精品解析：重庆市字水中学2025-2026学年八年级下学期期中学情测查数学试题卷

重庆市字水中学初二年级半期学情测查数学试题卷 （全卷四大题，满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡内． 1. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. ，2， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题关键是掌握勾股定理逆定理的内容，若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，最长边为 ， ，，， A不能作为直角三角形的三边长； 对于B选项，最长边为， ，，， B能作为直角三角形的三边长； 对于C选项，最长边为 ， ，，， C不能作为直角三角形的三边长； 对于D选项，最长边为， ，，， D不能作为直角三角形的三边长． 2. 如图，在中，，，平分线交于 ，交 的延长线于点 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得 ，再由平行线的性质并结合角平分线的定义可得，由等角对等边可得，,再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ ∴． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：， A 错误； ， B 正确； ， C 错误； ， D 错误． 4. 下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分； 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选C． 5. 如图，在矩形中，动点从点 开始沿的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示的面积S随点 的运动时间 的变化关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点P的运动速度为v，分点P在 上，点P在 上和点P在 上三种情况，根据三角形的面积公式得出面积S与t的关系式，再结合选项即得答案. 【详解】设点P的运动速度为v，点P在 上时，， 点P在 上时，，S是定值， 点P在 上时，， 所以，随着时间的增大，S先匀速变大至矩形的面积的一半，然后一段时间保持不变，再匀速变小至0，纵观各选项，只有D选项图象符合， 故选D. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象和矩形的性质，正确分类、得出S的变化趋势是解题关键. 6. 在Rt中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则 的长为（ ） A. B. C. 26 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，，， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 9. 如图，在菱形中，，点E为对角线 上一点，F为边上一点，连接 ， ，若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明； 连接 ，根据菱形的性质证得，，进而得到，证明，得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接 ， ∵四边形是菱形，E点在对角线 上， ， ∴， ， ∴ ∵ ∴A，E，C三点共线∶ 在和中 ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． 故选：C． 10. 关于 的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数 的绝对值之和为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上， 的取值范围是且，范围内的整数 为： 计算绝对值之和： 故选B. 二、填空（本大题6个小题，每空4分，共24分）请将正确答案填在答题卡内． 11. 函数y＝中自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可列不等式求解． 【详解】根据题意得：3x﹣2≥0，解得：x． 故答案为x． 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接 、 ，可得 与 垂直平分，利用勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图：连接 、 ，交于点 ，则： 与 垂直平分， ∵点，， ∴轴，，即， 轴，， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为： ． 13. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为 ，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为 ， 由题意，得， 解得：，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 14. 如图，在中，D分别是的中点，是上一点，连接若，则 的长度为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．先证明，继而得到；再证明为的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵是 的中点， ∴中，， ∴； ∵分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：12． 15. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作 和 的垂线，垂足分别为E、F．则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出 ，再利用三角形的面积求出，然后根据 的面积求出即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点A作于G， ，， ，， 即， 解得： ， 在矩形中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，根据三角形面积公式推出是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为 ，点 是 的中点，垂直平分 且分别交 、 于点 、 ，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用垂直平分线的性质，通过勾股定理列方程求出的长度，再在中用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接． 设，则， 点 是 的中点， ， ， ，， 垂直平分 ， ，即， ， 解得 ，则， ， ， ． 三、计算题（每题8分，共16分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. “五一”假期，小雯一家自驾去离家310公里的某景区旅游，她们离家的距离y（）与小车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示． （1）从小雯家到该景区一共用了多少时间？ （2）求出发1小时至3小时之间行驶速度是多少？ （3）小雯一家出发2.5小时时离目的地有多远？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）利用路程差除以时间差即可求解速度； （3）先求出2.5小时行驶的路程，再由总路程减去行驶的路程即为出发2.5小时后距离目的地的距离． 【小问1详解】 解：由函数图象可得，从小雯家到该景区一共用了； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，， ∴出发1小时至3小时之间行驶速度是； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，， 答：小雯一家出发2.5小时时离目的地有． 四、解答题（每题10分，共70分）． 19. 如图，在中， ． （1）求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示，四边形即为所要作的菱形； （2）菱形的面积为120． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作图等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）分别以B、C为圆心， 的长为半径画弧，二者交于点D，连接 ， ，则四边形即为所求； （2）连接交 于点 ，利用菱形的对角线互相垂直平分得到，，利用勾股定理求出 的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交 于点 ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 20. 先化简，再求值：（-）÷，其中x=-1． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式=[-]÷ =[-]÷ =÷ =× = 当x=-1时，原式=． 【点睛】考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 21.  如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线 折叠，点C落在点E处，交于点F． （1）求证：； （2）求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及翻折的性质进行证明即可； （2）设 ，则，根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设 ，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 22. 如图，在等腰中，平分，过点A作 交的延长线于D，连接 ，过点D作交 的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）菱形， 理由：∵平分， ∴，， ∵ ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握萎形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再证，可得，进而可得四边形是平行四边形，结，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直角三角形的性质可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 学习函数知识后，小明对新函数的性质及图象进行如下探究． （1）下表是该函数 与自变量 的几组对应值． x … 0 1 2 … y … m 0 0 n … 其中 ___________，___________． （2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质． （3）结合图象分析，当时， 的取值范围为___________． 【答案】（1）3，1 （2）图象见解析，一条性质为：函数的最小值为（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）把， 代入函数解析式即可求解函数值； （2）描点、连线即可作出函数图象；可根据增减性，最值方面分析函数的性质； （3）时， 的取值范围即函数图象在直线上方时对应的 的取值范围． 【小问1详解】 解：对于， 当时，； 当 时， 【小问2详解】 解：描点连线可得函数图象如图： 一条性质为：函数的最小值为（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由函数图象可得，时， 的取值范围为或． 24. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 （1）若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1） A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 （2） 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【解析】 【分析】（1）设 型台灯购进 盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：设A型台灯购进 盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； 【小问2详解】 解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随 的增大而减小， ∵ 为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 25. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长． 【答案】（1）是，见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证法一：证明△ABC≌△ADC，即可得解；证法二：根据垂直平分线的性质证明即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理计算即可； 【详解】解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形． 理由如下： 证法一： ∵，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC． ∴∠BAC＝∠DAC． ∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线． ∴． ∴四边形ABCD是垂美四边形． 证法二： 连结AC、BD交于点E． ∵， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴直线AC是线段BD的垂直平分线． ∴． ∴四边形ABCD是垂美四边形． （2）如图2，在垂美四边形ABCD中， ∵于点O， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°． ∴． ． ． ． ∴． ． ∴． （3）分别连结CD、BE， 如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°， ∴． 即． 在和中， ， ∴． ∴． ∵∠BAE＝90°， ∴． ∴． ∴，即． ∴四边形CDEB是垂美四边形． 由（2）得：． ∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝， ∴． ． ． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理、垂直平分线的性质计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市字水中学初二年级半期学情测查数学试题卷 （全卷四大题，满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡内． 1. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. ，2， 2. 如图，在中，，，平分线交 于 ，交 的延长线于点 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 5. 如图，在矩形 中，动点从点 开始沿的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示的面积S随点 的运动时间的变化关系的是( ) A. B. C. D. 6. 在Rt 中，，以 的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则 的长为（ ） A. B. C. 26 D. 6 7. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 9. 如图，在菱形 中，，点E为对角线 上一点，F为 边上一点，连接， ，若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 关于 的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数 的绝对值之和为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 21 二、填空（本大题6个小题，每空4分，共24分）请将正确答案填在答题卡内． 11. 函数y＝中自变量x的取值范围是_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点 的坐标为_____________． 13. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 14. 如图，在 中，D分别是的中点，是上一点，连接若，则 的长度为_____． 15. 如图，在矩形 中，，，P是 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作 和 的垂线，垂足分别为E、F．则_______． 16. 如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点，垂直平分 且分别交 、 于点 、 ，则___________． 三、计算题（每题8分，共16分） 17. 计算： （1） （2） 18. “五一”假期，小雯一家自驾去离家310公里的某景区旅游，她们离家的距离y（）与小车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示． （1）从小雯家到该景区一共用了多少时间？ （2）求出发1小时至3小时之间行驶速度是多少？ （3）小雯一家出发2.5小时时离目的地有多远？ 四、解答题（每题10分，共70分）． 19. 如图，在 中， ． （1）求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 20. 先化简，再求值：（-）÷，其中x=-1． 21.  如图 ：在矩形 中，，将矩形沿对角线 折叠，点C落在点E处， 交 于点F． （1）求证：； （2）求 的长． 22. 如图，在等腰 中，平分，过点A作 交的延长线于D，连接 ，过点D作交 的延长线于E． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 23. 学习函数知识后，小明对新函数的性质及图象进行如下探究． （1）下表是该函数 与自变量 的几组对应值． x … 0 1 2 … y … m 0 0 n … 其中 ___________，___________． （2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质． （3）结合图象分析，当时， 的取值范围为___________． 24. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 （1）若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 25. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $