精品解析：河北石家庄市第四十中学2025-2026学年下学期阶段性学业质量评价七年级 数学学科

2025-2026学年第二学期阶段性学业质量评价 初一年级数学学科 时间：120分钟；分值：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 假设，2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图．将数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列给出的条件，能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 内错角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 点到直线的垂线段叫做点到直线的距离 11. 某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：_______． 14. 已知是关于的方程的一个解，则的值为______． 15. 已知，，则代数式的值为________． 16. 如图，已知长方形ABCD，将三角形BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为点C′，若∠ADC′＝20°，则∠DBC的度数为 _________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程组 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，． （1）试说明：； 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （① ）， 又， ②_________=_________（等量代换）， （③ ） （2）若，平分，求的度数． 20. 【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为： ，图2中阴影部分面积可表示为 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： ． 【拓展】 （2）图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式 ； 【迁移】 （3）若，，求与的值． 21. 如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． （1）28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 22. 为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 23. 如图，已知，点为直线上一点，现将一个含角的三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，，． （1）当时，___________； （2）猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的基础上，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设转动时间为，直接写出当为何值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性学业质量评价 初一年级数学学科 时间：120分钟；分值：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 2. 假设，2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图．将数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 3. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得的度数，根据对顶角相等可得，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 5. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例，不等式的性质，掌握知识点是解题的关键． 逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：A、∵，， ，，， ， ∴， 故命题“若，则”成立，不符合题意． B、∵，， ，，， ， ， 故命题“若，则”成立，不符合题意． C、∵，， ，，， ， ， 故命题“若，则”不成立，符合题意． D、∵，， ，，， ， ∴， 故命题“若，则”成立，不符合题意． 故选：C． 6. 下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 7. 下列不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 8. 如图，下列给出的条件，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不符合题意； 故选：B． 9. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 内错角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 点到直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线性质、平行公理、点到直线的距离的概念，根据相关知识点逐项判断即可求解． 【详解】解：A、只有两直线平行时，内错角才相等，选项缺少前提条件，故错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，不是相等，故错误，不符合题意； C、根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故正确，符合题意； D、点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，故错误，不符合题意． 11. 某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据总工人人数和配套比例关系，列出对应方程组即可判断正确选项． 【详解】解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得； 因此方程组为． 12. 如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质：对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形逐一判断四个结论即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确；  ，  ． 由平移可知，，  ，故正确； 四边形的周长为，  的周长为，  由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确；  ，  ．  ，，  ， ，  四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 14. 已知是关于的方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由二元一次方程解的定义得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：是关于的方程的一个解， ， 解得． 15. 已知，，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方逆运算与同底数幂的除法逆运算，先将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 16. 如图，已知长方形ABCD，将三角形BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为点C′，若∠ADC′＝20°，则∠DBC的度数为 _________． 【答案】35°##35度 【解析】 【分析】由折叠的性质知，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【详解】解：如图，设AD与BC′交于点E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AD∥BC， ∴∠3=∠4， ∵△BC′D是由△BCD翻折得到， ∴∠2=∠4，∠C=∠C′=90°，∠BDC=∠BDC′， ∴∠2=∠3， ∵∠ADC′=20°， ∴∠1=90°-∠ADC′=70°， ∵∠1=∠2+∠3， ∴∠2=∠3=×70°=35°， ∴∠DBC=∠2=35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题利用了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程组 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）将原式根据积的乘方逆运算进行变形计算即可； （3）先计算零指数幂，有理数的乘方，再计算加法即可； （4）根据加减消元法计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， 原方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； 将代入得，原式． 19. 如图，，． （1）试说明：； 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （① ）， 又， ②_________=_________（等量代换）， （③ ） （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，则，进而可证． （2）由，，可得，由角平分线的定义可得，由，可得，然后作答即可． 【小问1详解】 证明：∵， （两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20. 【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为： ，图2中阴影部分面积可表示为 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： ． 【拓展】 （2）图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式 ； 【迁移】 （3）若，，求与的值． 【答案】（1）；； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可，再根据面积相等列式即可； （2）用两种方法分别用代数式表示图4中阴影部分的面积列式即可； （3）根据（2）所得结论将已知代数式代入计算即可得到，再根据完全平方公式变形求解． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分面积可表示为：， 图2中阴影部分面积可表示为：， 两个图中的阴影部分面积是相同的， 可得到等式：； 【小问2详解】 解：图4中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图4中阴影部分的面积也可以看作大正方形与个空白长方形的面积差，即， 可得到等式：； 【小问3详解】 解：，， ； ． 21. 如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． （1）28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 【答案】（1）不是 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设较小奇数为，根据“智慧数”的定义得，求出n的值判断是否符合“智慧数”的定义即可； （2）由可知16是一个“智慧数”； （3）利用平方差公式进行分解，判断分解后的结果是否是8的倍数即可． 【小问1详解】 解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，   展开整理得，   解得， ∵不是奇数， ∴28不是“智慧数” 【小问2详解】 解：∵，且和是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”； 【小问3详解】 解： ， ∵是8的倍数， ∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除． 22. 为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 【答案】（1）A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元 （2）学校共有三种购进方案：方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解； （2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得，整理得，再求其正整数解即可． 【小问1详解】 解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元． 【小问2详解】 解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个． 根据题意，得， ． 由题意得m，n均为正整数， 或或． 学校共有三种购进方案： 方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个； 方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个； 方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个． 23. 如图，已知，点为直线上一点，现将一个含角的三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，，． （1）当时，___________； （2）猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的基础上，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设转动时间为，直接写出当为何值时，． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）当或秒时， 【解析】 【分析】（1）先求出的度数，再根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，利用两次平行线的性质，找到等量关系； （3）分两种情况讨论：当与在直线异侧且平行时，当与在直线同侧且平行时，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当与在直线异侧且平行时， 如图，当射线旋转到时，旋转至，延长至点， ， ， ， ， 由（1）知，， 由题意知，，， ，解得； 当与在直线同侧且平行时， 如图，当射线旋转到时，旋转至， ， ， 由题意知，，， ， 解得， 当或秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $