第10章第8课时 二元一次方程组的实际应用三大题型（行程+工程+经济）训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版七年级下册课时基础小卷 第10章 二元一次方程组第8课时 二元一次方程组实际问题专项·方法总结 一、核心解题步骤（万能模板） 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 1.审：读题找两个独立等量关系，圈关键词（和、差、倍、共、配套、相遇） 2.设：直接设元（问啥设啥）或间接设元（数字、年龄等） 3.列：据等量关系列两个方程，组方程组 4.解：代入/加减消元法求 x、y 5.验：①满足方程组 ②符合实际（人数、长度为正整数） 6.答：完整写答案，带单位 二、8大常考题型（公式+关系） 1.和差倍分：较大量=较小量+差；总量=倍数×分量 2.行程问题 路程=速度×时间 相遇：路程和=总路程；追及：路程差=距离 航行：顺水=静速+水速；逆水=静速-水速 3.工程问题：工作量=效率×时间；总工作量=各部分和 4.利润问题： 利润=售价-进价 利润率=利润/进价×100% 售价=标价×折扣 5.配套问题 两种物件数量成比例（1桌:4腿 → 腿=4×桌） 6.数字问题 两位数：10b+a（b十位、a个位） 7.年龄问题 年龄差永远不变 8.方案选择 题型一：行程问题（相遇+追及） 甲、乙两人相距36km，若两人同时出发相向而行，2小时后相遇；若两人同时出发同向而行，甲6小时可追上乙。求甲、乙两人的速度分别是多少？ 解析过程： 1.设未知数：设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h。 2.找等量关系列方程组： 相向而行：2小时相遇，总路程=两人路程和，即 2x + 2y = 36 同向而行：6小时甲追上乙，甲比乙多走36km，即 6x - 6y = 36 3.消元求解： 用(1)+(2)： 2x = 24 ，解得 x = 12 把 x=12 代入(1)： 12 + y = 18 ，解得 y = 6 4.答：甲的速度为12km/h，乙的速度为6km/h。 【变式训练一】从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟。甲地到乙地全程是多少？ 题型二：工程问题（合作+单独） 某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务。引进新设备前平均每天修路多少米？（用二元一次方程组求解） 解析过程： 1.设未知数：设引进新设备前平均每天修路x米，引进后平均每天修路y米。 2.列方程组： 效率关系：y = 2x 时间关系：600/x + 2400/y = 30（总任务3000米，修完600米后剩2400米） 3.代入求解： 把y=2x代入第二个方程：600/x + 2400/(2x) = 30 化简：600/x + 1200/x = 30 → 1800/x = 30 → x=60 则y=2×60=120 4.检验：x=60、y=120符合实际意义，是原方程组的解。 5.答：引进新设备前平均每天修路60米。 【变式训练二】某工程队修一条路，每天修80米，15天可以修完。如果前3天按原计划修完，剩下的要在8天内修完，每天需要多修多少米？（用二元一次方程组求解） 题型三：经济问题（配套+成本） 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 解析过程： 1.设未知数：设安排x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。 2.列方程组： 总人数：x + y = 22 配套关系：2000y = 2×1200x（螺母数量=2×螺钉数量） 3.化简方程组： 第二个方程化简：2000y=2400x → 5y=6x 4.解方程组： 由x+y=22得y=22-x，代入5y=6x： 5(22-x)=6x → 110-5x=6x → 11x=110 → x=10 则y=22-10=12 5.答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。 【变式训练三】某家具厂有28名工人，每人每天可以生产15张桌面或者60条桌腿。1张桌面需要配4条桌腿。已知生产一张桌面的成本为30元，生产一条桌腿的成本为5元。如果每天生产的桌面和桌腿刚好配套，求每天生产桌面和桌腿的工人各多少名？并求每天生产这批桌椅的总成本是多少元？ 10.3 二元一次方程组实际问题课堂检测（八） 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.A、B两地相距90km，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，3小时相遇；同向而行，甲5小时追上乙。求甲、乙的速度。 2.一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。甲先做2天，剩下的两队合作，还需几天完成？ 3.某车间有26名工人，每人每天可生产80个螺钉或104个螺母，1个螺钉配2个螺母。要使生产的螺钉和螺母正好配套，应安排多少人生产螺钉，多少人生产螺母？ 10.3 二元一次方程组实际问题变式训练答案解析 变式训练一答案解析 设未知数：设上坡路长为x千米，平路长为y千米。 列方程组： 从甲到乙：x÷3 + y÷4 = 0.9 从乙到甲：x÷5 + y÷4 = 0.7 解得x = 1.5 解得y = 1.6 全程：x + y = 1.5 + 1.6 = 3.1千米 答：甲地到乙地全程是3.1千米。 变式训练二答案解析 设未知数：设剩下的每天修x米，每天需要多修y米。 列方程组： ① 总路程：80×15 = 3×80 + 8x ② 多修的路程：y = x - 80 解方程组： 由①得：1200 = 240 + 8x → 8x = 960 → x = 120 由②得：y = 120 - 80 = 40 每天需要多修40米。 变式训练三答案解析 设x人生产桌面，y人生产桌腿。 x+y=28 60y=4×15x 解得 x=14，y=14。 总成本：14×15×30 + 14×60×5 = 10500元。 答：14人生产桌面，14人生产桌腿，总成本10500元。 10.3 二元一次方程组实际问题课堂检测（八）答案解析 1.设甲速度为x km/h，乙速度为y km/h。 3(x+y)=90 5(x−y)=90 解得 x=24，y=6 答：甲速度24km/h，乙速度6km/h。 2.设总工作量为1，甲每天1/10，乙每天1/15，合作还需t天。 2×(1/10) + t×(1/10+1/15)=1 解得 t=4.8 答：还需要4.8天。 3.设x人生产螺钉，y人生产螺母。 x+y=26 2×80x=104y 解得 x=6，y=20 答：6人生产螺钉，20人生产螺母。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $