8.1：基本立体图形【知识梳理+6个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.1：基本立体图形】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱柱棱锥棱台的结构特征与分类】 【练方法】 知识梳理 1棱柱 定义：有两个面互相平行其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行由这些面围成的多面体 分类：按底面边数分三棱柱四棱柱五棱柱等；按侧棱与底面垂直分直棱柱斜棱柱；特殊棱柱有长方体正方体正棱柱 结构特征：两个底面全等且平行侧棱平行且相等侧面都是平行四边形 2棱锥 定义：有一个面是多边形其余各面是有一个公共顶点的三角形由这些面围成的多面体 分类：按底面边数分三棱锥四棱锥五棱锥等；特殊棱锥有正棱锥（底面正多边形顶点在底面的射影是底面中心） 结构特征：底面是多边形侧面都是有公共顶点的三角形侧棱交于一点 3棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥底面和截面之间的部分 分类：对应棱锥分三棱台四棱台等；特殊棱台有正棱台（由正棱锥截得） 结构特征：上下底面平行且相似侧棱延长线交于一点侧面都是梯形 解题方法 1紧扣定义判断几何体类型逐一验证结构特征 2区分特殊几何体：正棱柱/正棱锥/正棱台需同时满足“底面正多边形+对应高的位置” 3利用结构特征计算棱长高侧面积等基础量 4结合直观图（斜二测画法）还原几何体结构 易错辨析 1误将“侧棱平行”的多面体当作棱柱忽略“两个底面平行”的核心条件 2混淆棱锥与棱台：棱台侧棱必须延长线交于一点仅上下底平行的梯形多面体不一定是棱台 3正棱锥仅满足“底面正多边形”不够必须满足“顶点在底面射影为中心” 4棱柱的侧面都是平行四边形但平行四边形围成的多面体不一定是棱柱 （23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）下列说法不正确的是（　　）经典例题1例题 A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【答案】D 【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故A正确；正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误； 故选：D. （25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 【答案】ABC 【详解】选项A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确； 选项B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确； 选项C，四个平面围成的封闭多面体，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥（四面体）的定义，C正确； 选项D，如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误． （25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）小试牛刀1 A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【分析】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断. 【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确； 对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误； 对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误； 对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误. 故选：A. 【多选题】（25-26高二上·四川内江·月考）下列说法中正确的有（    ）小试牛刀2 A．正四面体是正三棱锥． B．棱锥的侧面是全等的三角形． C．平行六面体各个面都是平行四边形． D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点． 【答案】ACD 【分析】根据棱锥、平行六面体、棱台的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A正确； 对于B，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B错误； 对于C，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，C正确； 对于D，棱台可视为棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体， 因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D正确. 故选：ACD 【多选题】（24-25高一下·山西大同·月考）下列选项中，不正确的是（    ）小试牛刀3 A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【分析】根据棱锥、棱台的结构特征，结合各项的描述和空间想象判断正误即可. 【详解】若用一个不平行于底面的平面截棱锥，不能得到棱台，故A错； 如下图示，矩形与矩形平行且相似，各侧面都是等腰梯形， 但不能保证四条侧棱延长后交于同一点，故B，C错； 由棱锥与棱台的结构特征及关系知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D正确． 故选：ABC 【题型2：圆柱圆锥圆台的结构特征与分类】 【练方法】 知识梳理 1圆柱 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 结构特征：两个底面是全等且平行的圆侧面是曲面母线平行且相等轴截面是矩形 2圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 结构特征：底面是圆侧面是曲面母线交于顶点轴截面是等腰三角形 3圆台 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥底面和截面之间的部分；也可由直角梯形绕垂直于底的腰旋转得到 结构特征：上下底面是平行且相似的圆侧面是曲面母线延长线交于一点轴截面是等腰梯形 解题方法 1紧扣旋转体定义明确旋转轴与旋转图形 2利用轴截面（过轴的截面）将空间问题转化为平面几何问题 3结合母线高底面半径的关系（如圆锥）计算相关量 4区分旋转体与多面体的结构差异避免混淆 易错辨析 1误将“上下底是圆的台体”当作圆台忽略“母线延长线交于一点”的核心条件 2混淆圆柱与棱柱：圆柱是旋转体侧面是曲面棱柱是多面体侧面是平面 3圆锥轴截面是等腰三角形但等腰三角形旋转形成的不一定是圆锥（旋转轴需为高） 4圆台可由圆锥截得但不可由圆柱截得避免概念混淆 （23-24高一下·陕西汉中·期末）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ）经典例题1例题 A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 【答案】D 【分析】利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断A；利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接可判断B；考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；在正方体中，取三棱锥即可判断D. 【详解】对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误； 对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件， 但该几何体不是棱台，B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误； 对于D，如图3，在正方体中，连接， 因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 又平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D （24-25高一下·天津河西·月考）以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为________．经典例题2例题 【答案】3 【分析】根据正棱锥的定义可判断①正确；根据圆柱的定义判断②错误；根据直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，可判断③是错误的；根据圆锥的轴截面是全等的等腰三角形，可得④正确. 【详解】由正棱锥的定义知①正确； 直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，②错误； 由圆柱母线的定义知③正确； 由圆锥的轴截面是全等的三角形知④正确； 故答案为：3. （24-25高一下·河北邯郸·期中）下列四个命题中正确的是（   ）小试牛刀1 A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D 【多选题】（24-25高一下·辽宁·月考）下列命题中为假命题的有（    ）小试牛刀2 A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 【答案】AB 【分析】利用圆台、棱台、棱柱的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A错误； 对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，五棱柱共有10个顶点，5条侧棱，D正确. 故选：AB 【多选题】（24-25高二上·湖北随州·月考）下列说法中不正确的是（    ）小试牛刀3 A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断. 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错； 对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确， 故选：ABC. 【题型3：球的结构特征】 【练方法】 知识梳理 1定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴半圆面旋转一周形成的旋转体也叫球体 2结构特征：球心到球面上任意一点的距离都等于半径；球的截面都是圆其中过球心的截面叫大圆（半径为）不过球心的截面叫小圆（半径为球心到截面的距离） 3相关公式：球的表面积体积 4球与其他几何体的切接：外接球（几何体顶点都在球面上）内切球（球与几何体各面都相切） 解题方法 1利用球的截面性质建立球心截面圆心截面圆周上点的直角三角形 2外接球问题：找几何体的外接球球心（通常为底面外心与高的交点）计算半径 3内切球问题：利用体积法求内切球半径 4结合空间直角坐标系用坐标法计算球心与半径 易错辨析 1误将“球的小圆半径”当作球半径忽略球心到截面的距离 2混淆外接球与内切球：外接球半径是球心到顶点的距离内切球半径是球心到面的距离 3球的表面积公式漏乘4体积公式漏乘导致计算错误 4误认为“所有几何体都有内切球”只有各面到同一点距离相等的几何体才有内切球 【多选题】（24-25高一下·陕西安康·期中）下列命题中为真命题的有（    ）经典例题1例题 A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 【答案】AD 【分析】根据常见空间几何体的特征可判断. 【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误； 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确， 故选：AD （25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是有（    ）经典例题2例题 ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据球、球面的定义和性质判断即可. 【详解】对于①，球的定义既包括球面又包括球里的部分，故①错误； 对于②，根据球面的定义，空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，故②正确； 对于③，球是一个特殊的空间几何体，根据其性质可知，其对称中心只有球心一个，故③错误； 对于④，根据球的性质，平面截球的任何截面都是圆，故④错误； 故选：B. （25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）给出下列命题，其中正确的是（    ）小试牛刀1 A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【答案】BCD 【详解】A 选项：球面上四个不同的点一定不在同一平面内.这个说法是错误的. 例如，球的一个大圆上可以有无数个点，这些点都在同一个平面内.故A错误； B 选项：因为球心在球的任意大圆所在平面上，所以球心是任意两个两个大圆所在平面的公共点， 而两个平面的交点都在一条直线上，所以球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.故B正确； 因为两个大圆都经过球心，所以它们的交点必然是球的一条直径的两个端点，其连线就是球的直径. C 选项：用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面.故C正确； D 选项：球的半径是球面上任意一点和球心的连线段，故D正确. （25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题：小试牛刀2 ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由球的结构特征分析判断即可. 【详解】由球的结构特征知，②③正确，①④错误. 所以正确命题的个数有2个. （25-26高一下·全国·课堂例题）①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面；③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个；④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面.上述四种说法中正确的个数是__________.小试牛刀3 【答案】1 【分析】结合球面和球的定义判断①②，结合球的性质判断③，根据球的截面的性质判断④. 【详解】空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，①错误，②正确， 球的对称轴有无数条，球的对称中心只有一个，就是球的球心，③错误； 用平面截球，平面角度不同时，截面都是圆面，④错误； 所以正确的说法只有②，正确的说法的个数为， 故答案为：. 【题型4：组合体的构成】 【练方法】 知识梳理 1组合体的构成方式 拼接型：由多个简单几何体（柱锥台球）拼接而成如圆柱与圆锥拼接成的组合体 挖切型：从一个简单几何体中挖去或切去另一个简单几何体如正方体挖去一个圆锥 2组合体的结构分析：明确组合体的组成部分各部分的位置关系公共面的特征 3相关计算：组合体的表面积（注意拼接/挖切处的面积增减）体积（拼接相加挖切相减） 解题方法 1拆分法：将组合体拆分为多个简单几何体分别分析结构与计算 2补形法：将不规则组合体补成规则几何体简化计算 3表面积计算：先算各部分表面积再减去拼接处重合的面积或加上挖切处新增的面积 4体积计算：直接用各部分体积相加减无需考虑重合部分 易错辨析 1计算组合体表面积时忽略拼接处重合的面积导致表面积多算 2挖切型组合体漏算挖切后新增的表面积导致表面积少算 3拆分组合体时误判几何体的组成部分导致结构分析错误 4混淆组合体的体积与表面积计算逻辑体积直接相加减表面积需调整重合部分 （25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ）经典例题1例题 A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念，结合空间想象能力，可得问题的答案. 【详解】绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥. 故选：D （2025高三·全国·专题练习）已知一个正四面体和一个正四棱锥所有的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ）经典例题2例题 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据组合体概念求解即可. 【详解】因为合成后共面，共面，故合成后即三棱柱，如图19，从而合成后只有5个面．    故选：A. （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．小试牛刀1    【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    （22-23高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ）小试牛刀2 A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【详解】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B （22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ）小试牛刀3 A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【题型5：柱体展开图的最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 1柱体展开图：将柱体的侧面沿一条母线剪开展开为平面图形（通常为矩形） 2最短路径原理：两点之间线段最短将空间路径转化为展开图中的平面线段 3常见柱体：长方体正方体圆柱直棱柱等 4核心关系：展开图中起点与终点的水平距离为底面周长的对应部分垂直距离为柱体的高 解题方法 1展开柱体侧面得到平面展开图 2在展开图中连接起点与终点构造直角三角形 3利用勾股定理计算线段长度即为最短路径长 4分类讨论：长方体/正方体需考虑不同的展开方式比较不同路径的长度取最小值 易错辨析 1展开图中误将底面周长的对应部分算错导致直角三角形边长错误 2长方体最短路径问题仅考虑一种展开方式漏算其他可能导致结果错误 3圆柱展开图中误将底面圆的直径当作水平边长正确应为底面圆的周长的对应部分 4忽略柱体的高与底面边长的关系导致展开图尺寸错误 （25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？经典例题1例题 【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． （25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________．经典例题2例题 【答案】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. （25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. （25-26高三上·河北邢台·月考）如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计）小试牛刀2 【答案】 【分析】将四棱台侧面展开（如图），问题转化为求线段的长度，此时最短，根据余弦定理求解. 【详解】依题意可得正四棱台侧面等腰梯形的内角， 将正四棱台内侧面展开到梯形的上方，其中，， B，，正好在同一直线上，问题转化为求线段的长度，此时最短， 设棱的中点为Q，由于与平行，则在中，，， ， 则得. 又， 所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为. 故答案为：. （2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ）小试牛刀3 A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 【题型6：锥体展开图的最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 1锥体展开图：将锥体的侧面沿一条母线剪开展开为平面图形（通常为扇形） 2最短路径原理：两点之间线段最短将空间路径转化为展开图中的平面线段 3常见锥体：圆锥正棱锥等 4核心关系：圆锥展开图扇形的弧长等于底面圆的周长扇形半径等于圆锥母线长扇形圆心角 解题方法 1展开锥体侧面得到平面展开图（圆锥为扇形正棱锥为多个等腰三角形拼接） 2在展开图中连接起点与终点构造三角形 3利用余弦定理（圆锥）或勾股定理（正棱锥）计算线段长度即为最短路径长 4验证展开图中起点与终点的位置确保路径符合实际空间位置 易错辨析 1圆锥展开图中误算扇形圆心角导致展开图尺寸错误 2正棱锥展开图中误将侧面三角形的腰长当作母线长导致边长错误 3忽略锥体展开图中起点与终点的位置关系误将线段画在扇形外部 4混淆柱体与锥体展开图：柱体展开为矩形锥体展开为扇形/三角形拼接不可混用 （25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米）经典例题1例题 【答案】1.1 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 （25-26高三上·青海西宁·月考）斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出该斗笠的侧面展开图，先由扇形弧长和母线长求出圆心角，再由余弦定理即可求得答案. 【详解】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． （24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ）小试牛刀1 A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】由扇形弧长公式求得，则，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． （2026高一·全国·专题练习）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. （24-25高一下·河北雄安·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误； 对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误； 对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误. 所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据旋转体的定义选D 3．（25-26高一下·全国·课后作业）下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【答案】A 【分析】结合基本立体几何图形的性质即可判断． 【详解】对于A，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积，故A正确； 对于B，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故B错误； 对于C，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体，故C错误； 对于D，圆台的上、下底面一定平行，故D错误． 故选：A． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 6．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【详解】依题意，，且， 又平面平面， 所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得圆锥的母线长，即侧面展开图扇形的半径为， ∵底面半径为， ∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ∴扇形圆心角的弧度， 母线上的点展开后为扇形上的，为该质点运动的最短路径，且， 由余弦定理得， 解得． 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【答案】ACD 【分析】根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确； 对于B选项，如图，平面平面， 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误； 对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确； 对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确． 故选：ACD. 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【答案】BC 【详解】对于A，由圆柱的定义可知：圆柱的母线与它的轴都平行，故A错误； 对于B，由圆锥的定义可知：圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确； 对于C，由圆台母线定义可知：在圆台的上、下两底面圆周上各取一点， 则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C正确； 对于D，由圆柱的定义可知：圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的，故D错误. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 【答案】ABD 【分析】根据棱柱的性质可得 【详解】A.斜棱柱的侧棱与底面不垂直，故A错误； B.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故B正确； C. 根据长方体的定义，六个面都是矩形的六面体是长方体，故C正确； D. 正棱柱的定义是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱（即直棱柱），选项D的描述缺少“侧棱垂直于底面”或“是直棱柱”的条件，故D错误． 11．（2026·河南焦作·一模）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（   ） A．该几何体可能是三棱锥 B．该几何体可能是四棱柱 C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【答案】AC 【分析】先明确各选项中几何体的表面三角形数量特征：因为三棱锥表面有4个三角形面，所以先分析8块全等三角形能否拼接成三棱锥；分析四棱柱的表面构成：因为四棱柱表面是4个四边形和2个多边形底面，若要由三角形拼接，需将四边形面拆分为三角形，结合8块全等三角形的条件，判断是否可行；针对三棱柱的拼接，分别考虑等腰三角形和直角三角形的情况：若用等腰三角形拼接三棱柱，需考虑三棱柱的面的数量和形状匹配度；若用直角三角形拼接，需结合直角三角形的特性，分析能否对应三棱柱的面的拼接需求. 【详解】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板， 像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确； 对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误； 对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起， 必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可， 实际上，当时，， 在中，， 则， 则，即可得，即此时即可满足题意，C正确； 对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形， 设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a， 因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱， 则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，三棱台，沿截去三棱锥，则剩余部分是________． 【答案】四棱锥 【详解】在图中截去三棱锥后，剩余的是以为底面，为顶点的四棱锥． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 【答案】①②③ 【分析】由棱台的几何性质进行求解． 【详解】必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台， 如图所示： 故③不正确． 14．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 【答案】四棱锥 【分析】观察剩余部分的面数及各面的形状，结合四棱锥定义确定结论. 【详解】在三棱台中，截去三棱锥后剩余部分共有个面， 分别为和梯形，且四个三角形有公共顶点， 故剩余部分是四棱锥. 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是________． ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台． 【答案】③ 【详解】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②错误； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的几何体，因此棱台的各侧棱延长线交于一点，③正确； 棱台的各条侧棱交于一点，若梯形的腰不相交于同一点，该几何体并非棱台，故④错误． 16．（2026高三·全国·专题练习）正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 【答案】 20 30 【分析】根据多面体的特征，设每个面是n边形，每个顶点关联r条棱，计算得到顶点数和棱的条数，再结合欧拉定理进行求解即可． 【详解】正十二面体有个面，设每个面是边形，每个顶点关联条棱，面的个数． 每个面有个顶点，每个顶点关联条棱存在于个面中，故顶点数． 每个面有条边，每条棱都存在于个面中，故棱的条数． 代入欧拉定理得，解得． 由于为大于等于的正整数，故，故或． 当时，；当时，（舍去）， 故且，得到，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.1：基本立体图形】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱柱棱锥棱台的结构特征与分类】 【练方法】 知识梳理 1棱柱 定义：有两个面互相平行其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行由这些面围成的多面体 分类：按底面边数分三棱柱四棱柱五棱柱等；按侧棱与底面垂直分直棱柱斜棱柱；特殊棱柱有长方体正方体正棱柱 结构特征：两个底面全等且平行侧棱平行且相等侧面都是平行四边形 2棱锥 定义：有一个面是多边形其余各面是有一个公共顶点的三角形由这些面围成的多面体 分类：按底面边数分三棱锥四棱锥五棱锥等；特殊棱锥有正棱锥（底面正多边形顶点在底面的射影是底面中心） 结构特征：底面是多边形侧面都是有公共顶点的三角形侧棱交于一点 3棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥底面和截面之间的部分 分类：对应棱锥分三棱台四棱台等；特殊棱台有正棱台（由正棱锥截得） 结构特征：上下底面平行且相似侧棱延长线交于一点侧面都是梯形 解题方法 1紧扣定义判断几何体类型逐一验证结构特征 2区分特殊几何体：正棱柱/正棱锥/正棱台需同时满足“底面正多边形+对应高的位置” 3利用结构特征计算棱长高侧面积等基础量 4结合直观图（斜二测画法）还原几何体结构 易错辨析 1误将“侧棱平行”的多面体当作棱柱忽略“两个底面平行”的核心条件 2混淆棱锥与棱台：棱台侧棱必须延长线交于一点仅上下底平行的梯形多面体不一定是棱台 3正棱锥仅满足“底面正多边形”不够必须满足“顶点在底面射影为中心” 4棱柱的侧面都是平行四边形但平行四边形围成的多面体不一定是棱柱 （23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）下列说法不正确的是（　　）经典例题1例题 A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体. （25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 （25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）小试牛刀1 A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【多选题】（25-26高二上·四川内江·月考）下列说法中正确的有（    ）小试牛刀2 A．正四面体是正三棱锥． B．棱锥的侧面是全等的三角形． C．平行六面体各个面都是平行四边形． D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点． 【多选题】（24-25高一下·山西大同·月考）下列选项中，不正确的是（    ）小试牛刀3 A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【题型2：圆柱圆锥圆台的结构特征与分类】 【练方法】 知识梳理 1圆柱 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 结构特征：两个底面是全等且平行的圆侧面是曲面母线平行且相等轴截面是矩形 2圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 结构特征：底面是圆侧面是曲面母线交于顶点轴截面是等腰三角形 3圆台 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥底面和截面之间的部分；也可由直角梯形绕垂直于底的腰旋转得到 结构特征：上下底面是平行且相似的圆侧面是曲面母线延长线交于一点轴截面是等腰梯形 解题方法 1紧扣旋转体定义明确旋转轴与旋转图形 2利用轴截面（过轴的截面）将空间问题转化为平面几何问题 3结合母线高底面半径的关系（如圆锥）计算相关量 4区分旋转体与多面体的结构差异避免混淆 易错辨析 1误将“上下底是圆的台体”当作圆台忽略“母线延长线交于一点”的核心条件 2混淆圆柱与棱柱：圆柱是旋转体侧面是曲面棱柱是多面体侧面是平面 3圆锥轴截面是等腰三角形但等腰三角形旋转形成的不一定是圆锥（旋转轴需为高） 4圆台可由圆锥截得但不可由圆柱截得避免概念混淆 （23-24高一下·陕西汉中·期末）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ）经典例题1例题 A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 （24-25高一下·天津河西·月考）以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为________．经典例题2例题 （24-25高一下·河北邯郸·期中）下列四个命题中正确的是（   ）小试牛刀1 A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【多选题】（24-25高一下·辽宁·月考）下列命题中为假命题的有（    ）小试牛刀2 A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 【多选题】（24-25高二上·湖北随州·月考）下列说法中不正确的是（    ）小试牛刀3 A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【题型3：球的结构特征】 【练方法】 知识梳理 1定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴半圆面旋转一周形成的旋转体也叫球体 2结构特征：球心到球面上任意一点的距离都等于半径；球的截面都是圆其中过球心的截面叫大圆（半径为）不过球心的截面叫小圆（半径为球心到截面的距离） 3相关公式：球的表面积体积 4球与其他几何体的切接：外接球（几何体顶点都在球面上）内切球（球与几何体各面都相切） 解题方法 1利用球的截面性质建立球心截面圆心截面圆周上点的直角三角形 2外接球问题：找几何体的外接球球心（通常为底面外心与高的交点）计算半径 3内切球问题：利用体积法求内切球半径 4结合空间直角坐标系用坐标法计算球心与半径 易错辨析 1误将“球的小圆半径”当作球半径忽略球心到截面的距离 2混淆外接球与内切球：外接球半径是球心到顶点的距离内切球半径是球心到面的距离 3球的表面积公式漏乘4体积公式漏乘导致计算错误 4误认为“所有几何体都有内切球”只有各面到同一点距离相等的几何体才有内切球 【多选题】（24-25高一下·陕西安康·期中）下列命题中为真命题的有（    ）经典例题1例题 A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 （25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是有（    ）经典例题2例题 ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）给出下列命题，其中正确的是（    ）小试牛刀1 A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 （25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题：小试牛刀2 ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 （25-26高一下·全国·课堂例题）①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面；③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个；④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面.上述四种说法中正确的个数是__________.小试牛刀3 【题型4：组合体的构成】 【练方法】 知识梳理 1组合体的构成方式 拼接型：由多个简单几何体（柱锥台球）拼接而成如圆柱与圆锥拼接成的组合体 挖切型：从一个简单几何体中挖去或切去另一个简单几何体如正方体挖去一个圆锥 2组合体的结构分析：明确组合体的组成部分各部分的位置关系公共面的特征 3相关计算：组合体的表面积（注意拼接/挖切处的面积增减）体积（拼接相加挖切相减） 解题方法 1拆分法：将组合体拆分为多个简单几何体分别分析结构与计算 2补形法：将不规则组合体补成规则几何体简化计算 3表面积计算：先算各部分表面积再减去拼接处重合的面积或加上挖切处新增的面积 4体积计算：直接用各部分体积相加减无需考虑重合部分 易错辨析 1计算组合体表面积时忽略拼接处重合的面积导致表面积多算 2挖切型组合体漏算挖切后新增的表面积导致表面积少算 3拆分组合体时误判几何体的组成部分导致结构分析错误 4混淆组合体的体积与表面积计算逻辑体积直接相加减表面积需调整重合部分 （25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ）经典例题1例题 A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 （2025高三·全国·专题练习）已知一个正四面体和一个正四棱锥所有的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ）经典例题2例题 A．5 B．6 C．7 D．8 （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．小试牛刀1    （22-23高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ）小试牛刀2 A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 （22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ）小试牛刀3 A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【题型5：柱体展开图的最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 1柱体展开图：将柱体的侧面沿一条母线剪开展开为平面图形（通常为矩形） 2最短路径原理：两点之间线段最短将空间路径转化为展开图中的平面线段 3常见柱体：长方体正方体圆柱直棱柱等 4核心关系：展开图中起点与终点的水平距离为底面周长的对应部分垂直距离为柱体的高 解题方法 1展开柱体侧面得到平面展开图 2在展开图中连接起点与终点构造直角三角形 3利用勾股定理计算线段长度即为最短路径长 4分类讨论：长方体/正方体需考虑不同的展开方式比较不同路径的长度取最小值 易错辨析 1展开图中误将底面周长的对应部分算错导致直角三角形边长错误 2长方体最短路径问题仅考虑一种展开方式漏算其他可能导致结果错误 3圆柱展开图中误将底面圆的直径当作水平边长正确应为底面圆的周长的对应部分 4忽略柱体的高与底面边长的关系导致展开图尺寸错误 （25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？经典例题1例题 （25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________．经典例题2例题 （25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______．小试牛刀1 （25-26高三上·河北邢台·月考）如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计）小试牛刀2 （2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ）小试牛刀3 A． B．4 C． D．10 【题型6：锥体展开图的最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 1锥体展开图：将锥体的侧面沿一条母线剪开展开为平面图形（通常为扇形） 2最短路径原理：两点之间线段最短将空间路径转化为展开图中的平面线段 3常见锥体：圆锥正棱锥等 4核心关系：圆锥展开图扇形的弧长等于底面圆的周长扇形半径等于圆锥母线长扇形圆心角 解题方法 1展开锥体侧面得到平面展开图（圆锥为扇形正棱锥为多个等腰三角形拼接） 2在展开图中连接起点与终点构造三角形 3利用余弦定理（圆锥）或勾股定理（正棱锥）计算线段长度即为最短路径长 4验证展开图中起点与终点的位置确保路径符合实际空间位置 易错辨析 1圆锥展开图中误算扇形圆心角导致展开图尺寸错误 2正棱锥展开图中误将侧面三角形的腰长当作母线长导致边长错误 3忽略锥体展开图中起点与终点的位置关系误将线段画在扇形外部 4混淆柱体与锥体展开图：柱体展开为矩形锥体展开为扇形/三角形拼接不可混用 （25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米）经典例题1例题 （25-26高三上·青海西宁·月考）斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ）小试牛刀1 A． B．4 C． D．6 （2026高一·全国·专题练习）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______.小试牛刀2 （24-25高一下·河北雄安·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 5．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 6．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 7．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 11．（2026·河南焦作·一模）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（   ） A．该几何体可能是三棱锥 B．该几何体可能是四棱柱 C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，三棱台，沿截去三棱锥，则剩余部分是________． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 14．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是________． ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台． 16．（2026高三·全国·专题练习）正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $