8.6.3·平面与平面垂直的判定与性质+二面角【知识梳理+6个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.6.3·平面与平面垂直的判定与性质+二面角】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面与平面垂直的有关概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1面面垂直定义：两个平面相交如果它们所成的二面角是直二面角就说这两个平面互相垂直 2二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形直线为棱半平面为面 3直二面角：平面角为90°的二面角 4易混概念： 线面垂直不能直接推出面面垂直需直线在其中一个平面内 面面垂直时一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面 解题方法 1定义辨析：紧扣面面垂直的定义注意二面角为直二面角的前提 2命题判断：利用面面垂直的定义和判定性质逐一分析命题真假重点关注特殊情况 3模型验证：结合正方体长方体等模型直观判断命题的正误 （2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　）经典例题1例题 A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 （25-26高二下·湖南·月考）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 （2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．，， （25-26高三上·陕西榆林·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （25-26高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2：证明平面与平面垂直】 【练方法】 知识梳理 1面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直 2符号表示： 3其他判定方法：证明两个平面所成的二面角为直二面角 解题方法 1核心判定法：找一个平面内的一条直线证明这条直线垂直于另一个平面 利用线面垂直的判定定理先证明线线垂直再证明线面垂直最后推出面面垂直 常见辅助线：等腰三角形底边的高直角三角形的直角边 2二面角法：证明两个平面所成的二面角的平面角为90°从而证明面面垂直 （25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． （2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面经典例题2例题 （25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 （2026·四川泸州·模拟预测）（多选）若是正四棱台的棱上的动点（包括端点），则（    ）小试牛刀2 A．存在点，使得平面 B．直线与异面 C．平面平面 D．若，则平面平面 （2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD；小试牛刀3 【题型3：平面与平面垂直的性质】 【练方法】 知识梳理 1面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 2符号表示： 3推论： 如果两个平面垂直那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 垂直于同一个平面的两个平面的交线垂直于该平面 4应用：证明线面垂直线线垂直 解题方法 1性质应用：利用面面垂直的性质定理过一个平面内一点作交线的垂线得到垂直于另一个平面的直线 2辅助线构造：过点作交线的垂线利用性质定理得到线面垂直再进行后续计算或证明 3垂直转化：将面面垂直转化为线面垂直再利用线面垂直的性质解决问题 （25-26高一下·浙江温州·期中）如图，在四棱柱中，平面平面，，且．经典例题1例题 (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； （25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． （25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：.小试牛刀1 （25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．小试牛刀2 (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． （25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：；小试牛刀3 【题型4：平面与平面垂直的存在性问题】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或线使得两个平面垂直 2核心依据：面面垂直的判定定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的点或线再找一个平面内的一条直线证明这条直线垂直于另一个平面 2几何构造法：利用等腰三角形直角三角形等几何特征找到满足条件的点或线构造面面垂直 3验证：对找到的点或线验证是否满足面面垂直的条件 （2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点．经典例题1例题 (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （23-24高一下·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点.经典例题2例题 (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. （23-24高一下·湖南·月考）如图，在正三棱柱中，为的中点.小试牛刀1 (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面．小试牛刀2 (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． （23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.小试牛刀3 (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【题型5：求二面角的大小】 【练方法】 知识梳理 1二面角的平面角定义：以二面角的棱上任意一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角 2取值范围： 3核心方法：定义法垂面法三垂线法 解题方法 1定义法： 在二面角的棱上取一点 在两个半平面内分别作棱的垂线 计算两条垂线所成的角 2垂面法：作一个垂直于棱的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 3三垂线法：过一个半平面内一点作另一个半平面的垂线过垂足作棱的垂线连接该点与垂足得到二面角的平面角 4特殊模型法：利用正方体长方体中面与面的夹角直接求二面角 （25-26高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，，，为的中点．经典例题1例题 (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． （2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形．经典例题2例题 (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． （25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且．小试牛刀1 (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． （25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点．小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． （2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， 小试牛刀3 (1)求证：平面 平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【题型6：由二面角求其他量】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：已知二面角的大小求棱长高面积等几何量 2核心依据：二面角的平面角与三角形边角关系 3常见载体：棱柱棱锥中的截面问题 解题方法 1构造平面角：根据二面角的平面角定义作出平面角 2利用直角三角形：将已知二面角的平面角放入直角三角形中利用三角函数关系求解棱长高面积等几何量 3等面积法：利用射影面积公式其中为二面角的平面角求面积或二面角 （25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为．经典例题1例题 (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． （2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面.经典例题2例题 (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. （2026·云南昭通·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． （25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·吉林长春·期中）设是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列说法中错误的为（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、多选题 3．（25-26高二上·陕西·期中）已知，，是三个不同的平面，且，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与可能互相垂直 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 5．（25-26高二上·重庆·期中）正方体中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面平面 三、填空题 6．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 四、解答题 7．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 8．（25-26高三上·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 9．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，且分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 10．（25-26高三上·甘肃天水·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在线段上，且．    (1)求证：平面平面； (2)给出二面角的平面角，并说明理由，求出二面角的余弦值； (3)设点在线段上，且，点是否共面？如四点共面，请证明：如果不共面，请说明理由． 11．（25-26高三上·河北·期中）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 12．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，.    (1)求证：平面平面ABC； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 13．（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 14．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 16．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.6.3·平面与平面垂直的判定与性质+二面角】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面与平面垂直的有关概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1面面垂直定义：两个平面相交如果它们所成的二面角是直二面角就说这两个平面互相垂直 2二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形直线为棱半平面为面 3直二面角：平面角为90°的二面角 4易混概念： 线面垂直不能直接推出面面垂直需直线在其中一个平面内 面面垂直时一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面 解题方法 1定义辨析：紧扣面面垂直的定义注意二面角为直二面角的前提 2命题判断：利用面面垂直的定义和判定性质逐一分析命题真假重点关注特殊情况 3模型验证：结合正方体长方体等模型直观判断命题的正误 （2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　）经典例题1例题 A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 【答案】BC 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A选项，，，当时， 因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B选项，因为与所成角为，，如下图所示： 若，设直线交平面于点， 在直线上取异于点的点，过点作交平面于点，连接， 则，线面角的定义可知，故， 从而可知直线、所成角为，这与矛盾，故与不垂直，所以与不垂直， 故与平面不垂直，而过直线上一点，有且只有一条过点且垂直于平面的直线， 记这条直线为，直线和直线确定的平面， 由面面垂直的判定定理可知平面平面， 若还有另一个平面，且，则平面与平面的交线即也垂直于， 这与与平面不垂直矛盾，故平面即为平面，故存在唯一平面与垂直， 而，故存在唯一平面，使得该平面与垂直，故B正确； 对于CD选项，由，，，得与的关系是或， 所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. （25-26高二下·湖南·月考）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A. 若，，则与平行或异面，故A错误； 对于B. 若，，，则，故，故B正确； 对于C. 若，，则或，故C错误； 对于D. 若，又，根据面面垂直的判定，即有， 若，由于，，则，过任作一个面，使其和相交于直线， 根据线面平行的性质定理，，又则，结合，即，故D错误.. （2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. （25-26高三上·陕西榆林·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定和性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，，，则与可能异面，故A错误； 对于B，若，，，则与相交时，与都与交线平行时， 也满足条件，故B错误； 对于C，若，，，则与可能平行，故C错误. 对于D，若，，，则，故D正确. 故选：D. （25-26高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线和平面的位置关系，举反例可判断ABD，利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断C. 【详解】对A，记，如图，当时，，错误；    对B，若，直线有可能平行，有可能异面，错误；    对C，过直线作平面与平面相交于直线，因为，所以，    又，所以，又，所以，正确； 对D，如下图，，当时，满足，此时两平面不平行，错误.    故选：C 【题型2：证明平面与平面垂直】 【练方法】 知识梳理 1面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直 2符号表示： 3其他判定方法：证明两个平面所成的二面角为直二面角 解题方法 1核心判定法：找一个平面内的一条直线证明这条直线垂直于另一个平面 利用线面垂直的判定定理先证明线线垂直再证明线面垂直最后推出面面垂直 常见辅助线：等腰三角形底边的高直角三角形的直角边 2二面角法：证明两个平面所成的二面角的平面角为90°从而证明面面垂直 （25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； （3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解． 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又 平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． （2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】直接用面面垂直的判定定理判断ABD选项，对C可反证法，如果平面平面成立，则可得平面，而不垂直平面，故C错误. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. （2026·四川泸州·模拟预测）（多选）若是正四棱台的棱上的动点（包括端点），则（    ）小试牛刀2 A．存在点，使得平面 B．直线与异面 C．平面平面 D．若，则平面平面 【答案】BC 【分析】利用反证法结合线面垂直的性质可判断A选项；利用异面直线的概念可判断B选项；推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断C选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断D选项. 【详解】A，若存在点，使得平面， 因为平面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面， 所以平面，平面， 所以，事实上，四边形为等腰梯形，即与不垂直，A错； B，将正四棱台补成正四棱锥，如下图所示： 则平面，若直线与共面，则点与点重合时，直线与共面， 但为线段上的点，即点不可能与点重合，故与异面，B对； C，设，则为正方形的中心，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面，C对； D，设，则为的中点， 若平面平面，且平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得， 因为，则为的中点，为的中点，所以， 在平面内，过点且平行于的直线有且只有一条，矛盾，故假设不成立，D错. （2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD；小试牛刀3 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 【题型3：平面与平面垂直的性质】 【练方法】 知识梳理 1面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 2符号表示： 3推论： 如果两个平面垂直那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 垂直于同一个平面的两个平面的交线垂直于该平面 4应用：证明线面垂直线线垂直 解题方法 1性质应用：利用面面垂直的性质定理过一个平面内一点作交线的垂线得到垂直于另一个平面的直线 2辅助线构造：过点作交线的垂线利用性质定理得到线面垂直再进行后续计算或证明 3垂直转化：将面面垂直转化为线面垂直再利用线面垂直的性质解决问题 （25-26高一下·浙江温州·期中）如图，在四棱柱中，平面平面，，且．经典例题1例题 (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . （25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面角推出所需线段长度，再将三棱锥转换顶点进行求解. 【详解】（1）因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. （25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：.小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. （25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．小试牛刀2 (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明； （2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和. 【详解】（1）证明：取AD的中点O，连接PO, 因为为等边三角形，且O为AD中点， 所以 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面 . 又平面，因而 因为，，所以 由平面，平面PAD，， 所以平面 . （2）连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD， 所以PC在平面ABCD内的投影为OC， 故是与平面所成的角，即 ，由题得，， 因为平面PAD，，所以平面PAD，所以． 因此，， 取CD的中点M，连接BM、QM， 则 所以多面体PQABCD的体积是. （25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：；小试牛刀3 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 【题型4：平面与平面垂直的存在性问题】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或线使得两个平面垂直 2核心依据：面面垂直的判定定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的点或线再找一个平面内的一条直线证明这条直线垂直于另一个平面 2几何构造法：利用等腰三角形直角三角形等几何特征找到满足条件的点或线构造面面垂直 3验证：对找到的点或线验证是否满足面面垂直的条件 （2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点．经典例题1例题 (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． （23-24高一下·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点.经典例题2例题 (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接，利用三角形的中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由面面垂直的性质可证得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，则直线与平面所成角为，从而可求得答案； （3）当时，可证得平面平面，设，然后在等腰直角三角形中利用平面向量的知识计算即可. 【详解】（1）证明：设，连接， 因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面 （2）因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方形的边长为2，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在，当时，平面平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设，则，所以， 由（2）知平面， 因为平面，所以，所以， 因为， ， 所以， 所以，得，解得， 所以当时，平面平面. （23-24高一下·湖南·月考）如图，在正三棱柱中，为的中点.小试牛刀1 (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. （2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面．小试牛刀2 (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． （23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.小试牛刀3 (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 【题型5：求二面角的大小】 【练方法】 知识梳理 1二面角的平面角定义：以二面角的棱上任意一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角 2取值范围： 3核心方法：定义法垂面法三垂线法 解题方法 1定义法： 在二面角的棱上取一点 在两个半平面内分别作棱的垂线 计算两条垂线所成的角 2垂面法：作一个垂直于棱的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 3三垂线法：过一个半平面内一点作另一个半平面的垂线过垂足作棱的垂线连接该点与垂足得到二面角的平面角 4特殊模型法：利用正方体长方体中面与面的夹角直接求二面角 （25-26高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，，，为的中点．经典例题1例题 (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得. 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得 ． 所以锐二面角的余弦值为 （2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形．经典例题2例题 (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）作于，作交于，根据二面角的定义可得是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由，所以， 又为正三角形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）作于，作交于， 所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，， 所以，又为正三角形， 所以，所以为的中点， 所以，所以， 又，所以，所以为的中点， 所以，又是以为斜边的直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理有： ， 所以. （25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且．小试牛刀1 (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可.. 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点．小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形即为截面， 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点，连接交于，连接，作交于，连接，由面面角定义确定二面角平面角，计算即可求解； （3）延长于，连接于，则四边形即为截面，根据为的重心，计算对应边长可知截面周长. 【详解】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． （2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， 小试牛刀3 (1)求证：平面 平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面； （2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 【题型6：由二面角求其他量】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：已知二面角的大小求棱长高面积等几何量 2核心依据：二面角的平面角与三角形边角关系 3常见载体：棱柱棱锥中的截面问题 解题方法 1构造平面角：根据二面角的平面角定义作出平面角 2利用直角三角形：将已知二面角的平面角放入直角三角形中利用三角函数关系求解棱长高面积等几何量 3等面积法：利用射影面积公式其中为二面角的平面角求面积或二面角 （25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为．经典例题1例题 (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点，利用等体积法求点面距离，计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． （2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面.经典例题2例题 (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. （2026·云南昭通·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出二面角的平面角及异面直线与的夹角，再根据余弦定理即可求解． 【详解】取的中点，连接，， 因为四边形是正方形，所以，， 又，平面，平面，平面平面, 所以为二面角的平面角，且， 取，的中点、，连接，，，则，， 所以或其补角是异面直线与的夹角， 设，则，，， 在中， 由余弦定理得，，解得， 又因为，为中点，所以，， 在中，， 在中，由余弦定理可得，． 即异面直线AB与CD的夹角余弦值为． （23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 （25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·吉林长春·期中）设是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列说法中错误的为（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】A 【分析】利用线面平行性质可判断A，利用平行传递性可判断B，利用空间的垂直和平行位置关系可判断CD. 【详解】由，可知或是异面直线，故A错误； 若，且 是三个不同的平面，则 ， 故B正确； 由可得，又因为，所以，故C正确； 由，可得，再由，可得，故D正确； 故选：A. 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 二、多选题 3．（25-26高二上·陕西·期中）已知，，是三个不同的平面，且，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与可能互相垂直 【答案】AB 【分析】结合特例，判断A、B、D；利用定理证明C. 【详解】对于A：如图，正方体中， 平面平面，平面⊥平面， 但平面与平面不平行，A错误； 对于B：如图，正方体中， 平面平面，平面平面， 但平面与平面不平行，B错误； 对于C：因为，设，则，可得， 因为，所以，所以，C正确； 对于D：如图，正方体中， 平面平面，平面⊥平面， 平面平面；而平面平面， 但平面与平面不垂直， 即若，则与可能互相垂直也可能不互相垂直，D正确. 故选：AB.    4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 【答案】ABD 【分析】取中点，连接，证明平面可得A；作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH，利用线面垂直和几何关系找到即为与平面所成角可得B；由即为二面角的平面角结合几何关系可得C；作，垂足为，作，垂足为，连接，由几何关系可得D. 【详解】选项A：如下图所示，取中点，连接， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； 选项B：如下图所示，作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH， 由可得， 所以即为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，为等腰三角形， 所以，即； 选项C：若，则平面， 因为，所以即为二面角的平面角， 因为，可求得， 所以， 所以二面角小于； 选项D：如下图所示，作，垂足为，作，垂足为，连接， 因为，所以平面， 因为，所以，， 因为，所以，， 所以. 5．（25-26高二上·重庆·期中）正方体中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面平面 【答案】AB 【分析】根据异面直线所成角的定义可判断A；由二面角的定义，找到二面角的平面角，判断B；由线面角的定义作出并求得直线与平面所成角，判断C；设正方体的棱长为a，棱的中点，连接，求得平面与平面所成的角，判断D. 【详解】对于A，连接，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以为直线与直线所成的角， 连接，则，所以是正三角形， 所以，所以A正确； 对于B，由正方体的性质知，平面， 因为平面，所以； 因为，平面， 所以是二面角的平面角， 易知， 所以二面角的大小为，所以B正确； 对于C，由正方体的性质知，平面， 所以是直线与平面所成的角， 易知， 所以直线与平面所成角为，所以C错误； 对于D，设正方体的棱长为a， 易知与均为边长为的正三角形， 如图，取棱的中点，连接， 则， 则为平面与平面所成角的平面角， 且， 又，所以， 所以，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 6．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 四、解答题 7．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线线垂直证平面，进而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）先根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中用余弦定理可得角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接， 且，所以四边形为平行四边形，所以 平面平面，. 又为圆的直径 平面平面, 平面，又，平面，平面 ∴平面平面 （2）延长交圆于点，连接 易得，所以且，所以. 且，所以四边形是平行四边形，即且， 因此可得且，四边形是平行四边形，即. 所以或其补角即为异面直线与所成角. ∵点为弧的中点且为直径，且，可得. ，在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8．（25-26高三上·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合面面垂直性质定理即可求解； （2）由（1）得到平面，进而可求证； （3）由等体积即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 9．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，且分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定，结合平行公理推理得证. （2）利用线面垂直的判定及面面垂直的判定推理得证.. 【详解】（1）由分别是的中点，得且， 又四边形为正方形，则且， 因此且，四边形为平行四边形，则， 而平面，且平面，所以平面. （2）由底面，平面，得， 在正方形中，，而，平面， 则平面，又平面，于是， 而且为的中点，则， 由，且平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 10．（25-26高三上·甘肃天水·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在线段上，且．    (1)求证：平面平面； (2)给出二面角的平面角，并说明理由，求出二面角的余弦值； (3)设点在线段上，且，点是否共面？如四点共面，请证明：如果不共面，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)即为二面角的平面角，理由见解析， (3)共面，证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证平面，再利用面面垂直的判定定理求证； （2）根据二面角的平面角的定义求证，再在中利用余弦定理可得； （3）设为中点，求证四边形为平行四边形，得出即可. 【详解】（1）平面，平面，， ，，平面，平面， 又平面，平面平面； （2），为中点，， 平面，平面，， ，，，平面， 平面， 又平面，则， 因此即为二面角的平面角， 由，可得， 因平面，平面，则，则， ，，且， 因平面，平面，则， 所以， 在中由余弦定理得， ， 因此， 再由余弦定理，， 因此二面角的余弦值为； （3）设为中点，由题意得，可得， 因此，，因此， 故四边形为平行四边形，， 由为中点，则，因此，因此四点共面．    11．（25-26高三上·河北·期中）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求得相关线段长，利用中位线、平行线的性质证明，通过计算得到，再应用线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （3）若为的交点，为的交点，连接，根据面面角的定义得到为平面与平面的平面角，再通过计算得，从而有，最后根据已知求各边长，进而得到角的大小. 【详解】（1）由的中点分别为，则， 而平面，平面，故平面； （2）由，则， 又，显然为的中点，则，， 由的中点分别为，则，所以， 由的中点为，则，且， 所以，，又， 所以，则，故， 由，， 所以，在和中，而， 所以，故， 又且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （3）如图，若为的交点，为的交点，连接， 由平面，平面，则，又，即， 由平面，平面，平面平面， 所以为平面与平面的平面角， 由等面积法有，可得， 所以，则，故， 所以， 由（2）知，， 由， 所以，则， 所以， 又，则， 所以， 中，故， 所以，即平面与平面的夹角为. 12．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，.    (1)求证：平面平面ABC； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取中点，连接，进而根据边长关系证明平面即可证明结论； （2）取的中点连接，进而得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图， ∵是一个边长为2的正三角形，∴，且， ∵，∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵，∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面.    （2）取的中点连接 ∵为的中点∴，且， ∴是异面直线与所成的角或其补角， 取中点，连接， ∵在中，为中点，∴，， ∵在中，，，， ∴由余弦定理得，即， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴ ∴，即， ∴在中，， ∴异面直线与所成的角的余弦值为.    13．（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又 平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 14．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）由锥体体积公式直接计算可得结果； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以 . （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 15．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 16．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $