专题10矩形寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题10矩形寒假预习讲义 ✅ 搞懂：矩形 = 有一个直角的平行四边形 ✅ 记牢：矩形四大角为直角、对角线相等 ✅ 分清：矩形和平行四边形的异同 ✅ 会用：性质解简单边长、角度计算题 ✅ 知晓：直角三角形斜边中线的重要结论 ✅ 能说：矩形的 2 种对称特性 预习必备 知识点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 3.矩形的判定定理 4.矩形的周长与面积公式 5.易错点与易混点提醒 常考题型 精讲精炼 1.矩形性质深度理解 2.用矩形性质求角度 3.用矩形性质求线段长 4.用矩形性质求面积 5.用矩形性质做证明 6.求矩形坐标系坐标 7.矩形与折叠问题 8.证明四边形为矩形 9.矩形判定定理理解 10.添条件使四边形为矩形 11.用矩形性质判定求角度 12.用矩形性质判定求线段长 13.用矩形性质判定求面积 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.矩形的定义】 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 判定前提：首先是平行四边形，再满足一个直角；或直接满足三个判定条件。 符号表述：在平行四边形ABCD中，若∠A=90∘，则平行四边形ABCD是矩形。 【知识点02.矩形的性质(一般性质+特有性质)】 1. 平行四边形的共性性质（矩形天然具备） 边：对边平行且相等；AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分；OA=OC，OB=OD。 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。 2. 矩形的特有性质 角的性质：矩形的四个角都是直角。∠A=∠B=∠C=∠D=90∘。 对角线性质：矩形的对角线相等。AC=BD。 对称性补充：矩形是轴对称图形，有2 条对称轴，对称轴为对边中点连线所在直线 【知识点03.矩形的判定定理】 1. 定义判定（基础判定） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 条件：平行四边形 + 一个内角=90∘。 . 2. 判定定理 1 对角线相等的平行四边形是矩形。 条件：平行四边形 + 对角线相等。 易错点：仅对角线相等的四边形不是矩形，必须先满足平行四边形前提。 3. 判定定理 2 有三个角是直角的四边形是矩形。 条件：四边形中任意三个内角为90∘，无需先判定平行四边形。 推导：四边形内角和360∘，三个直角则第四个角必为直角，进而推出平行四边形 + 直角，得矩形。 判定方法总结 平行四边形 + 一个直角→矩形 平行四边形 + 对角线相等→矩形 四边形 + 三个直角→矩形 【知识点04.矩形的周长与面积公式】 1.周长：设长为a，宽为b，C=2(a+b)。 2.面积：S=ab。 3.对角线长度：由勾股定理，对角线d=。 【知识点05.易错点与易混点提醒】 1.矩形是特殊平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 2.判定时不可省略前提：对角线相等的四边形≠矩形，必须是平行四边形且对角线相等。 3.直角三角形斜边中线定理仅适用于直角三角形，不可乱用在普通三角形。 4.矩形对称轴是对边中点连线，不是对角线所在直线（对角线不是对称轴）。 【题型1.矩形性质深度理解】 【典例】矩形的对角线 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ． 【题型2.用矩形性质求角度】 【典例】小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（    ） A．46° B．36° C．54° D．56° 【跟踪专练1】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是 ． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3.用矩形性质求线段长】 【典例】矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ． 【跟踪专练1】如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，边在数轴上，点表示的数为0．以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点，则点所表示的数是 ． 【题型4.用矩形性质求面积】 【典例】长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型5.用矩形性质做证明】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 【题型6.求矩形坐标系坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将矩形沿折叠，使得点C落在点E处，若，则 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，将矩形沿对折，使点D落在点F处．若，则= ． 【跟踪专练2】矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 【题型8.证明四边形为矩形】 【典例】如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件 使四边形是矩形．（写一个即可）    【跟踪专练1】四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】如图，中，，，P是上一动点，于点E，于点F，M为的中点．    （1）四边形的形状是 ； （2）的最小值是 ． 【题型9.矩形判定定理理解】 【典例】下列说法错误的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 【跟踪专练1】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ． .   【跟踪专练2】课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【题型10.添条件使四边形为矩形】 【典例】如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【跟踪专练1】如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 【题型11.用矩形性质判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【跟踪专练1】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【跟踪专练2】的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【题型12.用矩形性质判定求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【跟踪专练1】.如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ． 【题型13.用矩形性质判定求面积】 【典例】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 1．如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 2．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 3．已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 4．如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 5．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端点A相连，．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． (1)若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为，比长，求桥面的宽． 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10矩形寒假预习讲义 ✅ 搞懂：矩形 = 有一个直角的平行四边形 ✅ 记牢：矩形四大角为直角、对角线相等 ✅ 分清：矩形和平行四边形的异同 ✅ 会用：性质解简单边长、角度计算题 ✅ 知晓：直角三角形斜边中线的重要结论 ✅ 能说：矩形的 2 种对称特性 预习必备 知识点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 3.矩形的判定定理 4.矩形的周长与面积公式 5.易错点与易混点提醒 常考题型 精讲精炼 1.矩形性质深度理解 2.用矩形性质求角度 3.用矩形性质求线段长 4.用矩形性质求面积 5.用矩形性质做证明 6.求矩形坐标系坐标 7.矩形与折叠问题 8.证明四边形为矩形 9.矩形判定定理理解 10.添条件使四边形为矩形 11.用矩形性质判定求角度 12.用矩形性质判定求线段长 13.用矩形性质判定求面积 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.矩形的定义】 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 判定前提：首先是平行四边形，再满足一个直角；或直接满足三个判定条件。 符号表述：在平行四边形ABCD中，若∠A=90∘，则平行四边形ABCD是矩形。 【知识点02.矩形的性质(一般性质+特有性质)】 1. 平行四边形的共性性质（矩形天然具备） 边：对边平行且相等；AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分；OA=OC，OB=OD。 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。 2. 矩形的特有性质 角的性质：矩形的四个角都是直角。∠A=∠B=∠C=∠D=90∘。 对角线性质：矩形的对角线相等。AC=BD。 对称性补充：矩形是轴对称图形，有2 条对称轴，对称轴为对边中点连线所在直线 【知识点03.矩形的判定定理】 1. 定义判定（基础判定） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 条件：平行四边形 + 一个内角=90∘。 . 2. 判定定理 1 对角线相等的平行四边形是矩形。 条件：平行四边形 + 对角线相等。 易错点：仅对角线相等的四边形不是矩形，必须先满足平行四边形前提。 3. 判定定理 2 有三个角是直角的四边形是矩形。 条件：四边形中任意三个内角为90∘，无需先判定平行四边形。 推导：四边形内角和360∘，三个直角则第四个角必为直角，进而推出平行四边形 + 直角，得矩形。 判定方法总结 平行四边形 + 一个直角→矩形 平行四边形 + 对角线相等→矩形 四边形 + 三个直角→矩形 【知识点04.矩形的周长与面积公式】 1.周长：设长为a，宽为b，C=2(a+b)。 2.面积：S=ab。 3.对角线长度：由勾股定理，对角线d=。 【知识点05.易错点与易混点提醒】 1.矩形是特殊平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 2.判定时不可省略前提：对角线相等的四边形≠矩形，必须是平行四边形且对角线相等。 3.直角三角形斜边中线定理仅适用于直角三角形，不可乱用在普通三角形。 4.矩形对称轴是对边中点连线，不是对角线所在直线（对角线不是对称轴）。 【题型1.矩形性质深度理解】 【典例】矩形的对角线 ． 【答案】相互平分且相等 【分析】根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：矩形的对角线相互平分且相等． 故答案为：相互平分且相等． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等，逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O． ，，， 不能得出， 故选：D． 【跟踪专练2】学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为， 由图2可得，小正方形的边长为， ，即， 围成的矩形长为：， 围成的矩形面积为：， 矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得 或（舍去）， ， 故答案为：10． 【题型2.用矩形性质求角度】 【典例】小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（    ） A．46° B．36° C．54° D．56° 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质是解题的关键． 连接，交于点，根据矩形的性质易得到，，再利用得到，最后由等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴，, ∴． ∵，， ∴， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【题型3.用矩形性质求线段长】 【典例】矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，熟知矩形的性质是解题的关键； 本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，结合已知条件，列出等式进行计算即可． 【详解】∵矩形的周长为， ∴cm， ∴cm．① ∵的周长比的周长多cm， ∴cm． ∵点是矩形的对角线的交点， ∴， ∴cm．② 联立①②，解得cm， cm． ∴cm， cm． ∴矩形的各边长分别为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，边在数轴上，点表示的数为0．以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、实数与数轴的关系、勾股定理的应用等知识点，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方是解题的关键． 先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据O点为原点，可得M点表示的数． 【详解】解：∵矩形中， ∴，，， ∴． ∵O点为原点， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 【题型4.用矩形性质求面积】 【典例】长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由矩形性质求面积，长方形的面积两个阴影小长方形的面积阴影小长方形的公共正方形的面积，即可求解；能根据图形列出面积是解题关键． 【详解】解：由题意得 空白部分的面积为； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质可得，，，即可得是的垂直平分线，得到，利用勾股定理求出即得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型5.用矩形性质做证明】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等． 利用矩形性质得到及由推出结合证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 矩形的周长为， ∴即． ∵ ∴， ∴ ， 又∵在中，， ∴(同角的余角相等)． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴． 设则 ∵且 ∴． 又∵ ∴ 解得 ∴， ∴， 故选：A． 【题型6.求矩形坐标系坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将矩形沿折叠，使得点C落在点E处，若，则 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，由此可得，，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠可知，， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿对折，使点D落在点F处．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为沿对折，所以，，结合已知条件，则可求，则可求，此题即可解决． 【详解】解：∵沿对折，则，， ， ， ∵在矩形中， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】 【跟踪专练2】矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，， 在中，， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在中，． 故选：B． 【题型8.证明四边形为矩形】 【典例】如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件 使四边形是矩形．（写一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 【跟踪专练1】四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理，逐一分析各选项条件是否满足矩形的定义或判定条件． 【详解】解：A、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项A不符合题意， B、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线垂直，此时平行四边形为菱形，但菱形的对角线不一定相等，无法保证四个角为直角，故不能判定为矩形，选项B符合题意， C、，，说明四边形是平行四边形，，说明有一个直角，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项C不符合题意， D、，，可推出且，说明是平行四边形；，说明，结合平行四边形性质得，对角线相等，故可判定为矩形，选项D不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，，，P是上一动点，于点E，于点F，M为的中点．    （1）四边形的形状是 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 矩形 【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形进行判断即可得出四边形的形状是矩形；连接，根据矩形的判定和性质得出，根据当时，的值最小，即的值最小，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ 又 ∴四边形是矩形； 连接．    ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 当时， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵时，最短，同样也最短， ∴当时，, ∴最短时，， ∴当最短时，． 即的最小值为． 故答案为：矩形；． 【点睛】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质得出解答． 【题型9.矩形判定定理理解】 【典例】下列说法错误的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； D、三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ． .   【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 【跟踪专练2】课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定、轴对称的性质等知识点，掌握矩形的判定定理成为解题的关键． 根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①四边形的四个角相等．四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角为90°，即为矩形．符合矩形定义，故①不符合题意； ②四条边相等．四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形（需额外有直角），故②不符合题意； ③对角线相等．仅对角线相等无法判定矩形（如等腰梯形对角线相等但不是矩形），需结合平行四边形条件，故③不符合题意； ④轴对称图形．轴对称图形不唯一（如菱形、等腰梯形均轴对称），无法确定是矩形，故④不符合题意． 故选A． 【题型10.添条件使四边形为矩形】 【典例】如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、不能判定平行四边形是矩形，故A选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B不符合题意； C、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C不符合题意； D、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 【题型11.用矩形性质判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【跟踪专练2】的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 【题型12.用矩形性质判定求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 【跟踪专练1】.如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出． 【详解】解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． 故选：． 【跟踪专练2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．过点作于，交于，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，根据矩形的性质得出，，，推得，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，交于，如图， 则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， 故， 解得， 故答案为：． 【题型13.用矩形性质判定求面积】 【典例】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 1．如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ， 四边形是矩形． 2．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【答案】(1) (答案不唯一) (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据题意添加合适的条件即可； （2）证明，则，又由，即可证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形成为矩形． 【详解】（1）添加的条件是； 故答案为： (答案不唯一) （2）证明∶ ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 3．已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 4．如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． （1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可； （2）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长． 【详解】（1）证明：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴． 5．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端点A相连，．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． (1)若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为，比长，求桥面的宽． 【答案】(1) (2)桥面的宽长为． 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质． （1）由勾股定理求出，求出，，，即得； （2）求出，， ，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴（）， ∵， ∴， 由题意可知：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴（）， ∴， 故从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵比长， ∴， ∵， ∴， ∴， 故桥面的宽长为． 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $