为：（﹣1，）， QL＝4+1＝5＝HS， 设：HR＝k，则点R（k﹣1，﹣k2+）， QS＝yQ﹣yR＝k2﹣， 由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2， 即（k2﹣）2+25＝k2， 解得：k＝（不合题意值已舍去）， 故点R（﹣1，﹣6）． 15．（2025•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E． （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）设OP＝x，则PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值； （3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝即可求解． 【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）， 把A、B两点坐标代入上式，， 解得：， 故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4， ∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥PE， ∴∠OPE+∠CPB＝90°， ∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠OPE＝∠PCB， 又∵∠EOP＝∠PBC＝90°， ∴△POE∽△CBP， ∴， 设OP＝x，则PB＝3﹣x， ∴， ∴OE＝， ∵0＜x＜3， ∴时，线段OE长有最大值，最大值为． 即OP＝时，点P在线段OB上运动至P（，0）时，线段OE有最大值．最大值是． （3）存在． 如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H， ∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴x＝0，y＝﹣3， ∴N点坐标为（0，﹣3）， 设直线BN的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BN的解析式为y＝x﹣3， 设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3）， ∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝， ∵， ∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）． 16．（2025•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点． （Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标； ②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？ 【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标； （Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案； ②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3． ∵抛物线经过点A（1，0）， ∴0＝1+b﹣3， 解得b＝2， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0， ∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0． ∴a＝1，b＝﹣m﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m． 根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m）， 过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）． 在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m， ∴AE＝＝﹣m， ∵AE＝EF＝2， ∴﹣m＝2， 解得m＝﹣2． 此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1． ∵点F在y轴上， ∴在Rt△EFC中，CF＝＝． ∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）． ②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝． 根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上， 由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m， ∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m． 当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上． MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣； 当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝， 解得m＝﹣． ∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是． 17．（2025•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式； （3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x轴正半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式，即可求解； （3）过点P作y轴额平行线交CD于点Q，PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，即可求解． 【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x； （2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°， ∵BO⊥AD， 则∠BOA+∠BOC＝90°，∠BOC+∠OCA＝90°， ∴∠OCA＝∠BOA＝30°， 则CD与x轴负半轴的夹角为60°， 故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，）， 将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝， 故直线CD的表达式为：y＝﹣x+； （3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+）， 则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+， ∵＜0， ∴当x＝﹣时，PQ有最大值， 此时点P的坐标为（﹣，）． 18．（2025•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d； （3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可． （2）由题意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， ∵抛物线经过B（0，﹣）， ∴﹣＝4a﹣1， ∴a＝ ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1． （2）证明：过点P作PJ⊥AF于J． ∵P（m，n）， ∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣， ∴P（m，m2﹣m﹣）， ∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+， ∵F（2，1）， ∴PF＝＝＝， ∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+， ∴d2＝PF2， ∴PF＝d． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N． ∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2， ∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小， 由（2）可知QF＝QH， ∴DQ+QF＝DQ+QH， 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上， ∴DQ+QH的最小值为6， ∴△DFQ的周长的最小值为2+6，此时Q（4，﹣）． 19．（2016•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标； （2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值． 【分析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y＝0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标． （2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题． （3）设点P（x，x2﹣x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y＝ax2﹣x+c，得，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x． 当x＝6时，y＝2×6﹣2＝10， 当y＝0时，2x﹣2＝0，解得x＝1， ∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0） （2）过点A′作AF⊥x轴于点F， ∵点D（1，0），A（6，0），可得AD＝5， 在Rt△ACD中，CD＝＝5， ∵点A与点A′关于直线y＝2x﹣2对称， ∴∠AED＝90°， ∴S△ADC＝וAE＝×5×10， 解得AE＝2， ∴AA′＝2AE＝4，DE＝＝， ∵∠AED＝∠AFA′＝90°，∠DAE＝∠A′AF， ∴△ADE∽△AA′F， ∴＝＝， 解得AF＝4，A′F＝8， ∴OF＝8﹣6＝2， ∴点A′坐标为（﹣2，4）， 当x＝﹣2时，y＝×4﹣×（﹣2）＝4， ∴A′在抛物线上． （3）∵点P在抛物线上，则点P（x，x2﹣x）， 设直线A′C的解析式为y＝kx+b， ∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点， ∴，解得， ∴直线A′C的解析式为y＝x+， ∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x，x+）， ∵PQ∥AC，又点Q在点P上方， ∴l＝（x+）﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+， ∴l与x的函数关系式为l＝﹣x2+x+，（﹣2＜x≤6）， ∵l＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+， ∴当x＝时，l的最大值为． 20．（2018•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB． （1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F． ①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积； ②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）①根据旋转的性质，可得关于n的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点的坐标，根据面积的和差，可得答案； ②根据相似三角形的判定与性质，可得HG＝CG＝，根据勾股定理，可得HC，根据平移的规律，可得直线l，直线l1，根据解方程组，可得答案． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），E（4，5）点坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+5， （2）①设AE的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），E（4，5）点坐标代入，得 ， 解得， AE的解析式为y＝x+1， x＝0时，y＝1即C（0，1）， 设F点坐标为（n，n+1）， 由旋转的性质得，OF＝OB＝5， n2+（n+1）2＝25，解得n1＝﹣4，n2＝3， F（﹣4，﹣3），F（3，4）， 当F（﹣4，﹣3）时如图1， S△ABF＝S△BCF﹣S△ABC＝BC•|xF|﹣BC•|xA|＝BC•（xA﹣xF） S△ABF＝×4（﹣1+4）＝6； 当F（3，4）时，如图2， S△ABF＝S△BCF+S△ABC＝BC•|xF|+BC•|xA|＝BC•（xF﹣xA） S△ABF＝×4（3+1）＝8； ②如图3， ∵∠HCG＝∠ACO，∠HGC＝∠COA， ∴△HGC∽△COA， ∵OA＝OC＝1，∴CG＝HG＝， 由勾股定理，得 HC＝＝2， 直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位， l的解析是为y＝x+3，l1的解析是为y＝x﹣1， 联立解得x1＝，x2＝， ，解得x3＝，x4＝， 交点的坐标为（，），（，），（，），（，）． $